CINEMATICA Y DINAMICA 1
Unidad 1.
Ing. Roberto Reyes A. -Cinemática y Dinámica- U1
DINAMICA: ES
LA PARTE DE LA MECÁNICA QUE SE ENCARGA DEL ANÁLISIS DE LOS CUERPOS EN MOVIMIENTO .
Cinemática
Dinámica Cinética
Es el estudio de la geometría en movimiento, relaciona el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo Estudia la relación existente entre las fuerzas, actuando sobre un cuerpo (masa y movimiento 2
Movimiento Rectilíneo. Cambio de posición lineal de una partícula con respecto a un sistema de referencia. Cinemática rectilínea. La cinemática de partícula, se caracteriza al especificar, en cualquier instante de tiempo, su posición, velocidad y aceleración. Se define completamente, sabiendo: 1.
Coordenada de posición.
2.
Velocidad (instantánea).
3.
Aceleración (instantánea).
3 Ing. Roberto Reyes A. -Cinemática y Dinámica- U1
Coordenada de Posición. En cualquier tiempo t del movimiento de una partícula, esta ocupara una posición P sobre la recta. Para definirla se escoge un punto de referencia O se mide la distancia (+/-) OP. La distancia x con un signo apropiado define la posición de la partícula, las unidades son en (m, ft )
ejemplo: x=+5m, x´=-2m.
4 Ing. Roberto Reyes A. -Cinemática y Dinámica- U1
Desplazamiento. Cambio de posición de una partícula, siendo igual al valor de la posición final P´menos la posición inicial P . Las unidades son en (m, ft )
5 Ing. Roberto Reyes A. -Cinemática y Dinámica- U1
Velocidad Promedio. Si la partícula se desplaza una distancia Δx, la vel. Promedio será:
(m/s, ft/s)
Velocidad instantánea. Se escogen valores de Δt y Δx, mas pequeños.
(m/s, ft/s) 6
Rapidez Promedio. Siempre es un escalar positivo y es la distancia total recorrida por una partícula S T entre el intervalo de tiempo Δt. I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
(m/s, ft/s)
Aceleración Promedio. Conociendo la velocidad de la partícula en dos puntos, la aceleración promedio en Δt será:
(m/s2 , ft/s2 )
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Aceleración instantánea. Se escogen valores de Δt y Δv, mas pequeños.
De la definición de vel instantánea, despejando dt Aceleración en función del desplazamiento y la velocidad.
I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Ejemplo. Un tractor se mueve en línea recta desde el reposo, 7 seg después pasa por el punto P1 que esta a 10 m del origen y 4 seg después pasa por el P2 a 18 m del origen, 8 seg después alcanza su distancia máxima en P 3 a 28m del origen, 19 seg después, finalmente se detiene en P 4 a 5m del origen. Calcular: a) Coordenadas de posición en para los cuatro puntos. b) Desplazamiento entre P1 y P2. c) Desplazamiento entre P3 y P4. d) La distancia total recorrida. e) La velocidad promedio desde P1 hasta P3. f) La velocidad promedio entre P3 y P4. g) La rapidez promedio.
I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Ejemplo. Una camioneta se desplaza en línea recta de modo que durante un corto tiempo su velocidad está determinada por v= (3t 2 – 2t) ft/s. Determine su posición y aceleración cuando t=3 seg. Suponga que en t=0, la camioneta esta en el origen. I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Ejemplo. Un guepardo se encuentra a 20 m de un autobús de turistas. Al tiempo t=0 el felino se prepara para atacar a un antílope que se encuentra a 50 m de la camioneta, emprende el ataque y durante los 2 primeros segundos del ataque, la posición del felino varia con respecto a la ecuación, x= (20 + 5 t 2 ) m, calcular: a) Desplazamiento del felino entre 1 y 2 seg. b) La velocidad promedio, en el mismo intervalo. c) La velocidad instantánea en 1 y 2 seg. d) La aceleración promedio, en el mismo intervalo. e) La aceleración instantánea en 1 y 2 seg.
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MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN VARIABLE Cuando el movimiento de la partícula es variable, posición, velocidad y aceleración, no pueden describirse mediante una sola función matemática continua, se requieren una serie de funciones para especificar su movimiento en diferentes intervalos. Características: Movimiento
Rectilíneo. Aceleración Variable. Se requieren varias funciones para especificar su movimiento en diferentes intervalos. Es conveniente especificar el movimiento como una grafica. Si se puede trazar una grafica que relacione dos de las variables (a, v, x, t), en base a esta se construyen gráficas subsecuentes que relacionen otras dos variables. Recuerden que las variables están relacionadas por las relaciones diferenciales 12
Graficas. Las formulas fundamentales tienen un significado geométrico.
Esta expresa que la velocidad en cualquier instante, es igual a la pendiente de la curva de posición x-t . A partir de la grafica de po sición se c o n s t r u y e l a d e v e lo c i d a d .
I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Esta expresa que la aceleración en cualquier instante, es igual a la pendiente de la curva de velocidad v-t . A p artir de la grafica de velocidad s e con stru ye la de aceleración.
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Graficas en función de t, x-t, v-t y a-t . Esta expresa que el área medida bajo la curva a-t desde t1 hasta t2, es igual al cambio de v durante ese intervalo. A
I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
partir de la gráfica d e velocid ad v -t, se co ns truy e la de po sición x-t.
Esta expresa que el área medida bajo la curva v -t desde t1 hasta t2, es igual al cambio de posición x durante ese intervalo. A p arti r d e la g ráfic a de ac elerac ión a-t, se con struy e la de velocidad v -t.
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Graficas en función de x, v-x , y a-x . Si se conoce la grafica v -x , la aceleración a en cualquier posición x se determina por medio de la ecuación.
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Graficas en función de x, v-x , y a-x . Si se conoce la grafica a-x , la velocidad v en cualquier posición x se determina por la integral de la ecuación. D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ejemplo. Una bicicleta rueda a lo lardo de una carretera recta de modo que la gráfica de la fig describe su posición. a) Construya las gráficas v-t y a-t en el intervalo 0≤ t ≤ 30 seg. b) Determine la velocidad en t=20 seg. c) Determine la aceleración en t=5 seg.
I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Ejemplo. El automóvil de la figura arranca del reposo y viaja a lo largo de una pista recta de modo que acelera a 10 m/s 2 , durante 10 seg, y luego desacelera a 2 m/s2 . Trace las gráficas de v-t, s-t y determine: a) El tiempo t necesario para desacelerar el automóvil. b) La distancia que recorrió al automóvil. I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Ejemplo. La gráfica v -s describe el movimiento de una motocicleta. Trace la gráfica a-s del movimiento y determine el tiempo requerido para que la motocicleta alcance la posición de 400 ft.
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Movimiento Rectilíneo Uniforme. Es un tipo de movimiento en línea recta, donde la aceleración de la partícula a=0 para cualquier valor de t ; realiza desplazamientos iguales en tiempos iguales. (Caso especial del MRUA). Si integramos la ecuación de la definición de velocidad, obtendremos una ecuación que nos defina la posición de la partícula.
x 0 , t 0
x , t
I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Ejemplo.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado. En este tipo de movimiento la aceleración es constante a=cte. Integrando ecuaciones de la definición de velocidad y de aceleración, obtendremos ecuaciones que nos relacionen la aC , v , x y t. Velocidad como una función de tiempo.
I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Posición como una función de tiempo.
Velocidad
como una función de posición.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ejemplo. Un motociclista viaja rumbo al este hacia una ciudad pequeña, después de pasar el límite de entre ciudades, su aceleración es constante e igual a 4 m/s 2 . Al tiempo t=0, se encuentra a 5 m del límite de la ciudad moviéndose a una velocidad de 15 m/s. Determinar: a) Su posición y velocidad dos seg después. b) Su posición al alcanzar una velocidad de 25 m/s. D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ejemplo. Una camioneta viaja con una velocidad constante e igual a 15 m/s, cuando pasa por una zona escolar, donde la velocidad máxima permitida es de 10 m/s, al momento de entrar a la zona escolar, un policía en su moto se da cuenta que la camioneta rebaza el límite de velocidad y del reposos comienza su persecución con una aceleración constante e igual a 3 m/s 2 , determine: D I n i a) El tiempo que el policía se lleva para alcanzar a la camioneta. n g á . m R b) La velocidad del policía cuando lo alcanza. i o c b a e - r U t c) La distancia que recorre la camioneta y el policía. o 1 R
e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Caída Libre. a= cte = g = 9.81 m/s2 Los cuerpos en caída libre, son el ejemplo mas conocido de movimiento con aceleración casi constante, están bajo la influencia de la atracción gravitacional de la tierra. Aristóteles (siglo IV A.C.) pensaba que erróneamente que los cuerpos más pesados, caían con mayor rapidez que los livianos. Galileo afirmó que los cuerpos caían con aceleración constante e independiente de su peso. D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ejemplo.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ejemplo. Usted lanza una moneda verticalmente hacia arriba desde la azotea de su casa. La moneda abandona su mano a la altura de un barandal a una veloci dad de 15 m/s, al bajar libra apenas el edificio, Determine: a) La posición y velocidad para 1 y 4 seg. b) La velocidad cuando la moneda esta a 5 m por encima del barandal y el instante en que se alcanza. c) La altura máxima alcanzada por la moneda y el instante en que se alcanza. d) La aceleración de la moneda en el punto más alto.
I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Ejemplo. Una partícula se mueve en línea recta, su posición esta definida por la ec. x=6t 2 – t 3 donde t está en seg y y x en m. Grafique su posición, velocidad y aceleración.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Movimientos Dependientes. En algunos problemas el movimiento de una partícula dependerá del movimiento correspondiente de otra partícula. Ocurren cuando las partículas están interconectadas por cuerdas no extendibles y poleas. Sera del tipo rectilíneo.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Si el bloque A se mueve hacia abajo, este provoca que el bloque B se desplace hacia arriba. Para establecer las ecuaciones que describen este movimiento hay que considerar lo siguiente. 1. Se establecen coordenadas de posición de cada bloque 2. Se establece un plano de referencia y un punto fijo O. 3. Se medirá a lo largo de cada plano inclinado en la dirección del movimiento de cada bloque. D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
4.Son positivas del (Datum) al bloque (C a A y D a B). 5.Si la longitud de la cuerda es l, las coordenadas de posición están relacionadas por la ecuación:
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Si la longitud de la cuerda es l, las coordenadas de posición están relacionadas por la ecuación:
Si derivamos con respecto al tiempo y se toma en cuenta que, si l y l CD son constante, y s A y sB miden segmentos que cambian de longitud D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ejemplo.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ejemplo. Determine la rapidez del bloque A de la siguiente figura, si el bloque B tiene una rapidez hacia arriba de 6 ft/s.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ejemplo. Determine la rapidez del bloque A mostrado en la fig. si el bloque B tiene una rapidez hacia arribe de 6 ft/s.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ejemplo. Determine la rapidez del bloque B mostrado en la fig. si el bloque A tiene una rapidez hacia arribe de 2 m/s. I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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DINAMICA
I. Dinámica de las Partículas.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
DEFINICIÓN: ES LA PARTE DE LA MECÁNICA QUE SE ENCARGA DEL ANÁLISIS DE LOS CUERPOS EN MOVIMIENTO.
Cinemática
Es el estudio de la geometría en movimiento, relaciona el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo
Dinámica Cinética
Estudia la relación existente entre las fuerzas, actuando sobre un cuerpo (masa y movimiento
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
CONCEPTOS Fuerza. Es la acción que un cuerpo, puede ser capaz de modificar el estado de movimiento o reposo de otro cuerpo, o de deformarlo. Fuerza externa. Son las fuerzas a las que se somete un cuerpo por un cuerpo diferente. Fuerzas internas. Una parte de un cuerpo esta sometida a una fuerza, por otra parte del mismo cuerpo.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Fuerza de contacto. Es aquella fuerza que implica el contacto entre dos o mas cuerpos. Fuerza a distancia. Es aquella en la cual los cuerpos se someten a fuerzas en donde no hay contacto. La fuerza de gravedad, fuerza magnética y la fuerza eléctrica son ejemplos.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ley de la Gravitación Universal. Dos partículas de cuerpos cualesquiera tienen una fuerza de atracción mutua actuando entre ellos.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
1ra. Ley de newton. Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero la partícula permanecerá en reposo o se moverá con velocidad constante en una línea recta a=0. Cuerpo en equilibrio. I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
2da. Ley de Newton. La aceleración de una partícula es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre ella y tiene dirección y el sentido de dicha fuerza.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Masa. Es una magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo. Peso. Es una magnitud vectorial, la cual define como la fuerza de un cuerpo actúa sobre un punto de apoyo debido a la atracción de este cuerpo por la fuerza de gravedad. I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Nota: La masa es una cantidad absoluta, el peso depende de donde se mida
Ecuación de movimiento Vectorial. Cuando mas de dos fuerzas actúan sobre una partícula la fuerza resultante se determina mediante la suma vectorial de todas las fuerzas.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Nota: Es aplicable bajo un marco de referencia inercial, o sea que no gira y esta fijo o
Ecuación de Movimiento: Coordenadas Rectangulares. Cuando la partícula se mueva en el espacio, la ecuación de movimiento puede expresarse en forma de componentes.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
EJEMPLO. Un velero para hielo descansa sobre la superficie horizontal sin fricción. Sopla un viento constante hacia el este, de modo que, 4 seg después de soltarse el velero, adquiere una velocidad de 6 m/s. Determine la fuerza que el viento ejerce, si la masa del velero y del tripulante es de 200 kg. I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo. Del ejemplo anterior, supongamos que, una vez que el velero comienza a moverse, su posición en función del tiempo es x = (1.2 t 2 – 0.2 t 3 ) m Determine a) La fuerza que el viento ejerce sobre el velero, para t=3 seg. I n g . b) En que instante de tiempo la fuerza es cero R o b e c) En que intervalos de tiempo la fuerza es positiva r t o R e d) En que intervalos de tiempo la fuerza es negativa y
e s A r c e D i n á m i c a U 1
EJEMPLO Del ejemplo anterior suponga que el viento sopla en forma constante en dirección +x, tiene una aceleración de 1.5 m/s 2 Existe ahora una fuerza de fricción horizontal constante de 100 N que se opone al movimiento del velero. Determine la fuerza que el viento debe ejercer sobre el velero, la masa del velero y del tripulante es de 200 kg.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
EJEMPLO Un elevador y su carga tienen masa total de 800 kg y originalmente esta bajando a 10 m/s, se le detiene con una aceleración constante en una distancia de 25 m. Calcule la tensión T del cable que soporta el elevador.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
EJEMPLO Una mujer de 50 kg se para en una bascula dentro del elevador del ejemplo anterior. Que peso marca la bascula.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
EJEMPLO Un tobogán cargado de estudiantes en vacaciones se desliza por una larga cuesta nevada. La pendiente tiene un ángulo α, y el tobogán esta tan bien encerado que la fricción es despreciable. Determine la aceleración del tobogán I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
FUERZAS DE FRICCION La fuerza de fricción y la fuerza normal, son ejemplos de fuerzas de contacto, para la primera es una fuerza importante para muchos aspectos de nuestra vida. Ejemplos: El aceite de motor, reduce la fricción entre las piezas móviles, pero sin fricción entre las ruedas y el camino no podría avanzar el coche ni dar vuelta. El arrastre del aire en los automóviles, reduce el rendimiento del combustible en los autos, pero hace posible que los aviones vuelen o funcionen los paracaídas. Sin fricción los clavos se saldrían, las bombillas o las tapas de los frascos se destornillarían sin esfuerzo.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Cinética
Es una fuerza que resiste el movimiento de dos superficies en contacto que se deslizan entre si
Estática
Es una fuerza que resiste el movimiento de dos superficies en contacto sin que se deslicen.
Fricción
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Fuerza de Fricción Estática.
Fuerza de Fricción Cinética.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo Un transportista descargo frente a su puerta una caja de 500 N llena de equipo para hacer ejercicio. Para moverla hacia la cochera se necesita tirar con una fuerza horizontal de magnitud 230 N. Una vez que la caja comienza a moverse, puede mantenerse a velocidad constante con solo 200 N. Obtenga los coeficientes de fricción estática y cinética. I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo Del ejemplo anterior, determine la fuerza de fricción, si la caja esta en reposo y se le aplica una fuerza horizontal de 50 N
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo Del ejemplo 7, suponga que ata una cuerda a la caja y tira de ella con un ángulo de 300 sobre la horizontal. Determine la fuerza que se debe aplicar para mantener la caja en movimiento con velocidad constante.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo. Del ejemplo del tobogán la cera se raspo por lo ahora tiene un coeficiente de fricción cinético μk . La ladera tiene justo el ángulo necesario para que el tobogán baje con rapidez constante. Deduzca una expresión para el ángulo en términos de w y de μk . I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo Qué sucedería si el mismo tobogán con el mismo coeficiente de fricción se desliza colina abajo, pero la colina es más empinada ? Ahora el tobogán se acelera. Deduzca una expresión para la aceleración en términos de g, α, μk y w.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Movimientos Dependientes. En algunos problemas el movimiento de una partícula dependerá del movimiento correspondiente de otra partícula. Ocurren cuando las partículas están interconectadas por cuerdas y poleas.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Si el bloque A se mueve hacia abajo, este provoca que el bloque B se desplace hacia arriba. Para establecer las ecuaciones que describen este movimiento hay que considerar lo siguiente. 1. Se establecen coordenadas de posición de cada bloque 2. Se establece un plano de referencia y un punto fijo O. 3. Se medirá a lo largo de cada plano inclinado en la dirección del movimiento de cada bloque.
4. Son positivas del (Datum) al bloque (C a A y D a B). 5. Si la longitud de la cuerda es l, las coordenadas de posición están relacionadas por la ecuación:
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo. Una carga de 15 kg de tabiques pende de una cuerda que pasa por una polea pequeña sin fricción y tiene un contrapeso de 28 kg en el otro extremo. Se liberan del reposo, determine a) La aceleración de los tabiques. b) La tensión que hay en la cuerda. I n g c) La velocidad de los tabiques después de 2 seg. .
R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo.
a) b) c)
V B =13.1 m/s a A= - 3.27 m/s 2 T=327 N
El bloque A de 100 kg es liberado del reposo. Si se desprecian las masas de las poleas y cuerdas, determine a) La rapidez del bloque B de 20 kg en 2 seg. b) La aceleración del bloque A. c) La tensión de la cuerda. I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo. La caja fuerte pesa 200 lb y esta sostenida mediante poleas y cuerda. Si el extremo de la cuerda es dado a un niño de 90 lb, determine: a) La aceleración del niño, si no suelta la cuerda. b) La aceleración de la caja I c) La tensión de la cuerda. n g
. R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo. Determine la masa requerida del bloque A de manera que cuando sea liberado del reposo, mueva el bloque B de 5kg, 75 cm hacia arriba a lo largo del plano inclinado liso en t=2 s. Desprecie la masa de las poleas y la cuerda. I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
MOVIMIENTO CURVILÍNEO GENERAL Ocurre cuando una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria curva. Si se mueve en tres dimensiones, se utilizara un análisis vectorial para definir la posición, velocidad y aceleración.
Coordenada de posición. En un instante de tiempo t la partícula ocupa una posición P. El vector r = r(t) define la posición de la partícula respecto a O.
Desplazamiento. Suponga que durante un intervalo de tiempo Δt se mueve la partícula una distancia Δs. El desplazamiento Δr , representa el cambio de posición de la partícula.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Velocidad. La Velocidad promedio de la partícula durante un Δt es:
La Velocidad determina
Aceleración. La aceleración partícula es:
se
instantánea,
promedio
de
la
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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La aceleración determina,
instantánea,
se
•La
aceleración es tangente a la hodógrafa y en general no es tangente a la trayectoria del movimiento. dirección de a es siempre hacia el interior o lado cóncavo de la trayectoria. •La
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO : COMPONENTES RECTANGULARES En algunos problemas del movimiento de una partícula puede describirse mejor a lo largo de una trayectoria que este representada por un marco de referencia fijo, x, y, z . Posición. En un instante dado la partícula esta en un punto (x,y,z) de la trayectoria curva s, el vector de posición r , define sus posición. D I n
i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
Las componentes x, y, z de r serán funciones de tiempo, x = x(t), y = y(t), 74 z = z(t), de modo que r (t).
Velocidad.
I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Aceleración .
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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La aceleración no es tangente a la
Ejemplo. Una partícula, esta inicialmente en reposo en la posición (3, 2, 5)ft, y esta sujeta a una aceleración de a=(6t i + 12t2 k ) ft/s2. Determina las funciones: a) De la velocidad de la partícula. b) De la posición de la partícula. I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Ejemplo. En cualquier instante x = (8t) pies, donde t esta en segundos, define la posición horizontal del globo atmosférico. Si la ecuación de la trayectoria es y = x 2 /10 , determine la magnitud y dirección de la velocidad y la aceleración cuando t = 2 seg. D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ejemplo. Durante un breve lapso, y = (0.001x 2 )m describe la trayectoria del avión que se muestra en la fig. Si la componente de la velocidad en el eje y es constante e igual a 10 m/s, determine la magnitud de la velocidad y aceleración del avión cuando esté a y = 100 m. I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL. Se estudia en función de sus componentes rectangulares, cuando se hace caso omiso a la resistencia del aire, la única fuerza que actúa en el proyectil es su peso. a = g = 9.81 m/s2 o a = g = 32.2 ft/s 2 .
Y a
a
g
y
r
2
I n -9.81 j m/sD i n g
v
ˆ
á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
X 80
VECTOR DE POSICIÓN .
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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VECTOR DE VELOCIDAD.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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VECTOR DE VELOCIDAD.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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MOVIMIENTO HORIZONTAL.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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MOVIMIENTO VERTICAL.
I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Ejemplo. Un acróbata en motocicleta se lanza del borde de un risco. Justa en el borde, su velocidad es horizontal con magnitud de 9 m/s. Obtenga la posición, la distancia del borde y velocidad de la moto después de 0.5 s.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ejemplo. Desde el borde de un acantilado de 150 m de alto, se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 180 m/s a un ángulo de 30 grados respecto a la horizontal. Despreciando la velocidad del aire, encuentre: a) La distancia horizontal del cañón al punto donde el proyectil pega con el suelo. I n g b) La máxima elevación que alcanza al proyectil respecto al suelo. . R
o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Ejemplo. La pista para un evento de carreras fue diseñada de manera que los conductores salten por la pendiente de 30 grados desde una altura de 1 m. Durante una carrera se observo que un conductor permaneció en el aire por 1.5 s. Determine: a) La rapidez con la que viajaba hacia afuera de la pendiente. b) La distancia horizontal en el instante que toco el suelo. c) La altura máxima que alcanzo.
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I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
MOVIMIENTO CURVILÍNEO: COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL Movimiento en un plano. Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual viaja una partícula, conviene describir el movimiento usando coordenadas n y t , los cuales actúan de manera normal y tangencial a la trayectoria, respectivamente y que en el instante considerado, tienen su origen ubicado en la partícula
I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO: COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL Se
establece un sistema de ejes coordenados normal y tangencial. El eje tangencial t siempre va hacer tangente a la trayectoria. El eje tangencial es positivo en la dirección creciente de la curva, El vector ut representa la dirección positiva del eje tangencial. El eje normal n es perpendicular al tangencial. El eje normal tiene dirección positiva hacia el centro de curvatura O´. Esta dirección va hacia el lado cóncavo de la curva El vector un representa la dirección positiva del eje normal. “s” representa el desplazamiento de la partícula y estará definida mediante una función trayectoria s = s(t).
I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Radio de curvatura. El radio de curvatura cambia conforme se mueva la partícula, conociendo la trayectoria, y=f(x), el radio de curvatura en cualquier punto sobre su trayectoria esta determinado por:
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I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
Velocidad. Como la partícula esta en movimiento, “s” es una función del tiempo, el vector de velocidad v tiene una dirección que es siempre tangencial a la trayectoria y su magnitud se determina por la derivada de la función trayectoria s = s(t) respecto del tiempo,
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Aceleración. La aceleración de la partícula es la razón de cambio con respecto al tiempo de la velocidad.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Casos especiales: 1. Si la partícula se mueve a lo largo de una línea recta entonces ρ→∞ por lo que an = 0, at = dv/dt, por lo que la componente tangencial de la aceleración representa el cambio en la magnitud de la velocidad.
2.
Si la partícula se mueve a lo largo de una curva con una velocidad constante, entonces at = dv/dt = 0 y an = v2/ ρ. Por lo que la componente normal de la aceleración representa el cambio en la dirección de la velocidad. A esta aceleración an se le conoce como aceleración centrípeta.
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Ejemplo. Cuando el esquiador llega al punto A a lo largo de la trayectoria parabólica, su rapidez es de 6 m/s, la cual se incrementa a razón de 2 m/s 2. Determine la dirección de su velocidad y la dirección y magnitud de su aceleración en ese instante. Desprecie la altura del esquiador I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
100
Ejemplo. Un auto de carreras circula alrededor de la pista circular circ ular horizontal de 300 ft de radio, si el auto aumenta su velocidad a un ritmo constante de 7 ft/s 2, a partir del reposo, determine: a) El tiemp tiempo o que que neces necesita ita para para alca alcanz nzar ar una una acele acelera ració ción n de de 8 ft/s ft/s2 (magnitud del vector). b) La velo veloci cida dad d que que tien tiene e en en ese ese inst instan ante te..
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I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
Ejemplo. Las cajas de la fig. se s e desplazan a lo largo de la transportadora trans portadora industrial. Si una caja comienza a moverse desde el reposo en A e incrementa su rapidez de modo que at = (0.2t) m/s2, donde t esta en segundos, segundos , determine la magnitud de su aceleración cuando llegue al punto B. I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Movimiento Circular.
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Movimiento Circular Uniforme.
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Velocidad y aceleración en términos del periodo.
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Ejemplo. Un automóvil BMW tiene aceleración normal de 0.87 G (1G=9.81 m/s2) constante, esta es la aceleración máxima que puede lograr el auto sin que derrape, si viaja a 144 km/h, Determine el radio mínimo de curva que puede describir. (supóngase que no hay peralte). I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Ejemplo. En un juego mecánico, los pasajeros viajan con una rapidez constante en un circulo de 5 m de radio, dando una vuelta cada 4 seg. Determine la aceleración. I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Ejemplo. Un satélite se mueve con velocidad constante en una órbita geocéntrica (circular) alrededor del centro de la tierra, (radio medio de la tierra 6371 km), si su aceleración es de 5 m/s2, determinar la velocidad y el tiempo que tarda en dar una vuelta a una orbita: a) Baja terrestre (0 - 2000 km) 500 km. b) Media terrestre (2000 – 35786 km (limite de orbitas geosincronas )) 10000 km. c) Alta terrestre (35786 – mayores (orbitas elípticas)) 35786 km.
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO: COMPONENTES POLAR Y CILÍNDRICA. Las coordenadas polares y cilíndricas pueden describir mejor el movimiento de una partícula. Si solo se limita al plano son coordenadas polares. Se puede especificar la ubicación de una partícula por medio de una coordenada radial r, el cual se extiende hacia afuera del origen fijo O hasta la partícula y una coordenada transversal θ, Los vectores unitarios ur y uθ definen las direcciones positivas de las coordenadas r y θ.
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I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
MOVIMIENTO CURVILÍNEO : COMPONENTES
POLAR Y CILÍNDRICA.
Posición. En cualquier instante, I n g . R o b e r t o R e y e s A . C i n e m á t i c a y D i n á m i c a U 1
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Velocidad. La velocidad instantánea es:
D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Aceleración.
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Ejemplo. El juego mecánico que se muestra en la figura consiste en una silla que gira en una trayectoria circular horizontal de radio r , de modo que la velocidad angular y la aceleración angular del brazo OB son , respectivamente. Determine las componentes radial y transversal de la velocidad y aceleración del pasajero, cuya estatura no se toma en cuenta. D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ejemplo. La barra OA de la figura gira en el plano horizontal de modo que θ= (t 3 ) rad. Al mismo tiempo, el collar B se desliza hacia fuera a lo largo de OA de modo que r = (100t 2 ) mm. Si en ambos casos t esta en segundos, determina la velocidad y aceleración del collar cuando t = 1 seg. D I n i n g á . m R i o c b a e - r U t o 1 R e y e s A . C i n e m á t i c a y
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Ecuación de Movimiento: Coordenadas Normal y Tangencial.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ecuación de Movimiento: Coordenadas Normal y Tangencial. Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva conocida, la ecuación de movimiento se da en las direcciones tangencial y normal.
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Ejemplo.
v = 5.65 m/s a n = 16.01 m/s2 at = 4.9 m/s2
La plomada de un péndulo de 2 m describe un arco de circulo en un plano vertical. Si la tensión en la cuerda es de 2.5 veces el peso de la plomada para la posición indicada en la figura, determine: a) La velocidad. b) La aceleración de la plomada en esa posición.
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Ejemplo. Determine el ángulo de inclinación lateral lateral de la pista de manera que las ruedas de los carros de carreras, no tengan que depender de la fricción para prevenir prevenir que algún carro se deslice hacia arriba o hacia abajo por la pista. pista. Suponga que los carros tienen una masa m y que viajan alrededor de un radio R con rapidez v . I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo. Una niña que tiene masa de 15 kg, esta sentada sin moverse con respecto a la superficie de una plataforma horizontal a una distancia de 5 m. Suponga que movimiento angular de la plataforma aumenta lentamente de manera que la componente tangencial de la aceleración de la niña, es despreciable si μs= 0.2, determine la rapidez máxima que la niña tendrá antes de empezar a deslizarse hacia afuera.
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N = 1530 N
Ejemplo. Un patinador de 60 kg se desliza cuesta debajo de la pista circular movido por la fuerza de la gravedad. Si parte del punto de reposo cuando θ=00, determine la magnitud de la reacción normal que la pista ejerce en él, cuando θ =600, ignore la estatura del patinador. I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo.
Fn = 347 lb a n = 42.2 ft/s2 at = 0 ft/s2
El diseño de una pista de salto para esquiadores requiere conocer el tiempo de fuerzas que serán ejercidas sobre un esquiador y su trayectoria aproximada. Para este caso la pista puede ser aproximada por la parábola mostrada, si la velocidad en A es de 65 ft/s y el esquiador tiene un peso de 150 lb, determine: a) La fuerza normal sobre el esquiador. I n g b) La aceleración en ese punto. . R
o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo. Los paquetes con masa de 2 kg cada uno, son depositados por una banda transportadora en una rampa circular lisa con velocidad inicial de 1 m/s. Si el radio efectivo de la rampa es de 0.5 m, determine el ángulo θ= θmax en que los paquetes empiezan a dejar la superficie. I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo. La bicicleta y el conductor tienen un peso total de 180 lb donde tiene una velocidad inicial de 6 ft/s. determine: a) La fuerza normal que actúa sobre la bicicleta en el punto A. b) La aceleracion I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ecuación de movimiento: Coordenadas Cilíndricas. Se utiliza cuando el movimiento de la partícula es angular
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Ecuación de movimiento: Coordenadas Cilíndricas. Los datos se dan con respecto a la línea radial r, o cuando la trayectoria puede expresarse convenientemente en función de estas coordenadas.
I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo. El doble anillo liso de 0.5 Kg que se muestra en la fig. puede deslizarse libremente sobre el brazo AB y la barra guía circular. Si el brazo gira a una velocidad angular constante de 3 rad/s. Determine la fuerza que el brazo ejerce sobre el anillo en el instante θ=45º El movimiento ocurre en el plano horizontal. I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1
Ejemplo. Un cilindro C de 2 Kg tiene un pasador P a través de su centro el cual pasa por la ranura en el brazo OA. Si se hace que el brazo gire en el plano vertical a una razón constante de 5 rad/s. Determine la fuerza que el brazo ejerce sobre la clavija en el instante θ=60º. I n g . R o b e r t o R e y e s A r c e D i n á m i c a U 1