AQU´I VA LA PORTADA
25 de abril de 2016
1
Resumen
En matem´ aticas y estad´ıstica una media o promedio es una medida de tendencia central que resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de n´umeros y que, en determinadas condiciones, puede representar por s´ı solo a todo el conjunto. Existen distintos tipos de medias, tales como la media geom´etrica, la media ponderada y la media arm´onica aunque en el lenguaje com´un, el t´ermino se refiere generalmente a la media aritm´etica, la cu´al se utiliza con mayor frecuencia en procesos estad´ısticos. De entrada, se aclara que en este documento se estudiar´an tres tipos de media: la media aritm´etica, la media geom´etrica y la media arm´onica. As´ı como tambi´en, las relaciones que existen entre ellas.
1.
Med´ıa Aritm´ etica y Media Geom´ etrica.
Existen numerosos ejemplos de medias, pero, una de las pocas propiedades compartidas por todas las medias es que cualquier media est´a comprendida entre el valor m´aximo y el valor m´ınimo del conjunto de variables:
{
min x1 , x2 ,...,xn
} ≤ x¯ ≤ max{x , x ,...,x } 1
2
n
En los casos espec´ıficos de la media aritm´etica y la media geom´etrica se tienen las siguientes definiciones: Media Aritm´ etica:
Sea x1 , x2 ,...,xn un conjunto de valores num´ericos, la media aritm´etica , denotada por x ¯ est´a dada por:
{
}
x ¯ =
n
1
n
xi
i=1
Media Geom´ etrica:
Sea x1 , x2 ,...,xn un conjunto de valores num´ericos, la media geom´etrica , denotada por x ¯g est´a dada por:
{
}
n
x ¯g =
1 n
xi
i=1
De ´esta forma, si el conjunto de valores est´a formado solamente por dos valores a y b, se tiene:
a+b
x ¯ =
¯g x
√ 2
=
ab
La idea que nos ocupa, a partir de aqu´ı, es la de idea de demostrar que la media aritm´etica de dos n´umeros positivos es siempre mayor o igual que la media geom´etrica de los mismos, es decir: a+b ab 2 Una forma sencilla de demostrarlo consiste en partir de dicha desigualdad y realizarle transformaciones correctas a la misma con el objetivo de llegar a una expresi´o n que
√
≤
2
sepamos con seguridad que es cierta. Despu´es, por tanto, podemos recorrer el desarrollo obtenido en sentido inverso y tendr´ıamos demostrada la desigualdad. Ve´ amoslo en este caso:
√
ab
≤
⇒ ab ≤ ⇒ ab ⇒ 4ab ⇒0 ⇒0
≤ ≤ ≤ ≤
a+b
2 a+b
2
2 a2 + 2ab + b2 4 2 a + 2ab + b2 a2
2
− 2ab + b ( a − b) Observe que en la ´ultima expresi´on tenemos que ( a − b) ≥ 0, lo cual resulta eviden2
2
temente cierto, ya que toda expresi´on elevada al cuadrado ser´a mayor o igual que cero. Si reescribimos el proceso de forma inversa, la desigualdad queda demostrada. Pero hay m´as formas de demostrar que esta desigualdad es cierta. A continuaci´on se presenta una demostraci´on visual de la misma, en la que m representa a la media aritm´etica de dos valores x e y y g a la media geom´etrica de esos n´umeros: En primer lugar, dibujamos una semicircunferencia cuyo di´a metro sea la suma de nuestro dos n´ umeros, x + y . Tomamos el punto de la circunferencia (en la imagen en rojo) que est´a verticalmente encima del punto de separaci´on entre los segmentos de longitudes x (en negro) e y (en azul) y dibujamos el tri´angulo que tiene como v´ ertices a este punto y a los extremos del di´ametro de la circunferencia, como se muestra en la imagen de la figura 1. Figura 1: Demostraci´ on Gr´ afica
Como dicho tri´ angulo est´ a inscrito en la semicircunferencia y uno de sus lados es un di´ametro de la misma sabemos que en realidad se trata de un tri´angulo rect´ angulo, (la medida del ´angulo es la mitad del arco de 180, es decir, nuestro ´angulo que abarca un arco de 180 . Por tanto, tenemos que el ´angulo mide 90 y, en consecuencia, el tri´angulo correspondiente es rect´angulo). ◦
◦
Dibujamos ahora el radio de la semicircunferencia que es perpendicular al di´ametro ya dibujado (en verde) y el segmento que une el punto rojo con el que tenemos marcado en el di´ametro (en rojo):
3
Figura 2: Demostraci´ on Gr´ afica
y Al ser un radio de la semicircunferencia, tenemos que el segmento verde mide x+ (la 2 mitad del di´ametro). Es decir, la longitud de ese segmento verde, que llamaremos m, es exactamente la media aritm´etica de x e y . Vamos a calcular ahora la longitud del segmento rojo.
Si llamamos g a dicho segmento rojo y a y b a los catetos del tri´angulo rect´ angulo, podemos considerar dicho tri´angulo dividido en otros dos tri´angulos rect´ angulos: el de lados agx y el de lados bgy : Figura 3: Demostraci´ on Gr´ afica
Ahora, utilizando el teorema de Pit´ agoras en los tres tri´angulos obtenemos las siguientes igualdades: a2 + b2
=
x2 + g 2
= a 2
y 2 + g2
=
(x + y )2 b2
(1) Sustituyendo las dos ´ultimas en la primera y desarrollando el t´ermino de la derecha de esa primera igualdad obtenemos lo siguiente: x2 + g 2 + y 2 + g 2 = x 2 + y 2 + 2xy
Simplificamos los t´erminos que aparecen en ambos lados: 2g 2 = 2xy 4
Dividimos entre 2 y aplicamos ra´ız cuadrada a ambos lados, obteniendo:
√ xy
g =
o, lo que es lo mismo, la longitud del segmento rojo, g , es la media geom´etrica de x e y . Y como es evidente que el segmento rojo siempre tendr´a menor o igual longitud que el segmento verde tenemos demostrada la desigualdad comentada inicialmente:
√ xy ≤ x + y 2
2. Med´ıa Aritm´ etica, Media Geom´ etrica y Media Arm´ onica. Se define la media arm´onica de un conjunto de valores de la siguiente forma: Media Arm´ onica:
Sea x1 , x2 ,...,xn un conjunto de valores num´ ericos, la media arm´ onica , denotada por x ¯a est´a dada por:
{
}
n
x ¯a = n
1
i=1
1
−
xi
Por ejemplo, para dos valores a y b se tiene que su media arm´onica est´a dada por: ¯a x
= 2
1
1
−
a
+
1
b
a+b = 2 ab 2ab = a+b
−
1
En esta secci´on, el objetivo es demostrar la siguiente desigualdad: ¯a x
≤ x¯ ≤ x¯ g
para lo cual se proceder´a de manera gr´afica. En primer lugar, supongamos que tenemos tres puntos colineales P , Q y M , tales que a = P M y b = QM . Observe la figura 4. Figura 4: Construcci´ on Gr´ afica
Luego ubicamos el punto medio de P Q y le llamamos A. Luego trazamos una circunferencia de centro A y radio AP como se muestra en la figura 5. Observe que el radio de la circunferencia es: AP =
a
−b 2
Ahora trazamos un segmento de recta del centro de la circunferencia a un punto G de la circunferencia, tal segmento de recta tendr´ a como longitud el radio, es decir AG = a 2 b . Observe la figura 6. −
5
Figura 5: Construcci´ on Gr´ afica
Figura 6: Construcci´ on Gr´ afica
6
Luego trazamos un segmento de recta del punto G al punto M . Observe que por conveniencia el AGM es rect´angulo.
El lado AM de
AGM se puede expresar como: a−b a+b AM = + b = 2
2
De est´a manera por el teorema de Pit´agoras se tiene: (GM )2 = (AM )2 (AG)2 a+b 2 a b 2 (GM ) = 2 2 a2 + 2ab + b2 (a2 (GM )2 = 4 ab 4 (GM )2 = 4 GM = ab
− − − −
2
2
− 2ab + b )
√
⇒
Puede observar ´este hecho en la figura 7. Figura 7: Construcci´ on Gr´ afica
Luego trazamos una perpendicular del punto G al segmento de recta AQ, tal recta corta al segmento en el punto H . Observe en la figura 8, que GH representa la medida de la altura del
AGM .
Se sabe que la altura de un tri´angulo rect´ angulo est´ a relacionada con sus catetos mediante la f´ormula: 1 1 1 = + 2 2 2 h
x
y
d´onde h es la altura, y x e y los catetos. En nuestro caso la expresi´on quedar´ıa como: 1 (GH )2
=
1 (AP )2
+
1 (GM )2
Al desarrollar ´esta expresi´ on se tiene: 1 (GH )2
=
1
+
1
√ a−b 2
7
2
ab
2
Figura 8: Construcci´ on Gr´ afica
1 (GH )2 1 (GH )2
= =
(GH )2 = (GH )2 = (GH )2 = GH =
4
+
1
(a b)2 ab 4ab + (a + b)2 ab(a b)2 ab(a b)2 4ab + (a + b)2 ab(a b)2 4ab + a2 2ab + b2 ab(a b)2 (a + b)2
−
− −
− −
−
√ ab(a − b) a+b
Ahora observe que con las medidas de GM y de GH ya se puede conocer la medida de angulo rect´ angulo, se puede aplicar el teorema de Pit´agoras y HM . Al ser HGM un tri´ se tiene:
(HM )2 = (GM )2 (HM )2 =
2
− (GH ) √ ab − ab(a − b) (a + b) ab(a − b) ab −
2
2
2
2
2
(HM )
=
(HM )2 = (HM )2 = (HM )2 = (HM )2 = (HM )2 = (HM )2 =
(a + b)2 ab(a2 2ab + b2 ) ab (a + b)2 a3 b 2a2 b2 + ab3 ab (a + b)2 ab(a + b)2 (a3 b 2a2 b2 + ab3 ) (a + b)2 ab(a2 + 2ab + b2 ) (a3 b 2a2 b2 + ab3 ) (a + b)2 a3 b + 2a2 b2 + ab3 a3 b + 2a2 b2 ab3 (a + b)2 4a2 b2 (a + b)2
−
− −
−
−
−
−
−
8
−
−
HM =
2ab a+b
´ Estas construcciones se pueden observar en la figura 9. Figura 9: Construcci´ on Gr´ afica
Por u ´ ltimo observe que en la figura 9 se cumplen las siguientes desigualdades:
≤ GM ≤ AM
HM
Lo que implica que:
2ab a+b
≤
√
ab
≤ a +2 b
Esto en realidad demuestra que: x ¯a
≤ x¯ ≤ x¯ g
para dos n´ umeros dados a y b con a > b > 0. Con lo cu´al, las desigualdades para las diferentes medias quedan demostradas.
9
