DESIGUALDADES - INECUACIONES IRRACIONALES INECUACIONES IRRACIONALES
Por el teorema “II” “II” x+6 0 x -6
Son aqu aquell ellas as inecuac inecuacione iones s que present presentan an radical radicales, es, si los radi radica cale les s son son de índi índice ce IMPAR PAR no e ex xiste iste res resttricc ricció ión n respe respect cto o a sus radi radican cando dos s los los que que pue puede den n ser posit positiv ivos os o nega negati tivo vos s o cero cero,, en el caso caso de que que los los radi radica cale les s sean sean de índic ndice e PAR PAR, se debe deben n rest restri ring ngir ir los los radi radica cand ndos os,, est estos deben deb en ser ser mayor mayores es o iguale iguales s a cero en forma forma gen genera eral, l, al al resol resolve verr esta esta rest restri ricci cción ón el C.S C.S const constit ituy uye e el univ univer erso so “U”, “U”, lueg luego o se resu resuel elve ve la inec inecua uaci ción ón medi median ante te oper operac acio ione nes s algebr algebraica aicas s el conjunt conjunto o solució solución n hallad hallado o se inters intersecta ecta con el universo para hallar el conjunto solución final Ejemplo :
2
2x - 3 0 x 3/2
( 2x-3) > x+6 2 4x - 12x + 9 > x+6 2 4x - 13x + 3 > 0 (4x - 1) (x - 3) > 0 +
+ 1
-
3
4
{x <
x > 3}
Intersectando :
3 0
-
1
3
3
C.S = ]3; [
Resolver : Restricción 5 - x 0 Elevando al cuadrado :
5 x ....... (U) 5-x 9 -4 x ... ..... .... .. (C.S (C.SI)
Intersectando :
VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN El valor valor absol absolut uto o de un númer número o real real “x” “x” denot denotado ado por por |x| |x| se define como :
-
5
C.S C.S = ]- ; -4] -4]
|x| =
TEOREMAS I.
Q(x) Q(x)<0}
II.
P(x) 0
Q(x)
P(x)
III.
{[Q(x) 0
0
P(x)
Q(x) 0
2
de don donde de se enti entiend ende e que el valo valorr absol absolut uto o de un númer número o real es no ne negativo gativo
2
Ejemplo : |3| = 3 puesto que 3 > 0 |-4| = -(-4) = 4 puesto que -4 < 0
P(x) Q (x)]
0
Q(x)
P(x) 0
Q (x)
P(x)
Q(x)
OBSERVAC OBSERVACIÓN IÓN : Tambi También én se defi define ne usual usualmen mente te como como :
Resolver : Por el teorema “I” “I” 2
x -14x+13
0
|x| =
{[x-3
2
0
+
(x-3) ]
+ 1
(x-13)(x-1)
2
x -14x 14x+13
0
-
{[x
1
3
x]
x<3
x-3 < 0 0}}
INTERPRETACIÓN ABSOLUTO
]- ; 1]
[13; [ .. (I) x<3 x
inte inters rsec ecta tand ndo oI
DEL
VALOR
El val valor or absol absolut uto o de “x” “x” es la dist distan ancia cia del del punt punto o “x” “x” de la rect recta a real real al orige origen n es decir decir al pun punto to cer cero, o, asi asimis mismo mo la la dist distan anci cia a entr entre e dos dos punt puntos os cual cuales esqu quie iera ra a y b vien viene e a ser ser el valor absoluto: |a - b| o también |b - a|.
x x
GEOMÉTRICA
]- ; 3[ ..... (II)
II : C.S C.S = ]]- ; 1] 1]
Resolver : 2x - 3 > -22-
C. S {
|
-
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO TEOREMAS :
|
-
2.
|-x| = |x|
3.
|xy| = |x| |y|
x
2
a
{a
0
-a
II.
Si : |x|
a
{x
a
x
1. x; y
2
4.
|x | = |x| = x
5.
-|x|
x
Si : |x|
|x|
y x
0
x
2
a}
a}
2
y
(importante)
x; |x|
-x
Desigualdad triangular |x + y| |x| + |y| x; y también :
|x - y| |x| + |y| |x + y + z| |x| + |y| + |z| ||x| - |y|| |x - y|
OBSERVACIONES : Si : |x| + |y|=|x+y| xy Si : |x| + |y|=|x-y| xy
0 0
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Teoremas : Si : |x| = b b 0 {x = b x = -b} Si : |x| = |y| x = y x = -y Ejemplo : Resolver : |2x - 1| = 3 3 0 2x - 1 = 3 2x - 1 = -3 2x = 4 2x = -2 x=2 x = -1 C.S = {2; -1} Ejemplo : Resolver : |x - 2| = 3x - 9 3x - 9 0 {x - 2 = 3x - 9 3x 9 7 = 2x 3
=x
x - 2 = -(3x - 9)} x - 2 = - 3x + 9 4x = 11
x=
Observar que : x =
si verifica : x
2
Resolver : |x - 1| - 5|x - 1| - 14 0 Factorizando por aspa simple : (|x - 1| + 2) (|x - 1| - 7) 0 Pero : |x - 1| positivo x
x
Corolario : |x|
x
|y|
x
Ejemplo :
x; y 2
I.
III. Si : |x|
TEOREMAS 1. |x| 0 x
6.
}
3 y x=
no
verifica -23-
0
|x - 1| + 2 2 |x - 1| + 2 es se anula |x - 1| - 7 0 |x - 1| 7 por teorema -7 x - 1 7 sumando 1 -6 x 8 C.S = [-6; 8]
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Luego de resolver: y siendo S su conjunto solución, podemos afirmar que:
inecuación
y dar como respuesta el
cardinal de dicho conjunto. A) S = ]- ; -1] [4; + [ B) El producto de todas sus soluciones es no nula C) S [0; + [ D) S = [-1; 4] E) S - ]-1; 4[ =
A) 1 D) -2
B) x E) x
03. Resolver :
se obtiene C.S =
- { entonces ab es: A) 1 B) 2 D) 4 E) 5 -1 1
C) x > -2
2
D) ]B) [2; 3[ E) ]7; [
B) 2 E) Infinita
< -1
x
( )
> -1
x
( ) El conjunto solución de A) VVV B) FFV D) FFF E) VFF 06. Halle todas las x
A) x [2; + [ B) x C) x ]3; 4[ D) x E) x /x<3
2
[
E) ]-
[
[
12. Resolver: e indique el C.S A) ]- ; [ D) ]- ;-1[
C) 3
B) ]- ; 2] E) ]- ; 2[
C) ]- ;-
B) 1 x<2 E) x -1 1 x<2
C) x<2
[
13. Resolver:
05. Marque verdadero (V) o falso (F): ( )
C) 3
C) ]- ; 6]
04. Indique el número de soluciones enteras que presenta la desigualdad: A) 1 D) 4
2
}
11. Resolver: |x + 1| - 3|x + 1| - 4 < 0 La solución se encuentra en el intervalo: A) ][ B) ] [ C) ]
< 5-x e indicar un intervalo solución
A) ]- ; 2] D) - {2}
C) 0
10. Al resolver la inecuación:
02. Resolver la inecuación :
A) x > 0 D) x > -5
B) 2 E) 3
se obtiene: A) x -1 D) x -1 x>2
< 4 es: ]- ; 13[ C) VFV
14. Luego de resolver:
/
indique como respuesta la suma de los extremos finitos de su conjunto solución A) -1 B) 1/2 C) 0 D) -1/2 E) 15. Resolver: (x + 15)(4x -
x>4
x
)(e +
)
0
donde:
07. Hallar el conjunto solución de la siguiente desigualdad: A) x < 1/2 B) x > 1/5 C) x > -2/3 D) x > -5/3 E) x < 1
A) x D) x
x > 1/3 x < 3/4 x<1 x<1
[-15;0]
B) x [-15;0[ E) x
C) x
]-1;0[
16. ¿Cuál es el mayor valor entero que satisface el sistema ?
08. Si: S es el C.S de: 2 2x + 7|x| - 4 < 0 entonces : A) S ]-1; 1[ B) S = ]-1/2; 1/2[ C) S = ]-1; 1[ D) S ]0; 1/2[ E) S = {-1/2; 1/2}
A) -1 D) -4
09. Calcular los valores de “x” que no satisfacen la
B) -2 E) -5
C) -3
17. Determinar los valores enteros de x e y que satisfacen : -24-
20. Resuelva:
e indique : y A) 1 D) 8
x
B) 2 E) 9
A)
B) x =
D) x =
E)
/2
C) x = e/2
x
C) 4
18. ¿Qué valor entero de “z” verifica el sistema de inecuaciones siguientes ?
A) 3 D) 9
B) 5 E) 11
C) 7
19. El conjunto solución de la inecuación :
es : A) ]-2; 2[ D) ]-2; -1]
B) [1; 2[ E) ]-2; -1]
C) [-1; 1] [1; 2[
TAREA 01. Si “S” es el conjunto solución de:
E) S
05. Halle el conjunto :
entonces podemos afirmar: A) S [-10; 0]
B) S = [4;+ >
C) S < -
D) S
A = {3x+2 / + A) {1; 8} B) [-1; 8] D) ]-1; 2[ E) [-1; 2]
E) S = 02. Resolver: |2x + 5| + |x + 3|
|x - 2|
si la solución es: S = [a; b] calcular: a - 4b A) -1 D) 2
B) 0 E) 3
C) 1
03. Al resolver:
se obtiene: x [a; b] - {c} Calcular: |a| + |b| + |c| A) 1 B) 2 D) 3 E) 7/2
[0; 3]
C) 5/2
04. Si al resolver: ,el conjunto solución es S, entonces podemos afirmar que: A) S ]-3; 3[ B) S [-1; 3[ C) S [-2; 2] = D) S = -25-
> x-3} C) [0; 2]
06. Sea : A = {2x+1 / C hallar A ]- ; 3[ A) ]- ; -5[ B) ]-5; 3[ D) ]-5; 0[ E) ]- ; 3[ 07. Sea A={x / C hallar el conjunto A A) ]1/2; + [ D) ]- ; 1/2]
x+1}, C) ]-3; 3[
< 4x}
B) [1/2; + [ E) Φ
08. Resolver : solución: A) ]1/2; 4[ B) ]3/2; 4[ C) ]- ; -1/6[ ]1/2; 3/2[ D) ]- ; 4[ E) [-1/6; 4[
C) [-4/5; 1/2]
e indicar el conjunto
09. Calcular el mayor valor que toma (x+y) del siguiente sistema de inecuaciones :
donde x e y A) 6 D) 8
Z B) 5 E) 7
C) 4
10. Si : =3, dar elconjunto detodos los valores dex que satisfacen :
A) [-1; 0[ D) ]0; 1[
B) ]-1; 0] E) ]-1; 0[
C) [-1; 0]
-26-
