Dinámica
2015-0
Sesión 1
Tema: Cinemática de la Partícula en Movimiento Absoluto
1
CLASIFICACION CLASIFICACION DE LA DINAMICA
CLASIFICACION CLASIFICACION DE LA DINAMICA
1.5
1.6
Un automóvil se mueve en línea recta sobre una carretera, donde X = 0,4t3 + 8t + 10 (m), a partir de su estado inicia en t = 0, determine: a.- El tiempo que le toma al vehículo alcanzar la velocidad de 88 i (m/s) b.- Cual es el recorrido durante este tiempo. c.- Cual es la aceleración cuando el vehículo alcanza la rapidez de 88 m/s.
En el movimiento rectilíneo de un vehículo se sabe que a = -2x + 1, siendo sus condiciones de frontera V0 = 4 m/s, x0 = 5 m, t0 = 0 s; determine: a.- La rapidez cuando x = 0,5 m. b.- El tiempo cuando x = 0,5 m c.- La posición X cuando t = 1 s
CINEMATICA DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO • En este capitulo explicaremos como se
puede localizar un punto en el espacio a partir de un sistema de referencia. • Determinaremos la Posicion, velocidad y aceleracion de una particula en el espacio, em forma absoluta. • Una posicion esta determinada por un conjunto de coordenadas, sean rectangulares, cilindricas o esfericas.
• 1. Indicando una posicion en una via
Una Posicion en el espacio
Puntos críticos
MOVIMIENTO CURVILINEO DE UNA PARTICULA Cuando una partícula no se desplaza en línea recta, se dice que la partícula describe un movimiento curvilíneo. Tanto en el plano como en el espacio, existen tres procedimientos de descripción del movimiento de una partícula: Procedimiento vectorial
Procedimiento natural Procedimiento vectorial
Procedimiento de coordenadas Vector posición:
r r (t ) R R(t )
(en el plano) (en el espacio)
Velocidad Media:
r2 r1
r vm t t2 t1
(para t pequeños) v Limt 0
Rapidez instantánea (v)
v
dS dt
r dr r dt t
S
v am t a
dv dt
2
d r 2
dt
v r
Magnitud de la aceleración tangencial instantánea (a t ) a
dv dt
d 2S 2
dt
v S
(Donde S es el arco recorrido)
MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL Se utiliza en el plano y en el espacio, pero es de mas utilidad practica en problemas de movimiento plano. Velocidad de la partícula:
v vet ˆ
Queremos demostrar que: a at an vet
v2
ˆ
ˆ
det ds a vet v . dt ds ˆ
ˆ
a vet v
2
det ˆ
ˆ
ds
en
Donde es el radio de curvatura
Del grafico tenemos que:
et det
dS d ˆ
ˆ
dS
det
2et
ˆ
ˆ
det
ˆ
d
et ˆ
0
dS
0 et
ˆ
ˆ
ˆ
et et ˆ
det
ˆ
et 1
También de: et det
ˆ
det ˆ
ˆ
dS Lo que indica que:
dS
d en
et det
ˆ
0
ˆ
dS
ˆ
et ˆ
et
det ˆ
ˆ
dS
det ˆ
/ / en dS
Como:
ˆ
Entonces: de t
det / / en ˆ
Por L.A.:
ˆ
ˆ
dS
dS
det et d d
También: det
det
ˆ
ˆ
ˆ
dS d
det ˆ
en
d dS
d
ˆ
dS
1
en
d S
ˆ
det en d .en ˆ
det ˆ
en ˆ
dS
ˆ
ˆ
d
en dS ˆ
En: a ve v 2 det t ˆ
ˆ
ds
a vet ˆ
1
ˆ
v2
en ˆ
en ˆ
De la figura tenemos algunas propiedades importantes:
a
a a 2 t
2 n
at
v a v
an
v a
v
v
2 1 ( ) dx 2 dy
3
v a
d y dx2
MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL Es útil para aplicaciones en problemas de movimiento plano: Vector posición:
r rer ˆ
Vector Velocidad: v rer r e ˆ
Donde:
vr r
ˆ
v r
a
a
Vector Aceleración:
a (r r 2 )er (r 2r )e ˆ
Donde:
ˆ
ar (r r 2 )
(
2 )
ar
3/ 2
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO EN COORDENADAS CILINDRICAS (r, , Z) La posición de la partícula P se define utilizando las coordenadas cilíndricas (a) Descomponiéndose en términos de sus vectores unitarios: er , e , k ˆ
ˆ
R rer zk
Siendo R el vector posición:
v
dR dt v
a
dv dt
vr r
ˆ
ˆ
2
2
vr v vz d 2R dt 2
v r
2
(r r 2 )er (r 2r )e zk ˆ
ˆ
ˆ
a r 2r
ar r r 2 a
ˆ
ˆ
rer r e zk ˆ
ˆ
2
2
2
a a a
aZ z
vz z
Primero determinaremos las variaciones de respecto del tiempo:
4
rad
8rad / s 0
Con h = 4 m = cte. lo reemplazamos en Z y determinamos las variaciones de z respecto del tiempo:
z 2 2Cos2
Para = /4
z 2m
z 4Sen2 ( )
Para = /4
z 32m / s
z 8Cos2 ( )2 4Sen2 ( ) Para = /4
z 0
De la figura obtenemos:
R 8m cte.
r
64 z 2
r 64 z
2
r
1 2
1/2
2
64 z
64 z
2
1/2
.(2 z.z )
Para : z 2m z 32m / s r 8, 2623m / s 64 z 2
z ( z )
[( z( z ) (z) ] [ z( z )] 2
r r
r
r 7,7459m
Para z = 2m:
{ z ( z )} 64 z 2 Con: z 0
64 z 2
z ( z ) (z)2 64 z
2
z 2 ( z )2
64 z
2
Obtenemos: 3/ 2
r 141, 011m / s 2
Ordenando la información:
r 7,7459m
r 8, 2623m / s r 141, 011m / s
4
rad
8rad / s
2
0
z 2m z 32m / s z 0
La velocidad en coordenadas cilíndricas es:
v rer r e zk ˆ
ˆ
ˆ
Luego determinamos cada componente de esta velocidad:
vr r 8, 2623m / s v r (7, 7459)(8) 61,9672m / s
v z 32m / s
De igual manera calcularemos las componentes de la aceleración en coordenadas cilíndricas:
r 7,7459m
r 8, 2623m / s r 141, 011m / s
2
4
z 2m
rad
z 32m / s
8rad / s
z 0
0
a (r r )er (2r r )e zk 2
ˆ
ˆ
ˆ
ar (r r 2 ) (141, 011 7, 7459(8)2 ar 636, 7486m / s 2
a 2r r 2(8, 2623)(8) (7, 7459)(0)
a 132,1968m / s 2 a z z 0 a 0
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO EN COORDENADAS ESFERICAS (R, , ) Las expresiones de la posición y velocidad son fáciles; pero de la aceleración es mas complicada a causa de la geometría adicional necesaria. Obsérvese que el sentido del vector eR es el que tendría el movimiento del punto B, si R aumentara, pero manteniendo constantes y . Asimismo, el sentido de eθ, es el que tendría B si θ aumentara, pero manteniéndose constantes R y . Finalmente, el sentido de e es el que tendría el movimiento de B si aumentara pero manteniéndose constantes R y θ.
R Re R ˆ
EXPRESIONES MATEMATICAS DE LA POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION DE LA PARTICULA EN COORDENADAS ESFERICAS
R Re R ˆ
v
dR
v R eR v e v e ReR R Cos e R e ˆ
dt
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Donde:
v R R v
a
v R Cos v R 2
v R v v
dt
2
2
dv
2
d R
2
dt
a R eR ˆ
a e ˆ
a e ˆ
ˆ
Donde:
v R R v R Cos v R
a R R R R Cos 2
2
2
2 Cos d ( R ) a 2 R Sen R dt
a 2R Cos R Cos 2R Sen 2 1 d ( R ) 2 a R Sen Cos R dt
a 2R R R SenCos 2
a
2
2
a R a a
2
Transformacion de Coordenadas Nos sirven para determinar velocidades y aceleraciones en un sistema,en base a otros conocidos. Considerando que las ecuaciones de transformacion son lineales, utilizando el algebra matricial, definiremos los 6 casos de transformacion: Caso I.- De coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas:
cos sen 0 T Sen cos 0 0 0 1
[v( r , , z ) ] [T ][v( x , y , z ) ] [a( r , , z ) ] [T ][a( x , y , z ) ]
Transformacion de Coordenadas Caso II.- De coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares:
Cos Sen 0 1 T Sen Cos 0 0 0 1 1
[v( x , y , z ) ] [T ][v( r , , z ) ] 1
[a( x , y , z ) ] [T ][a( r , , z ) ]
Transformacion de Coordenadas Caso III.- De coordenadas cilindricas a coordenadas esfericas:
Cos 0 Sen T 0 1 0 Sen 0 Cos
[v( R , , ) ] [T ][v( r , , z ) ] [a( R, , ) ] [T ][a( r , , z ) ]
Transformacion de Coordenadas Caso IV.- De coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas:
T 1
Cos 0 0 1 Sen 0
Sen 0 Cos
1
[v( r , , z ) ] [T ][v( R, , ) ] 1
[a( r , , z ) ] [T ][a( R , , ) ]
Transformacion de Coordenadas Caso V.- De coordenadas rectangulares a coordenadas esfericas:
Cos Sen Sen cos cos T T Sen Cos 0 Sen Cos Sen Sen Cos
[v( R, , ) ] [T ][T ][v( x, y, z ) ] [a( R, , ) ] [T ][T ][a( x, y, z ) ]
Transformacion de Coordenadas Caso VI.- De coordenadas esfericas a coordenadas rectangulares:
T T 1
1
Cos Cos Sen Cos Sen Sen Cos Cos Sen Sen Sen 0 Cos 1
1
1
1
[v( x, y, z ) ] [T ][T ][v( R, , ) ] [a( x, y, z ) ] [T ][T ][a( R, , ) ]
PROBLEMA DE APLICACIÓN 2
Un niño se desliza por un tobogán acuático AB. La descripción del movimiento en coordenadas cilíndricas es R = 4m, = at2 y z = h(1 - t2); cuando el niño se encuentra en B, calcule: a.- La magnitud de la velocidad v R.(m/s) b.- La magnitud de la aceleración a R.(m/s2) c.- La magnitud de la aceleración a .(m/s2) d.- La magnitud de la aceleración a.(m/s2)
1.- Observamos que la trayectoria de la partícula se hace a través de un cilindro: r 4m cte r 0 r 0
2.- De la expresión: z 3 3t 2 Para z = 0 determinamos el tiempo t
0 3 3t 2 t 1s Luego z derivando y reemplazando: z 0 z
3(2)t 6m / s
z
6m / s 2
3.- De la expresión:
at 2
a(1)2 a
En B: = rad
at 2
t 2
2 t 2 rad / s 2
rad
2 rad / s
Determinando las expresiones de la velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas: r 4m rad r 0 2 rad / s r 0 2 rad / s 2
z
0
z
6m / s
z
6m / s 2
vr r 0 v r 4(2)(3,1416) 25,1328m / s v z z 6m / s
ar r r 2 4(2 )2 157,9144m / s 2 a r 2r 4(2 ) 25,1328m / s 2
a z 6m / s 2
Ahora en velocidades realizaremos la transformación de coordenadas cilíndricas a esféricas donde en B: = 0
v R Cos v 0 v Sen
0
Sen vr
v 0 Cos v z
1
0
v R Cos0 0 Sen0 0 25,1328 v 0 1 0 v Sen0 0 Cos0 6 v R 1 0 0 0 25,1328 v 0 1 0 v 0 0 1 6
v R 0
v 25,1328m / s
v 6m / s
Ahora en aceleraciones realizaremos la transformación de coordenadas cilíndricas a esféricas donde en B: = 0
a R Cos a 0 a Sen
0
Sen ar
a 0 Cos a z
1
0
a R Cos0 0 Sen0 157,9144 25,1328 a 0 1 0 a Sen0 0 Cos0 6 a R 1 0 0 157, 9144 25,1328 a 0 1 0 a 0 0 1 6
a R 157,9144m / s
2
a 25,1328m / s
2
a 6m / s 2
Las barquillas del Tiovivo del Parque de Atracciones se mueven con una frecuencia angular N = 11,2 RPM constante para β = (π/6)t, para t = 1 s Calcule en coordenadas esféricas: 1.- La velocidad radial.(m/s) 2.- La velocidad transversal en θ.(m/s) 3.- La velocidad transversal en .(m/s) 4.- La aceleración radial.(m/s2) 5.- La aceleración transversal en θ.(m/s2) 6.- La aceleración transversal en .(m/s2)
El problema se puede resolver por dos métodos: 1.- Coordenadas cilíndricas 2.- Coordenadas esféricas 1 Forma de Solución: Coordenadas esféricas:
N 1,1728rad / s 0 4,6m
R
De la figura utilizando la Ley de Cosenos: R 2 (4, 6)2 (9, 2) 2 2(4, 6)(9, 2)Cos(90 o ) R 105,8 84, 64Sen (1) 2
Para t = 1 s
Derivando (1) respecto de t: 2 RR
84, 64Cos
t
R 1,5768m / s
6
rad
R = 12,17 m
2 RR
6
84, 64Cos
6
t
(2):
tg
Nuevamente derivando (2): 2( R 2 R.R) ( )2 (84, 64)Sen t 6 6
6
4, 6 9, 2 Sen
t
6
t
40,8932
Derivando la tg:
R 0,6809m / s 2
Ahora determinaremos el ángulo y
Sec2
(4, 6 (9, 2 Sen
9,2Sen(/6)t
9,2Cos(/6)t
R
t ))(9, 2( ) Sen t) ( 9, 2Cos t)(9, 2( ) Cos t) 6 6 6 6 6 6 2 (4, 6 (9, 2 Sen t )) 6
0,37588ra / s
Z
r
Para t = 1 s:
Para t = 1 s:
4,6m
Z
9, 2Cos
v R
R 1,5768m / s
v R Cos 12,17(1,1728)Cos(40,8932) v 10, 7893m / s r
v R 12,17(0,37588)
v 4,5744m / s
Reemplazando datos para el calculo de las aceleraciones tenemos:
a R R R 2 R 2Cos 2 a R (0, 6809) (12,17)(0, 37588) 2 (12,17)(1,1728) 2 Cos 2( 40,8932) a R 11,9657m / s 2
a 2R Cos R Cos 2R Sen a 2(1,5768)(1,1728) Cos( 40,8932 ) 12,17(0) Cos( 40,8932 ) 2(12,17)(1,1728)(0,37588) Sen( 40,8932 )
a 15,8917m / s 2
a 2 R R R SenCos 2
a 2R R R SenCos 2
COMPLICADO CALCULAR:
2 Forma de Solución: Coordenadas Cilíndricas: 4,6m
z 9, 2Cos
9,2Cos(/6)t
R
Z
Para t = 1 s
z 2, 4085m / s
R rer zk ˆ
ˆ
r 4, 6 9, 2 Sen
2
z 2,1843m / s 2
t
6 r ( )9, 2Cos t 6 6 2 r ( ) 9, 2Sen t 6 6 Para t = 1 s r 9, 2m r 4,17171m / s
1 2611 /
t
6 z ( )9, 2 Sen t 6 6 2 z ( ) 9, 2Cos t 6 6 z 7,9674m
9,2Sen(/6)t
También:
rad
2 N 1,1728rad / s cte vr 4,1717m / s
0
v 10,7897m / s v Z 2, 4085m /
ar 1, 2611 (9, 2)(1,1728) 13,9153m / s 2
2
a (9, 2)(0) 2(4,1717)(1,1728) 9,7851m / s
a Z 2,1843m / s 2
2
Análisis de velocidades:
v R Cos 0 Sen vr 1 0 v v 0 v Sen 0 Cos v Z v R 0,7559 0 1 v 0 v 0,6546 0
0,6546 4,1717 0 10,7897 0,7559 2,4085
v R 0, 7559(4,17171) (0,6546)(2, 4085) 1,5767m / s v 10,7897m / s
v 0, 6546(4,17171) (0,7559)(2, 4085) 4,5513m / s
Análisis de aceleraciones:
a R Cos 0 Sen ar 1 0 a a 0 a Sen 0 Cos a Z a R 0,7559 0 1 a 0 a 0,6546 0
0,6546 13,9153 0 9,7851 0,7559 2,1843
a R 0,7559(13,9153) (0,6546)(2,1843) 11,9484m / s
a 9,7851m / s
2
a 0,6546(13,9153) (0, 7559)(2,1843) 7, 4578m / s
2
2
Un vehículo se desplaza con rapidez constante de 1,5m/s. La distancia entre crestas consecutivas es de 12m.
Z 1.- Determinar la rapidez VR. 2.- Determinar la magnitud de la aceleración aR. 3.- Determinar la magnitud de la aceleración ax. 4:- Determinar la magnitud de la aceleración ay. 5.- Determinar la magnitud de la aceleración az 10 m
12 m
Y
X
Z
Y
X
V = 1,5 m/s (rapidez constante) r = 10m (distancia del origen al vehículo) p = 12m (paso)
Y
PROYECCIÓN LATERAL
tg
5 3
Por las condiciones del problema
LUEGO DE UNA TRANSFORMACIÓN
0 , 2814 ; 0 , 14734 ; 1 , 0336 R
v
v
R
m 0,2814 s
AHORA CALCULAMOS LA ACELERACIÓN
º º º 2 º º ºº ^ º º a r z r r êr r 2 r ê z k
^
0 , 21709 . 0 0 k ar z êr ê
RESPUESTAS Nº
Cantidad Escalar
Valor Numérico
Unidades
1.-
VR
0,2814
m/s
2.-
aR
0,21709
m/s2
3.-
ax
0
m/ s2
4.-
ay
0,21709
m/ s2
5.-
az
0
m/ s2
PROBLEMA DE APLICACIÓN 2
En el instantemostrado el rociador de agua está girando con =2 rad/s = 3 rad/s2 . Si la tobera se halla en el plano vertical y el agua fluye por ella a razón constante de 3 m/s y la tobera gira con respecto al eje Z con = 5 rad/s y =8 rad/s2 Calcular: 1.- La magnitud de la velocidad del agua en la salida. (m/s) 2.- La magnitud de la aceleración del agua en la salida ,en el eje X. (m/s2) 3.- La magnitud de la aceleración del agua en la salida ,en el eje Y. (m/s2) 4.- La magnitud de la aceleración del agua en la salida ,en el eje Z. (m/s2)
De la figura :
Recopilando datos a utilizar R
0.2m
m R 3
5
s
m R 0
s
rad 2
2
Rad s
Rad 8 s
2
rad 4 2
rad s
3 rad s
2
C A L C U L O D E L A V EL O C ID A D
En coordenadas esféricas, la velocidad está dada por:
V vr er v e v e 3m V r R s V Rx x cos
V 0.2 x(5) xCos (45º ) 0.7071m s 0.2 x(2) 0.4 m V R s
• Calculando el modulo :
V vr v v 3.1080 m s 2
2
2
V 3 0.7071 0.4 3.1080 m s 2
2
2
V 3.1080 m / s
C A L C UL O D E ACELERACIONES
En coordenadas esféricas la aceleración está dada por: a ar er a e a e ar
2 R R
2 R Cos
ar 0 0.2 x2 0.2 x5 xCos 45º 2 ar 3.3 m / s 2
2
2
Cos R Cos 2 R Sen a 2 R
a 2 x3 x5 xCos 45º0.2 x8 xCos 45º
2 x0.2 x5 x2 xSen 45º a 19.5161 m / s a
2
2 2 R R R Sen Cos
a 2 x3 x2 0.2 x3 0.2 x5 xSen 45º Cos45º 2
a
15.1 m / s
2
Aplicamos transformación de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas según la ecuación: 1 1
[a( x, y, z ) ] [T ][T ][a( r , , ) ]
…(1)
en donde:
cos cos sen cos sen 1 1 T T sen cos cos sen sen sen 0 cos
reemplazando datos en (1): 0 1 a x 0 3.3 a 0.7071 0 0.7071 19.5161 y a z 0.7071 0 0.7071 15.1
resolviendo:
a x 19.5161 a 13.0106 y a z 8.3438
Finalmente N N
Variable
01.
VA =
3.1080
m/s
02.
aAx =
19.5161
m/s²
03.
aAy =
13.0106
m/s²
04.
aAz =
8.3438
m/s²
Cantidad
Unidades
