DIAGRAMA DE CELOSÍA DE BEWLEY El diagrama de celosía elaborado por L. V. Bewley organiza de manera conveniente las reflexiones que ocurren durante los transitorios de la línea de transmisión. Para el diagrama de celosía de bewley, que se muestra en la figura 12.8, la escala vertical representa tiempo y la escala está en unidades de τ , el tiempo transitorio de la línea. La escala horizontal representa la posición en la línea x , y las líneas diagonales representan las ondas viajeras. Cada reflexión se determina al multiplicar la onda incidente que llega en un extremo por el coeficiente de reflexión en ese extremo. El voltaje v( x, t ) en cualquier punto x y t en el diagrama se determinan al agregar los términos directamente arriba de ese punto. Ejemplo de diagrama de celosía línea monofásica sin pérdida. Para la línea y las terminaciones dadas en el ejemplo trace el diagrama de celosía y grafique v( l / 3, t ) en función del tiempo t. Solución: El diagrama de celosía se muestra en la figura .En t=0, el voltaje de la fuente se encuentra con la impedancia de la fuente y la impedancia característica de la línea y la primera onda que viaja hacia delante se determina por división de voltaje. Zc E 1 E V1 ( s ) = EG ( s ) = = Z c + Z G s 1 + 2 3s Que es un escalón con magnitud (E/3) volts. La siguiente onda que viaja (hacia atrás), 1 es V2 ( s ) = ΓR ( s )V1 ( s ) = − V1 ( s) = − E /(6s ) y la siguiente onda (hacia delante), es 2 1 V3 ( s ) = ΓS ( s )V2 ( s) = V2 ( s ) = − E /(18s) . Las ondas posteriores se calculan de manera 3 similar. El voltaje en x=1/3 se determinan al trazar una línea vertical en x = 1 3 en el diagrama de celosía, que se muestra como línea discontinua en la figura. Empezando en la parte superior de la línea discontinua, donde t=0, y moliéndose hacia abajo, cada onda de voltaje se agrega en el instante que interseca la línea discontinua. La primera onda v1 llega en t = τ / 3 , la segunda v 2 llega en 5τ / 3, v3 en7τ / 3 . En la figura se grafica v( l / 3, t ) . En la figura se muestra una onda de voltaje que viaja hacia delante V A+ , allegar a la unión de las dos líneas sin perdidas AyB con impedancias características Z A yZ B , respectivamente. Esta podría ser, por ejemplo, la unión de la una línea aérea y un cable. Cuando V A+ llega a la unión, ocurren tanto la reflexión V A− en la línea A como se la refracción V B+ en la línea B. escribiendo ecuaciones LKV y LKC para la unión. V A+ + V A− = V B+ I A+ + I A− = I B+
Recuerden que I A+ = V A+ / Z A , I A− = −V A− / Z A yI B+ = V B+ / Z B . Usando estas relaciones en la ecuación anteriores: V A+ V A− V B+ − = ZA ZA ZB Resolviendo las ecuaciones anteriores en términos de, se obtiene V A− = ΓAAV A+ Donde ZB −1 ZA ΓAA = ZB +1 ZA y V B+ = ΓBAV A Donde Z 2 B Z Γ BA = A ZB +1 ZA Obsérvese que ΓAA, , dada la ecuación, es similar a Γ R dada por a ecuación, excepto que Z B sustituye a Z R . Así que las ondas que llegan a la unión de la línea A la carga e ele extremo receptor de la línea A es la impedancia característica de la línea B. LÍNEAS AÉREAS CONECTADAS EN UN CABLE, LÍNEAS MONOFÁSICAS SIN PÉRDIDA Como se ilustra en la figura, una línea aérea monofásica sin perdidas con Z A = 400Ω, v A = 3 x10 8 m / s y I A = 30km se conecta a un cable monofasico sin perdidas con Z B = 100Ω, v B = 2 × 10 8 m / s y I B = 20km En el extremo emisor de la línea A. e g ( t ) = Eu −1 ( t ) yZ G = Z A En el extremote recepción d el alinea B. Z R = 2 Z B = 200Ω Dibuje el diagrama de celosía para 0 ≤ T ≤ 0.6ms y grafique el voltaje en la unión en función del tiempo .Al inicio de la línea y del cable están desenergizados. Solución: 30 × 10 3 τA = = 0.1 × 10 −9 s 8 3 × 10
20 × 10 3 τR = = 0.1 × 10 −3 s 8 2 × 10
De la ecuación, con Z G = Z A yZ R = 2 Z B ,
ΓS =
1−1 =0 1+1
ΓR =
2 −1 1 = 2 +1 3
De las ecuaciones, los coeficientes de reflexión y refracción para las ondas que llegan a la unión d el alinea A son:
ΓAA
100 −1 −3 400 = = 100 5 +1 400
ΓBA
100 2 = 400 = de la línea A. 100 5 +4 400 2
Invirtiendo A y B, los coeficientes de reflexión y refracción para las ondas que regresan a la unión de la línea B son: 400 100 −1 2 3 8 ΓBB = 100 = ΓAB = 400 = de la línea B. 400 400 5 5 +1 +1 100 100 El diagrama de celosía se muestras en la figura. Usando la división de voltaje, la primera onda que viaja hacia delante es: ZA E 1 E = = V1 ( s ) = EG ( s ) Z A + Z G s 2 2s Cuando v1 llega a la unión, se inicia una onda reflejada v 2 y una onda refractada v3 . Usando los coeficientes de refraccion para la línea A. − 3 E − 3E V2 ( s ) = ΓAAV1 ( s ) = = 5 2 s 10 s 2 E E V3 ( s ) =Γ BAV1 ( s ) = = 5 2 s 5s Cuando v 2 llega al extremo receptor de la línea B se inicia una onda reflejada 1 E E V4 ( s ) = ΓRV3 ( s ) = = cuando v 4 a la unión, se inicia una onda reflejada v5 3 5s 15s y una onda reflejada v6 . Usando los coeficientes de reflexión y refraccion para la línea B E 3 E V5 ( s ) = ΓBBV4 ( s ) = = 5 15s 25s 8 E 8E V6 ( s ) = ΓABV4 ( s ) = = 5 15s 75s Las reflexiones y refracciones posteriores se calculan de manera similar. El voltaje en la unión se determina al iniciar en x= l A en la parte superior del diagrama de celosía, donde t=0. Luego, desplazándose hacia abajo en el diagrama, las ondas de
voltaje a la izquierda o a la derecha de la unión se agregan en el momento en que aparezca. Por ejemplo, observando a la derecha de la unión se agrega en el momento en que parezcan. Por ejemplo, observando a la derecha de la unión en x = l A+ , La onda de onda de voltaje v3 , un escalón de magnitud E 5 volts ocurre en t = τ A. Luego, en t = (τ A + 2τ B ) , se agrega a v3 dos ondas, v 4 y v5 que son escalones de magnitud E / 15 yE / 25 . En la figura se grafica v( l A , t ) . El voltaje de estado estable se determina al eliminar las líneas sin pérdida y calcular el voltaje de estado estable a través de la carga del extremo receptor: ZR 200 E v ss ( x) = E ( ) = E( )= Z R + ZG 200 + 400 3 El análisis anterior se puede ampliar a la unión de más de dos líneas sin perdidas, como se ilustran en la figura anterior. Escribiendo una ecuación LKV y LKC en la unión para un voltaje V A+ que llega a la unión de la línea A. V A+ + V A− = V B+ = VC+ = V D+ = ... I A+ + I A− = I B+ + I C+ + I D+ + ...
Usando I A+ = V A+ / Z A , I A− = −V A− / Z A , I B+ = V B+ / Z B etc, en la ecuación: V A+ V A− V B+ VC+ V D+ − = + + ... Z A Z A Z B ZC Z D + + + + A partir de las ecuaciones, se calcular los valores de V A , VB ,VC , V D etc, en términos de
V A+
