Grupo Numero 3 Deformaciones Angulares

“

Año de la promoción de la industria responsable y del compromiso climático climático

”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA

CURSO

:

RESISTENCIA DE MATERIALES II

DOCENTE

:

Ing. CABALLERO CABALLERO SANCHEZ , Jaime

ESTUDIANTES

:

ASTO HUAMANI, HUAMANI, Kevin Richard

:

BEDOYA ESPINOZA, Jorge Luis

:

CONDORI DUEÑAS, Tonny Edison

:

PAITÁN MONTAÑEZ, MONTAÑEZ, Claudio

:

PARIONA QUISPE, Romeo

:

QUISPE ALARCON, ALARCON, Willian Carlos

SEMESTRE

ASUNTO

: VI

:

METODO DE LAS DEFORMACIONES DEFORMACIONE S ANGULARES

Por medio del presente es grato dirigirnos a Ud.; para saludarlo, e informarle sobre el proceso de desarrollo de los ejercicios de

resistencia de materiales II, por el método de las deformaciones angulares.

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DEFORMACIONES ANGULARES (slope – deflection) 1 INTRODUCCIÓN: El profesor George A. Maney presentó en 1915 el método del análisis de estructuras Slope deflection en una publicación sobre ingeniería estructural de la universidad de Minesota. Su trabajo fue una extensión de estudios anteriores acerca de esfuerzos secundarios realizados por Heinrich Manderla y Otto Mohr entre los años 1880-1900. Su popularidad se mantuvo entre los ingenieros de la época por casi 15 años hasta la aparición del método de distribución de momentos (método de Cross). Este método permite conocer los momentos en los extremos de las barras que conforman una estructura mediante la solución de un sistema de ecuaciones que tiene en cuenta los desplazamientos y las rotaciones en los nodos. También es importante tener en cuenta que este método sólo es aplicable a estructuras con nodos rígidos como es el caso de las vigas continuas y pórticos rígidos, ya que no se considera el efecto de deformaciones por carga axial que son las que se producen en las cerchas. Hoy día, este método en su forma convencional es poco útil debido a los programas tan avanzados de análisis de estructuras que existen en la actualidad. Sin embargo se sigue considerando como uno de los métodos de desplazamiento más importante de acuerdo con las siguientes consideraciones: consideraciones: 

Para algunos sistemas estructurales simples (vigas, marcos rígidos) el método puede presentar una solución rápida y práctica.



Las ecuaciones fundamentales del método sirven de base para el desarrollo del método de distribución de momentos. 35



Las ecuaciones fundamentales del método establecen la base de introducción de métodos de formulación matricial.

2 SUPOSICIONES BÁSICAS DEL MÉTODO:

















La estructura se comporta en el rango elástico (obedece a la ley de Hooke).



Las deformaciones producidas por fuerzas axiales y cortantes son despreciadas.

2.1 Convenciones: 

Los momentos en los nodos en sentido de las manecillas del reloj son negativos.



Las rotaciones de los nodos en sentido anti-horario son positivos.

2.3 DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL SLOPE-DEFLECTION: Imagine un pórtico el cual ha sido sometido a un sistema de cargas cualquiera: peso propio, carga viva, fuerza de sismo, viento, etc. Como resultado de la aplicación de este sistema de cargas la estructura sufre deformaciones (rotaciones y desplazamientos) en los nodos y a su vez se generan fuerzas en cada uno de los elementos de la estructura.

Figura 7: Pórtico 7: Pórtico Sometido a un Sistema de Cargas.

 −  del sistema pórtico después de deformado se tiene: Figura 8: Análisis 8: Análisis del Elemento  − .

Tomando el elemento















Para el análisis de este elemento se hace uso de la ecuación básica usada en el análisis matricial de estructuras:

 =  +  Donde:

= Fuerzas finales en los extremos de la barra. = Fuerzas generadas en los extremos de la barra i

− j

debido a las cargas

externas (P,W ) actuantes sobre la barra. En este caso se restringen los desplazamientos de los nodos y se puede representar por medio del comportamiento de los extremos.

= Fuerzas generadas en el elemento debidas a los desplazamientos de la barra. Como se mencionó al inicio del presente capitulo, el método del Slopedeflection desprecia las deformaciones debidas a las fuerzas axiales y cortantes en los elementos, teniendo solamente en cuenta las deformaciones por flexión (momentos). Así, la ecuación básica en el análisis matricial aplicada al método del Slope-deflection queda convertida en:















= Momentos totales generados en los extremos de la barra. = Momentos generados en los extremos de la barra por cargas externas (P, W) actuantes sobre la barra i − j cuando todos los desplazamientos son iguales a cero, es decir, la barra está empotrada.

 =Fuerzas generadas en elementos debidas a los desplazamientos relativos ,  , ∆ . A continuación se estudian los momentos de empotramiento y los momentos debidos a los desplazamientos.

2.3.1 Momentos de empotramiento

 : Como ya se mencionó anteriormente, los momentos de empotramiento son los que se generan en los nodos de la barra b arra debido a las cargas (P,W ) externas aplicadas sobre ella.

 = Momento generado en el nodo j de la barra  debido a (P,W ) .  =Momento generado en el nodo j de la barra  debido a (P,W ) . Los momentos de empotramiento se calculan:















A manera de ejemplo, se calculan los momentos de empotramiento de la siguiente viga usando el método de castigliano. Figura 9: Viga 9: Viga Cargada.

Se consideran como redundantes las reacciones del extremo B (

,  ). Las

condiciones en el nodo B son tales que:

 =0  ∆ = 0 Luego:

Planteando la ecuación de momentos para la viga se tiene:

Derivando la ecuación de momento con respecto a cada una de las redundantes:

















Despejando



 de la anterior ecuación se tiene:

Para el caso de

Despejando

∆:

 de la anterior ecuación se tiene:















Reemplazando la ecuación 2.10 en cualquiera de las expresiones de

 se obtiene:

Una vez conocidos los valores de las reacciones en el nodo se plantea la estática de la viga, obteniendo el valor de las reacciones del nodo A:

Así, los momentos de empotramiento para una viga de sección constante y con una carga constante sobre toda la viga son:

Figura 10: Momentos 10: Momentos de Empotramiento















Como se puede ver en la figura anterior, los momentos generados en los extremos de la barra se producen por 3 desplazamientos.

  . Rotación del nodo  ( ).

a) Rotación del nodo b)

c) Desplazamiento relativo entre nodos ( Δ relativo) A continuación se analiza cada desplazamiento por separado. 2.3.2.1Momentos generados en los extremos de la barra i − j por una rotación en el nodo i (θi) Para encontrar la relación existente entre los momentos generados en los extremos de la barra y la rotación ocurrida en el nodo i (θ i ) se considera una barra i-j simplemente apoyada en su extremo i y y empotrada en su extremo j, la cual ha sufrido una rotación en su extremo i como se muestra a continuación:















−θ i = MA Mi j −θ M ji −θ −θ i = MB

Planteando una sumatoria de momentos en el nodo i, se tiene:

Ahora haciendo una sumatoria de fuerzas en y usando la anterior relación















2.3.2.1.2Momentos generados en los extremos de la barra i − j por una rotación en el nodo j (θj ). Para encontrar la relación existente entre los momentos generados en los extremos de la barra y la rotación ocurrida en el nodo j (θ j ) se considera una barra i-j empotrada en su extremo i y simplemente apoyada en su extremo j, la cual ha sufrido una rotación en su extremo j como se muestra a continuación:

Mi j −θ j = Momento generado en el nodo i debido a una rotación en el nodo j ( (θ j ). ). M ji −θ j = Momento generado en el nodo j debido a una rotación en el nodo j ( (θ j ). ).

Realizando el mismo análisis que se hizo para el caso de la rotación en el nodo i, se obtiene:

















empotrada en sus dos extremos, la cual ha sufrido un descenso vertical en uno de sus apoyos como se muestra a continuación:

Mi j −Δ R = Momento generado en el nodo i debido al desplazamiento relativo ( Δ R ) . M ji −Δ R = Momento generado en el nodo j debido al desplazamiento relativo ( Δ R ) .

Nuevamente se hará uso del método de la viga conjugada para calcular el momento en función del desplazamiento relativo entre los extremos del elemento. Para no saturar el dibujo y evitar posibles confusiones se usa la siguiente convención: Mi j −Δ R = M A M ji −Δ R = M B















Haciendo sumatoria de fuerzas en y:

Ahora, planteando una sumatoria de momentos con respecto al nodo j:















Caso A. Si el desplazamiento relativo ΔR hace que la barra tienda a rotar en sentido de las manecillas del reloj, los momentos en los extremos son positivos.

Caso B. Si el desplazamiento relativo ΔR hace que la barra tienda a rotar en sentido antihorario, los momentos en los extremos son negativos.















Momentos totales















PLANTEAMIENTO GENERAL DEL MÉTODO DE DEFORMACIONES DEFORMACIONES ANGULARES: Para solucionar estructuras haciendo uso de las deformaciones angulares se siguen los siguientes pasos: a. Aplicar las ecuaciones básicas de momento de deformaciones a cada una de las

barras de la estructura. Estos momentos quedan en función de las rotaciones en los extremos y de los desplazamientos relativos entre los extremos de cada barra. b. Plantear una ecuación de equilibrio de momentos en cada uno de los nodos de la

estructura. En algunas estructuras es necesario plantear ecuaciones de equilibrio en algunos elementos o en toda la estructura, como se verá mas adelante en los ejercicios tipo. Al establecer todas las ecuaciones de equilibrio necesarias se obtiene un sistema de ecuaciones, él cual debe tener igual número de ecuaciones como grados de libertad desconocidos tenga la estructura. Al solucionar este sistema se consiguen los valores de las rotaciones en los extremos θ y de los desplazamientos relativos Δ . c. Conocidos los valores de θ y de Δ R , estos se sustituyen en las ecuaciones de

momentos finales planteadas en el paso a. d. Calculados los momentos, se pueden obtener los cortantes y las reacciones haciendo uso de la estática básica. ALGUNAS TABLAS PARA DESARROLLAR































EJERCICIOS DE APLICACIÓN Ejercicio 01 Resolver la viga continua de la la figura, determinar determinar los momentos en cada punto y graficarlos.

10000kgf 4000kgf/m

4000kgf/m

3m















   4000∗5  = − 12 = − 12 = −833 −8333.3.3. 3.

;  =8333.3.

TRAMO CD:

5   = − 10000∗6 − 5 40006 =−11250. ;  = − 8 − 192 8 192 11   = 10000∗6 + 11 40006 =15750.  = + 8 + 192 8 192 TRAMO DE:

 =  = 0 REMPLAZAMOS ESTOS VALORES EN LA ECUACIÓN.

2















 = 0 REEMPLAZAMOS LAS ECUACIONES (I) EN (II):

 +  = 0 8000−8333.3+12 + 6 = 0 −111.1+4 + 2 =0……….  +  = 0 8333.3+6 +12 −11250+16 + 8 = 0 −2916.7+6 +28 + 8 =0………















-11013 -9521

-8000

A B

C

D

E

















EJERCICIO 02 Determinar todos los los momentos momentos de extremo y dibujar dibujar el DFC y DMF para la viga mostrada en la figura. figura. El asentamiento de los soporte son A=1.25 pulg, B=2.40 pulg, C=2.75 pulg y D=1.10 pulg. Para este viga,

=.  =/















       ,           :   = .−.  =.  .−. =.















 +  =    + =. −−−−−−−−−   + + =. −−−−−−−−−  + + =−. −−−−−−−−−





























EJERCICIO 03

Dibujar el DFC y DMF del la siguiente figura.

2m A

30KN/m

100KN B

  = 50 ∗ 10   −  20KN/m

50KN C

D 1.5cm

E

















∆ 1.5















500 +250 =5……………….















PASO D: calculo de las reacciones.





























Grafico de DFC y DMF



















































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