Cuáles Son Las Propiedades de La División

División

Defnición:

La división es repartir entre partes o grupos iguales. Éste es el resultado de una "repartición limpia". Ejemplo: hay 12 chocolates, y 3 amigos quieren repartirlos. ¿Cómo deben diidir los chocolates!

12 Chocolates

12 Chocolates Divididos por 3

"espuesta: 12 diidido por 3 es #: tienen # cada uno.

Símbolos

÷ /:

$samos el s%mbolo &÷” o a eces el s%mbolo &/” o el s%mbolo &:' para indicar diisión: 12 ( 3 ) # 12 * 3 ) # $sar+ ambos s%mbolos aqu% para que te acostumbres.

Contrario de Multiplicar  a diisión es el contrario de multiplicar. -i conoces un actor de la multiplicación entonces puedes encontrar un actor de la diisión: Ejemplo: 3 / 0 ) 10, as% que 10 * 0 ) 3. ambi+n 10 * 3 ) 0. ¿4orqu+! 1

5ueno, es 6cil entenderlo si piensas en los n7meros en ilas y columnas como en esta ilustración: Multiplicación... 3 grupos de 5 hacen 15...

...División así que 15 dividido por 3 es 5

 y también:

5 grupos de 3 hacen 15...

así que 15 dividido por 5 es igual a 3

8qu% hay cuatro hechos relacionados: •

3 × 5 = 15 5 × 3 = 15

•

15 / 3 = 5

•

15 / 5 = 3

•

98s% que conocer tus ablas de ultiplicar  puede ayudarte con la diisión; Ejemplo: ¿Cu6nto es 0< ( = ! 5uscando en la tabla de multiplicar encuentras que 0< es = / >, as% que 0< diidido por = debe ser >. "espuesta: 0< ( = ) >.

Nombres ?ay nombres especiales para cada n7mero en una diisión: diidendo ( diisor ) cociente

Ejemplo: en 12 ( 3 ) #: • •

12 es el dividendo .3 es el divisor .4 es el cociente . resto cero División exacta: en una diisión e@acta el diidendo es igual al diisor por el

cociente. resto cero 2

4or ejemplo: 1A ( 2 ) 0

•

entonces 1A )2 @ 0

División inexacta o entera: en una diisión entera el diidendo es igual al diisor

 por el cociente m6s el resto. con resto distinto de cero 4or ejemplo: 3A ( = ) # resto 2, por lo tanto, diidendo) diisor @ cociente B resto ) = @ # B 2 ) 2> B 2 ) 3A ) diidendo.

Dividendo: es la cantidad que se reparte Divisor: señala el número de partes que se hacen Cociente:es la cantidad que le toca a cada parte Resto:es la cantidad que queda sin repartir

(Elementos de la división)

8 DD-DFG iidir es repartir una cantidad en partes iguales. D4H- E DD-DHGE3

$na división es exacta cuando su resto es cero. $na división es entera o ine@acta cuando su resto no es cero. 8 4"$E58 E 8 DD-DFG H "E8CDHGE- EG"E HEEGHDividendo = divisor x cociente + resto

1= ) 2I > B 1 23 ) =I3 B1 30= ) 21@1= B A 30> ) 21 @ 1= B 1 DDD" EG"E 8 $GD8 -EJ$D8 E CE"H4ara diidir un n7mero acabado en ceros entre 1A, 1AA ó 1.ooo, suprimimos en el n7mero tantos ceros inales como ceros tenga el diisor. >.AAA : 1A ) >AA >.AAA : 1AA ) >A >.AAA : 1.AAA ) > -i el diidendo no acaba en ceros, o el n7mero de ceros es menor que los que  posee el diisor la diisión no ser6 e@acta sino entera y procederemos as%: 2.0#3 : 1AA ) 20 de cociente y #3 de resto #.0
4"H4DE8 K$G8EG8 E 8 DD-DFG EI8C8 -i el diidendo y el diisor de una diisión e@acta se multiplican o se diiden  por el mismo n7mero, el cociente no ar%a. Ejemplo: a diisión 0< : > da de cociente =. 4rimero multiplicamos diidendo y diisor por tres y comprobamos que el cociente es el mismo. espu+s diidimos el diidendo y el diisor por 2 y el cociente sigue sin ariar.

4

"eglas que deben seguirse para diidir correctamente, llamadas propiedades de la diisión

¿Cuáles son las propiedades de la división? a diisión es una operación matem6tica que consiste en repartir en partes iguales el total de un todo num+rico. as propiedades de la diisión son: •

•

Propiedad no interna: el resultado de diidir dos n7meros naturales o enteros no

siempre es otro n7mero natural o entero. 4or ejemplo: 2 ( < ∄ G. se lee 2 diidido < no e@iste en conjunto de n7meros naturales Propiedad no conmutativa: si cambiamos el orden de los n7meros de una diisión, se altera el resultado. 4or ejemplo: 1A ( 2 ) 0 pero 2 ( 1A ) A, 2 .

5

• •

Cero dividido entre cualquier nmero da cero! 4or ejemplo: A ( 0 ) A. "o se puede dividir por #: porque no e@iste ning7n cociente que multiplicado por A

sea igual al diidendo. 

•

Propiedad no asociativa: si se descomponen uno o todos los n7meros de una

diisión, o se agrupan de dierentes maneras, el cociente o resultado puede cambiar. 4or ejemplo: #AA ( 1A ( 0 puede dar > o 2AA seg7n como se asocie agrupe.  -i realiLamos #AA ( 1A ( 0 ) #A ( 0 ) >,  pero es dierente a #AA ( 1A ( 0 ) #AA ( 2 ) 2AA.

•

Propiedad distri$utiva: es 6lida la propiedad distributia con respecto de la

diisión cuando se descompone el diidendo en una suma o en una resta. 4or ejemplo: #AA ( 1A ) puede escribirse descomponerse como la suma de 2AAB2AA #AA ( 1A) )2AA ( 1A B 2AA ( 1A ) 2A B2A)#A

!

Anexo: problemas de las diferentes etapas Primera etapa: la división como herramienta para resolver problemas de organización rectangular  1. El piso del aula es rectangular y tiene en total 330 cerámicos. Todos los cerámicos son cuadrados y están enteros. En cada fila hay más de 12 y menos de 18 cerámicos. ¿Cuántos cerámicos hay en cada fila? ¿Cuántos en cada columna? ¿ay una sola posi!ilidad? ¿"or #u$? 2. %na escuela rural reci!i& una donaci&n de 1'( plantas. )an a colocarlas en un sector  rectangular. En cada fila pueden u!icar 11 plantas. ¿Cuántas filas pueden completar? 3. %n ta!lero de a*edre+ está formado por (, cuadraditos !lancos y negros dispuestos en filas iguales. Cada fila está formada por 8 cuadraditos. ¿Cuántas filas tiene el ta!lero? Escri!- el cálculo #ue reali+aste para r esoler este pro!lema. ,. /e #uieren di!u*ar en ho*a cuadriculada distintos rectángulos formados por 18 cuadraditos. ¿Cuántas posi!ilidades hay? ¿C&mo hiciste para aeriguarlo? . /e #uieren di!u*ar en ho*a cuadriculada distintos rectángulos formados por 3( cuadraditos. ¿Cuántas posi!ilidades hay? ¿C&mo hiciste para aeriguarlo?

Segunda etapa: cómo averiguar el dividendo y el divisor a partir del cociente y el  resto 1. a Escri!- una operaci&n de diidir entre nmeros naturales #ue tenga cociente 2 y resto 12. ! ¿/e pueden escri!ir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles? c ¿Cuántas cuentas se pueden escri!ir? ¿"or #u$? 2. a Escri!- una cuenta de diidir entre nmeros naturales #ue tenga cociente 12 y resto '. ! ¿/e pueden escri!ir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles? c ¿Cuántas cuentas se pueden escri!ir? ¿"or #u$? 3. l diidir un nmero por 324 se o!tuo 1( y un resto de ,. ¿5u$ nmero se diidi&? ,. Completa el diidendo y el diisor de esta cuenta. ¿ay una nica posi!ilidad?

 

677777  ,

(

. Completa la ta!la

"

Tercera etapa: cómo varían el resto o el dividendo cuando se modifican los o tros números 1. isandro hi+o la cuenta 103 9 124 o!teniendo de cociente 8 y resto '.  hora tiene #ue hacer estas otras cuentas de diidir9 10, 9 12

10 9 12

10( 9 12

10' 9 12

a ¿"uede isandro determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? /i es posi!le4 e:plica c&mo puede hacerlo. /i no4 e:plica por #u$ no. ! ¿En cuánto tiene #ue modificar isandro el diidendo de la cuenta #ue hi+o para o!tener  de cociente ; y resto 0 manteniendo el mismo diisor? c ¿Cuántas cuentas puede escri!ir isandro #ue tengan como diisor 124 como cociente ; y como resto no necesariamente 0? 2. gustina hi+o la cuenta 102; 9 124 o!teniendo de cociente 8 y rest o ;.  hora tiene #ue hacer estas otras cuentas de diidir9 1030 9 12 1032 9 12 103 9 12 a ¿"uede gustina determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? /i es posi!le4 e:plica c&mo puede hacerlo. /i no4 e:plica por #u$ no. ! ¿En cuánto tiene #ue modificar gustina el diidendo de la cuenta #ue hi+o para o!tener  de cociente 8' y resto 0 manteniendo el mismo diisor? c ¿Cuántas cuentas puede escri!ir gustina #ue tengan como diisor 124 como cociente 8( y como resto no necesariamente 0? 3.
. a Completa los nmeros #ue faltan en las cuentas. ! ¿Cuántas soluciones puede tener cada una?

(

6 1 7777777 3

6 87777777 

22 67777777  , 3

#

Cuarta etapa: cómo determinar divisor y resto o dividendo y cociente.  veriguar el resto usando la calculadora. 1. ¿Cuál o cuáles de los siguientes nmeros pueden completar correctamente esta cuenta? 2, 67777777777  3

2. a Escri!- una cuenta #ue tenga diisor 12 y resto . ! ¿Cuántas cuentas se pueden escri!ir #ue cumplan con esas condiciones? 3. isandro lle& una !olsa con 31 caramelos para compartir con sus compa=eros y maestra por#ue era su cumplea=os. e di*o a la maestra9 >Estos caramelos son para compartir entre todos mis compa=eros y yo4 #ue somos 30. "ara cada uno la misma cantidad de caramelos. os #ue so!ran son para os se=o. @arcelo4 su amigo4 para sa!er cuántos caramelos le toca!a a cada uno4 tom& la calculadora e hi+o el cálculo 31 9 30. l apretar el signo A4 en el isor de su calculadora apareci& el nmero 10.5 B di*o a su maestra9 /on 10 caramelos para cada uno de nosotros y  para os. ¿Te parece #ue la soluci&n #ue aporta @arcelo a partir del uso de la c alculadora es correcta? ¿"or #u$? ,. ¿Cuál o cuáles de los siguientes nmeros pueden completar correctamente esta cuenta? ( 67777777777  

.   las siguientes cuentas les faltan nmeros. Compl$talas. 6 ,7777 ;( 67777 ' ' ¿Cuántas soluciones hay para cada cuenta?

6 ;7777  

(. Constan+a ten-a #ue resoler este pro!lema9 /e #uieren colocar glo!os en cada una de las 12 aulas de la escuela de manera #ue en cada aula se colo#ue la misma cantidad. Tienen 12( glo!os. ¿Cuántos se an a colocar en cada aula? ¿/o!ran? ¿Cuántos? Constan+a hi+o la cuenta 12( 9 12 y en el isor de la calculadora apareci& el siguiente resultado9 104. Escri!i& esta respuesta9 /e de!en colocar 104 glo!os en cada aula. ¿Estás de acuerdo? ¿"or #u$?

1$

'. uis us& la calculadora para resoler la siguiente diisi&n9 23' 9 . En el isor de la calculadora apareci& en nmero ,'4,. uis dice #ue usando la calculadora pudo aeriguar el resto de esta diisi&n. ¿Estás de acuerdo? ¿C&mo ha!rá hecho uis para aeriguarlo? 8. ¿C&mo se puede resoler este pro!lema usando la calculadora? En una escuela se organi+a la e:posici&n de tra!a*os #ue los alumnos reali+aron para participar de un concurso. /e reci!ieron 318 di!u*os del mismo tama=o. ay 22 paneles para colgarlos4 se coloca la misma cantidad en cada panel. /e necesita sa!er cuántos #uedan sin colgar.

!uinta etapa: reorganizar los problemas y sistematizar el estudio 1. ay #ue colocar 288 cerámicos. /e sa!e #ue cada fila tiene #ue tener entre 1, y 1' cerámicos4 ¿cuántas filas ha!rá si no so!ra ningn cerámico? 2. Escri!- una cuenta de diidir entre nmeros naturales #ue tenga cociente 1; y resto (. ¿/e pueden escri!ir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles? ¿Cuántas cuentas se pueden escri!ir? ¿"or #u$? 3. Dn$s hi+o la cuenta 3,( 9 '4 o!teniendo de cociente ,; y resto 3.  hora tiene #ue hacer estas otras cuentas de diidir9 3,' 9 ' 3,8 9 ' 30 9 ' 32 9 ' ¿"uede Dn$s determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? /i es posi!le4 e:plica c&mo puede hacerlo. /i no4 e:plica por #u$ no. ,. )er&nica hi+o la cuenta 8' 9 ( y en el isor de la calculadora apareci& el siguiente resultado9 1,4 "uede aeriguar el resto de es ta cuenta usando la calculadora. E:plicá c&mo puede aeriguarlo. . ¿Cuál o cuáles de los siguientes nmeros pueden completar correctamente esta cuenta? ;( 67777777777  8

(.  las siguientes cuentas les faltan nmeros. Compl$talas. 6 ( 777 8( 6 777 (  ¿Cuántas soluciones hay para cada cuenta?

6 8777  2

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