Derivate in Fisica

Le derivate in Fisica Definizione di derivata di una funzione ⊂ ℝ e sia  x ∈ a , b  se attribuiamo ad x  un Sia f   x  :  a , b   ℝ con  a , b ⊂ℝ  x  x  ∈ a ,b  allora  y = f   x  x − f   x  incremento  x in modo tale che  x rappresenta l'incremento corrispondente subito dalla f   x  . Si definisce derivata di f   x  rispetto ad  x il limite per

lim  x  0

 x  0 del rapporto incrementale

  y cioè:  x

 y f   x  x − f  x  d f  x  =lim  x  0 ≡ ≡ D x  f   x =[ f   x ] '  . dx  x  x

La derivata è il rapporto tra l'incremento infinitesimo dy = df  x   subito da a causa dell'incremento dell'incremento infinitesimo dx  avuto da  x . Le quantità df  x  e dx prendono il nome di differenziale di f   x  e di  x rispettivamente.

f   x 

1. La velocità velocità è la deriva derivata ta dello dello spazio spazio rispetto rispetto al tempo tempo infatti è sufficiente sostituire f   x  con S  t  e si ottiene:   t = lim  t  0 V 

   t  t − S   t  d S   t  S S   t  = lim  x  0 ≡ ≡ Dt  S d t   t   t 

Se consideriamo il grafico della equazione oraria nel piano cartesiano S  t  , t  la velocità del corpo in questine è, in ogni istante, data dal coefficiente angolare della retta tangente all' equazione oraria nell' istante considerato.  punti di massimo e!o di minimo relativo di S  t  sono punti nei quali il corpo inverte il suo moto e conseguentemente la sua velocità è zero in quanto la tangente alla curva S  t  è parallela all'asse delle ascisse cioè all'asse dei tempi.

2. Analogamente Analogamente la accelerazione accelerazione è la derivata derivata della velocità rispetto rispetto al tempo   t  e si ottiene: infatti è sufficiente sostituire S  t  con V 

  t = lim t  0 a

    t   t −V    t  d    V  V V  V  V  t     t  =lim x  0 ≡ ≡ D t V  V  t   t  d t 

3. Esempio moto rettilineo uniformemente accelerato : " #    S  t =  a t   V 0 t  S0 #

  t ≡ V 

a≡ 

d S  t  0 ≡ Dt   S  t =a t V  d t 

d   V   t     t = ≡ D t  V a d t 

$el caso di moto nel piano si ha: a≡ 



d   V   t  d  t    t = dV   t   ≡ D t  V  V  n d t  d t  d t 



dove il primo termine rappresenta la componente tangenziale della velocità ed il secondo quella radiale in quanto, come ricorderete,  = V    parallelo V    perpendicolare = V     t  n  V   ,  V 

e passando al differenziale si ha d   V = d   V  parallelo d   V  perpendicolare =V d   t  n d V   .

. Esempio moto armonico :   cos  t   dove  A rappresenta l'ampiezza del moto armonico S  t = A   t =− A   sin  t  V 

 # cos  t    a  t =− A

!sservazione importante  Se S = S  t  fosse una qualsiasi funzione del tempo per determinare velocità ed accelerazione del corpo in funzione del tempo e quindi in qualsivoglia istante, si devono calcolare rispettivamente la derivata prima e seconda di S = S  t  rispetto al tempo. %. &lla luce di quanto sopra possiamo scrivere la seconda legge della dinamica  nel seguente modo: =  F 

  t  d  p ≡ D t  p   t  dove, in generale, d t 

  t  .  p   t = m  t  V 

 =m  L' espressione di cui sopra ha una validità pi generale della usuale  F  a in quanto essa pu( essere applicata anche al caso in cui la massa del corpo non sia costante ad esempio è utile nello studio del moto dei razzi. )ome vedremo, inoltre, sarà questa la formulazione del  principio della dinamica che si dovrà adottare nell'ambito della teoria dell relatività ristretta.

*. La potenza è la derivata del lavoro rispetto al tempo :  P  t =lim  t   0

     t  t −   t  d   t  =lim  x  0 ≡ ≡ D t    t  d t   t   t 

o pi in generale la derivata dell'energia rispetto al tempo:  P  t =

d   t  ≡ Dt  t   t  d t 

+. "l potenziale elettrico e il potenziale gravitazionale sono la derivata dell'energia potenziale elettrica e dell'energia potenziale gravitazionale rispetto alla carica ed alla massa rispettivamente: V   ! =lim  !  0

 "  "  !  ! −"  !  d "   !  =lim !  0 ≡ ≡ D! "  !  d! ! !

V   m =lim  m  0

 "  "  m  m −"  m  d "   m = lim m  0 ≡ ≡ D m "  m dm m m

#. "l campo elettrico generato da una carica puntiforme in $uiete è uguale a meno la derivata del potenziale elettrico rispetto al raggio  V  V   r  r −V   r  d V   r  =−lim  r  0 ≡− ≡− D r V  r  dr r r

 #  r =−lim  r  0

! r

infatti : #  r =$  # =−

 

d  ! $  dr r

%. "l campo gravitazionale generato da una massa in $uiete è uguale a meno la derivata del potenziale gravitazionale rispetto al raggio %  r =−lim  r  0

 V  V   r  r −V   r  d V  r  =−lim  r  0 ≡− ≡− D r V  r  dr r r

infatti : %  r = &

 

 m d  m =− & # dr r r

1&.La corrente elettrica è la derivata della carica rispetto al tempo:    t = lim t  0

( (  t  t −(  t  d (  t  =lim  x  0 ≡ ≡ Dt (  t  d t   t   t 

etc, etc ........................................

"n conclusione possiamo affermare che tutte le volte ce una grandezza è definita come il rapporto di due $uantità infinitesime si a a ce fare con una derivata . Le grandezze in questione possono essere fisiche, chimiche, economiche..........

Esercizi Esercizio n corpo di massa m= % )% si muove di moto rettilineo secondo la legge oraria " # S  t = t   - t  #t − " dove #

S è espresso in metri e t  in secondi . opo aver studiato

il tipo di moto a cui è soggetto il corpo determina la sua energia cinetica e la sua potenza dopo un tempo t =- s . Su%%erimento Si deve fare lo studio della funzione   t = istante V 

" # S  t = t   - t  #t − " ricordando che in ogni #

d S  t  ≡ Dt   S  t  . l problema è semplificato dal fatto che, come viene d t 

detto, trattarsi di moto rettilineo.

Esercizio Su di un conduttore la carica elettrica varia nel tempo secondo la relazione: (  t =-  "− e/p −#t   dove ( è espressa in )oulomb e t  in secondi . etermina : la carica iniziale, il tempo necessario perch la carica sul conduttore sia il "01 della carica iniziale, la corrente che fluisce nel conduttore e la potenza dissipata in funzione del tempo sapendo che la resistenza del conduttore è  * =+ )  . )on quale dispositivo si pu( generare una corrente del genere2