Ejemplo 1.3.8. Determinar explicitamente el conjunto
∈ x
R
2
| 32 − 40 x
x
+9
≥0 − 40 .
32x2
´ Para encontrar las soluciones de Soluci on:
x
+ 9 = 0 completamos
el cuadrado (podemos tambi´ en utilizar el m etodo ´ del discriminante): 2
32x
− 40
x
+ 9 = 32
2
x
−
5 9 x+ 4 32
5 52 9 + x+ 2 4 8 32 2 5 7 8 64
− − − √ 2
= 32
x
= 32
x
= 32
x
− 5 +8
7
x
−
x 5+ 7 8
5− 7 8
32
√
5+ 7 8
x
√
5− 7 8
x
√
√
5− 7 5+ 7 , 8 8
− −
√
x
5− 7 8
,
√
− − − − x
√
−
8
.
40x + 9 :
− ∞ √
5+ 7 , 8
+
−
+
√ 5− 7
Podemos ahora escribir el diagrama de signos del polinomio 32x2
−∞
52 82
+
+
−
+
Deducimos que
∈ x
R
2
| 32 − 40 x
x
+9
≥ −∞ 0 =
,
5
− √7 ∪ 8
√
5+ 7 , 8
∞
.
Ejemplo 1.3.9. Resolver la desigualdad
√ − −√
2 1
x
x
+1
≥√
x.
´ Para que las ra´ ıces cuadradas sean bien definidas, debemos imSoluci on:
poner que x
∈ (−∞ 1] ∩ [−1 ∞) ∩ [0 ∞) ⇐⇒ ∈ [0 1] ,
,
,
x
,
.
Tomando cuadrados dos veces, obtenemos
√ − −√
2 1
x
+1
≥√
x
=
x2
⇒ 4(1 − ) − 4 1 − + + 1 ≥ ⇐⇒ 5 − 4 ≥ 4 1 − =⇒ 25 − 40 + 16 ≥ 16 − 16 ⇐⇒ 32 − 40 + 9 ≥ 0 (1.3) La ultima ´ desigualdad fue resuelta en el Ejemplo 1.3.8. Entonces, la con√ √ √ +1 ≥ secuencia es que si 2 1 − − , el numero ´ debe pertenecer al x
x
x
x
2
x
x
x
x
x2
2
2
x
x
x
x
.
x
x
conjunto
− ∞
,
5
− √7 ∪ 8
√
5+ 7 , 8
∞ ∩ 17
[0, 1] = 0,
5
− √7 ∪ 8
√
5+ 7 ,1 8
.
√
√
5+ 7 , 1 sat Ahora, eso no significa que todos los numeros ´ en 0, 5−8 7 8 x+1 x , porque en (1.3) no tenisfacen la desigualdad 2 1 x emos solamente equivalencias “ ”, pero tambi´ en implicaciones “ = ” que provienen de la operaci´ on “tomar cuadrados”. De hecho, on √ una verificaci´ 5+ 7 , 1 no son soludirecta muestra que todos los n umeros ´ del intervalo 8 ciones. As´ ı, obtenemos al final como conjunto de soluciones solo ´ el intervalo
√ − −√ ⇐⇒
0,
5
≥
− √7 8
18
√
.
∪
⇒
