Propiedades de la varianza Si X es una variable aleatoria con función de probabilidad probabilidad o densidad f(x), la varianza de una función de la variable X , m(x) , se calcula según la expresión:
Casos concretos: 1 Cuando a todos los valores de una variable se les suma una constante, la varianza de la variable conserva el mismo valor (ver imagen en las propiedades de la media)
! Cuando a todos los valores de una variable se les multiplica por una constante, la varianza de la variable "ueda multiplicada por el valor de la constante elevado al cuadrado (ver imagen en las propiedades de la media)
# Si X e $ son dos variables aleatorias con función de densidad o probabilidad probabilidad con%unta f(x,&), la varianza de la función m(x,&) ' a X b $, donde a & b son constantes reales se calcula como:
n el caso de "ue a ' b ' 1 Si adem*s ocurre "ue X e $ sean independientes + x& ' , luego
-arianza
Defnición 3.13 Se llama varianza de la esperanza esperanza d de e la variable aleatoria
& se denota por , si esta existe
,a
Se demuestra "ue la existencia de la varianza implica la existencia de la esperanza .or el contrario, una variable aleatoria puede tener una esperanza pero no tener varianza s el caso, por e%emplo, si
tiene por densidad:
l c*lculo de las varianzas se simpli/ca, con frecuencia, gracias al siguiente resultado
Proposición 3.14 0a varianza de tiene:
existe si & sólo si
existe & se
Demostración : .ara pasar de la de/nición a la formula anterior, basta desarrollar el cuadrado & emplear la linealidad de la integral
0a varianza mide cuanto se ale%an del valor medio, toma
0a varianza no es omog2nea: si
, los valores "ue
es una longitud expresada en
metros, est* expresada en metros cuadrados sto se corrige introduciendo la desviación estándar "ue es la ra3z cuadrada de la varianza 0as propiedades principales de la varianza son las siguientes
Proposición 3.15
.ara todo
:
.ara todo
:
Si
e
son independientes, entonces:
Demostración : 0as dos primeras propiedades son consecuencia directa de la de/nición .ara la tercera, si entonces
&
e
son independientes, tambi2n lo son 4enemos por tanto:
0a desigualdad de Bienaymé-Tchebichev "ue presentamos a continuación traduce la idea intuitiva "ue los valores "ue toma
se separan menos
de según es m*s pe"ue5a l caso extremo es el de una variable aleatoria de varianza nula, la cual solamente puede tomar un valor
Teorema 3.16 Sea ntonces, para todo
una variable aleatoria "ue admite una varianza :
Demostración : 6emostraremos este resultado para las variables continuas, el razonamiento para las variables discretas es an*logo .ongamos Se tiene:
.resentamos algunos e%emplos de c*lculos de la varianza
0e& de 7ernoulli :
por tanto:
0e& binomial :
suma de 7ernoullis independientes
0e& geom2trica
:
por tanto:
0e& de .oisson
:
por tanto:
0e& uniforme
:
por tanto:
Si
sigue la le&
0e& exponencial
,
:
sigue la le&
por partes por tanto:
0e& normal
:
por tanto:
Si
sigue la le&
,
sigue la le&
0a tabla "ue presentamos a continuación da las varianzas de las le&es usuales, discretas & continuas .ropiedades de la varianza
8lgunas propiedades de la varianza son:
siendo a & b números reales cuales"uiera 6e esta propiedad se deduce "ue la varianza de una constante es cero, es decir, , donde Cov( X ,Y ) es
la covarianza de X e Y , donde Cov( X ,Y ) es
la covarianza de X e Y 9editar-arianza muestral n mucas situaciones es preciso estimar la varianza de una población a partir de una muestra Si se toma una muestra con reemplazamiento de n valores de ella, de entre todos los estimadores posibles de la varianza de la población de partida, existen dos de uso corriente:
&
Cuando los datos est*n agrupados:
8 los dos (cuando est* dividido por n & cuando lo est* por n;1) se los denomina varianza muestral 6i/eren ligeramente &, para valores grandes de n, la diferencia es irrelevante l primero traslada directamente la varianza de la muestra al de la población & el segundo es un estimador insesgado de la varianza de la población 6e eco,
mientras "ue
9editarPropiedades de la varianza muestral Como consecuencia de la igualdad de
, s! es un estad3stico insesgado
8dem*s, si se cumplen las condiciones necesarias para la le& de los
grandes números, s! es un estimador consistente de
<*s aún, cuando las muestras siguen una distribución normal, por el teorema de Cocran,
tiene la distribución ci;cuadrado:
a cantidad S ! se llama varianza muestral & tiene un valor fundamental en el an*lisis estad3stico, su interpretación es como sigue: es el promedio de las desviaciones cuadr*ticas respecto de la media
Si las observaciones est*n distribuidas en las clases c 1, c!, c= entonces
Se puede demostrar f*cilmente "ue
Propiedades de la varianza. Supongamos "ue tenemos las siguientes observaciones x 1, , xi, , x n, cu&a varianza la denotaremos por Supongamos "ue sobre cada una de estas observaciones realizamos la siguiente transformación
ntonces para estas nuevas observaciones transformadas linealmente calcularemos su varianza, esto es
>esultado mu& lógico a pesar de lo extraordinario ?otemos lo siguiente, "ue si tenemos una serie de observaciones, a saber , entonces si acemos un @traslado@ de todas estas observaciones a una distancia "ue nos interesa, como por e%emplo
entonces lo "ue nos dice la propiedad anterior, "ue la varianza es la misma "ue las observaciones anteriores s decir "ue si tr asladamos @con%untamente@ las observaciones a otro sitio, las observaciones siguen manteniendo el mismo grado de dispersión
Ainalmente, si acemos un cambio de escala, es decir multiplicamos cada una de las observaciones por una cantidad constante, entonces la varianza de este cambio de escala ser* proporcional a la anterior en un factor cuadr*tico de la cantidad constante 0a siguiente propiedad es de suma importancia Supongamos "ue tenemos los siguientes datos estad3sticos distribuidos de la siguiente manera:
Supongamos "ue cada /la tiene media
& varianza
, con
ntonces la varianza de todas observaciones "ue son satisfacen la siguiente relación
-eamos su demostración 0a varianza total de las B
es
observaciones, con
•
Medidas de variabilidad La varianza muestral Se puede de/nir como el @casi promedio@ de los cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a la media muestral Su formula matem*tica para el caso de datos referentes a una muestra es:
$ para el caso de datos de una población es dada por
Propiedades de la varianza 6os propiedades importantes de la varianza son: 1 0a varianza de una constante es cero ! tra propiedad importante es "ue si se tiene la varianza de de un con%unto de datos & a cada observación se mu ltiplica por una constante
, entonces la nueva varianza de los datos se obtiene
multiplicando a la varianza de los datos por
!emplo 0a varianza muestral para los datos del e%emplo 1 de la clase D, se determina de la siguiente manera
!emplo propiedades de la varianza >etomando el e%emplo D de la clase D & suponiendo "ue la varianza de los salarios del a5o ! fu2 1, se tiene "ue la varianza para los salarios del a5o !1 es
a varianza muestral Si S
es la varianza de una muestra aleatoria de tama5o n "ue se toma de una
población normal "ue tiene varianza la distribución de S derivada a partir de una distribución ci;cuadrado
puede ser
Teorema ". Si se tiene una muestra aleatoria normal con varianza
&
tomada de una población es la varianza muestral
entonces Se dice entonces "ue X distribución ci;cuadrado con n;1 grados de libertad
tiene una
#bservaciones 10a expresión grados de libertad se puede interpretar como el número de t2rminos independientes en la suma .or e%emplo, en la expresión
solo a&
t2rminos cuadrados independientes
&a "ue como
entonces podemos calcular cual"uiera de los
desv3os
en t2rminos de los
restantes
"0a distribución ci;cuadrada es sesgada a la dereca 0os grados de libertad indicar*n diferentes formas de la curva de la densidad l gr*/co 1 presenta dicas curvas A8048EE11;;;;;;;;;;;;;;;;;;Fr*/co 1 6istribución ci cuadrado para diferentes grados de libertad;;;;;;;;;;;;;;;; 4omado de .robabilidad & estad3stica aplicadas a la ingenier3a, 6ouglas C unger
3.l gr*/co ! presenta el *rea sombreada "ue indica la probabilidad de "ue una muestra aleatoria produzca un valor
ma&or "ue un valor espec3/co
esta probabilidad se calcula como el *rea a la dereca de representar con
el valor
Se acostumbra
por arriba del "ue encontramos un *rea de
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; Fr*/co ! -alores tabulados para la distribución ci cuadrado;;;;;;;;;;;;;;;; 4omado de .robabilidad & estad3stica aplicadas a la ingenier3a, 6ouglas C unger l cociente de dos variazas muestrales Sean & las varianzas muestrales obtenidas a partir de muestras aleatorias independientes de tama5o m & n tomadas de poblaciones normales con varianzas & respectivamente 0a distribución de obtener a partir de una distribución A
Teorema 3. Sean
"ue
&
Teorema 4. Sea
&
se puede
variables aleatorias independientes tales
& sea
entonces una muestra aleatoria tal "ue
& sea una muestra aleatoria tal "ue muestras son independientes,
B si las
,
$ota 1. Si
entonces
0a distribución A es no negativa, tiene sesgo acia la dereca & se encuentra centrada en 1 0a pare%a de valores u & v proporcionan formas diferentes en la distribución -er gr*/co # ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; Fr*/co # Aormas diferentes de la distribución A;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 4omado de .robabilidad & stad3stica para Gngenieros Halpole, <&ers, <&ers 0os puntos cr3ticos de la distribución A est*n dados en la tabla del /nal Sea el punto cr3tico de la distribución A con u grados de libertad en el numerador & v grados de libertad en el denominador, tal "ue la probabilidad de "ue la variable aleatoria A sea ma&or "ue este valor es:
sto se ilustra en el gr*/co D Fr*/co D -alores tabulados para la distribución A 4omado de .robabilidad & stad3stica para Gngenieros Halpole, <&ers, <&ers .or e%emplo, si
&
entonces, de la tabla A se tiene "ue
