UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
UNIDAD 6 DESIGUALDADES En unidades anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas. El estudio de las DESIGUALDADES es útil, cuando el valor aproximado de una cantidad, interesa más que su valor exacto. La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello utilizamos los símbolos:
: Mayor o igual que. : Menor o igual que.
>: Mayor que. <: Menor que.
Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y a y b , utilizando los símbolos de desigualdad: “>”, “mayor que”; “<” menor que”; “ ”, “mayor o igual que”; “ ”, “menor o igual que”.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:
1.
Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva) Si a < b y b < c, entonces a < c
2. Si a > b, entonces Si a < b, entonces
(a c) > (b c) (a c) < (b c). c).
3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc Si a > b
y
c < 0, entonces
4. Si a > b y c > 0, entonces Si a > b y c < 0,
entonces
ac < bc . bc . a c a c
b c b c
5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva) 6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd 7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces a n > b n 8. Si a > b, entonces
1 a
1 b
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER a 0 b 0 9. a b 0, si a 0 b 0
a 0 b 0 a b 0, si a 0 b 0
10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma. Ejemplo 36 63 Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales
a. Desigualdades absolutas: o incondicionales, son semejantes a las identidades. Son satisfechas por todos los números Reales
Ejemplo:
2ab ab
ab
Su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las desigualdades).
b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos números Reales. Son desigualdades que poseen términos desconocidos
Ejemplo: 2 x 6 0
INTERVALOS Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.
CLASES DE INTERVALOS
Ejemplo
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
2
II- 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER Sean los intervalos A = [ –5, 5], B = ( – , 8]
1. A C
2. B C
3.
y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones: notaciones: A C B
Solución:
1. A C = – [ 5, ] Notación intervalo
A C = x / x 5 Notación de conjunto
2. B C = 2, 8 Notación intervalo B C = x / 2 x 8 Notación de conjunto 3. A C B= 2, 5 , 8 = , 8 Notación intervalo A C B= x / x 8 Notación de conjunto
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente.
La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.
Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación. La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante un intervalo).
Solución de inecuaciones Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el nombre de conjunto solución y puede expresarse de tres formas forma s diferentes: en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de “clases de intervalos” )
CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.
Ejemplo:
INECUACIÓN
TIPO
2x-3 > x-5 x-3 ≥ y x2-5x ≤ 4 xy-3 > 0
1º grado; 1 incógnita 1º grado; 2 incógnita 2º grado; 1 incógnita 2º grado; 2 incógnita
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER INECUACIONES DE UNA VARIABLE 1. Inecuaciones Lineales o de Primer Grado Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0 En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:
1. 2.
Quitar los paréntesis , si los hay. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica multiplic a los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.
3. 4. 5.
Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro. Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el
6. 7.
Despejar la x (la incógnita).
sentido de la desigualdad. Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.
Ejemplo 1: Resolver
x 2
3
5( x 7)
4 4( x 2) 3(5 x 35) 12
7x
2 6(7 x) 12
4 x 8 15 x 105 42 42 6 x 5 x 55 5 x 55 55 x 11 S= x
Ejemplo 2: Resolver
(- , 11)
2x 3 x 5
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene:
2x x 3 5 Reduciendo términos: x 8 S 8, x R / x 8
8
: Dada la siguiente inecuación 7 Ejemplo 3 :
x
2
5x 3
6 . Halle el conjunto solución y
grafíquelo. Suprimiendo denominadores ( m.c.m. = 6 ) se tiene: 42 3x 10x 36 Trasponiendo términos:
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
3x 10x 36 36
4
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER 13x 78 Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:
13x 78 Dividiendo por 13: x <
78 13
o sea,
x <6
S , 6 x R / x <6
)
6 2 x 3 x 1 x 1 3x
: Resolver Ejemplo 4 :
Efectuando las operaciones indicadas:
x2 2 x 3 x2 2 x 1 3 x Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo:
2 x 2 x 3 x 1 3 x4
S , 4
x R / x <4
4
Ejemplo 5: Dada la siguiente inecuación
x2
2x 2 1
1
x 2 . Halle el conjunto solución y
3 2 4 grafíquelo. Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para
obtener:
4 x 2 6 2 2x 1 3 12 2x x 8 12 4 12 2x 6 3 12 2x Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:
4 x 6 3 8 Despejando la variable
x de la inecuación, se obtiene: x
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
5 4
5 5 S , x R / x 4 4
5
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER 5/4
Solución de inecuaciones simultáneas de primer grado
Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces entonce s x >a x < b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución: S x / x a x / x b
6 4x 2 7
Ejemplo: Hallar el conjunto solución de Separando en dos desigualdades: 4 x 2 6 4x 2 7
4 x 6 2 x
8 4
x 2
4x 7 2 x
9
9
x
4 4
Sol: x 2 ,
9
4
2. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas básicas: ax 2 bx c 0 , ax 2 bx c 0, ax 2 bx c 0, ax 2 bx c 0
Procedimiento Primer Paso : : Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática. Segundo Paso : : Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación. Tercer Paso : : Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado. Cuarto Paso : : dar la solución en forma de intervalos y graficarla.
Ejemplo Dada la siguiente inecuación x 2 5 x 6 0 . Halle el conjunto solución y grafíquelo. Primer paso : Factorizar el polinomio dado
x2 5 x 6 x 3 x 2 , quedando una inecuación
de la forma: x 3 x 2 0 Segundo paso : Los casos que se deben considerar son los siguientes:
Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:
x 3 0
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
y x 2 0
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:
x 3 0
y
x 2 0
Sea SA el conjunto solución de la inecuación
x 3 0
Solución Caso I: inecuación x 2 0 , la solución del
y SB al conjunto solución de la
Caso I viene dada por: SI SA SB
Solución para SA
x 3 0
S A 3, x R / x 3
x 3 Solución para SB
x 2 0
S B 2, x R / x 2
x 2 La solución para SI es entonces:
SI SA SB 3, 2, 2, SI 2, x R / x 2
(
(
–3
–2
Solución Caso II: Si llamamos SC al conjunto solución de la inecuación inecuación x 2 0 , la solución del
x 3 0
y SD al conjunto solución de la
Caso II viene dada por: SII SC SD
Solución para SC :
x 3 0 x 3
Sc , 3 x R / x 3
Solución para SD :
x20 x 2
Sd , 2 x R / x 2
La solución para SII es entonces:
SII Sc Sd , 3 , 2 , 3 SII , 3 x R / x 3
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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) -3
)
-2
Solución General: La solución general será la unión unión de SI y SII , es decir:
SG SI SII 2, , 3 El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico . Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio o método de las cruces . El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en en Factorizar Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad.
Ejemplo 1 Dada la siguiente inecuación x 2 5 x 6 0 , halle el conjunto solución y grafique. Se factoriza el polinomio
x2 5 x 6 x 3 x 2 , quedando la inecuación de la forma:
x 3 x 2 0 Las raíces que anulan x 3 x 2 son x 3 y x 2 . ( Valores recta real (ver los signos.
críticos) Se ubican sobre la
cuadro 1 ). Se Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan
Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real. Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0 , por lo tanto la solución viene dada por: SG , 3 2,
Ejemplo 2
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
Dada la siguiente inecuación
x 1 2
2
x 1 3
2
8
, halle el conjunto solución y grafique. 3
Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo: x 2 2 x 15 0 Factorizando Factorizando
el polinomio resultante, resultante, se tiene
x2 2 x 15 x 5 x 3 , resultando una
inecuación de la forma:
x 5 x 3 0 Las raíces de x 5 x 3 son x 5 y x 3 (valores
críticos), las cuales se ubican sobre la
recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.
Se aprecia en el cuadro cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por: SG 3, 5 x R / 3 x 5
Gráficamente:
) -3
) 5
Casos especiales 1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma: Solución (ax + b)2 ≥ 0 valor critico
(ax + b)2 > 0 (ax + b)2 ≤ 0 (ax + b)2 < 0
x = − b/a
Ejemplo:
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER x 2 2 x 1 0 x 2 x 1 0 2
x
Usando la fórmula cuadrática :
2 22 4 2
2 0 2
1
2
x 1 0 Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es
2. Cuando no tiene raíces reales ( discriminante menor que cero ), le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución (vacio). Solución
x 2 x 1 0
x 2 x 1 0
x 2 x 1 0
x 2 x 1 0
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Pasos:
1. 2. 3. 4. 5.
Se descomponen en factores de primer o segundo grado. Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos. Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación .
Ejemplo: Resolver la inecuación x 3 4x 0 Resolverla es buscar los valores de la (<0).
x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo
El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar factor común x)
x x 2 4 0 , o lo que es lo mismo
x x 2 x 2 0
Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de la operación. Observa la gráfica: _
+
-2
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
_
0
+ 2
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Los valores de la
x que hacen negativo el producto son ,2 0,2 .
3. INECUACIONES RACIONALES Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas. ax b ax b ax b Expresión general: son del tipo 0, o 0, 0 , o todas sus equivalentes cx d cx d cx d etc.… y de grados mayores que uno. Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero . Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico . gráfico .
Pasos:
1º Hallamos las las raíces del numerador numerador y del denominador. 2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo teniendo en cuenta que las las raíces del denominador, independientemente del signo de la des igualdad, tienen que ser abiertas. 3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo 4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) qu e tengan el mismo signo que la fracción polinómica.
Ejemplo:
1. Dada la siguiente inecuación
2 x 3 x 10
x 2 x 2
0 halle el conjunto solución y grafique.
Factorizando los polinomios dados: x2 3 x 10 x 5 x 2 , Resultando una inecuación de la forma:
x2 x 2 x 2 x1
x 5 x 2 0 x 2 x 1
Las raíces que anulan el numerador son x 5 y x 2 , y las que anulan el denominador son x 2 y x 1 , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por:
SG 5, 2 1, 2 Gráficamente:
2. Resolver x 1 x 1
x 1 x 1
(
)
(
)
-5
-2
1
2
1
1 0 , ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos
cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x 1 x 1 y compara los resultados. Para nuestro caso, operando
x 1 x 1
1 0
x 1 x 1 x 1
2 x 1
0 , y todo se reduce a
averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en
,1 .
4. INECUACIONES CON VA VALOR LOR ABSOLUTO RECORDEMOS:
El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. Su definición formal es: a para a 0 a , a R para 0 a a y significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.
Ejemplo: 5 5 5
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER Propiedades del valor absoluto La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión. Sean a, b R.
1. a 0 2.
a
2
a
3. a a 4.
a
2
a2
5. a b a b 6.
a b
a b
, si b 0
7. a b a b Desigualdad triangular 8. a b b 0 a b a b Desigualdades con valor absoluto Sea x, y, a R . Se tiene entonces:
1. x a sii a 0
x a x a ó
a x a
[
]
-a
a
2. x a sii x a x a
] -a
3.
x y sii
[ a
x2 y2
Inecuaciones de primer grado con valor absoluto Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma. Para resolver estas inecuaciones inecuaciones es suficiente suficiente con desarrollar el valor valor absoluto de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones. Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas: Sean x, a, b, c R .
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER ax b c y ax b c
ax b c
1)
c ax b c
ó
Ejemplos:
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 x 10 15 y grafique. Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:
15 5 x 10 15 15 10 5 x 10 10 15 10 25 5 x 5 25 5 x 5 5
5 5 5 x 1
[
]
-5
1
S 5,1 x R / 5 x 1
x
b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 1 <
x
3 <
3 x 3
2< 1
x
3
3< 1 3
2 < 1 y grafique.
(
)
-9
-3
S 9, 3 x R / 9 < x < 3
9 < x< 3
ax b c ó ó ax b c ax b c ax b c
ax b c
2)
3
< 1
3 3 <
Ejemplos:
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 3 x 8 2 y grafique. 3 x 8 2
3 x 8 2
3 x 2 8
3 x 2 8
3 x 6
x 10 3
x x
6 3
x
10 3
10
3
-2
, 10 3 2,
2
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER 5 x 3 < 7 y grafique.
b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 x 3>7
5 x 3< 7
5 x>7+3
5 x < 7+3
5 x>10
5 x < 4
x >10 5
x < 4 5
4
)
(
5
2
4 , 2, 5
x >2
Otro ejemplo Resolvamos la desigualdad
2 x 1 x 3
3
Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes: 2 x 1 3 x 3
2 x 1 3 x 3 2 2 2 x 1 3x 9 2
2
2 x 1 3x 9 0 2 x 1 3 x 9 2 x 1 3 x 9 0 x 10 5x 8 0 Elaborando un diagrama de signos tenemos Signo de
x 10
Signo de
5 x 8
Signo de x 10 5 x 8
+
─
─
─
─
+
─
+
─
8
Vemos que la solución de la desigualdad es 10, 5
Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella? En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER y planteamos la siguiente inecuación:
Peso de la furgoneta
−
peso de 4 cajones
875 − 4.
X
no es menor que 415 kg
415
Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:
Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad
- 4. x 415 - 875
Hacemos el cálculo en el segundo miembro
- 4. x - 460
Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por (Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,
1 4
1 460 4
debemos cambiar el sentido de la desigualdad)
x
Hacemos el cálculo
x 115
Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0, 115]. Graficamos la solución en la recta real:
UNIDAD 6 DESIGUALDADES En unidades anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas. El estudio de las DESIGUALDADES es útil, cuando el valor aproximado de una cantidad, interesa más que su valor exacto. La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello utilizamos los símbolos: >: Mayor que.
: Mayor o igual que.
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER : Menor o igual que.
<: Menor que.
Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y a y b , utilizando los símbolos de desigualdad: “>”, “mayor que”; “<” menor que”; “ ”, “mayor o igual que”; “ ”, “menor o igual que”.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:
1.
Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva) Si a < b y b < c, entonces a < c
2. Si a > b, entonces Si a < b, entonces
(a c) > (b c) (a c) < (b c). c).
3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc Si a > b
y
c < 0, entonces
4. Si a > b y c > 0, entonces Si a > b y c < 0,
entonces
ac < bc . bc . a c a c
b c b c
5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva) 6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd 7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces a n > b n 8. Si a > b, entonces
1 a
1 b
a 0 b 0 9. a b 0, si a 0 b 0
a 0 b 0 a b 0, si a 0 b 0
10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma. 36 63 Ejemplo Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales
a. Desigualdades absolutas: o incondicionales, son semejantes a las identidades. Son satisfechas por todos los números Reales
Ejemplo:
2ab ab
ab
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER Su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las desigualdades).
b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos números Reales. Son desigualdades que poseen términos desconocidos
Ejemplo: 2 x 6 0
INTERVALOS Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.
CLASES DE INTERVALOS
Ejemplo
Sean los intervalos A = [ –5, 5], B = ( – , 8] 1. A C 2. B C 3.
y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones: notaciones: A C B
Solución: [ 5, ] Notación intervalo 1. A C = –
A C = x / x 5 Notación de conjunto
2. B C = 2, 8
B C = x / 2 x 8 Notación de conjunto
3.
Notación intervalo
A C B= 2, 5 , 8 = , 8 Notación intervalo A C B= x / x 8 Notación de conjunto
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER inecuaciones también se conocen como anteriormente.
desigualdades
condiciónales, como se mencionó
La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.
Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación. La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante un intervalo).
Solución de inecuaciones Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el nombre de conjunto solución y puede expresarse de tres formas forma s diferentes: en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de “clases de intervalos” )
CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.
Ejemplo:
INECUACIÓN
TIPO
2x-3 > x-5 x-3 ≥ y x2-5x ≤ 4 xy-3 > 0
1º grado; 1 incógnita 1º grado; 2 incógnita 2º grado; 1 incógnita 2º grado; 2 incógnita
INECUACIONES DE UNA VARIABLE 1. Inecuaciones Lineales o de Primer Grado Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0 En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:
8. 9.
Quitar los paréntesis , si los hay. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica multiplic a los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.
10. Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro. 11. Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica.
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER 12. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad. 13. Despejar la x (la incógnita). 14. Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.
Ejemplo 1: Resolver
x 2
3
5( x 7)
4 4( x 2) 3(5 x 35) 12
7x
2 6(7 x) 12
4 x 8 15 x 105 42 42 6 x 5 x 55 5 x 55 55 x 11 S= x
(- , 11)
2x 3 x 5
Ejemplo 2: Resolver
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene:
2x x 3 5 Reduciendo términos: x 8 S 8, x R / x 8
8
Ejemplo 3 : : Dada la siguiente inecuación 7
x
2
5x 3
6 . Halle el conjunto solución y
grafíquelo. Suprimiendo denominadores ( m.c.m. = 6 ) se tiene: 42 3x 10x 36
3x 10x 36 36
Trasponiendo términos:
13x 78 Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:
13x 78 Dividiendo por 13: x <
78 13
o sea,
x <6
S , 6 x R / x <6
)
6
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER 2 x 3 x 1 x 1 3x
Ejemplo 4 : : Resolver
Efectuando las operaciones indicadas:
x2 2 x 3 x2 2 x 1 3 x Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo:
2 x 2 x 3 x 1 3 x4
S , 4
x R / x <4
4
Ejemplo 5: Dada la siguiente inecuación
x2 3
2x 2 1 2
1 4
x 2 . Halle el conjunto solución y
grafíquelo. Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para obtener:
4 x 2 6 2 2x 1 3 12 2x 4 12 2x 6 3 12 2x x 8 12 Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:
4 x 6 3 8 Despejando la variable
x de la inecuación, se obtiene: x
5 4
5 5 S , x R / x 4 4
5/4
Solución de inecuaciones simultáneas de primer grado
Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces entonce s x >a x < b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución: S x / x a x / x b
Ejemplo: Hallar el conjunto solución de
6 4x 2 7
Separando en dos desigualdades: 4 x 2 6 4x 2 7
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER 4 x 6 2 x
8 4
x 2
4x 7 2
x
9
9
x
4
Sol: x 2 ,
4
9
4
2. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas básicas: ax 2 bx c 0 , ax 2 bx c 0, ax 2 bx c 0, ax 2 bx c 0
Procedimiento : Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la Primer Paso : ecuación de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática. Segundo Paso : : Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación. Tercer Paso : : Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado. Cuarto Paso : : dar la solución en forma de intervalos y graficarla.
Ejemplo Dada la siguiente inecuación x 2 5 x 6 0 . Halle el conjunto solución y grafíquelo. Primer paso : Factorizar el polinomio dado
x2 5 x 6 x 3 x 2 , quedando una inecuación
de la forma: x 3 x 2 0 Segundo paso : Los casos que se deben considerar son los siguientes:
Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:
x 3 0
y x 2 0
Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:
x 3 0
y
x 2 0
Sea SA el conjunto solución de la inecuación
x 3 0
Solución Caso I: inecuación x 2 0 , la solución del
y SB al conjunto solución de la
Caso I viene dada por: SI SA SB
Solución para SA
x 3 0 x 3
S A 3, x R / x 3
Solución para SB
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER x 2 0
S B 2, x R / x 2
x 2 La solución para SI es entonces:
SI SA SB 3, 2, 2, SI 2, x R / x 2
(
(
–3
–2
Solución Caso II: Si llamamos SC al conjunto solución de la inecuación inecuación x 2 0 , la solución del
x 3 0
y SD al conjunto solución de la
Caso II viene dada por: SII SC SD
Solución para SC :
x 3 0
Sc , 3 x R / x 3
x 3 Solución para SD :
x20
Sd , 2 x R / x 2
x 2 La solución para SII es entonces:
SII Sc Sd , 3 , 2 , 3 SII , 3 x R / x 3
) -3
)
-2
Solución General: La solución general será la unión unión de SI y SII , es decir:
SG SI SII 2, , 3 El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico . Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio o método de las cruces . El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en en Factorizar Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad.
Ejemplo 1 Dada la siguiente inecuación x 2 5 x 6 0 , halle el conjunto solución y grafique. Se factoriza el polinomio
x2 5 x 6 x 3 x 2 , quedando la inecuación de la forma:
x 3 x 2 0 Las raíces que anulan x 3 x 2 son x 3 y x 2 . ( Valores recta real (ver los signos.
críticos) Se ubican sobre la
cuadro 1 ). Se Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan
Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real. Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0 , por lo tanto la solución viene dada por: SG , 3 2,
Ejemplo 2 Dada la siguiente inecuación
x 1 2
2
x 1 3
2
8
, halle el conjunto solución y grafique. 3
Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo: x 2 2 x 15 0 Factorizando Factorizando
el polinomio resultante, resultante, se tiene
x2 2 x 15 x 5 x 3 , resultando una
inecuación de la forma:
x 5 x 3 0 Las raíces de x 5 x 3 son x 5 y x 3 (valores
críticos), las cuales se ubican sobre la
recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
Se aprecia en el cuadro cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por: SG 3, 5 x R / 3 x 5
Gráficamente:
)
) 5
-3
Casos especiales 1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma: Solución (ax + b)2 ≥ 0 valor critico
(ax + b)2 > 0 (ax + b)2 ≤ 0 (ax + b)2 < 0
x = − b/a
Ejemplo: x 2 2 x 1 0 x 2 x 1 0 2
Usando la fórmula cuadrática :
x
2 22 4
2
2 0 2
1
2
x 1 0 Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es
2. Cuando no tiene raíces reales ( discriminante menor que cero ), le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución (vacio).
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER Solución x x 1 0
x x 1 0
x x 1 0
x 2 x 1 0
2 2 2
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Pasos:
1. 2. 3. 4. 5.
Se descomponen en factores de primer o segundo grado. Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos. Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación .
Ejemplo: Resolver la inecuación x 3 4x 0 Resolverla es buscar los valores de la (<0).
x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo
El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar factor común x)
x x
2
4 0 , o lo que es lo mismo x x 2 x 2 0
Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de la operación. Observa la gráfica: _
Los valores de la x que hacen negativo el producto son ,2 0,2 .
+
-2
_
0
+ 2
3. INECUACIONES RACIONALES Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas. ax b ax b ax b Expresión general: son del tipo 0, o 0, 0 , o todas sus equivalentes cx d cx d cx d etc.… y de grados mayores que uno.
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero . Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico . gráfico .
Pasos:
1º Hallamos las las raíces del numerador numerador y del denominador. 2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo teniendo en cuenta que las las raíces del denominador, independientemente del signo de la des igualdad, tienen que ser abiertas. 3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo 4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) qu e tengan el mismo signo que la fracción polinómica.
Ejemplo:
1. Dada la siguiente inecuación
x 2 3 x 10 x 2 x 2
0 halle el conjunto solución y grafique.
Factorizando los polinomios dados: x2 3 x 10 x 5 x 2 , Resultando una inecuación de la forma:
x2 x 2 x 2 x1
x 5 x 2 0 x 2 x 1
Las raíces que anulan el numerador son x 5 y x 2 , y las que anulan el denominador son x 2 y x 1 , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.
Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por:
SG 5, 2 1, 2 Gráficamente:
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER x 1
2. Resolver x 1 x 1
x 1
(
)
(
)
-5
-2
1
2
1
1 0 , ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos
cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x 1 x 1 y compara los resultados. Para nuestro caso, operando
x 1 x 1
1 0
x 1 x 1 x 1
2 x 1
0 , y todo se reduce a
averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en
,1 .
4. INECUACIONES CON VA VALOR LOR ABSOLUTO RECORDEMOS:
El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. Su definición formal es: a para a 0 a , a R a a para 0 y significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.
Ejemplo: 5 5 5 Propiedades del valor absoluto La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión. Sean a, b R.
9. a 0 10.
a
2
a
11. a a 12. a
2
a2
13. a b a b 14.
a b
a b
, si b 0
15. a b a b Desigualdad triangular 16. a b b 0 a b a b
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER Desigualdades con valor absoluto Sea x, y, a R . Se tiene entonces:
1. x a sii a 0
x a x a ó
a x a
[
]
-a
a
2. x a sii x a x a
] -a
3.
x y sii
[ a
x2 y2
Inecuaciones de primer grado con valor absoluto Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma. Para resolver estas inecuaciones inecuaciones es suficiente suficiente con desarrollar el valor valor absoluto de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones. Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas: Sean x, a, b, c R .
1)
ax b c
ax b c y ax b c
ó
c ax b c
Ejemplos:
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 x 10 15 y grafique. Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:
15 5 x 10 15 15 10 5 x 10 10 15 10 25 5 x 5 25 5 x 5 5
5 5 5 x 1
[
]
-5
1
S 5,1 x R / 5 x 1
b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:
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29
x
3
2 < 1 y grafique.
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER 1 <
x
3 <
3 x 3
2< 1
< 1
3 3 <
x
3
3< 1 3
)
-9
-3
S 9, 3 x R / 9 < x < 3
9 < x< 3
ax b c ó ó ax b c ax b c ax b c
ax b c
2)
(
Ejemplos:
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 3 x 8 2 y grafique. 3 x 8 2
3 x 8 2
3 x 2 8
3 x 2 8
3 x 6
x 10 3
x x
6
x
3
10
10
3
-2
3
, 10 3 2,
2
b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 x 3>7
5 x 3< 7
5 x>7+3
5 x < 7+3
5 x>10
5 x < 4
x >10 5
x < 4 5
4
5 x 3 < 7 y grafique.
)
(
5
2
4 , 2, 5
x >2
Otro ejemplo Resolvamos la desigualdad
2 x 1 x 3
3
Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes: 2 x 1 3 x 3
2 x 1 3 x 3
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER 2 2 2 x 1 3x 9 2
2
2 x 1 3x 9 0 2 x 1 3 x 9 2 x 1 3 x 9 0 x 10 5x 8 0 Elaborando un diagrama de signos tenemos Signo de
x 10
Signo de
5 x 8
Signo de x 10 5 x 8
+
─
─
─
─
+
─
+
─
8
Vemos que la solución de la desigualdad es 10, 5
Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella? En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:
Peso de la furgoneta
−
peso de 4 cajones
875 − 4.
X
no es menor que 415 kg
415
Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:
Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad
- 4. x 415 - 875
Hacemos el cálculo en el segundo miembro
- 4. x - 460
Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por
1 4
(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,
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II- 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
1 460 4
debemos cambiar el sentido de la desigualdad)
x
Hacemos el cálculo
x 115
Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0, 115]. Graficamos la solución en la recta real:
UNIDAD 6 DESIGUALDADES En unidades anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas. El estudio de las DESIGUALDADES es útil, cuando el valor aproximado de una cantidad, interesa más que su valor exacto. La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello utilizamos los símbolos:
: Mayor o igual que. : Menor o igual que.
>: Mayor que. <: Menor que.
Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y a y b , utilizando los símbolos de desigualdad: “>”, “mayor que”; “<” menor que”; “ ”, “mayor o igual que”; “ ”, “menor o igual que”.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:
1.
Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva) Si a < b y b < c, entonces a < c
2. Si a > b, entonces Si a < b, entonces
(a c) > (b c) (a c) < (b c). c).
3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc Si a > b
y
c < 0, entonces
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ac < bc . bc .
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER 4. Si a > b y c > 0, entonces Si a > b y c < 0,
entonces
a c a c
b c b c
5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva) 6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd 7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces a n > b n 8. Si a > b, entonces
1 a
1 b
a 0 b 0 9. a b 0, si a 0 b 0
a 0 b 0 a b 0, si a 0 b 0
10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma. Ejemplo 36 63 Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales
a. Desigualdades absolutas: o incondicionales, son semejantes a las identidades. Son satisfechas por todos los números Reales
Ejemplo:
2ab ab
ab
Su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las desigualdades).
b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos números Reales. Son desigualdades que poseen términos desconocidos
Ejemplo: 2 x 6 0
INTERVALOS Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.
CLASES DE INTERVALOS
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
Ejemplo
Sean los intervalos A = [ –5, 5], B = ( – , 8]
1. A C
2. B C
3.
y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones: notaciones: A C B
Solución: [ 5, ] Notación intervalo 1. A C = –
A C = x / x 5 Notación de conjunto
2. B C = 2, 8
B C = x / 2 x 8 Notación de conjunto
3.
Notación intervalo
A C B= 2, 5 , 8 = , 8 Notación intervalo A C B= x / x 8 Notación de conjunto
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente.
La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.
Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación. La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante un intervalo).
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER Solución de inecuaciones Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el nombre de conjunto solución y puede expresarse de tres formas forma s diferentes: en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de “clases de intervalos” )
CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.
Ejemplo:
INECUACIÓN
TIPO
2x-3 > x-5 x-3 ≥ y x2-5x ≤ 4 xy-3 > 0
1º grado; 1 incógnita 1º grado; 2 incógnita 2º grado; 1 incógnita 2º grado; 2 incógnita
INECUACIONES DE UNA VARIABLE 1. Inecuaciones Lineales o de Primer Grado Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0 En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:
15. Quitar los paréntesis , si los hay. 16. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica multiplic a los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.
17. Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro. 18. Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica. 19. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad. 20. Despejar la x (la incógnita). 21. Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.
Ejemplo 1: Resolver
x 2
3
5( x 7)
4 4( x 2) 3(5 x 35) 12
7x
2 6(7 x) 12
4 x 8 15 x 105 42 42 6 x 5 x 55 5 x 55 55 x 11 S= x
Ejemplo 2: Resolver
(- , 11)
2x 3 x 5
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene:
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER 2x x 3 5 Reduciendo términos: x 8 S 8, x R / x 8
8
: Dada la siguiente inecuación 7 Ejemplo 3 :
x
2
5x
3
6 . Halle el conjunto solución y
grafíquelo. Suprimiendo denominadores ( m.c.m. = 6 ) se tiene: 42 3x 10x 36
3x 10x 36 36
Trasponiendo términos:
13x 78 Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:
13x 78 Dividiendo por 13: x <
78 13
o sea,
x <6
S , 6 x R / x <6
)
6
: Resolver Ejemplo 4 :
2
x 3 x 1 x 1 3x
Efectuando las operaciones indicadas:
x2 2 x 3 x2 2 x 1 3 x Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo:
2 x 2 x 3 x 1 3 x4
S , 4
x R / x <4
4
Ejemplo 5: Dada la siguiente inecuación
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
x2 3
36
2x 2 1 2
1 4
x 2 . Halle el conjunto solución y
II- 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER grafíquelo. Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para obtener:
4 x 2 6 2 2x 1 3 12 2x 4 12 2x 6 3 12 2x x 8 12 Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:
4 x 6 3 8 Despejando la variable
x de la inecuación, se obtiene: x
5 4
5 5 S , x R / x 4 4
5/4
Solución de inecuaciones simultáneas de primer grado
Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces entonce s x >a x < b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución: S x / x a x / x b
Ejemplo: Hallar el conjunto solución de
6 4x 2 7
Separando en dos desigualdades: 4 x 2 6 4x 2 7
4 x 6 2 x
8 4
x 2
4x 7 2 x
9
9
x
4 4
Sol: x 2 ,
9
4
2. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas básicas: ax 2 bx c 0 , ax 2 bx c 0, ax 2 bx c 0, ax 2 bx c 0
Procedimiento Primer Paso : : Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática. Segundo Paso : : Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación. Tercer Paso : : Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
37
II- 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER seleccionado.
: dar la solución en forma de intervalos y graficarla. Cuarto Paso :
Ejemplo Dada la siguiente inecuación x 2 5 x 6 0 . Halle el conjunto solución y grafíquelo. Primer paso : Factorizar el polinomio dado
x2 5 x 6 x 3 x 2 , quedando una inecuación
de la forma: x 3 x 2 0 Segundo paso : Los casos que se deben considerar son los siguientes:
Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:
x 3 0
y x 2 0
Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:
x 3 0
y
x 2 0
Sea SA el conjunto solución de la inecuación
x 3 0
Solución Caso I: inecuación x 2 0 , la solución del
y SB al conjunto solución de la
Caso I viene dada por: SI SA SB
Solución para SA
x 3 0
S A 3, x R / x 3
x 3 Solución para SB
x 2 0
S B 2, x R / x 2
x 2 La solución para SI es entonces:
SI SA SB 3, 2, 2, SI 2, x R / x 2
( –3
( –2
Solución Caso II: Si llamamos SC al conjunto solución de la inecuación inecuación x 2 0 , la solución del
x 3 0
y SD al conjunto solución de la
Caso II viene dada por: SII SC SD
Solución para SC :
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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II- 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER x 3 0
Sc , 3 x R / x 3
x 3 Solución para SD :
x20
Sd , 2 x R / x 2
x 2 La solución para SII es entonces:
SII Sc Sd , 3 , 2 , 3 SII , 3 x R / x 3
) -3
)
-2
Solución General: La solución general será la unión unión de SI y SII , es decir:
SG SI SII 2, , 3 El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico . Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio o método de las cruces . El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en en Factorizar Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad.
Ejemplo 1 Dada la siguiente inecuación x 2 5 x 6 0 , halle el conjunto solución y grafique. Se factoriza el polinomio
x2 5 x 6 x 3 x 2 , quedando la inecuación de la forma:
x 3 x 2 0 Las raíces que anulan x 3 x 2 son x 3 y x 2 . ( Valores recta real (ver los signos.
críticos) Se ubican sobre la
cuadro 1 ). Se Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real. Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0 , por lo tanto la solución viene dada por: SG , 3 2,
Ejemplo 2 Dada la siguiente inecuación
x 1 2
2
x 1 3
2
8
, halle el conjunto solución y grafique. 3
Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo: x 2 2 x 15 0 Factorizando Factorizando
el polinomio resultante, resultante, se tiene
x2 2 x 15 x 5 x 3 , resultando una
inecuación de la forma:
x 5 x 3 0 Las raíces de x 5 x 3 son x 5 y x 3 (valores
críticos), las cuales se ubican sobre la
recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.
Se aprecia en el cuadro cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por: SG 3, 5 x R / 3 x 5
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
Gráficamente:
)
) 5
-3
Casos especiales 1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma: Solución (ax + b)
2
≥0
valor critico
(ax + b)2 > 0 (ax + b)2 ≤ 0 (ax + b)2 < 0
x = − b/a
Ejemplo: x 2 2 x 1 0 x 2 x 1 0 2
Usando la fórmula cuadrática :
x
2 22 4 2
2 0 2
1
2
x 1 0 Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es
2. Cuando no tiene raíces reales ( discriminante menor que cero ), le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución (vacio). Solución
x 2 x 1 0
x 2 x 1 0
x 2 x 1 0
x 2 x 1 0
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Pasos:
1. 2. 3. 4. 5.
Se descomponen en factores de primer o segundo grado. Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos. Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación .
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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II- 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
Ejemplo: Resolver la inecuación x 3 4x 0 Resolverla es buscar los valores de la (<0).
x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo
El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar factor común x)
x x 2 4 0 , o lo que es lo mismo
x x 2 x 2 0
Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de la operación. Observa la gráfica: _
Los valores de la x que hacen negativo el producto son ,2 0,2 .
+
-2
_
0
+ 2
3. INECUACIONES RACIONALES Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas. ax b ax b ax b Expresión general: son del tipo 0, o 0, 0 , o todas sus equivalentes cx d cx d cx d etc.… y de grados mayores que uno. Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero . Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico . gráfico .
Pasos:
1º Hallamos las las raíces del numerador numerador y del denominador. 2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo teniendo en cuenta que las las raíces del denominador, independientemente del signo de la des igualdad, tienen que ser abiertas. 3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo 4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) qu e tengan el mismo signo que la fracción polinómica.
Ejemplo:
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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II- 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER 1. Dada la siguiente inecuación
x 2 3 x 10 2 x x 2
0 halle el conjunto solución y grafique.
Factorizando los polinomios dados: x2 3 x 10 x 5 x 2 , Resultando una inecuación de la forma:
x2 x 2 x 2 x1
x 5 x 2 0 x 2 x 1
Las raíces que anulan el numerador son x 5 y x 2 , y las que anulan el denominador son x 2 y x 1 , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.
Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por:
SG 5, 2 1, 2 Gráficamente:
2. Resolver x 1 x 1
x 1 x 1
(
)
(
)
-5
-2
1
2
1
1 0 , ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos
cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x 1 x 1 y compara los resultados. Para nuestro caso, operando
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
x 1 x 1
1 0
x 1 x 1 x 1
43
2 x 1
0 , y todo se reduce a
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en
,1 .
4. INECUACIONES CON VA VALOR LOR ABSOLUTO RECORDEMOS:
El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. Su definición formal es: a para a 0 a , a R a a para 0 y significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.
Ejemplo: 5 5 5 Propiedades del valor absoluto La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión. Sean a, b R.
17. a 0 18.
a
2
a
19. a a 20. a
2
a2
21. a b a b 22.
a b
a b
, si b 0
23. a b a b Desigualdad triangular 24. a b b 0 a b a b Desigualdades con valor absoluto Sea x, y, a R . Se tiene entonces:
1. x a sii a 0
x a x a ó
a x a
[
]
-a
a
2. x a sii x a x a
] -a
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
[ a
44
II- 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER 3.
x y sii
x2 y2
Inecuaciones de primer grado con valor absoluto Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma. Para resolver estas inecuaciones inecuaciones es suficiente suficiente con desarrollar el valor valor absoluto de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones. Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas: Sean x, a, b, c R .
1)
ax b c
ax b c y ax b c
ó
c ax b c
Ejemplos:
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 x 10 15 y grafique. Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:
15 5 x 10 15 15 10 5 x 10 10 15 10 25 5 x 5 25 5 x 5 5
5 5 5 x 1
[
]
-5
1
S 5,1 x R / 5 x 1
b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 1 < 3 <
x
3 x 3
2< 1
x
3
3< 1 3
9 < x< 3
2)
< 1
3 3 <
ax b c
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
x
3
2 < 1 y grafique.
(
)
-9
-3
S 9, 3 x R / 9 < x < 3
ax b c ó ó ax b c ax b c ax b c
45
II- 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER Ejemplos:
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 3 x 8 2 y grafique. 3 x 8 2
3 x 8 2
3 x 2 8
3 x 2 8
3 x 6
3 x 10
x x
6
x
3
10
10
3
-2
3
, 10 3 2,
2
b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 x 3>7
5 x 3< 7
5 x>7+3
5 x < 7+3
5 x>10
5 x < 4
x >10 5
x < 4 5
4
5 x 3 < 7 y grafique.
)
(
5
2
4 , 2, 5
x >2
Otro ejemplo Resolvamos la desigualdad
2 x 1 x 3
3
Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes: 2 x 1 3 x 3
2 x 1 3 x 3 2 2 2 x 1 3x 9 2
2
2 x 1 3x 9 0 2 x 1 3 x 9 2 x 1 3 x 9 0 x 10 5x 8 0 Elaborando un diagrama de signos tenemos Signo de
x 10
Signo de
5 x 8
Signo de x 10 5 x 8
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
+
─
─
─
─
+
─
+
─
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
8
Vemos que la solución de la desigualdad es 10, 5
Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella? En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:
Peso de la furgoneta
−
peso de 4 cajones
875 − 4.
X
no es menor que 415 kg
415
Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:
Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad
- 4. x 415 - 875
Hacemos el cálculo en el segundo miembro
- 4. x - 460
Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por
1 4
(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,
1 460 4
debemos cambiar el sentido de la desigualdad)
x
Hacemos el cálculo
x 115
Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0, 115]. Graficamos la solución en la recta real:
ING. EDGAR VARGAS RUIZ
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
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