DERET-FUNGSI

MATERI MATERI : Deret fungsi. DERET FUNGSI: Deret bilangan bentuk umum ∑ un (x) = u 1(x)+ u2(x)+ u3(x)+ u4(x), ………….+

un(x)…

un (x) = suku umum deret fungsi berupa fungsi dari x. Contoh  !ontoh " #eret kuasa " ∞

1. ∑ Cn xn = C0 C! "  C# "#  C$ "$  %%%% n=$

Deret kuasa &alam '"(a) ∞

#. ∑ Cn (x%a)n = C0 C! "  C# "#  C$ "$  %%%% n=$

∞

*+n,ergensi #eret kuasa " ∑ Cn xn

 

n =$

#engan &est 'asio "

 

ika

im

C n+1

n→∞

C n

= L

maka deret ∑ un

 -x-

%

*on *oner erg gen ika ika - x - / 1

%

#ier ierg gen ika ika - - x - 0 1 -x- 0

/

1  L

1  L

Atau &engan -ara ang sama  "

ika

%

im

C n

n→∞ C  n+1

= ρ 

maka deret ∑ un

*on *oner erg gen ika ika - x - / 1

 -x-

/

 ρ 

%

#iergen ika - x - 0 1 -x- 0

%

ntuk x =

 ρ   dan

%

ρ   disebut

ari%ari konergensi

x=%

 ρ 

 ρ   deret

diseidiki ebih anut konergensina.

Contoh " 1. eidiki intera konergensi dari x untuk deret fungsi berikut" 2 n −1 x n ∑ n2 + 1 n =1 ∞

aab"

 ρ = im

C n

n→∞ C  n +1

=

im (

n →∞

#eret konergen -x- / 5

2

n −1

2

(n + 1) + 1

2

(n + 1)

 %

n

2

)=5

5/x/5 −

∞

ntuk x = 5 deret menadi ∑ n =1

2 n 1 x n n2 + 1

∞

=∑

2

n −1

n =1

(1 6 2)

2

n +1

n

∞

=∑ n =1

1 2(n + 1)

#i!ek konergensi dengan 7outien &est " ∞

1

8mbi deret hiperharmonis ∑ n 2  ang konergen maka n =1

im

un

n→∞ v n

im

= im

1 6(2(n 2 +1)) 16 n

n→∞

n

n→∞ 2(n

2

2

+1)

=

1 2

≠$

adi untuk x = 5 deret konergen.

2

=

2

2n −1 x n ∑ n2 + 1 n =1 ∞

ntuk x = %5 deret menadi

∞

=∑

2

n −1

( −1 6 2)

=∑

2

n +1

n =1

(−1)n

∞

n

n =1

2

2(n + 1)

dengan &est iebni9"

 

a).

im-un -= imn→∞

n→∞

(−1)

b) - un+1 - =

n 2

2;(n + 1) + 1:

=

(−1)

n

2

2(n +1)

(−1)

n

2

2n + 4n + 3 ∞

- =$

/ - un -=

(−1) 2(n 2

n

+

1)

 untuk n < 1

(−1)n

adi untuk x = % 5 deret ∑  uga konergen666 2 2(n + 1) n =1

*esimpuan." #eret konergen % 5  x  5 #eret diergen x / 5 atau % 5 / x

2. eidiki intera konergensi dari x untuk deret fungsi berikut" ∞

 x n −1

∑ ( 2n n =1

 

+ 1)>

aab"

 ρ = im

C n

n→∞ C  n +1

=

im (

n →∞

1 (2n + 1)>

( 2n + 1)> 1

)= ∞

#eret konergen % ∞  / x / ∞  666

Menguraikan Fungsi men/a&i &eret angkat

uatu fungsi f(x) dapat diuraikan mendi deret pangkat daam x dan daam (x  a) , ika fungsi f(x) ada turunan%turunanna di x=$ dan x=a. Deret Tal+r"

?ungsi f(x) diuraikan ke daam deret pangkat (x%a) disebut deret &aor sebagai berikut " .f(x) = f(a) +

  f  A ( a ) 1> ∞

= ∑

  f  n ( a)

n =$

n>

( x

−

a)

+

  f  @ ( a ) 2>

( x

−

a)2

+

  f  3 ( 3>

( x − a ) n

Deret Ma- 1aurin:

?ungsi f(x) diuraikan ke daam deret pangkat (x) disebut deret Ba! aurin sebagai berikut " .f(x) = f($) +

  f   A ($) 1> ∞

= ∑ n =$

 x

+

  f   @ ($) 2>

n

  f   ($) n>

 x

n

Contoh" 1. #eretkan ke deret &aor f(x) = nx di a = 1 aab " deret &aor sebagai berikut "

3

 x

2

+

  f    ($) 3>

x

.

f(x) = f(a) +

  f  A ( a ) 1>

( x

a)

−

+

  f  @ ( a ) 2>

3

( x

; di a =1 : .f(1) = n 1 = $ . f(x ) = .fD(x) = %

1

 f(1)

 x

1  x

 fD(1)

2

1

. f 3(x) = 2

=1=$>

 x

= %1 = % 1>

3

3

 f  (1)=

. f 4 (x) = % 2 . 3

1  x

2 = 2>

 f

4

4

 (1) = % 2. 3 = %3 >

deret &aor sebagai berikut " .

f(x)= n x = $ + ∞

n x = ∑

$> 1>

( x − 1) −

(−1) n +1

n =1

n

( x − 1)

1> 2>

( x − 1) 2 +

2> 3>

n

2. #eretkan ke deret Ba! aurin f(x) = e %x aab .f($)= e$ = 1 f(x ) = % e%x  f($) = %1 .fD(x) = e%x

 fD($)

. f 3(x) = % e%x . f 4 (x) = e %x

3

=1

 f  ($)=  f

%1

4

 ($) = 1

deret Ba! aurin sebagai berikut "

( x − 1)3 − .........

−

a)

2

+

  f   ( 3>

.f(x) = f($) +

  f   A ($) 1> e%x = 1 % ∞

e  = ∑ %x

n=$

 x

+

  f   @ ($) 2>

 x 2

+

1 1 1 3  x +  x 2 − x + ......... 1> 2> 3>

( −1) n n>

 x n

TUGAS:

 eidiki intera konergensi deret fungsi berikut " En −1 x n ∑ 3n + 1 n =1 ∞

1.

∞

n

3  x

n−1

2. ∑ (2n 2 + 1) n=1

3. #eretkan ke deret &aor f(x) =

1 4 x + E

 di a = 2

4. #eretkan ke deret Ba! aurin f(x) = sin 2 x F. #eretkan ke deret Ba! aurin f(x) = n (x+1) GH* INTERNA1 1IN* E*STERNA1

1IN* D2*UMEN "

%

Burra '. piIe ', *8* 8H&8H, , Jrangga , akarta 1KK1

%

Lur!e,J..,D Ca!uus Mith 8nati! Neometr, Lrenti!e  

  f   3 ($) 3>

x

Oa , Gn!., 1KK4.