Cinemática de Partículas
1.1 Introducción 1.2 Movimiento rectilíneo 1.2.1 Movimiento uniforme 1.2.2 Movimiento uniformemente variado 1.2.2.1 Caída libre de los cuerpos 1.3 Movimiento de varias partículas 1.3.1 Movimiento relativo 1.3.2 Movimiento dependiente 1.4 Movimiento curvilíneo 1.4.1 Ecuaciones de movimiento curvilíneo 1.4.2 Tiro parabólico 1.4.3 Componente tangencial y normal 1.4.4 Componente radial y transversal
Cinemática de Partículas
1.2 Movimiento rectilíneo Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t . Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
Posición La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t) .
Desplazamiento Supongamos ahora que en el tiempo t , el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x' . Decimos que móvil se ha desplazado ∆ x=x'-x en el intervalo de tiempo ∆ t=t'-t , medido desde el instante t al instante t' .
Velocidad La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por
Para determinar la velocidad en el instante t , debemos hacer el intervalo de tiempo tan pequeño como sea posible, en el límite cuando ∆ t tiende a cero.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t . Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio
∆
t
Cinemática de Partículas
1.2 Movimiento rectilíneo Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t . Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
Posición La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t) .
Desplazamiento Supongamos ahora que en el tiempo t , el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x' . Decimos que móvil se ha desplazado ∆ x=x'-x en el intervalo de tiempo ∆ t=t'-t , medido desde el instante t al instante t' .
Velocidad La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por
Para determinar la velocidad en el instante t , debemos hacer el intervalo de tiempo tan pequeño como sea posible, en el límite cuando ∆ t tiende a cero.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t . Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio
∆
t
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x x=5·t 2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre: • • • • • •
2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s. Calcula la velocidad en el instante t =2 =2 s.
En el instante t =2 =2 s, x=21 m Δ x=x'-x t ’ (s) x’ (m)
Δt=t'-t m/s
3 2.1 2.01 2.001 2.000 1 ...
46 23.05 21.2005 21.020005 21.00200005 ...
25 1 2.05 0.1 0.2005 0.01 0.020005 0.001 0.00200005 0.0001 ...
... 0
25 20.5 20.05 20.005 20.0005 ... 20
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δ t→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t =2 =2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero. Calculamos la velocidad en cualquier instante t • •
• •
La posición del móvil en el instante t es x=5t 2+1 La posición del móvil en el instante t +∆ t es =5(t +∆ t )2+1=5t 2+10t ∆ t +5 +5∆ t 2+1 x' =5( El desplazamiento es ∆ x= x'-x=10t ∆ t +5 +5∆ t 2 La velocidad media < v> es
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.
En el instante t =2 s, v=20 m/s
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v' . Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad ∆ v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, ∆ t=t'-t .
La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo ∆ t tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t 3-4t 2+5 m. Hallar la expresión de • •
La velocidad La aceleración del móvil en función del tiempo.
Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t 0 y t , mediante la integral definida.
El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt , o en el intervalo dt . El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t 0 y t .
En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t 0 y t , el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta. Hallamos la posición x del móvil en el instante t , sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t 3-4t 2 +5 m/s. Si en el instante t 0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.
Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t 0 y t , a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t , podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.
En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t , o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior. Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t 0, podemos calcular la velocidad v en el instante t .
Ejemplo:
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t 2 m/s2. Sabiendo que en el instante t 0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son
1.2.1 Movimiento uniforme Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando
o gráficamente, en la representación de v en función de t .
Habitualmente, el instante inicial t 0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan
1.2.2 Movimiento uniformemente variado
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t 0 y t , mediante integración, o gráficamente.
Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t 0 y t , gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicial t 0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0
1.2.2.1 Caída libre de los cuerpos Para entender el concepto de caída libre de los cuerpos, veremos el siguiente ejemplo: Si dejamos caer una pelota de hule macizo y una hoja de papel, al mismo tiempo y de la misma altura, observaremos que la pelota llega primero al suelo. Pero, si arrugamos la hoja de papel y realizamos de nuevo el experimento observaremos que los tiempos de caída son casi iguales. El movimiento vertical de cualquier objeto en movimiento libre, para el que se pueda pasar por el otro la resistencia del aire, se resume entonces mediante las ecuaciones: a). v = -gt + v0 b). vm = (vo + v)/2 c). y = -0.5 gt² + vo t + y0 d). v²= -2gt(y - y0 ) Trayectoria. Es la sucesión de puntos por los que pasó el móvil en su recorrido y su valor en el Sistema Internacional es esa distancia, medida sobre la trayectoria, en metro. Es el recorrido total. Posición. Supuestos unos ejes de coordenadas en el punto de lanzamiento, se llama posición a la ordenada (coordenada en el eje y) que ocupa en cada instante el móvil. Desplazamiento. Restando de la ordenada de la posición la ordenada del origen tenemos el desplazamiento. Se representa por un vector con todas las características del mismo: modulo, dirección, sentido, punto de aplicación
1.3 Movimiento de varias partículas
1.3.1 Movimiento relativo Cuando varias partículas se mueven independientemente a lo largo de la misma línea, pueden escribirse ecuaciones de movimiento independiente para cada partícula. Siempre que sea posible, el tiempo debe registrarse desde el mismo instante inicial para todas las partículas y los desplazamientos deben medirse a partir del mismo punto de referencia y en la misma dirección.
Ejemplo 1 Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s. •
•
• •
Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba). Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d =100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O. •
Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es c+v, es decir de 7 m/s.
•
Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es c-v, es decir de -1 m/s.
El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t 1=d/(v+c) El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t 2=d/(v-c)
El tiempo total es
Con los datos del problema t =800/7=114.3 s.
Ejemplo 2 En esta sección el barco atraviesa el río. Pueden ocurrir dos casos: •
•
Que la velocidad del barco v respecto de la corriente sea mayor que la de la corriente c Que la velocidad del barco v respecto de la corriente sea menor que la de la corriente c
Primer caso: v>c
Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=4 m/s. •
• •
¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la orilla opuesta enfrente de O? Calcular la velocidad V del bote respecto de tierra. Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d =100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.
El vector velocidad V del barco respecto de tierra debe de apuntar hacia el norte. El resultado de la suma V=v+c es j=(v·cosθ i+v·senθ j )+ci V
o bien, 0=c+v·cosθ V=v·senθ • •
•
El ángulo θ se calcula a partir de la primera ecuación cosθ=-c/v . La velocidad del barco respecto de tierra V se calcula a partir de la segunda ecuación, o bien, como el cateto V del triángulo rectángulo formado por la hipotenusa v y el otro cateto c.
El viaje de vuelta es similar al viaje de ida. El tiempo total de viaje será
Con los datos del problema, • • •
La velocidad del bote respecto de tierra es de . El ángulo que forma la proa del bote con la dirección este-oeste es θ =138.6º. El tiempo total de viaje será t =2·37.6=75.6 s
Segundo caso: v
Cuando la velocidad del barco v (respecto de la corriente) es menor que la velocidad de la corriente c, no es posible que el barco atraviese el río sin desviarse.
La velocidad del barco respecto de tierra es V=v+c V=(v·cosθ i+v·senθ j)+ci=(c+v·cosθ ) i+v·senθ j
El tiempo t que tarda en cruzar el río de anchura d y la desviación x a lo largo de la orilla es
La desviación mínima x se produce para el ángulo
El tiempo t que tarda en el viaje de ida para el ángulo de mínima desviación θ m es
El tiempo es mínimo, para el ángulo 2 θ m=270, θ m=135º El tiempo de viaje de ida es mínimo, para aquellos botes que se muevan con velocidad v=-c·cos135 haciendo un ángulo θ m=135º con la dirección de la corriente. El tiempo de viaje y la desviación x es
Ejemplo
Un río fluye hacia el este con velocidad de c=4 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=3 m/s. El ángulo que hace que la desviación x sea mínima es θ m=138.6º, la desviación mínima es xm=88.2 m, el tiempo de viaje es t =50.4 s Si la velocidad del bote es v=-c·cos135, , el ángulo que produce la desviación mínima es θ m=135º, la desviación mínima es xm=100 m, el tiempo de viaje de ida es t m=50.0 s
Ejemplo 3 Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el norte θ =90º con velocidad relativa al agua de v=4 m/s. • •
• •
•
Calcular la velocidad del bote respecto de tierra Si el río tiene una anchura de d =100 m, calcular el tiempo necesario para cruzarlo. ¿Cuál es la desviación hacia el este del bote cuando llega a la otra orilla del río? ¿Cómo debe dirigirse el barco para que una vez en el punto P en la orilla opuesta regrese al punto O de partida? Calcular el tiempo que tarda en volver al punto de partida
La velocidad del bote respecto de tierra V es la suma vectorial de la velocidad del bote respecto del agua v (cuando el agua está quieta) y la velocidad de la corriente de agua respecto de tierra c. El resultado de la suma V=v+c es
V senα i+ V cosα j=ci+v j El módulo del vector resultante V es
y forma un ángulo α con la dirección norte-sur
• •
El tiempo que tarda en el viaje de ida es t 1=d/v, La desviación hacia el este es x=c·t 1=c·d/v . O bien, en el triángulo rectángulo de la figura tenemos que x=d ·tanα=d·c/v.
Con los datos del problema •
• •
La velocidad del barco respecto de tierra es V =5 m/s y su orientación respecto de la dirección norte-sur es α=36.9º. El tiempo que tarda en cruzar el río es t =25 s. El desplazamiento hacia el este del barco al llegar a la otra orilla es x=75 m.
La siguiente pregunta ya no es tan fácil. ¿Con qué ángulo debe orientarse la proa del barco para que una vez en el punto P en la orilla opuesta regrese el punto O de partida?.
Como puede verse en la figura tenemos que calcular el ángulo β de la dirección de la velocidad v del barco respecto de la corriente para que la velocidad del barco respecto de tierra V forme un ángulo α (calculado anteriormente) con la dirección norte-sur. El resultado de la suma V=v+c es
-V·senα i+ -V·cosα j=-v·sen β i-v·cos β j +c i o bien,
V ·senα=v·sen β-c V ·cosα= v·cos β con tanα=c/v No resulta difícil demostrar que β=2α. Para ello, se han de emplear las relaciones trigonométricas conocidas
El tiempo que tarda el barco en regresar al punto de partida O es
Para demostrarlo, se ha empleado la relación trigonométrica 1+tan 2α=1/cos2α El tiempo total de viaje
Con los datos del problema tenemos •
•
El ángulo que forma la proa del barco con la dirección este-oeste es θ =90+ β=90+2α=163.8º El tiempo de viaje de de vuelta t 2=89.3 s y el total t =25+89.3=114.3 s
1.3.2 Movimiento dependiente
Si varias partículas se mueven simultáneamente y la posición de una de ellas depende de otra o de otras partículas, entonces están sujetas a movimiento dependiente Por ejemplo, la posición del cuerpo B en la siguiente figura, depende de la posición del cuerpo A.
La relación entre las coordenadas de posición de ambos cuerpos, se obtiene como sigue: Considerando la longitud de la cuerda ABCDEF como constante y observando que las porciones de cuerda BC y DE son también constantes, se puede escribir: AB + CD + EF = k Observando también que: AB = XA + una constante CD = X A + dos cantidades constantes y EF = X G + una constante. Se puede escribir: XA + XG + XG = k XA + 2XG = k
Si la relación entre las coordenadas de posición XA + 2XG = k se deriva dos veces respecto al tiempo, se obtienen las ecuaciones de velocidad y aceleración para el sistema: VA + 2VG = 0 aA + 2aG = 0
Estas ecuaciones obtenidas solo son válidas para el sistema mostrado; para otros sistemas tendrán que deducirse las ecuaciones correspondientes de manera similar al mostrado en este ejemplo.
1.4 Movimiento curvilíneo Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:
1.4.1 Ecuaciones de movimiento curvilíneo
Vector posición r en un instante t .
Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'. Diremos que el móvil se ha desplazado ∆ r=r’-r en el intervalo de tiempo ∆ t=t'-t . Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.
Vector velocidad El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento ∆ r y el tiempo que ha empleado en desplazarse ∆ t .
El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P 1 cuando se calcula la velocidad media entre los instantes t y t 1.
El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P. En el instante t , el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.
Vector aceleración
En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'. El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia ∆ v=v’-v.
Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad ∆ v y el intervalo de tiempo ∆ t=t'-t , en el que tiene lugar dicho cambio.
Y la aceleración a en un instante
Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son
La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z. Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados. Ejemplo 1:
Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t 3-3t 2, y=t 2-2t +1 m. Calcular: •
Las componentes de la velocidad en cualquier instante.
v x=6t 2-6t m/s v y=2t -2 m/s •
Las componentes de la aceleración en cualquier instante.
a x=12t m/s2 a y=2 m/s2 Ejemplo 2:
Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en función del tiempo vienen dadas por las expresiones: v x=4t 3+4t , v y=4t m/s. Si en el instante inicial t 0=0 s, el móvil se encontraba en la posición x0=1, y0=2 m. Calcular: •
•
Las componentes de la aceleración en cualquier instante
Las coordenadas x e y, del móvil, en función del tiempo.
Dada la velocidad v x=4t 3+4t del móvil, el desplazamiento x-1 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral
x=t 4+2t 2+1 m Dada la velocidad v y=4t del móvil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral
y=2t 2+2 m Ejemplo 3:
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s 2. Calcular: La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima • Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo. •
•
1. Primero, se establece el origen en el punto del lanzamiento y los ejes X e Y apuntando hacia arriba. 2. Se determinan los signos de las velocidades iniciales v0x=0 y v0y=20 y de la aceleración a y=10. 3. Se escriben las ecuaciones del movimiento
•
Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X
a x=2 v x=2t x=2t 2/2 •
Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de caída de los cuerpos)
a y=-10 v y=20+(-10)t y=20t +(-10)t 2/2 1. El punto de impacto tiene de coordenadas x desconocida e y=-50 m. Dado y se obtiene el valor de t y luego el valor de x.
y=-50 m t =1.74 s x=3.03 m 2. La altura máxima se obtiene cuando la velocidad vertical es cero
v y=0 m/s t=2 s y=20 m La altura desde el suelo es 20+50=70 m. 3. El móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de altura sobre el suelo (10 sobre el origen), ya que su trayectoria corta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m. La ecuación de segundo grado tiene dos raíces 10=20t +(-10)t 2/2 t 1=0.59 s y t 2=3.41 s.
1.4.2 Tiro parabólico
dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico: 1. 2. donde: es el módulo de la velocidad inicial. es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal. es la aceleración de la gravedad. La velocidad inicial se compone de dos partes: que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial. En lo sucesivo que se denomina componente vertical de la velocidad inicial. En lo sucesivo Se puede expresar la velocidad inicial de este modo: : [ecu. 1] Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.
Ecuación de la aceleración La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:
que es vertical y hacia abajo de un cuerpo circular.
Ecuación de la velocidad La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:
La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:
Derivación de las ecuación de la velocidad
Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.
Ecuación de la posición
Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición pude ser encontrada integrando la siguiente ecuación diferencial:
La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:
Derivación de las ecuación de la posición
La trayectoria del movimiento parabólico está formada por la combinación de dos movimientos, uno horizontal de velocidad constante, y otro vertical uniformemente acelerado; la conjugación de los dos da como resultado una parábola.
Movimiento parabólico con rozamiento
Rozamiento -k w v. Trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional a la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal β = 1,5, β = 2,5, β = 2,5 y β = 1,5, desde una altura h = 7δ
La presencia en el medio de un fluido, como el aire, ejerce un fuerza de rozamiento que depende del módulo de la velocidad y es de sentido opuesto a esta. En esas condiciones, el movimiento de una partícula en un campo gravitatorio uniforme no sigue estrictamente una parábola y es sólo casi-parabólico. En cuanto a la forma del rozamiento se distinguen dos casos.
Movimiento a baja velocidad Para un fluido en reposo y un cuerpo moviéndose a muy baja velocidad, el flujo alrededor del cuerpo puede considerarse laminar y, en ese caso, el rozamiento es proporcional a la velocidad. La ecuación de la trayectoria resulta ser:
donde: es la altura inicial desde la que cae el cuerpo. son dos parámetros que definen el problema en términos de las magnitudes del problema.
son la masa del cuerpo que cae, la aceleración de la gravedad, el coeficiente de rozamiento y la velocidad horizontal inicial. Para alturas suficientemente grandes el rozamiento del aire hace que el cuerpo caiga según una trayectoria cuyo último tramo es prácticamente vertical, al ser frenada casi completamente la velocidad horizontal inicial.
Rozamiento -C wv 2. Trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional a la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal β = 1,5, β = 2,5, β = 3,5 y β = 1,5, desde una altura h = 7δ
Movimiento a velocidad moderada o grande [editar] A velocidades moderadamente grandes o grandes, o cuando el fluido está en movimiento, el flujo alrededor del cuerpo es turbulento y se producen remolinos y presiones que generan una fuerza de frenado proporcional al cuadrado de la velocidad. En lugar de las ecuaciones anteriores, más difíciles de integrar, se puede usar en forma aproximada las siguientes ecuaciones:
Para esas ecuaciones la trayectoria viene dada por:
Donde: es la altura inicial desde la que cae el cuerpo.
son dos parámetros que definen el problema en términos de las magntiudes del problema. son la aceleración de la gravedad, el coeficiente de rozamiento y la velocidad horizontal inicial.
1.4.3 Componente tangencial y normal
Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma. Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.
•
Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.
•
Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.
•
Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.
•
Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.
•
Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at =a cosθ y an=a senθ
Ejemplo:
El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5) j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t =2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.
1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración
v x =3t -2 m/s, a x=3 m/s2 v y=6t 2-5 m/s, a y=12t m/s2 2. Los valores de dichas componentes en el instante t =2 s son
v x =4 m/s, a x=3 m/s2 v y=19 m/s, a y=24 m/s2 3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración
4. Calculamos el ángulo θ que forman el vector velocidad y el vector aceleración • •
Por el producto escalar: v·a=v·a·cosθ Calculando el ángulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos ángulos
5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración
at =a·cosθ =24.1 m/s2 an=a·senθ =2.0 m/s2 Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v. v·a=va·cosθ=v·at
La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial at
1.4.4 Componente radial y transversal Radio de curvatura
En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t . Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t , la dirección del vector velocidad v+dv en el instante t+dt . Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t , y el centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ.
En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector velocidad cambia un ángulo dθ . que es el ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ, tal como se aprecia en la figura.
Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido ut=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos
El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut, es la componente tangencial de la aceleración
El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección normal un. Como vemos en la figura las componentes del vector unitario ut son ut=cosθ ·i+senθ ·j
