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Mileidys N; Rossana R; María C; Andrea P; Wilmer A; Iraida B; Jaime Jai me G.
Contenido
1
Introducción
2
Desarrollo Desarrol lo Teórico Teórico
3
Estudio de Caso
4
Conclusiones y Recomendaciones
Contenido
1
Introducción
2
Desarrollo Desarrol lo Teórico Teórico
3
Estudio de Caso
4
Conclusiones y Recomendaciones
Introducción
Diseño de experimentos
Modelo Greco-Latino
Solución
• Planteamiento del problema • Modelo adecuado • Añadimos una tercera variable o bloque • Fusión de Cuadrados Latinos l.i y de igual orden • Modelo de variable de respuesta • Hipótesis, cálculos y conclusiones
Propiedades del Diseño Se
origina el cuadrado compuesto al combinar dos cuadrados latinos ortogonales y del mismo orden
Un
tratamiento aparece representado exactamente una vez al mismo renglón o en la misma columna.
Propiedades del Diseño
Los cuadrados grecolatinos aparecen al imponer una nueva restricción a la aleatorización. Posee el mismo número de restricciones que de tratamiento, de este modo se reduce el número de combinaciones a realizar cuando el número de factores aumenta.
La Unidad Experimental al igual que el cuadrado latino se distribuye o agrupa en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma al igual que el cuadrado latino.
Estructura del Diseño La superposición de dos Cuadrados Latinos A
B
C
D
α
β
γ
δ
D
C
B
A
γ
δ
α
β
B
A
D
C
δ
γ
β
α
C
D
A
B
β
α
δ
γ
Estructura del Diseño Da origen a un Cuadrado Greco-Latino
1
2
3
4
1
Aα
Bβ
Cγ
Dδ
2
Dγ
Cδ
Bα
Aβ
3
Bδ
Aγ
Dβ
Cα
4
Cβ
Dα
Aδ
Bγ
Observaciones
Este es un diseño en el que se controlan tres factores de bloques y un factor de tratamiento; los cuatro factores utilizan
la misma cantidad de niveles.
Es importante no confundir las letras griegas en el diseño que representan efectos, con las letras griegas de los niveles del
tercer factor de bloque.
Uno de los inconvenientes de este diseño al igual que el Cuadrado Latino, es que requiere el mismo número de niveles
para
los
cuatro
factores.
grecolatinos de dimensión 6.
Además
no
hay
cuadrados
Modelo Estadístico Yijlm = μ + τi + B j + γl + δm + εijlm Con i, j, l, m = 1, 2,…,k
Yijlm:Observación o variable respuesta. μ: Efecto de la Media global. τi: Efecto producido por el i_ésimo nivel del factor fila. B j: Efecto del renglón j-ésimo nivel del factor columna. γl: Efecto de la columna l-ésimo nivel del factor letra latina. δm: Efecto del m-ésimo nivel del factor letra griega (niveles del tercer factor del bloque). εijlm: Error o variable aleatoria que engloba un conjunto de factores, cada uno de los cuales influye en la respuesta solo en pequeñas magnitudes pero de forma conjunta debe tenerse en cuenta.
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Supuestos del Modelo Yijlm ~ NID (μ + τi + B j + γl + δm ; σ^2) Con σ^2 constante para todos los niveles. Mutuamente independiente.
εijlm ~NID (0, σ^2) Mutuamente Independiente Στi = 0
ΣBj = 0
Σγl = 0
Σδm = 0
Con i, j, l, m = 1, 2,…,k
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Estimación de los Parámetros del Modelo
Residuos Los residuos en este modelo adoptan la siguiente expresión:
Como en el diseño en cuadrado latino los residuos suman cero por filas, por columnas, para cada letra latina y además también deben sumar cero para cada letra griega. Por lo tanto, el número de grados de libertad de los residuos es (k-1)(k-.3). En efecto
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Sumas de Cuadrado La variabilidad total presente en los datos para una dimensi ón 4, se puede descomponer simbólicamente tal como:
Basándonos en estas sumas de cuadrados se correspondientes cuadrados medios que denotamos por
construyen
o bien por CMT, CMF, CMC, CML, CMG y CMR o CME .
los
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Cuadrados Medios
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Prueba de Hipótesis Como en los modelos anteriores, este diseño tiene la propiedad de que todos los contrastes:
Son ortogonales. Y los estadísticos de contraste para verificar dicha hipótesis corresponderán al valor de F obtenido.
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Prueba de Hipótesis Bajo las hipótesis nulas cada uno de los estadísticos siguen una distribución F con K1 y (K-1)*(K-3) grados de libertad. Por tanto, se rechazará la hipótesis nula correspondiente cuando el valor experimental del estadístico sea mayor que el encontrado en las tablas de distribución F con K-1 y (K-1)*(K-3) grados de libertad al nivel de significancia α.
Tabla ANOVA
Estudio de Caso Un
investigador está estudiando el efecto de 5 fórmulas diferentes de una mezcla de dinamita sobre la fuerza explosiva observada. Cada fórmula se prepara usando un lote de materia prima lo suficientemente grande para que solo se hagan 5 mezclas. Más aun, las mezclas fueron preparadas por 5 operadores, pudiendo existir una diferencia sustancial en la habilidad y la experiencia de ellos. Adicional a esto existen 5 líneas de montaje donde se aplican las pruebas.
El diseño descrito en cuadrado grecolatino se muestra en la siguiente tabla:
Operadores Lotes de
1
2
3
4
5
1
Aα=-1
Bγ=-5
Cε=-6
Dβ=-1
Eδ=-1
2
Bβ=-8
Cδ=-1
Dα=5
Eγ=2
Aε=11
3
Cγ=-7
Dε=13
Eβ=1
Aδ=2
Bα=-4
4
Dδ=1
Eα=6
Aγ=1
Bε=-2
Cβ=-3
5
Eε=-3
Aβ=5
Bδ=-5
Cα=4
Dγ=6
materia prima
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Datos del problema Variable
Respuesta o Yijlm: explosividad de la dinamita.
Fuerza
de
Las
líneas de montaje se representa con letras griegas α, β, γ, δ y ε.
Las
fórmulas se representa con letras latinas A, B, C, D y E.
Media
Global = μ = 0,4.
Número
de repeticiones: K = 5.
Número
de observaciones: N=K^2 = 25.
Hipótesis
planteadas:
Para los lotes de materia prima:
Ho
=
En la fuerza explosiva de la dinamita no influye significativamente el efecto de los lotes de materia prima.
Ha
=
En la fuerza explosiva de la dinamita influye significativamente el efecto de los lotes de materia prima.
Para los operadores:
Ho
=
En la fuerza explosiva de la dinamita significativamente el efecto de los operadores.
no
influye
Ha
=
En la fuerza explosiva de la dinamita significativamente el efecto de los operadores.
influye
Para las letras latinas o formulas:
Ho = En la fuerza explosiva de la dinamita no influye significativamente el efecto de la fórmula de la mezcla. Ha = En la fuerza explosiva de la dinamita influye significativamente el efecto de la fórmula de la mezcla.
Para las letras griegas o líneas de montaje:
Ho = En la fuerza explosiva de la dinamita no influye significativamente el efecto de las líneas de montaje. Ha = En la fuerza explosiva de la dinamita influye significativamente el efecto de las líneas de montaje.
Análisis del ejercicio Para realizar los análisis posteriores se deben sacar todos los demás datos que sean necesarios y la cual tabularemos de la siguiente manera:
De las tablas anterior se pueden obtener las sumas de cuadrados:
=
Continuación de las Sumas de Cuadrados:
Tabla ANOVA para la formulación de la dinamita Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Media de los cuadrados
F0
330
4
82,50
10
68
4
17,00
150
4
37,50
Líneas de ensamble o montaje
62
4
15,50
2,06 4,545 1,878
Error
66
8
8,25
Total
676
24
Fórmulas Lotes de Materia prima Operadores
Estimadores del modelo Estimador de la media global: Estimador del tratamiento i-ésimo:
Estimador del bloque j-ésimo:
Estimador del efecto de la letra latina l-ésima:
Estimador del efecto de la letra griega m-ésima:
Estimador de la varianza:
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Procedimiento en MiniTab
Solución paso a paso Ejercí. Greco-Latino
Ingresar el número correspondiente a cada elemento . La columna C1= renglón C2= Columna C3= Tratamiento (letras latinas) C4= letras griegas C5=
Solución paso a paso Ejercí. Greco-Latino
1. Ir al menú Estadística 2. Buscar ANOVA 3. Seleccionar Modelo lineal general
Solución paso a paso Ejercí. Greco-Latino
4. En el cuadro de dialogo, colocar en respuesta la variable que se busca. En éste caso, Explosividad 5. En modelo, colocar el resto de los bloques: Lote, operador, fórmula y línea de montaje
Solución paso a paso Ejercí. Greco-Latino
Seleccionar la opción gráfica.
Solución paso a paso Ejercí. Greco-Latino
Seleccionar la opción “Cuatro en uno” y dar “aceptar”
Solución paso a paso Ejercí. Greco-Latino
Seleccionar “Gráfica de factores”
Solución paso a paso Ejercí. Greco-Latino
En Factores, colocar el bloque de mayor interés, es decir, tratamiento. Ej: Fórmula. Posteriormente “aceptar” Aceptar en el cuadro de dialogo original
Solución paso a paso Ejercí. Greco-Latino Se puede observar que todo resulta aproximadamente igual a la tabla ANOVA anterior.
Se contrastan los valores de F y P experimentales, con los teóricos para determinar la influencia de los bloques establecidos en la variable respuesta. En el caso de estudio, se puede observar que los 4 bloques influyen en la explosividad del producto. Los valores de R2 y R2 ajustado tienen un diferencia considerable entre sí, es posible que el problema no esté bien especificado. Luego, verificar los valores de ajuste del modelo a la variable respuesta. Para nuestro caso, el modelo no se ajusta en gran medida, es posible que no se estén tomando en cuenta otras variables, se recomiendo
Prueba de Hipótesis Ubicamos en la Tabla de Fisher Nivel de significancia de 5% Grados de libertad numerador k – 1 = 4
Grados de libertad denominador (K-3)*(K-1) = 8 F(α,n1,n2)= F(0,05; 4; 8) = 3.84
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Prueba de Hipótesis Para el lote: Como la F (2.06) < F 0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, se rechaza Ha, el lote de material no es fuente de variación para la respuesta. Para el Operador: Como la F (4.55) > F 0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Rechaza Ho, se acepta Ha, el operador es fuente de variación para la respuesta. Para la Fórmula: Como la F (10.0) > F 0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Rechaza Ho, se acepta Ha, el tipo de fórmula es fuente de variación para la respuesta. Para La Línea de ensamble: Como la F (1.88) < F 0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, se rechaza Ha, la línea de ensamble no es fuente de variación para la respuesta.
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Solución paso a paso Ejercí. Greco-Latino
Analizar gráficas: En la primera gráfica se verifica el ajuste normal.
de los datos a una distribución
La gráfica de efectos principales, demuestra cuál sería la fórmula más eficiente para nuestro proceso. En éste caso, la fórmula 4 es la que genera mayor explosividad.
Comparación de Medias Los
efectos que resultaron significativos en nuestro estudio son Operadores y las Fórmulas. Operadores
Diferencia poblacional
Diferencia Muestral
Decisión
Operadores
Medias
μ1- μ2
7,2 > 5,81
Significativa
1
-3,6
μ1 – μ3
2,8 < 5,81
No significativa
2
3,6
μ1 – μ4
4,6 < 5,81
No significativa
3
-0,8
μ1 – μ5
5,4 < 5,81
No significativa
μ2 – μ3
4,4 < 5,81
No significativa
μ2 – μ4
2,6 < 5,81
No significativa
μ2 – μ5
1,8 < 5,81
No significativa
μ3 – μ4
1,8 < 5,81
No significativa
μ3 – μ5
2,6 < 5,81
No significativa
μ4 – μ5
0,8 < 5,81
No significativa
4
1
5
1,8
Por tukey: HSD= q( ) HSD = q(0,05; 4; 8)= 4,53 * (8,25/5)^1/2 HSD = 5,81
Al comparar las diferencias muestrales de la media con nuestro valor de HSD, podemos observar que no detecta alguna diferencia significativa en la mayoría de los efectos de operadores. Sin embargo existe una diferencia significativa en los operadores 1 y 2, que
Comparación de Medias Aplicando igualmente el método de tukey: HSD = 5,81
Fórmulas Diferencia poblacional
Diferencia Muestral
Decisión
μ A - μB
8,4 > 5,81
Significativa
μ A - μC
6,2 > 5,81
Significativa
μ A – μD
1,2 < 5,81
No Significativa
Fórmulas
Medias
A
3,6
B
-4,8
C
-2,6
μ A – μE
2,6 < 5,81
No Significativa
D
4,8
μB – μC
2,2 < 5,81
No Significativa
E
1
μB – μD
9,6 > 5,81
Significativa
μB – μE
5,8 < 5,81
No Significativa
μC – μD
7,4 > 5,81
Significativa
μC – μE
3,6 < 5,81
No Significativa
μD – μE
3,8 < 5,81
No Significativa
Al comparar las diferencias muestrales de la media con nuestro valor de HSD, podemos observar que se detectan 4 diferencias significativas en el efecto de las Fórmulas A, B, C y D, posiblemente influyan en la fuerza de explosividad de la dinamita. Observemos que la diferencia más significativa se presencia en la fórmula B y D o 2 y 4 respectivamente. Tiene coherencia puesto que en la gráfica anterior resultó ser la fórmula 4 o D donde
