Introducci´ on on
Este libro est´a dirigido a estudiantes de las Olimpiadas de Matem´aticas que quieren prepararse en el estudio de desigualdades, tema ahora frecuente en los concursos de matem´aticas aticas de distintos niveles. En este volumen se presentan las desigualdades cl´asicas asicas y desde luego las m´as as utiles u ´tiles para enfrentar y resolver problemas de optimizaci´on. on. Para la presentaci´on on de los temas, temas, el libro libro se ha dividido dividido en cuatro cuatro cap´ cap´ıtulos. ıtulos. El cap´ cap´ıtulo 1 de desigualdades desigual dades num´ericas ericas contiene las desigualdades desigual dades b´asicas. asicas. La mayor´ mayor´ıa de ellas son desigualdades desigual dades num´ericas ericas que en general ge neral carecen de una interpretaci´ on on geom´ etrica, etrica, sin embargo cuando es posible posi ble darla ´esta esta se incluye. Se hace notar la importancia de algunas de ellas, por ejemplo, la desigualdad entre la media geom´ etrica etrica y la l a media med ia aritm´etica, etica, la desigualdad desigual dad de Cauchy-Schwarz, Ca uchy-Schwarz, la desigualdad del reacomodo, la desigualdad de Jensen, la desigualdad de Muirhead, entre otras. Para todas ellas, adem´as as de su justificaci´on, on, se presentan varios ejemplos que muestran c´omo omo utilizarlas en problemas del tipo de olimpiadas de matem´aticas. aticas. Tambi´en en se hace notar c´omo omo la estrategia de sustituci´on on se utiliza para deducir varias desigualdades. En el cap´ cap´ıtulo 2 de desigualdades desigual dades geom´ etricas, etricas , se s e ejemplifica ejem plifica el uso us o de las desigualdade gual dadess num´ericas eric as b´asicas asi cas del cap c ap´ ´ıtulo ıtu lo 1 para p ara resolv res olver er problema prob lemass geom´etricos. etri cos. Se trabaja tambi´en, en, en esta est a parte, con desigualda de sigualdades des que tienen ti enen un fuerte fuert e contenido geom´ etrico, etrico, iniciando inicia ndo con c on hechos h echos b´asicos asicos como la desigualdad del tri´angulo angulo y la desigualdad de Euler. Introducimos ejemplos donde el car´acter act er sim´etrico etri co en las variables ayuda a resolver algunos problemas, problemas, se hace tambi´ en en ´enfasis enfasis en c´omo omo los cambios de variable se utilizan para deducir varias de ellas. Resaltamos entre ´estos estos la transformaci´ transformaci´on on de Ravi y la correspondencia entre una desiguladad en t´ erminos erminos de las longitudes de los lados de un tri´angulo a angulo a,, b, b , c y las desigualda de sigualdades des correspondientes corresp ondientes en t´erminos erminos de s, s , r y R y R,, el e l semi s emiper´ per´ımetro, ımet ro, el
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Introducci´ on on
inradio y el circunradio del tri´angulo, angulo, respectivamen respec tivamente. te. Se S e incluyen incl uyen tambi´en en vava rios problemas proble mas geom´etricos etri cos cl´asicos asi cos haci h aciendo endo hinca h incapi´ pi´e en los m´ etodos eto dos utiliz uti lizados ados para resolverlos. En el cap´ cap´ıtulo 3 se presentan ciento veinte problemas problemas de desigualdades que han aparecido en concursos recientes, cubriendo todos los niveles desde olimpiadas nacionales, regionales hasta competencias internacionales. En el cap´ cap´ıtulo 4, se dan las l as soluciones solucione s a cada uno de los doscientos doscie ntos diez ejercicios de los cap´ cap´ıtulos 1 y 2, as´ as´ı como a los problemas presentados en el cap´ cap´ıtulo 3. La mayor mayor´ıa de las soluciones de los ejercicios o problemas que han aparecido en competencias internacionales de matem´aticas aticas se extrajeron de las soluciones oficiales de cada uno de los concursos. Esta es la raz´on on por la cual no damos cr´ editos editos individuales indivi duales por ellas. Una gran parte de los ejercicios y problemas de desigualdades se pueden resolver utilizando distintas t´ ecnicas, ecnicas, es por ello que encontrar´ encontrar´a algunos ejercicios repetidos, pero en diferentes secciones. Esto le indicar´a que puede encontrar, con la t´ecnica ecnica desarrollada desarrollad a en la secci´on on correspondiente, una manera de resolver el ejercicio utilizando dicha herramienta. El material presentado en este libro ha sido acumulado durante los ´ultimos quince a˜nos, nos, principalmente durante las sesiones de trabajo con estudiantes que han ganado el concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matem´aticas; estos estudiantes se estaban preparando para las competencias internacionales en las que M´ exico exico participa. Quisier Qui sieramos amos agradecer agra decer a Rafael Ra fael Mart´ Mart´ınez ıne z Enr E nr´´ıquez, ıqu ez, Leonardo Leonard o Ignac I gnacio io Mart´ Mart´ınez Sandoval, Sandoval, David Mireles Mo Morales rales,, Jes´ us us Rodr´ Rodr´ıguez Viorato y Pablo Sober´on on Bravo por su cuidadosa revisi´on on del texto y sus valiosos comentarios, lo cual permiti´o mejorar la presentaci´on on del libro.
Radmila Bulajich Manfrino Jos´e Antoni Ant onio o G´ omez omez Ortega Rogelio Valdez Delgado
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Introducci´ on on
inradio y el circunradio del tri´angulo, angulo, respectivamen respec tivamente. te. Se S e incluyen incl uyen tambi´en en vava rios problemas proble mas geom´etricos etri cos cl´asicos asi cos haci h aciendo endo hinca h incapi´ pi´e en los m´ etodos eto dos utiliz uti lizados ados para resolverlos. En el cap´ cap´ıtulo 3 se presentan ciento veinte problemas problemas de desigualdades que han aparecido en concursos recientes, cubriendo todos los niveles desde olimpiadas nacionales, regionales hasta competencias internacionales. En el cap´ cap´ıtulo 4, se dan las l as soluciones solucione s a cada uno de los doscientos doscie ntos diez ejercicios de los cap´ cap´ıtulos 1 y 2, as´ as´ı como a los problemas presentados en el cap´ cap´ıtulo 3. La mayor mayor´ıa de las soluciones de los ejercicios o problemas que han aparecido en competencias internacionales de matem´aticas aticas se extrajeron de las soluciones oficiales de cada uno de los concursos. Esta es la raz´on on por la cual no damos cr´ editos editos individuales indivi duales por ellas. Una gran parte de los ejercicios y problemas de desigualdades se pueden resolver utilizando distintas t´ ecnicas, ecnicas, es por ello que encontrar´ encontrar´a algunos ejercicios repetidos, pero en diferentes secciones. Esto le indicar´a que puede encontrar, con la t´ecnica ecnica desarrollada desarrollad a en la secci´on on correspondiente, una manera de resolver el ejercicio utilizando dicha herramienta. El material presentado en este libro ha sido acumulado durante los ´ultimos quince a˜nos, nos, principalmente durante las sesiones de trabajo con estudiantes que han ganado el concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matem´aticas; estos estudiantes se estaban preparando para las competencias internacionales en las que M´ exico exico participa. Quisier Qui sieramos amos agradecer agra decer a Rafael Ra fael Mart´ Mart´ınez ıne z Enr E nr´´ıquez, ıqu ez, Leonardo Leonard o Ignac I gnacio io Mart´ Mart´ınez Sandoval, Sandoval, David Mireles Mo Morales rales,, Jes´ us us Rodr´ Rodr´ıguez Viorato y Pablo Sober´on on Bravo por su cuidadosa revisi´on on del texto y sus valiosos comentarios, lo cual permiti´o mejorar la presentaci´on on del libro.
Radmila Bulajich Manfrino Jos´e Antoni Ant onio o G´ omez omez Ortega Rogelio Valdez Delgado
Contenido
Introducci´ on on 1. Desigualdades Num´ ericas 1.1.. El orde 1.1 orden n en los los n´ umeros reales . . . 1.2.. La funci´ 1.2 funci´ on on cuadr´atica atica ax2 + 2bx 2bx + + c. 1.3. Una desigual desigualdad dad fundame fundamental, ntal, medi mediaa geo geom m´etri e trica ca-m -med edia ia aritm ritm´ ´etic e ticaa . 1.4. Una desigual desigualdad dad maravillo maravillosa, sa, la desigu igualdad del reacomodo odo . . . . 1.5. Funciones convexas . . . . . . . . . 1.6.. Una desi 1.6 desigua gualda ldad d ´util . . . . . . . . . 1.7. La estrate estrategia gia de sustituci´ sustituci´ on . . . . . 1.8. Teorema de Muirhead . . . . . . . .
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2. Desigualdades Geom´ etricas 2.1. Dos desig desigualdad ualdades es b´ b´asicas . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Desigualdad Desigualdades es entre los los lados de un tri´ tri´angulo . . . 2.3. Uso de desigualdades en la geometr´ geometr´ıa del tri´angulo 2.4. 2.4. La desi desigu gual alda dad d de de Eul Euler er y alg algun unas as aplic aplicac acio ione ness . . . 2.5. Funciones sim´etricas etricas de a, a , b y c . . . . . . . . . . . 2.6. Desigualdad Desigualdades es con con ´areas y per per´ıme ımetros . . . . . . . 2.7. Teorema eorema de Erd¨ os-Mordell . . . . . . . . . . . . . 2.8. Problemas Problemas de optimiza optimizaci´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . 3. Problemas Recientes de Desigualdades
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. 15 . 24 . 38 . 46 . 51
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59 59 63 68 77 82 87 93 102
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115
IV
Contenido
4. Soluciones a los Ejercicios y Problemas 4.1. 4.1. Solu Soluci cion ones es a los los ejer ejerci cici cios os del del cap cap´´ıtulo ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . 4.2. 4.2. Solu Soluci cion ones es a los los ejer ejerci cici cios os del del cap cap´´ıtulo ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . 4.3. 4.3. Solu Soluci cion ones es a los los pro proble blema mass del del cap cap´´ıtul ıtulo o3. . . . . . . . . . . . .
13 5 13 1355 16 1611 18 1877
Notaci´ on
235
Bibliograf´ıa
237
´Indice
239
Cap´ıtulo 1
Desigualdades Num´ ericas
1.1.
El orden en los n´ umeros reales
Los n´ umeros reales tienen la importante propiedad de poseer un orden. El orden en los n´umeros reales nos permitir´a comparar dos n´umeros y decidir cual de ellos es mayor o bien si son iguales. A fin de evitar justificaciones tediosas, asumiremos que en los n´umeros reales hay un conjunto P que llamaremos el conjunto de n´umeros positivos, y simb´olicamente escribiremos x > 0, para decir que un n´umero x est´ a en P . Aceptaremos tambi´ en las tres propiedades siguientes.
Propiedad 1.1.1 Cada n´ umero real x tiene una y s´ olo una de las siguientes caracter´ısticas: (i) x = 0. (ii) x P (esto es x > 0). (iii) x P (esto es x > 0).
∈ − ∈
− Propiedad 1.1.2 Si x,y ∈ P , entonces x + y ∈ P (en s´ımbolos x > 0, y > 0 ⇒ x + y > 0). Propiedad 1.1.3 Si x, y ∈ P , entonces xy ∈ P (en s´ımbolos x > 0, y > 0 ⇒ xy > 0). Si tenemos a la “recta real” como representaci´ on geom´ etrica de los n´umeros reales, es decir, una recta dirigida donde se ha localizado el cero “0”, el cual
