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Implementación de Código Matlab para Graficar el Diagrama de Bode de un Circuito RLC. M.E. Padilla Padilla González González Estudiante Estudiante de Maestría Maestría en Ciencias en Ingeniería Ingeniería Eléctrica Eléctrica U. de G. CUCEI
Resumen: Resumen: E l pr esente esente trabaj o tiene como fin ali dad implementar un código código M atlab que permi permi ta reali zar el el di agrama de Bode, Bode, a parti r de un a fu nci ón de tran sferenci sferenci a obtenida del sistema sistema que se se desea desea anal izar y par a un u n r ango d e fr ecuencias de i nteré nt eré s, así asícomo conocer l a res r espuesta puesta del del si stema stema en magn itud it ud y ángu lo. lo . Palabr as Clave – D D iagrama de Bode, Bode, Código Código M atlab, Fu nción de Tr ansferencia, sistema. sistema.
I. I NTRODUCCIÓN A respuesta en frecuencia de los sistemas, es la respuesta Lde un sistema en estado estacionario para una entrada senoidal, variando la frecuencia de entrada del sistema en cierto rango de interés, estos métodos fueron por primera vez propuestos por Nichos, Bode y Nyquist en los años de 1930 y 1940, con finalidad de análisis para estudios de sistemas de control. Es una técnica muy sencilla pero muy potente puesto que se puede obtener de ella la estabilidad de los sistemas y su conocimiento físico del sistema todo esto parte de la función de transferencia, que es la representación matemática que nos describe el sistema. En este trabajo se analiza el diagrama de bode, que es una imagen del comportamiento de la función de transferencia para un rango de frecuencias. II. A NÁLISIS DEL SISTEMA. A continuación se representa en la Fig.1 un circuito RLC en serie con salida V o = V c, considérese que es un sistema para el cual se desea obtener la respuesta en frecuencia mediante un diagrama de bode para el rango de frecuencias angulares desde w=1 hasta w=10K rad/seg . Función de transferencia, es la representación matemática que describe la salida del circuito entre la entrada del mismo representada por la ecuación 1 en el dominio de Laplace.
() = () ()
(1)
Considérese que el circuito es la representación de un sistema real, donde se desea trabajar en un rango de frecuencias y se interesa conocer la respuesta del sistema, a continuación se realizaran una serie de pasos para obtener el análisis del circuito y elcodigo Matlab que obtenga el diagrama Este proyecto fue realizado en la clase de DSP de la Universidad de Guadalajara (
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Fig. 1 circuito serie RLC.
Se procede a plantear las ecuaciones que rigen el comportamiento del circuito en función de la corriente, directamente en el dominio de Laplace . () = ( () ( () () (2) Dónde: (3) () = ()
A.
Y la corriente en función de V o.o.
() = ()
(4)
Por lo tanto introduciendo 4 en 2, resulta la entrada en función de la salida, y despejando la salida entre la entrada obtenemos la función de transferencia en 5.
() = () = ( () LCS +RCS+) +RCS+)
(5)
Como lo que se busca es la respuesta en frecuencia se considera que s=jw y la función de transferencia en el dominio de la frecuencia que da como:
( ) ) = (−LCw+RCjw+) +RCjw+)
(6)
III. D IAGRAMA DE BODE. Un diagrama de bode está formado por dos graficas en escala logarítmica o por décadas, una es la magnitud de la función de transferencia que responde a la frecuencia en decibelios (dB) y la otra es el ángulo de desfase en grados. Se basa en la traza de líneas asintóticas que son la respuesta a diferentes frecuencias, Los factores básicos de () son: 123-
La ganancia K. Los factores integrales y derivativos. Los factores de primer orden.
2
4-
Los factores cuadráticos.
Diagrama de Bode 40
En este trabajo solo se estudian los factores cuadráticos puesto que la ecuación característica de la función de transferencia es de segundo orden y corresponde a un factor cuadrático. Los sistemas suelen tener este tipo de función de transferencia y el factor cuadrático puede expresarse como el producto de dos factores de primer orden donde la magnitud se expresa como: 20|(LCw+RCjw+) | = 20√ ( 1) ()
(7)
Para bajas frecuencias tales que w<
) 20 B d ( d 0 u t i n -20 g a M-40
-60 0 10
1
10
2
10
3
10
10
4
10
5
10
6
0 ) g e d (
e s a F
-50 -100 -150 -200 0 10
1
10
2
10
3
10
10
4
10
5
10
6
Fig. 2. Diagrama de Bode de Circuito RLC.
201 = 0
(8)
V. CONCLUSIONES
La frecuencia esquina determina la magnitud de la función de transferencia y el ángulo de fase es claro observar que el factor de amortiguamiento RC determina el cambio de fase del sistema y la dirección de la magnitud, por lo tanto el angulo del factor cuadrático está determinado por:
El resultado la implementación de código Matlab resulto ser satisfactorio, ya que como se puede observar se puede obtener el diagrama de bode de forma sencilla para un factor cuadrático que resulta del análisis de un circuito RLC. Se puede destacar la utilidad y sencillez de esta herramienta ya que facilita los cálculos y tiene un resultado exacto. () El diagrama de bode es una forma representativa de la (9) ∅ = tan− ( 21) respuesta en frecuencia de la función de transferencia que te permite visualizar el comportamiento de los sistemas en el En wn=0 el ángulo es 0 y en la frecuencia esquina el rango y dominio de las frecuencias, además de que es útil para ángulo es -90° tal que para w=∞ el ángulo es -180°. el diseño de sistemas en los que se desea operar en ciertas Es importante conocer la respuesta en frecuencia a frecuencias de interés. partir de un diagrama de Bode, en seguida se va a implementar un código en Matlab que nos permita facilitar los cálculos y los trazos de las líneas asintóticas que en ovaciones resultarían erróneas.
VI. REFERENCIAS [1] Katsuhico Ogata, “ Ingenieria de Control Mdoderna “ Cuarta edición Prentice Hall, capitulo 3.4, 2003.
IV. CÓDIGO EN MATLAB. La aplicación del código Matlab consiste en evaluar la función de transferencia en un ciclo while, para un rango de frecuencias especificado de interés con un incremento en w tal que nos proporcione todos los valores de magnitud y ángulo para diferentes frecuencias hasta ser menor o igual que la frecuencia especificada el código se elaboró y quedo de la siguiente forma. Ver ANEXO 1. En la siguiente figura se observa la magnitud y el ángulo de desfase, grafico obtenido del código de Matlab, donde se observa que antes de la frecuencia esquina la magnitud es cero explicado en la ecuación 8 y el ángulo corresponde a 9. Véase que el uso de los diagramas de bode requiere mucho menos tiempo que otros métodos para calcular la respuesta en frecuencia de una función de transferencia obtenida del sistema que se va a analizar, definiéndose como una herramienta útil de diseño de compensación.
VI. ANEXOS Codigo de Matlab que se implemento % codigo para graficar el diagrama de Bode % de un circuito RLC serie con salida Vo en Vc clear all clc close all %valores de entrada de los componentes l=1e-3; c=1e-6; r=1; %se evalua en un ciclo la magnitud y el angulo w=1; w2=[1:1:1000000]; while w<=1000000 ft(w)=(1/((l*c*w^2)+(r*c+i*w)+1)); mG(w)=-20*log10(sqrt(-(l*c*(w^2)-1)^2+(r*c*i*w)^2)); aG(w)=atand((r*c*w)/(1-(l*c*(w^2)))); w=w+1; end subplot(2,1,1) semilogx(w2,mG) ylabel('Magnitud (dB)') title('Diagrama de Bode de circuito RLC') subplot(2,1,2) semilogx(w2,aG) ylabel('Fase (deg)')
