RESUMEN La enseñanza de la teoría de sistemas de control representa un reto en los planes de estudio de la Ingeniería.
Una alternativa para atraer el interés de los estudiantes consiste en darles la oportunidad de construir su propio sistema de control. De esta manera, ellos se sentirán con más confianza hacia esta materia que de otra manera parece árida y teórica. En este artículo, presentamos un sistema de control de velocidad para un motor de corriente directa.
En este trabajo se muestran los pasos a seguir para diseñar el control de velocidad de un motor de corriente directa (cd), empleando amplificadores operacionales y ele mentos electrónicos. El controlador que se construyó al final del documento es aplicable a cualquier proceso de una entrada - una salida, cuya señal de salida esté en el rango de 0 a 5 voltios de cd y la señal de entrada al proceso pueda ser una señal de –12 a +12 voltios de corriente c orriente directa.
1
ÍNDICE
Página
Resumen Índice
CAPITULO 1: Introducción 1.1 Antecedentes 1.2 Planteamiento del problema de investigación 1.3 Objetivos 1.3.1 Objetivos específicos 1.4 Justificación de la investigación 1.5 Alcance
4 4 4 4 5 5
CAPITULO 2: Fundamentación teórica 2.1 Orígenes 2.2 Tipos de controladores 2.3 Motor de corriente continua 2.4 Amplificador operacional 2.4.1 Amplificador inversor
5 6 9 10 10
CAPITULO 3: Diseño del proyecto de investigación 3.1 Implementación 3.1.1 ETAPA 1: Entrada de referencia 3.1.2 ETAPA 2: Comparador 3.1.3 ETAPA 3: Amplificador de ganancia ajustable 3.1.4 ETAPA 4: Amplificador de potencia 3.2 Funcionamiento 3.3 Elementos a utilizar 3.3.1 Selección de los elementos constituidos 3.4 Modelado matemático 3.4.1 Modelo matemático del motor cd 3.4.2 Modelo matemático del tacómetro 3.4.3 Modelo matemático del valor de k (Ganancia ajustable) 3.5 Resultados 2
11 11 11 12 12 13 14 14 15 15 17 19 19
CAPITULO 4: Costos y Presupuesto
20
Conclusiones Conclusión general
21
Bibliografía
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3
CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1
Antecedentes
Un sistema de control automático es un ordenamiento de componentes físicos conectados de tal manera que el mismo pueda mandar, dirigir o regularse a sí mismo o a otro sistema. El sistema de control automático desempeña un papel importante en los procesos de manufactura, industriales, navales, aeroespaciales, robótica, económicos, biológicos, etc. Como el control automático va ligado a, prácticamente, todas las ingenierías (eléctrica, electrónica, mecánica, sistemas, industrial, química, etc.), este proyecto ha sido desarrollado sin preferencia hacia alguna disciplina determinada. La necesidad de un sistema de control no es algo que se elige con voluntad sino es un proceso de planteamiento y análisis para resolver un problema dado, que al finalizar este proceso, beneficiara a toda la sociedad porque aunque no lo crea el control automático está ligado al proceso de producción y presenta muchas ventajas.
1.2
Planteamiento del problema de investigación
Frecuentemente, se intenta controlar un motor DC mediante una resistencia variable conectada a un transistor. Si bien este sistema funciona, genera gran cantidad de calor y pérdidas de potencia, así como también genera mucha variación al momento de intentar controlar el mecanismo.
1.3
Objetivos
Diseñar e implementar un controlador de velocidad para un motor de corriente directa logrando mantener el rango deseado de esté mismo.
1.3.1
Objetivos específicos
Obtener modelo matemático de la planta a controlar.
Desarrollar del control de retroalimentación físicamente.
Controlar la velocidad del motor mediante un sistema retroalimentado.
Construir un circuito con amplificadores operacionales que simule el comportamiento dinámico de la planta.
4
1.4
Justificación de la investigación
La investigación como ya se mencionó anteriormente, está enfocado hacia la realización de un sistema retroalimentado, lo cual actualmente representa uno de los requisitos indispensables La creciente necesidad de obtener opciones de control de procesos industriales que sean flexibles, económicas y de mayor precisión, incentiva la aplicación de teorías de control conocidas a equipos más avanzados. Es por ello que se realiza este estudio; que busca implementar la teoría PID, equipos de avanzada tecnología, alta precisión y gran flexibilidad.
1.5
Alcance
Complementación del estudio mediante la aplicación de los diferentes tipos de amplificadores operacionales en los controladores PID. Estudio del control electrónico de motores de corriente continua, mediante el uso de controladores PID.
CAPITULO 2 MARCO DE REFERENCIA 2.1
Orígenes del PID
Desde que James Watt inventara su primer regulador realimentado mecánico dando vida así al Control Automático Industrial hasta hoy, los métodos de control han variado mucho. Hoy en día existen numerosas tipologías e implementaciones de estos controladores, aunque la esencia del PID, un regulador que incluye acciones proporcional, integral y derivativa, es común a todos ellos y comenzó a utilizarse en controladores ya en el siglo XIX. Sin embargo, la idea de un controlador de tres términos de propósito general con una acción de control variable no fue introducida hasta finales de la década de 1930. Concretamente se dice que fue la Taylor Instrument Company la que introdujo el primer controlador de este tipo, primero en 1936 con una constante derivativa fijada en fábrica y luego por fin, en 1939, con una acción derivativa variable. Ya en 1922, bastante antes de su comercialización, Nicolás Minorsky había analizado las propiedades de los controladores tipo PID en su publicación “Estabilidad direccional de cuerpos dirigidos automáticamente”. Dicho trabajo, que constituye una de las primeras discusiones sobre Teoría de Control, describe el uso de los controladores de tres términos para el gobierno de la 5
dirección de un buque: el “New Mexico”. Así pues, los controladores tipo PID nacieron para el gobierno automático de buques y fueron descubiertos por el científico Nicolás M inorsky. La idea de un gobierno completamente automatizado había comenzado a forjarse tras la aparición del primer timón servocontrolado en 1864, aunque hubo pocos avances en este sentido debido a la ausencia de sensores de orientación adecuados. La sensibilidad de las agujas magnéticas no permitía utilizarlas como parte de un sistema de gobierno sin distorsionar su medida. Hubo que esperar al desarrollo de los girocompases para poder hacer las primeras pruebas de automatización de buques. En la década de 1910 se construyeron por fin los primeros sistemas de gobierno automático basados en un control de tipo proporcional que dieron buenos resultados en pequeños buques. Sin embargo, el comienzo de la guerra en 1914 interrumpió el desarrollo de los “giropilotos” , que no fue reanudado hasta 1921 ya de la mano de Minorsky.
2.2
Tipos de controladores
Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones, proporcional (P), integral (I), y derivativa (D).
2.2.1 Controlador P Un controlador proporcional (Kp) tendrá el efecto de reducir el tiempo de elevación y reducirá sin jamás eliminar, el error de estado estacionario.
Figura 1. Esquema de un controlador P.
2.2.2 Controlador I 6
Un controlador integral (Ki) tendrá el efecto de eliminar el error de estado estacionario, pero puede empeorar la respuesta transitoria [4].
Figura 2. Esquema de un controlador I.
2.2.3 Controlador D Un controlador derivativo (Kd) tendrá el efecto de incrementar la estabilidad del sistema reduciendo el sobrepico y mejorando la respuesta transitoria [4].
Figura 3. Esquema de un controlador D.
2.2.4 Controlador PI Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una acción de control distinta de cero. Con acción integral, un error pequeño positivo siempre nos dará una acción de control creciente, y si fuera negativa la señal de control será decreciente. Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en régimen estacionario siempre será cero
7
Figura 4. Diagrama de bloques de un controlador PI.
2.2.5 Controlador PD Esta acción tiene carácter de previsión, lo que hace más rápida la acción de control, aunque tiene la desventaja importante que amplifica las señales de ruido y puede provocar saturación en el actuador. La acción de control derivativa nunca se utiliza por sí sola, debido a que sólo es eficaz durante períodos transitorios. Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error de estado estacionario, añade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite un valor más grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisión en estado estable [4].
Figura 5. Diagrama de bloques de un controlador PD.
8
2.3.6 Controlador PID Está acción combinada reúne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales (P, I, D). [4]
Figura 6. Diagrama de un controlador PID.
2.3
Motor de corriente continúa
El motor de corriente continua es una máquina que convierte la energía eléctrica en mecánica, principalmente mediante el movimiento rotatorio. Está máquina de corriente continua es una de las más versátiles en la industria. Su fácil control de posición, paro y velocidad la han convertido en una de las mejores opciones en aplicaciones de control y automatización de procesos (Ver figura 7). Pero con la llegada de la electrónica su uso ha disminuido en gran medida, pues los motores de corriente alterna, del tipo asíncrono, pueden ser controlados de igual forma a precios más accesibles para el consumidor medio de la industria. A pesar de esto los motores de corriente continua se siguen utilizando en muchas aplicaciones de potencia (trenes y tranvías) o de precisión (máquinas, micromotores, etc.) La principal característica del motor de corriente continua es la posibilidad de regular la velocidad desde vacío a plena carga. Su principal inconveniente, el mantenimiento, muy caro y laborioso. Una máquina de corriente continua (generador o motor) se compone principalmente de dos partes, un estator que da soporte mecánico al aparato y tiene un hueco en el centro generalmente de forma cilíndrica. En el estator además se encuentran los polos, que pueden ser de imanes 9
permanentes o devanados con hilo de cobre sobre núcleo de hierro. El rotor es generalmente de forma cilíndrica, también devanado y con núcleo, al que llega la corriente mediante dos escobillas. También se construyen motores de CC con el rotor de imanes permanentes para aplicaciones especiales.
Figura 7. Motor cd.
2.4
Amplificador operacional
Como ya sabemos en electrónica, comúnmente los voltajes que se emplean en los circuitos son bajos, y se utilizan componentes electrónicos pequeños que no necesitan gran cantidad de voltaje, pero hay veces en que estos valores de corriente y voltaje necesitan ser aumentados, es decir es necesario aumentar su amplitud. En estos casos en que se necesita aumentar los voltajes de uso utilizaremos amplificadores operacionales, cuya función será aumentar el voltaje de salida de un circuito, esta amplificación se puede realizar con corriente alterna como con corriente continua, siempre y cuando su voltaje de entrada sea bajo. Además el aumento o ganancia de voltaje dependerá de las resistencias externas que el circuito tenga. En este caso, se utiliza un amplificador operacional LM741. El amplificador operacional puede ser utilizado como amplificador inversor y como amplificador no inversor, en este caso solo nos dedicaremos a realizar el amplificador operacional inversor.
CAPITULO 3 DISEÑO DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN 10
3.1
Implementación
Para poner en marcha el sistema, se consideran las siguientes configuraciones:
Entrada de referencia o comportamiento deseado ( r).
Comparador (c).
Amplificador de ganancia ajustable ( Ak ).
3.1.1 ETAPA 1: Entrada de referencia En los sistemas de control de lazo cerrado se espera que el proceso por controlar alcance un cierto valor de estado estable, una vez que se halla extinguido el régimen transitorio. Puesto que las formas de ondas de estado estable y de entrada son iguales, es necesario que el usuario introduzca una entrada que indique una referencia; en este caso una señal de tipo escalón (Ver figura 9).
Figura 9. Referencia de una señal constante positiva y una señal constante negativa.
3.1.2 ETAPA 2: Comparador Todo sistema susceptible de ser automatizado requiere de un sumador algebraico, el cual compara la entrada de referencia (r) con la salida del sistema ( y (t)), para que en el caso de que haya alguna diferencia entre dichas señales de error (Señal de error ≠ cero), el controlador dosifique la energía suministrada al proceso por medio del elemento final del control [2]. La puesta en marcha del comparador se indica en la figura 10.
11
Figura 10. Amplificador operacional LM741 conectado como sumador algebraico (comparador).
3.1.3 ETAPA 3: Amplificador de ganancia ajustable El hecho de llevar a cabo variaciones de ganancia es uno de los resultados más importantes de los sistemas retroalimentados, con lo que se logrará modificar las características de respuesta de los sistemas de control. El circuito mostrado en la figura 11 es un amplificador operacional conectado como amplificador inversor por lo tanto el voltaje de salida se apreciara con polaridad invertida [2].
Figura 11. Operacional en configuración de amplificador inversor.
Para corregir el signo negativo de la configuración anterior (figura 11), se debe ampliar otro amplificador inversor en cascada (figura 12), con ganancia unitaria [2].
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Figura 12. Control proporcional con ganancia ajustable. R1= 10kΩ R 2= 1kΩ y R3=100kΩ
3.1.4 ETAPA 4: Amplificador de potencia La variación de ganancia en el voltaje no tendrá la potencia necesaria para mover el motor de cd, por lo que será necesario colocar un amplificador de potencia. La figura 13, muestra el circuito amplificador de potencia conectado a la salida del conjunto de amplificadores operacionales [2].
Figura 13. Control proporcional (Kp) con ganancia ajustable y etapa de potencia anexada.
Para lograr una regulación automática de velocidad se deberá agregar un sensor cuya función será detectar el torque producido por el motor y generar un voltaje proporcional a dicho torque. Tal comportamiento corresponde a un tacómetro, y puede ponerse en marcha por medio de un motor de cd adicional, conectado al revés, este segundo motor debe tener características análogas al primero de ellos, la configuración resultante se observa en la figura 14.
13
Figura 14. Proceso por controlar y sensor.
Una vez que se han definido y puesto en marcha individualmente todos y cada uno de los elementos a considerar para formar una configuración de lazo cerrado, se procederá a llevar a cabo la conexión entre componentes con el propósito de obtener la configuración final.
3.2
Funcionamiento
Habrá que conectar la entrada de referencia con alimentación de +5 y -5 voltios (para dar mayor resolución a la entrada), de tal forma que el usuario logre ajustar la velocidad y dirección de giro resultante del sistema según sus necesidades. De esta manera, al retroalimentarla salida del tacómetro a la terminal 2 del comparador, se obtiene la configuración completa que se observa en la figura 15.
Figura 15. Sistema retroalimentado de control de velocidad. 14
3.3
Elementos a utilizar
1 Potenciómetro lineal de 10 kΩ
1 Potenciómetro lineal de 100 kΩ
3 Amplificadores operacionales LM741
1 Transistor NPN TIP 41c
1 Transistor PNP TIP 42c
4 Resistencias de 100 kΩ
2 Resistencias de 10 kΩ
1 Resistencia de 1 kΩ
2 Motores de imán permanente, 6 a 12 voltios, 1 ampere.
3.3.1 Selección de elementos constituidos Antes de iniciar con el diseño de un controlador es necesario que conozcamos muy bien la dinámica del proceso a controlar. A continuación haremos un estudio de los componentes del sistema.
Para obtener una señal de tipo escalón se obtiene mediante un potenciómetro de 10 kΩ al aplicar un voltaje de ±5 volts como se ilustra en la figura 16. El voltaje de salida es el voltaje de referencia (r) que se aplicara al sistema de control de velocidad.
Figura 16. Generación de una entrada de referencia constante.
Se utilizará el amplificador operacional LM741.
15
Como la variación de ganancia en el voltaje del amplificador proporcional no tendrá la potencia necesaria para mover el motor de cd, será necesario colocar un amplificador de potencia. Esto se logra con los dos transistores de potencia PNP y NPN (ver figura 18).
Figura 18. Identificación de terminales de los transistores de potencia.
Los motores con esas características nos servirán a que el proceso sea mas notable, ya que un motor con características inferiores se vera forzado a realizar el movimiento deseado y un motor con mayor capacidad se vera muy sobrado.
Figura 19. Identificación de las terminales del motor cd.
3.4
Modelado matemático
Figura 20. Diagrama de bloques del sistema a controlar.
16
3.4.1 Modelo matemático del motor cd
Figura 21. Diagrama electromecánico del motor cd
Características Eléctricas. LVK. - Ra-La - Vc+ Va =0 Despejando por medio de la Ley de Ohm
− − − + =0 = − + = 0
Se divide 1/L a para dejarlo en términos de I a’ (Corriente).
= − − +
Dónde: Velocidad constante, determinada por la densidad de flujo de los imanes. K v Wa Velocidad rotacional de la armadura.
Características Mecánicas. El torque de la carga mecánica del motor ( Tl), esta linealmente relacionado con el torque de la aceleración rotacional (Tw’) y el de la velocidad ( Tw). Te – Tw’ – Tw – TL = 0 Dónde: Torque electromecánico. Te Tw’ Torque debido a la aceleración rotacional del motor. 17
Tw Tl
Torque producido por la velocidad del motor. Torque de la carga mecánica. Tc = k tI a
Dónde: Torque constante. K t
= Dónde: Inercia del motor y equivalente a la carga mecánica. J Tw = B Wa Dónde: Coeficiente de amortiguamiento (fricción). B
Sustituyendo los datos anteriores. Te – Tw’ – Tw –TL = 0
− − = 0 − = − −
Se divide 1/J para dejarlo en términos de W a’ (Velocidad Angular).
= − −
Función de transferencia.
() = () − () − 1 () () = () − () − 1 ()
Como se encuentra la entrada en sIa (s), se pasara sWa (s) a sIa (s). 18
() = () − [ () − () − 1 ()] + 1 () 3.4.2 Modelo matemático del tacómetro La dinámica del tacómetro se puede representar por la ecuación:
= Ө(t) = w(t) Dónde: et (t)
= Voltaje de salida.
Ө(t)
= Desplazamiento del rotor en radianes.
w(t)
= Velocidad del rotor en rad/s.
k t
= Constante del tacómetro.
El valor de k t está dado como un parámetro de catálogo en volts por 1000 rpm (v/krpm). La función de transferencia de un tacómetro se obtiene al tomar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuación anterior. El resultado es:
() = () Ө (s) En donde Et (s) y Ө(s) son las transformadas de Laplace de et (t) y Ө(t), respectivamente.
3.4.3 Modelo matemático del valor de K (Ganancia ajustable)
() = = − 32 Donde: R2 = 1 kΩ
3.5
R3 = 100 kΩ
Resultados
El principal objetivo que se tuvo al realizar está investigación fue comprobar el correcto funcionamiento del controlador de velocidad con un controlador proporcional y simular su salida en Matlab 19
Una vez confirmado su funcionamiento se prosiguió a adaptarle la parte integral (ver figura 2) y la parte derivativa (ver figura 3) al controlador proporcional para finalmente quedar como en la figura 22, para demostrar su comportamiento obtenido de la simulación en Matlab, comportamiento que se muestra en la figura 23.
Figura 22. Diagrama eléctrico del acoplamiento de los controladores (P-I-D).
A continuación, en la figura 23, se muestran las características de los diferentes tipos de controlador.
Figura 25. Efectos de cada uno de los controladores utilizados.
20
CAPITULO 4 COSTOS Y PRESUPUESTO
Tipo
Código
Cantidad
Precio unitario [Bs]
Precio Total [Bs]
Circuitos integrados
LM741
3
4
12
TIP41
1
4
4
TIP42 Fijas Potenciómetro
1 7 2
4 0.25 4
4 2.75 8
Condensadores
Cerámicos
2
1
2
Otros
Borneras Zócalo Conectores Placa
2 3 1 1
2 4 3.5 10
4 12 3.5 10
TOTAL
61.5
Semiconductores
Resistencias
CONCLUSIÓNES
Conclusión general
Se concluye con base al desarrollo de la investigación realizada que el implementar un controlador retroalimentado a la planta, permite modificar satisfactoriamente la respuesta transitoria del sistema tal que cumpla con restricciones específicas.
Los valores del modelo matemático del controlador son valores ideales, por lo que al diseñar el circuito la respuesta de salida no será la misma que la obtenida en un simulador matemático, son embargo la señal converge al valor deseado cumpliendo con las restricciones del sistema idealizado.
Por falta de tiempo no logramos capturar la imagen de salida del prototipo, pero cabe mencionar que esté funcionó a la perfección después de varias pruebas, ya que no se tenía a la mano todo el material necesario y en algunos casos se nos llegaron a dañar los dispositivos por fallas en las conexiones. 21
BIBLIOGRAFÍA [1] Ogata, K. (1998) Ingeniería de Control Moderna, Tercera Edición, México, Prentice Hall [2] Kuo, Benjamín (1996) Sistemas de Control Automático, Séptima Edición México, Prentice Hall [3] Lee, T. H.- Historia de los Operacionales: del uA702 hasta operacionales cmos Rail-to-rail y realimentados en corriente. [4] Mazzone, Virginia (2002) - Controladores PID [5] http://www.automatas.org/fabricante.htm [6] http://www.poloestable.wordpress.com/2009/11/02/origenes-del-pid/ [7] http://html.rincondelelectronico2010.com/amplificadores-operacionales_5.html
22
