ALGORITMA DOOLITTLE DAN CROUT DALAM DEKOMPOSISI LU Gatot Hardiyanto¹, Nuh Akbar², Resti Oktaviani³ Program Sarjana Magister Fakultas Ilmu Teknik Sipil Universitas Gunadarma Kampus D, Gedung 2 Lantai 3 Jl. Margonda Raya 100 Depok 16424 e-mail: ¹
[email protected], ²
[email protected], ³
[email protected] 1,2,3
ABSTRAK Suatu proses produksi, perakitan, dan pengiriman barang merupakan contoh peristiwa yang dapat dinyatakan dalam model matematika. Model matematika dapat memiliki bentuk yang sederhana, namun juga dapat berbentuk kompleks. Dengan menyelesaikan sistem persamaan itu, dapat diketahui penyelesaian masalah yang diminta model matematika tersebut. Dengan metode Dekomposisi LU, yaitu dengan cara membentuk matriks segitiga atas (upper) dan matriks segitiga bawah (lower) dari matriks koefisien A serta membentuk vektor matriks dari matriks hasil dengan aturan tertentu. Ada 2 metode untuk menyelesaikan dekomposisi dekomposisi LU, yaitu metode Doolittle dan metode Crout. Kelebihan dari metode dekomposisi LU adalah sangat efektif untuk menyelesaikan persamaan linier serentak yang berordo berordo tinggi, dengan hasil yang mendekati mendekati nilai eksaknya, namun memerlukan cara yang cukup kompleks. Kata kunci: Triangular Atas, Triangular Bawah, Dekomposisi LU, Metode Doolittle, Metode Crout.
1 PENDAHULUAN Matematika adalah ilmu pasti yang hingga kini sesuai dengan perkembangannya telah mengalami perkembangan yang sangat pesat, yaitu dengan dikembangkannya oleh para ilmuwan di seluruh dunia yang mempunyai persepsi yang cukup berbeda. Mungkin ketika di SMU, kita hanya diajarkan materi dengan beberapa kasus serta cara penyelesaian yang belum terlalu kompleks, sehingga ketika bertemu dengan kasus yang sangat kompleks maka tidaklah efektif jika diselesaikan dengan cara yang sederhana. Oleh karena itu di dalam perkuliahan kita diajarkan cara penyelesaian yang mungkin dapat efektif dan efisien ketika kita ingin menyelesaikan suatu permasalahan yang sangat kompleks. Dalam hal ini, peranan para ilmuwan sangatlah penting. Seiring dengan kemajuan jaman yang semakin canggih kemampuan berfikir dan rasa ingin tahu serta kemampuan mengembangkan suatu teori beserta cara penyelesaian dari beberapa kasus yang kompleks dapat diselesaikan dengan lebih efektif dan efisien daripada dengan cara yang sederhana yang memerlukan banyak waktu, tenaga, dan pikiran. Dekomposisi LU adalah suatu metode penyelesaiaan sistem persamaan aljabar linier
serentak ordo tinggi secara efektif, efisien, dan dengan hasil yang sangat mendekati nilai eksaknya. Ada 2 metode untuk menyelesaikan dekomposisi LU, yaitu metode Doolittle dan . Permasalahannya, “A pakah metode Crout terdapat kesamaan hasil, dari 2 metode ini, dalam menyelesaikan persamaan linier simultan?”
2 LANDASAN TEORI Teori 1 : Prinsip Dekomposisi LU dan Matriks Identitas . Matriks [ A] A] dari SPAL didekomposisi (difaktorisasis) menjadi matriks-matriks Lower Triangular ( L) L) dan Upper Triangular (U ) sedemikian rupa sehingga matrik identitasnya adalah: [ A] A] = [ L]·[ L]·[U U ] atau A = L· L·U . Bila persamaan linear [A]{x} = (b), maka mengisikan matriks [A] dengan [L][U] menghasilkan [L][U]{x} = (b) Berarti terdapat dua sistem [L]{z}=(b) untuk mencari {z}, dan [U]{x}={z} untuk memperoleh {x}. Algoritma proses dekomposisi LU : 1. Mendapatkan matriks [L] dan [U]. 2. Menyelesaikan [L]{z} = (b). 3. Menyelesaikan [U]{x} = {z}
Teori 2 : Notasi Matriks LU berdasarkan
Teori 3 : Notasi Matriks LU berdasarkan
Metode Doolittle. Notasi matriks L dan U seperti di atas dituliskan sebagai berikut:
matriks L dan U seperti Metode Crout. Notasi matriks L U seperti di atas dituliskan sebagai berikut:
…… ⋮ ⋮ ⋮ …⋱ ⋮ … … …⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱⋯ ⋮ …… ⋮ ⋮ ⋮ ⋱⋯ ⋮ ⋯ 11
12
13
1
21
22
23
2
31
32
33
3
1
2
3
=
32
1 11
2 12
22
1
23
2
33
3
,
,
=
,
2,1
·
; i=1,…,n
2,2
3,2 3,3
3,
=
3,1 3,1 3,1
3,1
· · ·
·
1,3
+ +
+
1,
3,2
3,2
Baris n (i = n): ,1 = ,1 · 1,1 ,2 = ,1 · 1,2 + ,3 = ,1 · 1,3 + ,
3,
,
= ,1 · 1 + … + = ,1 · …+ 1
1,
,2 ,2
1
1,
+
+
2,3
·
2,3
1,
,2
22
31
32
33
2
3
13
1
23
2
Jelas bahwa semua elemen diagonal dari matriks L matriks L di atas tidak harus berharga 1 (satu), sedangkan, elemen-elemen di atas diagonal semuanya berharga 0 (nol) dan juga bahwa semua elemen diagonal (= 1,1 , ) berharga 1 (satu), sedangkan yang terletak di bawahnya berharga 0 (nol).
…
1
5 3 2 5 3 2
3,2
·
+
·
,3
2,
·
1
,3
·
1
2,
+
,3
·
3,
2 1 3
1 2
=
3
5 1 5
4 4 1
2 1 3
Proses membentuk matrik [U] secara simultan diikuti dengan pembentukan matrik [L] pengali = /
3,3
+
4 4 1
untuk proses dekomposisi menggunakan:
2,2
,2
·
3
Dalam bentuk matriks :
3,3
+
2,
· ·
2
+ 4 2 +2 3 =5 1 − 4 2 + 3 = -1 2 1 − 2 +3 3 = 5
2,2
+
1
,
,
· ·
3,2
1
=
− −− − − −−
1,1 1,2
3
-3
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −− −− − − − = = =
2
33
21
5
2,
Baris 3 (i = 3): 3,1
23
32
1. Metode Dolittle
2,3
+
1,
22
31
Metode pada penelitian ini adalah dengan secara langsung menguji atau menyelesaikan soal-soal persamaan linier untuk membuktikan kebenaran daripada tujuan dari metode Dekomposisi LU ini. LU ini. Sebagai contoh, ditinjau dari proses dekomposisi LU untuk menyelesaikan persamaan:
,
Baris 2 (i = 2): 2,1 = 2,1 · 1,1 2,2 = 2,1 · 1,2 + 2,3 = 2,1 · 1,3 + 2,
=
21
3. METODE PENELITIAN
Baris 1 (i = 1): , = , , = , =
1
3
⋮ ⋮ ⋮
13
12
Jelas bahwa semua elemen diagonal dari matriks L di atas berharga 1 (satu), dan juga bahwa semua elemen yang terletak di bawah diagonal matriks U di atas (= 1,1 … , ) berharga 0 (nol). Notasi A Notasi A = LU dalam LU dalam Metode Metode Doolittle seperti di atas dapat diuraikan dalam operasi perkalian matriks (sebagai contoh: matriks n x n) sebagai berikut:
⋮
12
1
3
13
11
11 11
21 31
…… ⋮ ⋮ ⋮ ⋱… ⋮ …… ⋯… ⋮ ⋮ ⋮ …⋱⋯ ⋮ ⋯… ⋮ ⋮ ⋮ ⋯⋱ ⋮
+
− −− 5 3 2
4 4 1
2 1 3
−− − −
kemudian 2 - 1 (-3/5) (-3/5) → sebagai pengali sebagai pengali → menjadi 21 , dan 3 - 1 (2/5) → sebagai pengali → menjadi 31 , maka 5 [U] menjadi 0 0
(-2.6/-1.6) 2 (-2.6/-1.6)
4 1.6 2.6
2 2.2 kemudian 2.2
3-
→ sebagai pengali → menjadi
32 , maka
5
4 1.6 0
[U] menjadi 0 0
2 2.2 1.375
Untuk mencari [L] : 1
0 1
Anggap [L] =
0 0 1
untuk mencari nilai x,y, dan z yaitu menggunakan notasi [ A] A] = [ L]·[ L]·[U U ] dimana,
− −− − − − 5 4 3 4 2 1 1 0 0 1 0 1
2 1 = 3 5 4 0 1.6 0 0
2 2.2 1.375
Jadi nilai x, y, dan z yaitu -0.6, 0.4 dan 1.625 1 0,6 0.4
0 1 1.625
0 0 1
Penyelesaian persamaan: a) [L]·{z}=(b)
−
− − − − − − 1 0.6 0.4
0 0 1 0 1.625 1 5 2 0.25
1
2
=
3
5 1 5
1 2
=
3
b) [U]·{x} ={z} 5 0 0
4 1.6 0
2 2.2 1.375
1 2
=
3
5 2 0.25
.
=
.
.
2. Metode Crout
− −− − − −− 5 1 + 4 -3 1 − 4 2 1 −
2
2
2
+2 3 =5 + 3 = -1 +3 3 =5
Dalam bentuk matriks : 5 3 2
4 4 1
2 1 3
1 2 3
=
5 1 5
untuk proses dekomposisi menggunakan: 5 3 2
4 4 1
2 1 3
Proses membentuk matrik [L] secara simultan diikuti dengan pembentukan matrik [U] pengali = /
− −− − −− − −− − 5 3 2
4 4 1
2 1 kemudian c2 - c 1 (4/5) → 3
sebagai pengali sebagai pengali → menjadi 21 dan c3 - c 1 sebagai pengali → menjadi 31 , maka (2/5) → sebagai pengali 5 3 2
[L] menjadi
0 1.6 2.6
0 2.2 kemudian 2.2
3
-
(2.2/-1.6) (2.2/- 1.6) → sebagai pengali → menjadi 32 , maka 2
5 [L] menjadi 3 2
0 1.6 2.6
0 0 1.375
Untuk mencari [U] : 1 Anggap [U] = 0 0
1 0
1
untuk mencari nilai x, y, dan z yaitu menggunakan notasi [ A] A] = [ L]·[ L]·[U U ] dimana,
− −− − −− − 5 4 3 4 2 1 1 0 1 0 0 1
2 1 = 3
5 3 2
0 1.6 2.6
0 0 1.375
Jadi nilai x,y, dan z yaitu 0.8, 0.4 dan -1.675
1 0 0
0. 0.8 1 0
− 0.4 1.375 1
Penyelesaian persamaan: a) [L]·{z}=(b)
− −− − − − − − − 5 3 2
0 1.6 2.6
1
2
=
3
0 0 1.375
1 2 3
1 1.25 0.1818
=
5 1 5
b) [U]·{x} ={z} 1 0 0
0. 0.8 1 0
0.4 1.375 1
1 2 3
=
1.7273 1.00 0.1818
.
=
.
.
4 ALGORITMA MATEMATIS Dari operasi-operasi perkalian matriks LU pada metode Doolittle di atas, dapat disimpulkan beberapa hal berikut: 1. Ubah persamaan linier ke dalam bentuk matriks 2. Membentuk matrik [L] terlebih dahulu secara simultan diikuti dengan
3.
4.
pembentukan matrik [U] pengali = / Setelah matriks [L] dan [U] terbentuk, lalu mencari nilai z dengan persamaan [L].{z}={b} Kemudian mencari nilai akhir (x) dengan menggunakan persamaan [U].{x}={z}.
Sedangkan dari operasi-operasi perkalin matriks LU matriks LU pada pada metode Crout di atas, dapat disimpulkan beberapa hal berikut: 1. Ubah persamaan linier ke dalam bentuk matriks 2. Membentuk matrik [U] terlebih dahulu secara simultan diikuti dengan pembentukan matrik [L] pengali = / 3. Setelah matriks [U] dan [L] terbentuk, lalu mencari nilai z dengan persamaan [L].{z}={b} 4. Kemudian mencari nilai akhir (x) dengan menggunakan persamaan [U].{x}={z}.
5 ALGORITMA PROGRAM Algoritma penyelesaian persamaan simultan linier dengan metode dekomposisi LU menggunakan Matlab. (1) Kode Matlab untuk metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah seperti di bawah ini :
[m,n]=size (A); L=eye (m,n); U=A; if m~=n error('matrik tidak sangkar') end; end ; for k=1 :(n-1) for i= (k+1) :n if U (k,k)~=0
bujur
pengali=U(i,k)/U(k,k); L(i,k)=pengali; U(i,k)=0; end for j= (k+1):n U(i,j)=U(i,j)pengali*U(k,j); end; end ; if jejak ==1 U L pause end; end; end; Penerapan dalam Soal
− −− − 5 3 2
4 4 1
2 1 3
1 2 3
=
5 1 5
>> A=[5,4,2;-3,-4,1;2,-1,3 A=[5,4,2;-3,-4,1;2,-1,3] ] function x = ElimGaussJordan (A,B,jejak) [n n] = size (A); A = [A';B']'; X = zeros(n,1); for p = 1:n, for k = [1:p-1,p+1:n], if A(p,p)==0, break break, , end pengali = A(k,p)/A(p,p); A(k,:) = A(k,:) pengali*A(p,:); A(k,:)=A(k,:)/A(k,k); untuk if jejak==1 % menampilkan langkah demi langkah dari proses A pause end end end x = A(:,n+1); % mendapatkan nilai x
(2) Kode Matlab untuk dekomposisi LU adalah seperti di bawah ini :
function [L,U]=DekomLU (A,jejak)
A = 5 4 -3 -4 2 -1 >> b=[5;-1;5]
2 1 3
b = 5 -1 5 >> [L,U]=DekomLU(A,0) L = 1.0000 -0.6000 0.4000
U =
0 1.0000 1.6250
0 0 1.0000
5.0000 0 0
4.0000 -1.6000 0
2.0000 2.2000 -1.3750
>> z=ElimGaussJordan(L, z=ElimGaussJordan(L,b,0) b,0)
z = 5.0000 2.0000 -0.2500 >> x=ElimGaussJordan(U, x=ElimGaussJordan(U,z,0) z,0)
x = 1.7273 -1.0000 0.1818
6 PENUTUP Dalam penggunaan kedua metode tersebut terbukti, baik metode Doolittle maupun metode Crout terdapat kesamaan hasil dalam penyelesaian persamaan linier simultan. Jadi kita dapat menggunakan kedua metode tersebut dalam SPAL. Kelemahan dari kedua metode tersebut adalah caranya sangat kompleks.
DAFTAR PUSTAKA [1] Choiron,Mochammad Agus,ST.,MT. http://mesin.brawijay http://mesin.brawijaya.ac.id/diktat_ajar a.ac.id/diktat_ajar/da /da ta/01_e_bab3_anum.pdf, Persamaan Aljabar linier serentak. 26 November 2008,8:39 AM [2] Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.http://www.chemeng.ui.ac.id/~bism DEA.http://www.chemeng.ui.ac.id/~bism o/S2/mtks2/modul-2.pdf, Modul Sistem Persamaan Aljabar Linier.21 November 2008,10:48 AM [3] Nasution, Amrinsyah; Hasballah Zakaria. 2001. Metode Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil . ITB.Bandung
