Propiedad 1:
Demostración:
Sea
una partición del intervalo [a,b].
La suma de Riemann de la función
asociado a esta partición es:
De modo que podemos expresar en la forma:
Propiedad 2:
( )
Demostración:
Sea Una partición del intervalo intervalo [a,b] la suma de Riemann Riemann de la función
De modo que podemos expresar de la forma:
( )
asociada a esta partición es:
Propiedad 3:
Donde f es integrable en [a,k],[k,b] siendo a≤k≤b Demostración:
entonces ε>0, donde existe una partición de [a,b] tal que Sea una partición del intervalo [a,k] y intervalo [k,b], entonces y entonces:
{ { } } { } .
una partición del
Como cada termino del paréntesis no es negativo, cada uno es menor que ε, esto muestra que f es integrable en [a,c] y [c,b] y se tiene que:
∫ por lo tanto: ∫ ∫ por lo que demuestra que: Propiedad 4:
∫ ∫ ∫ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ Demostración:
Donde
Propiedad 5:
([a,a] es llamado intervalo degenerado). Demostración: La demostración del ejercicio es inmediato.
Puesto que
=
=0
=
Propiedad 6:
Demostración:
Sea z=x-k donde dx=dz, además Para x=a+k; z=a+k-k=a y x=b+k; z=b+k-k=b
Por lo tanto
Propiedad 7:
Si
Demostración:
Como f(x) y g(x) son integrables, entonces la función h(x)=f(x)-g(x) es integrable así que se tiene que entonces:
( ) ∫ ∫ Es decir De donde:
,
∫ ∫
Propiedad 8:
Demostración:
Talque
o
Propiedad 9:
Si f es continua en [a,b] Demostración:
También |f(x)| en [a,b] y por lo tanto es integrable, además por la propiedad, que se tiene por la propiedad 7 se tiene:
Y aplicando la propiedad:
Propiedad 10:
Si f es continua en [0,b]
Demostración:
Hacemos z = b – x, donde x = 0, z = a y para x= a, z = 0, además dx = - dz
Por la propiedad 4 por lo tanto:
de modo
Propiedad 11:
Si
Demostración:
Si f es impar y continua en [-a, a]. Aplicando la propiedad 3
En la integral:
∫
Reemplazamos x = -y entonces para x= -a, y = a y x= 0, y = 0, dx = -dy
∫ ∫ . ∫ ∫ . ∫ ∫ (2) (Porque f es impar) Reemplazamos (2) en (1) se tiene:
Propiedad 12:
Demostración:
Si f es par y continua en [-a, a]. Aplicando la propiedad 3:
En la integral:
∫
Reemplazamos x = -y entonces para x= -a, y = a y x= 0, y = 0, dx = -dy
∫ ∫
(2)
Porque f es par: Reemplazamos (2) en (1) se tiene:
Propiedad 13:
Demostración:
∫ ∫ si: x = dx = -dy
y
si x = 0
si x =
=
y=0
Entonces:
propiedad .4 :
∫
Como f es par:
Propiedad 14:
Demostración:
si: x = dx = -dy
si x = 0 y = si x =
Entonces:
y=0
∫ ∫ ∫ Propiedad 4:
Propiedad 15:
Demostración:
Sea: kx = t x = t/k dx = dt/k
x = a/k t = a x = b/k t= b
Entonces:
Propiedad 16:
Demostración:
Sea: x/k= t
x = a.k t = a
x = tk dx = dt.k Entonces:
x = b.k t = b
Propiedad 17:
Demostración:
y=
Sea: x=-y
x=
dx = -dy
x=0 y=0
Entonces:
∫ ∫
∫ ∫
Propiedad 4:
Propiedad 18:
[]
Si se define
Demostración:
Donde: Si:
-x
Entonces:
∫ ∫ ∫
si
Tenemos:
Es una Función par.
Propiedad 19:
Si se define
Demostración:
Donde:
t=-x dt=-dx
si t=0
x=0
si
x=-x
t=-x
Entonces:
Sea f es una función par:
Es una Función impar.
Teorema del valor medio para integrales: Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces la función F definida por F(x)= [a,b]. Siendo
∫ =
∫
es derivable en [a,b] para todo x є
Demostración:
m≤ ≤M Integrando:
∫ ∫ ∫ ∫ m(b-a) ∫ (b-a) ≤
≤
≤
≤
≤
≤M
Obteniendo el valor medio: m≤
∫
≤M
∫
Primer Teorema fundamental del cálculo
Segundo Teorema fundamental del cálculo Si f es una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x)es una función cualquier diferenciable también en [a,b], tal que F’(x)=f(x) entonces
∫
Demostración:
Sea:
Tenemos por el primer teorema fundamental del cálculo que: Por lo tanto,
Observamos que
de eso se sigue que
; por lo tanto
.
Y en particular si x=b tenemos que:
.
