Bab 9
DEFLEKSI ELASTIS BALOK Tinjauan Instruksional Khusus: Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar defleksi (lendutan) pada balok, memahami metode-metode penentuan defleksi dan dapat menerapkan salah satu metode yaitu metode integrasi ganda dan metode fungsi singularitas dalam analisis dan penentuan defleksi suatu balok.
SUB-POKOK BAHASAN: METODE INTEGRASI-GANDA Pendahuluan Di bab 8 telah dinyatakan bahwa beban lateral yang dikenakan pada balok tidak hanya menyebabkan kenaikan tegangan tekuk dan tegangan geser internal pada batang, tetap tetapii juga juga menyeb menyebab abkan kan batan batang g menga mengala lami mi defle defleksi ksi pada pada arah arah tegakl tegakluru urus s sumbu sumbu longitudinalnya. Tegangan-tegangan ini telah diuji di bab 8 dan akan didiskusikan lagi di bab ini, khususnya untuk menjabarkan metode perhitungan perhitungan defleksi. Definisi defleksi pada balok Deformasi pada balok secara sangat mudah dapat dijelaskan berdasarkan defleksi balok dari posisinya sebelum mengalami pembebanan. Defleksi diukur dari permukaan netral netral awal ke posisi posisi netral netral setelah setelah terjadi terjadi deformasi deformasi.. Konfigur Konfigurasi asi yang diasumsikan diasumsikan dengan deformasi permukaan netral dikenal sebagai sebagai kurva elastis dari balok. Gambar 9-1 memperlihatkan balok pada posisi awal sebelum terjadi deformasi dan Gb. 9-2 adalah balok dalam konfigurasi terdeformasi yang diasumsikan akibat aksi pembebanan. P
P
x O y
Gb. 9-1
Gb. 9-2
Jarak perpindahan y didefinisikan y didefinisikan sebagai defleksi balok. Dalam penerapan, kadang kita harus menentukan defleksi pada setiap nilai x nilai x disepanja disepanjang ng balok. Hubungan ini dapat ditulis ditulis dalam dalam bentuk bentuk persamaa persamaan n yang sering sering disebut disebut persamaan persamaan defleksi defleksi kurva (atau kurva elastis) dari balok. Pentingnya defleksi balok Disa Disamp mpin ing g fakt faktor or tega tegang ngan an,,
spes spesif ifik ikas asii
untu untuk k
ranc rancan angb gban angu gun n
balo balok k
seri sering ng
ditent ditentuka ukan n oleh oleh adany adanya a deflek defleksi. si. Konse Konsekue kuensi nsinya nya,, disamp disamping ing perhit perhitung ungan an tentan tentang g 56
tegangan-tegangan seperti dijelaskan dalam bab 8, perancang juga harus mampu menentukan defleksi. Sebagai contoh, dalam banyak kode bangunan defleksi maksimum yang diperkenankan dari suatu batang tidak boleh melebihi 1/300 panjang balok. Dengan demikian, balok yang dirancang dengan baik tidak hanya mampu mendukung beban yang akan diterimanya tetapi juga harus mampu mengatasi terjadinya defleksi sampai batas tertentu. Metode-metode penentuan defleksi balok Banyak metode yang tersedia untuk menentukan defleksi balok. Metode-metode yang umum digunakan antara lain adalah: (1) Metode integrasi-ganda, (2) Metode fungsi singularitas dan (3) Metode energi elastis Hanya metode pertama dan kedua yang akan diuraikan dalam bab ini. Perlu dicatat bahwa kesemua metode tersebut hanya bisa diterapkan jika seluruh porsi balok bekerja dalam rentang elastis. Metode integrasi-ganda Persamaan diferensial kurva defleksi balok tertekuk adalah
d 2 y
(9.1) = M dx 2 dimana x dan y adalah koordinat-koordinat seperti ditunjukkan pada Gb. 9.2. Disini, y
EI
adalah defleksi balok. Persamaan ini akan dijabarkan dalam contoh 1. Dalam persamaan ini E menyatakan modulus elastisitas balok dan I menyatakan momen inersia penampang melintang balok terhadap sumbu netral yang melalui centroid penampang melintang. M menyatakan momen tekuk pada jarak x dari salah satu ujung balok. Nilainya telah didefinisikan di bab 6 sebagai jumlah aljabar momen-momen gaya luar terhadap salah satu sisi bagian pada jarak x dari ujungbatang. Biasanya M akan mertupakan fungsi x dan perlu mengintegrasikan persamaan (9.1) dua kali untuk memperoleh persamaan aljabar yang menyatakan defleksi y sebagai fungsi x . Persamaan (9.1) adalah persamaan diferensial dasar yang menentukan defleksi elastis seluruh balok tanpa memandang tipe pembebanannya. Prosedur integrasi Metode integrasi-ganda untuk menghitung defleksi balok hanya berisi integrasi persamaan (9.1). Integrasi pertama menghasilkan kemiringan (slope) dy/dx pada sembarang titik pada balok dan integrasi kedua memberikan defleksi y pada setiap nilai x . Momen tekuk M harus dinyatakan sebagai fungsi koordinat x sebelum persamaannya bisa diintegralkan. Untuk kasus yang akan dipelajari disini integrasinya adalah sangat sederhana.
57
Karena persamaan diferensial (9.1) merupakan order kedua, solusinya harus mengandung dua konstanta integral. Kedua konstanta ini harus dievaluasi dari kondisi yang diketahui terhadap slope maupun defleksi pada titik tertentu dalam balok. Misalnya, pada kasus balok gantung (cantilever ) konstanta-konstantanya dapat ditentukan dari kondisi dimana tidak terjadi perubahan slope dan juga kondisi tanpa perubahan defleksi pada, yaitu pada ujung balok. Sering, dua atau lebih persamaan diperlukan untuk menjabarkan momen tekuk pada berbagai daerah disepanjang balok. Ini telah ditegaskan di bab 6. Pada kasus demikian, persamaan (9.1) harus ditulis untuk setiap daerah pada balok dan integrasi persamaan menghasilkan dua konstanta integral untuk masing-masing daerah. Konstanta-konstanta ini kemudian harus ditentukan sedemikian sehingga memenuhi untuk keseluruhan batas kondisi untuk slope dan deformasinya (Lihat contoh 3).
Konvensi tanda Konvensi tanda untuk momen tekuk yang telah digunakan di bab 6 akan dipertahankan disini. Kuantitas E dan I yang muncul dalam persamaan (9.1) adalah positip. Jadi, dari persamaan ini, jika M adalah positip untuk nilai x tertentu, maka d 2 y/dx 2 juga positip. Berdasarkan konvensi tanda untuk momen tekuk diatas, maka penting untuk diperhatikan bahwa koordinat x disepanjang balok adalah positip kekanan dan defleksi y adalah positip naik. Dengan tanda aljabar ini integrasi persamaan (9.1) dapat dilakukan untuk menghasilkan defleksi y sebagai fungsi x , dengan pengertian bahwa defleksi keatas adalah positip dan defleksi kebawah adalah negatip. Asumsi dan pembatasan Pada penjabaran persamaan (9.1) diasumsikan bahwa defleksi yang disebabkan oleh aksi gesekan adalah dapat diabaikan, dibandingkan dengan yang disebabkan oleh aksi tekukan. Juga, diasumsikan bahwa defleksi yang terjadi adalah relatif kecil dibandingkan dengan dimensi penampang melintang balok, dan seluruh porsi balok beraksi dalam batas elastis. Contoh 1. Tentukan persamaan diferensial untuk kurva defleksi suatu balok yang dibebani dengan gaya melintang.
Dari bab 8, kita mempunyai hubungan EI M =
ρ
Pada pernyataan ini, M adalah momen tekuk yang bekerja pada penampang melintang balok, ρ jari-jari kurva terhadap permukaan netral balok, E modulus elastisitas, dan I momen penampang melintang terhadap sumbu netral yang melalui centroid penampang. Biasanya nilai E dan I adalah konstan disepanjang balok, tetapi M dan ρ merupakan fungsi x . 58
Persamaan diatas dapat kita tulis dalam bentuk 1 ρ
=
M EI
dimana ruas kiri mewakili kurva permukaan netral dari balok. Karena M bervariasi disepanjang balok, kurva defleksi akan berupa kurva variabel. Misalkan garis tebal pada gambar dibawah merupakan permukaan netral terdeformasi dari balok. Awalnya sumbu balok adalah berimpit dengan sumbu x . Defleksi y adalah positip kearah atas; sehingga untuk kurva pada gambar dibawah, seluruh defleksi adalah negatip. ρ
y
x
O
Pernyataan untuk kurva pada sembarang titik disepanjang balok yang terdeformasi telah tersedia dari kalkulus diferensial. Formula kurva adalah
1
2
=
ρ
d y / dx
[1
+
2
(dy / dx)
]
2 3/ 2
Pada pernyataan ini, dy/dx mewakili kemiringan atau slope kurva pada sembarang titik; dan untuk defleksi balok yang sangat kecil nilainya dan juga nilai kuadratnya sangat kecil sehingga biasanya dapat diabaikan. Asumsi ini membuat pernyataan untuk kurva menjadi lebih sederhana, yaitu 2 1 d y
≈
2
dx Dengan demikian untuk defleksi yang kecil persamaan kurva menjadi d 2 y/dx 2 =M/EI atau ρ
EI
d 2 y dx 2
= M
Ini merupakan persamaan diferensial untuk kurva defleksi dari balok yang dibebani gaya melintang. Sesuai dengan penemunya, persamaan ini juga disebut persamaan EulerBernouli untuk balok tekuk. Contoh 2. Tentukan defleksi pada sembarang titik pada balok gantung (cantilever) yang dikenai gaya tunggal terkonsentrasi P , seperti gambar dibawah. y
L P x
PL
x PL
P
Disini diogunakan sistem koordinat x -y , dimana sumbu- x berimpit dengan posisi balok sebelum tertekuk. Balok tertekuk diperlihatkan dengan garis tebal. Pertama perlu ditentukan rekasi-reaksi yang diterima oleh dinding pendukung, dan dari statika diperoleh gaya reaksi vertikal P dan momen PL. Momen tekuk pada sembarang penampang melintang pada jarak x dari dinding diberikan dengan jumlah momen-momen kedua reaksi ini terhadap sumbu penampang. Terbukti bahwa gaya keatas menghasilkan momen positip Px , dan kopel PL jika beraksi sendiri akan menghasilkan kurva balok seperti gambar sebelah kanan. Berdasarkan konvensi tanda, ini menunjukkan tekukan negatip. Dengan demikian momen tekuk M pada bagian x adalah
M = − PL + Px
Persamaan diferensial untuk balok tertekuk adalah
59
EI
d 2 y dx 2
= M
dimana E menunjukkan modulus elastisitas bahan dan I menunjukkan momen inersia penampang melintang terhadap sumbu netral. Substitusi kedua persamaan diatas diperoleh 2
EI
d y dx 2
PL + Px
= −
Integrasi pertama persamaan ini menghasilkan dy Px 2 = − PLx + + C 1 EI dx 2 yang juga berarti persamaan untuk slope, dimana C 1 adalah konstanta integral. Konstanta ini dapat dievaluasi dengan menggunakan kondisi dimana slope dy/dx dari balok pada dinding adalah nol karena balok dijepit secara tetap disini. Dengan demikian (dy / dx) x =0 = 0 . Persamaan hasil integrasi pertama adalah benar untuk semua nilai x dan y , dan jika kondisi x = 0 disubstitusikan kita dapatkan 0 = 0 + 0 + C 1 atau C 1=0. Integrasi kedua menghasilkan x 2 Px 3 + + C 2 EIy = − PL 2 6 dimana C 2 adalah konstanta kedua integrasi. Lagi, kondisi pada dinding pendukung akan menentukan konstanta ini. Pada x =0, defleksi y adalah nol karena balok dijepit secara kaku. Dengan mensubstitusikan (y ) x =0=0 kedalam persamaan diatas, kita peroleh 0 = 0 + 0 + C 2 atau C 2=0. Dari kedua persamaan kita peroleh C 1 = C 2 = 0 memberikan slope dy/dx dan defleksi y pada titik x . Defleksi adalah maksimum pada ujung kanan balok ( x = L), dibawah pembebanan P . − PL3 EIymax = 3 dimana nilai negatip menunjukkan bahwa pada titik ini kurva defleksi terletak dibawah sumbu x . Jika hanya diiunginkan besaran defleksi maksimum pada x = L, biasanya dinyatakan dengan ∆max dan kita peroleh 3 PL
∆max =
3 EI
Contoh 3. Tentukan persamaan kurva defleksi untuk balok menggantung yang dibebani oleh dua gaya P yang sama seperti diilustrasikan pada gambar dibawah. y P
P x a
L1 P
L
a P
Momen tekuk pada daerah batang gantung sebelah kiri adalah untuk M = − Px 0 < x < a dan persamaan diferensial untuk batang tekuk pada daerah tersebut adalah
EI
d 2 y dx 2
= − Px
untuk
0
< x < a
(1)
Integrasi pertama persamaan ini menghasilkan 2 dy x (2) = − P + C 1 EI dx 2 Tidak ada yang bisa diketahui untuk slope dy/dx di daerah ini. Secara khusus, perlu 60
ditekankan bahwa tidak ada justifikasi untuk mengasumsikan bahwa slope pada sendi ( x = a) adalah nol. Kita mungkin menyatakan slope disini dengan notasi 2 dy = − P a + C 1 2 dx x =a
EI
(3)
Integrasi selanjutnya menghasilkan EIy
3 P x = − + C 1 x + C 2 2 3
(4)
Karena balok menggantung pada pendukung (sendi), maka diketahui bahwa defleksi y adalah nol. Dengan demikian (y) x=a=0. Dengan mesubstitusikan y = 0 ketika x = a di (4), kita peroleh Pa 3 (5) + C 1a + C 2 0=− 6 Momen tekuk pada daerah tengah balok diantara pendukung (sendi dan engsel) adalah M = -Pa dan persamaan diferensialnya adalah
EI
d 2 y dx 2
= − Pa
untuk
0 < x
<
( L − a)
(6)
Integrasi persamaan diatas menghasilkan dy EI = − Pax + C 3 (7) dx Karena pembebanan adalah simetris dapat dibuktikan bahwa slope dy/dx harus nol pada bagian tengan balok. Jadi (dy/dx ) x=L/2 =0. Substitusi nilai ini ke persamaan (7) kita peroleh PaL L 0 = − Pa + C 3 C 3 = atau 2 2 (8) Juga dari persamaan (7) dapat dikatakan bahwa slope balok pada pendukung sebelah kiri, x = a, dapat diberikan dengan substitusi x = a kedalam persamaan ini, dan menghasilkan PaL dy EI = − Pa 2 + (9) 2 dx x =a Tetapi slope dy/dx yang diberikan dari pernyataan ini harus sama dengan yang diberikan oleh persamaan (3), karena tekukan batang pada titik ini harus mempunyai slope yang sama, tidak pandang persamaan mana yang digunakan. Dengan cara yang sama, untuk ruas kanan (persamaan (3) dan (9)) kita peroleh Pa 2 PaL (10) − + C 1 = − Pa 2 + 2 2 Pa 2 PaL atau (11) C 1 = − + 2 2 Substitusi nilai C 1 kedalam pers. (5) kita peroleh Pa3 Pa 3 Pa 2 L (12) − + + C 2 0=− 6 2 2 2 Pa3 Pa 2 L atau − C 2 = 3 2 Integrasi selanjutnya dari persamaan (7) menghasilkan x 2 PaL (13) + EIy = − Pa ( x ) + C 4 2 2 Lagi, defleksi y pada pendukung sebelah kiri, x = a, adalah nol. Meskipun kondisi yang sama telah digunakan untuk memperoleh persamaan (5) pada saat ini kondisi ini akan digunakan untuk menentukan konstanta C 4 dalam persamaan (13). Dengan substitusi nilai (y) x=a=0 kedalam persamaan (13), kita peroleh 3 2 3 2 Pa Pa L Pa Pa L (14) − + + C 4 atau 0=− C 4 = 2 2 2 2 Selanjutnya diperlukan untuk memanfaatkan empat kondisi berkaitan dengan slope dan 61
defleksi guna menentukan keempat konstanta tersebut. Kondisi-kondisi tersebut adalah (a) Jika x = a, y = 0 untuk porsi balok menggantung (b) Jika x = a, y = 0 untuk porsi tengah (central) balok (c) Jika x = L/2, dy/dx = 0 untuk porsi tengah balok (d) Jika x = a, slope dy/dx adalah sama untuk kurva defleksi pada sebelah sisi pendukung. Akhirnya, persamaan balok tekuk dapat ditulis dalam bentuk Px 3 Pa 2 x PaLx 2 Pa 3 Pa 2 L − + + − EIy = − 6 2 2 3 2 (15) 2 3 3 Pax PaLx Pa Pa L + + − EIy = − 2 2 2 2
untuk
0
untuk
0 < x
< x < a
<
( L − a)
(16)
Karena pembebanannya simetris maka tidak perlu untuk menulis persamaan untuk balok terdeformasi pada bagian sebelah kanan.
62
