ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA Y CIENCIAS DE LA PRODUCCIÓN MECÁNICA DE FLUIDOS
Título:
Deber de los capítulos 1 y 2
Fecha: Noviembre 13, 2017 Estudiante: Diego Andrés Valdivieso Buele
Paralelo: 1
Profesor: Ing. Juan Peralta
CAPITULO 1
1.12 En el flujo estacionario (laminar) a baja velocidad a través de un conducto circular, como se muestra en la Figura P1.12, la velocidad u varía con el radio según la expresión:
∆
donde µ es la viscosidad del fluido y ∆p es la caída de presión entre la entrada
y la salida. ¿Cuáles son las dimensiones de la constante B?
Solución Partiendo de que las dimensiones para cada termino están dadas por:
[−] ∆ [− ∗ −] ( ) Reemplazando las dimensiones se obtiene:
[−] [− ∗ −]−−− [−] [− ∗ −]−−− [−] [−] [−]−[−] [−] .
La Figura P1.14 representa el flujo sobre un vertedero. Se sabe que el caudal Q sólo depende de la anchura B del dique, la aceleración de la gravedad g, y la altura H del agua sobre la cresta del vertedero aguas arriba. Se sabe también que Q es proporcional a B. ¿Qué forma tiene la única expresión dimensionalmente homogénea para el caudal? 1.14
Solución Partiendo de que las dimensiones de caudal
[−], son
se analiza que B, g y H son proporcional a Q, por lo que iniciaremos asumiendo que tenemos una ecuación de la forma , no obstante conocemos que B es proporcional al caudal, por lo tanto las dimensiones de B deben mantenerse como [L] en consecuencia, las variables que se deben manipular corresponden a g y H.
[−] [−]
− − [ ] [ ] se eleva a la ½ las dimensiones de la gravedad, para poder mantener la igualdad de las dimensiones del tiempo.
[−] [/−]/,
para que las dimensiones de L de caudal sean iguales a la de la
derecha, es necesario elevar a la 3/2 la dimensión de la altura. Al realizar estos ajustes en la ecuación, se consigue la igualdad e implícitamente la expresión del caudal en función de B, g y H. Podemos analizar que, para obtener la igualdad, se elevó las dimensiones de la gravedad a la ½, lo cual se traduce a que la variable está dada por
√
, y por otro lado se elevó a la 3/2 las
dimensiones de la altura, lo que implica que la variable está dada por Finalmente se expresa al caudal como
El aire
.
/
.
húmedo de la atmósfera con un 100 por 100 de humedad relativa contiene vapor de agua saturado y, según la ley de Dalton de las presiones parciales
+ Supongamos que el aire atmosférico se encuentra a 40 °C y 1 atm. Calcule la densidad del aire húmedo con un 100 por 100 de humedad, y compárelo con la densidad del aire seco en las mismas condiciones.
Solución Partiendo de la ley general de los gases, obtenemos la ecuación la densidad y se obtiene
de donde se despeja
, la densidad del aire húmedo se define como:
+ +
Por datos de tabla se conoce que la presión de vapor de agua corresponde a 7375 Pa, la presión atmosférica 1.013*10e5 Pa, de modo que la presión de aire se obtiene de la diferencia entre la presión atmosférica y la presión de vapor, es decir Paire= 1.013*10e5 – 7375 = 93975 Pa La temperatura de 40 °C a Kelvin corresponde a 313 K, y las constantes particulares de aire y agua son 287 y 461 respectivamente, reemplazando dichos datos se obtiene:
93975 + 7375 1.046+0.051 1.10¨ 287313 461313 101350 1.13¨ 287313 Por lo tanto, el aire húmedo es menos denso, es decir más ligero que el aire seco 2.7% del 100%
Un bloque cuyo peso es W se desliza sobre un plano inclinado lubricado por una película de aceite, como se indica en la Figura P1.45. La superficie de contacto del bloque es A y el espesor de la película de aceite h. Suponiendo una distribución lineal de velocidad en el aceite, halle una expresión para la velocidad «límite» V del bloque y x
Solución Debido a que en el problema se enuncia que la velocidad es terminal, se considera que la aceleración en el eje x es cero.
∑
0 ℎ 0 = ℎ .
Un cono sólido de ángulo 2θ, radio de la base r y densidad ρc está girando con una velocidad angular ω0 en su asiento cónico, como se muestra en la Figura P1.53. La holgura h está llena de aceite con viscosidad μ. Despreciando la resi ste ncia del aire, obtenga una expresión para la velocidad angular del cono ω(t) si no se aplica ningún par motor.
Solución Partimos de que el esfuerzo se define como:
, despejando el diferencial de fuerza
Reemplazamos es esfuerzo por
, a su vez
la velocidad puede ser expresada como wr, por lo que se obtiene lo siguiente:
El diferencial de área está dado por
2
dr
2
ℎ , reemplazando el ds, se obtiene:
, reemplazando en el diferencial de fuerza
ℎ ∗2
ds
Además, conocemos que el torque generado se define como con el dF obtenemos la siguiente expresión:
∗
, reemplazando
ℎ 2 Por tanto, obtenemos el momento M al integrar desde r=0 hasta r=ro
Conocemos que
ℎ 2 2ℎ , en donde ,
reordenamos la ecuación diferencial
3 2ℎ 10
reemplazamos M y
5 3ℎ − 5 ln ⟹ .
3ℎ
1.54 Un disco de radio R gira con velocidad angular Ω dentro de un contenedor discoid al lleno de aceite con viscosidad μ, como se muestra en la Figura P1.54. Suponiendo un perfil de velocidad lineal y despreciando los esfuerzos cortantes en el borde exterior del disco, obtenga una expresión para el par de resistencia viscoso que actúa sobre el disco.
Solución Al igual que en el ejercicio anterior, partimos de:
Ωℎ y el dA al tratarse
Reemplazamos los valores de
de un disco es igual a
Ωℎ 2
2
por tanto, obtenemos:
debido a que tanto la parte superior como inferior del disco produce momento,
2 2 2 Ω Ω 4 ℎ ℎ .
entonces el momento estará dado por:
, integramos de 0 hasta
R, con lo que obtenemos la expresión del par de resistencia viscoso
1.70 Obtenga una expresión para el ascenso capilar h de un fluido de tensión superficial ϒ y ángulo de contacto θ entre dos placas paralelas verticales separadas una distancia W, como se muestra en la Figura P1.70. ¿Cuál será el valor de h si W = 0,5 mm en agua a 20 °C?
2bYcos( )
2bY
W
Para un tubo, la expresión de capilaridad está dada por componente vertical.
2
, lo cual representa a la
Por lo que al realizar una sumatoria de fuerzas en y, se obtiene:
2 ℎ
por tanto, al realizar un despeje de la variable h, se obtiene:
ℎ 2 CAPITULO 2
2.14 El depósito cerrado de la Figura P2.14 se encuentra a 20 °C. Si la presión absoluta en el punto A es de 95 kPa, ¿cuál es la presión absoluta en el punto B, medida en kilopascales? ¿Qué error porcentual se comete si se desprecia el peso específico del aire?
Solución Para determinar la presión absoluta en el punto B, se igualan las presiones a la misma altura:
Se suman algebraicamente las presiones que resultan antes de llegar a B:
9500 + + ℎ ℎ
Se sustituye la presión p por o gravedad, cuyo valor se tomará de 9.81 m/s2,
donde es la densidad del fluido, g es la es el peso específico del fluido y h es su altura.
95000+4+242 La densidad del agua es 998 kg/m3, no obstante, la densidad del aire debe determinarse a la temperatura de 20ºC, con la ecuación
⁄
Para la columna de aire 1, la presión que actúa es la del punto A, la constante R de los gases tiene el valor de 287 J/kgK y la temperatura absoluta es de 20ºC+ 273 = 293 K.
95000 1.13 287293 Para la columna de aire 2, actúa la presión B:
287293 84091 9.82 95000 +1.139.814+9989.8129989.814 84091 29.8 75463.58 1+ 84091 75.446 . Si se despreciara la gravedad especifica del aire, la presión en B solo dependería de los cambios de presión del agua y de la presión en el punto A, por tanto.
95000 +9989.8129989.814 75.419 El error porcentual estaría dado por la siguiente expresión
419 ×100 0.036% . % 75.44675. 75.446 2.22 El indicador del depósito de gasolina de un coche marca proporcionalmente a la presión manométrica del fondo del depósito, como muestra la Figura P2.22. Si el depósito tiene 30 cm de alto y contiene accidentalmente 2 cm de agua además de la gasolina, ¿cuántos centímetros de aire habrá en la parte superior del depósito cuando el indicador señale erróneamente «lleno »?
Solución Se halla la presión cuando el tanque está lleno:
ℎ ℎ 6809.8130×10− 1999.2 Se plantea la ecuación de presión cuando el tanque está lleno de acuerdo con la suma de presiones internas, a la altura de la columna de gasolina se expresa con la letra y:
2×10−+ 1999.2 9790 2×102 +680 0.2706 27.06
Como 30= h + 2 + y:
ℎ 302 30227.06 0.94 .
2.44 En la Figura P2.44 se esquematiza un tubo con 45° de inclinación por el que fluye agua. La caída de presiones p1 – p2 es debida en parte al efecto de la gravedad y en parte al de la fricción. El manómetro de mercurio indica una diferencia de alturas de 6 in. ¿Cuál es la caída total de presiones p1 – p2 en lbf/in2? ¿Cuál es la caída de presiones entre 1 y 2 debida a la fricción en libras por pulgada cuadrada? ¿Corresponde la lectura del manómetro únicamente al efecto de la fricción? ¿Por qué?
Solución Inicialmente igualamos las presiones en los puntos 1 y 2
+ 62.45 45º+ℎ + 126 +84612 6 62.4ℎ 62,4545°84662,412 6 . 392 221 171 1.19 . El manómetro solo lee la fricción perdida de 392 lbf/ft2 (2.72 lbf/plg2), no de la gravedad de 221 lbf/ft2, debido a que lo hace en función de la perdida de carga.
2.61 La compuerta AB de la Figura P2.61 es una masa homogénea de 180 kg, 1,2 m de anchura, articulada en A y apoyada sobre B. Todos los fluidos se encuentran a 20 °C. ¿A qué profundidad del agua h se anula la fuerza en el punto B?
Solución Se calcula la distancia hg:
ℎ 2 0.560º 1.57 Con esto puede hallarse la fuerza hidrostática que produce la glicerina:
ℎ 123601.571.2∗1 23286.24
Y el centro de presión:
̅ + ̅ /12 1.57 1.21/12 ℎ ℎ ,F 60º + ℎ 60º + 1.57 1.2 1.859 60º 60º ℎ Para el agua:
ℎ 9790ℎ1,2 60°/12 0,0722 1, 1 2 , ℎ1,2 ℎ Se calcula el peso de la placa: W=mg=180(9.81) =1765.8 N, que actúa justo en el centroide de la placa.
∑ 0 23286.240,5461 + 17660,560° 9790hg1,2 0,5+ 0,0ℎ722 0 ℎ 2,055 ℎ ℎ +0.433 2.488 .
Se realiza sumatoria de momentos para hallar hg
2.68 La compuerta AB de la Figura 2.68 tiene forma de triángulo isósceles, está articulada en A y pesa 1500 N. ¿Cuál es la fuerza horizontal P que se debe aplicar en el punto B para mantener el sistema en equilibrio?
Solución Se obtiene la fuerza hidrostática y el centro de presión:
ℎ 0.8397903.6670.5∗1∗2.61 38885 /36 12. 6 1 ̅ + ̅ 3.48+ 3.48∗0.5∗1∗2.61 3.589 Se realiza sumatoria de momentos para hallar la fuerza P:
0 2.0+15000.559388850,870+0,0791 18040 . 2.84 Determine (a) la fuerza hidrostática total sobre la superficie curva AB de la Figura P2.84 y (b) su línea de acción. Desprecie la presión atmosférica y considere que la superficie tiene anchura unidad. 1
Solución Determinamos la fuerza horizontal
ℎ 97900,51∗1 4895 Ahora se determina la fuerza vertical, que se define como el producto de la gravedad específica y el volumen contenido sobre la compuerta, se considera la profundidad “b” y el área igual a , por lo que se tiene:
1 1 34 34 97901 7342.5
Del mismo modo el centro de presión está dado por el centroide de la compuerta, por lo que calculamos dicho valor aplicando lo siguiente:
1 ∫ ∫ ∫ ∫ 1 0,4 Finalmente, la fuerza resultante se la obtiene con el teorema de Pitágoras
√ 4895 + 7343.5 8825 .
2.91 El domo semiesférico de la Figura P2.91 tiene un peso de 30 kN, está lleno de agua y remachado al suelo mediante seis remaches equiespaciados. ¿Cuál es la fuerza necesaria sobre cada remache para mantener el domo en su posición?
Solución Se halla la fuerza total:
979026979023 2 979040,034 73814916403328 574088 Esta fuerza total, representa la fuerza ejercida sobre el domo semiesférico. Como el material del domo pesa 30000N, debe restarse este valor a la fuerza total:
5740883000 544088
.
Y se reparte esta fuerza entre los 6 remaches:
544088 90700 ℎ . 6 ℎ 2.96 El panel curvo BC de la Figura P2.96 tiene un arco de 60° y es perpendicular al fondo en el punto C. Si el panel tiene una anchura de 4 m, estime la resultante de la fuerza hidrostática sobre el panel
Solución Se halla la fuerza horizontal:
ℎ 97902+1.592.5984 365238 La fuerza vertical:
97903.0+1.1334 161860 Y se obtiene la fuerza resultante:
(365238 + 161860) 399496 . − 161860 399496 25,7° . 2.139 El depósito de líquido de la Figura P2.139 acelera hacia la derecha con su fluido moviéndose como un sólido rígido. (a) Calcule ax en m/s2. (b) ¿Por qué la solución del apartado (a) no depende de la densidad del fluido? (c) Determine la presión manométrica en el punto A si el fluido es glicerina a 20 °C.
Solución Debido a la inclinación del líquido:
15 0.13, −0.13 7.4° 28100 0.13 0.139.81 1.28 b) Porque el ejercicio pudo resolverse geométricamente, sin necesidad de aplicar ecuaciones que involucren la densidad del fluido. c) La
1260 / ∆ 12609.8128×10− 3461 ,
