UNIDAD IV VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Profesor Abraham Gómez Avalos 1
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Las variables aleatorias continuas son aquellas que toman un número infinito de valores, podemos decir que vienen de procesos que se miden. Definición X es una variable aleatoria continua si existe una función f(x) llamada función de densidad de probabilidad (fdp) de la V.A. X , que satisface las siguientes condiciones: 1.
f(x) ≥ 0
2.
f ( x)dx 1 2
El cálculo de una probabilidad de una variable aleatoria continua se hace con:
Si “a” y “b” son dos valores tales que entonces
-∞< a < b <∞
b
P (a
x
b)
f ( x)dx a
Para una variable aleatoria continua, las probabilidades se representan por medio del área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad. y
P( a ≤ x ≤ b ) y
x ab
a
b x
a
b
3
Una consecuencia de la descripción probabilística de la VA continua X, es que para cualquier valor específico x0 de X se tiene que: x 0
P ( X x0 )
f ( x)dx 0 x0
Como resultado de lo anterior P( a
≤
x ≤ b ) = P( a < x < b )
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA Definición
Si X es una V.A. Continua con con función función de densidad de probabilidad f(x), entonces la función de distribución de probabilidad acumulada de la V.A. X se denota y define como: x F ( x)
P( X
x)
f ( t)dt 4
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA Y de lo anterior, definimos: P(a
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA Teorema
Si
es la función de distribución de probabilidad acumulada entonces:
F(x)
lím F ( x)
0
1)
x
2)
límF ( x) 1
3)
x
Si
x1
x2
F ( x1 )
F ( x2 )
5
EJEMPLO DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Si la función de densidad de probabilidad de una V.A. continua X esta dada por: si 0 x 1 kx, f ( x) 2 kx, si 1 x 2 0, en cualquier otro valor
a) Hallar el valor de k que hace una función de densidad de probabilidad. b) Obtenga F(x). a) k=1 b) c) Calcular P(0.2
VALOR ESPERADO DE UNA V.A. CONTINUA Definición
El Valor Esperado de una V.A.C. X con función de densidad de probabilidad f(x) se define como:
E x x f ( x)dx
Siempre que la integral exista (∫<∞)
VARIANZA DE UNA V.A. CONTINUA Definición
El varianza de una V.A.C. X se define como sigue: V ( x) E ( x 2 ) E ( x)
2
2 2 con E ( x ) x f ( x )dx
7
EJEMPLO DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
En una cierta ciudad, el consumo diario de energía (en millones de kilowatt-hora) es una V.A. con densidad de probabilidad dada por: si x 0 0, x f ( x) 1 4 , si x 0 xe 16
Si la planta de energía tiene una capacidad diaria de 10 millones de kilowatt-hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo rebase la capacidad de la planta? b) ¿Cuál es el consumo esperado en tal ciudad?. c) ¿Cuál es el valor de la desviación estándar en este experimento? a) 0.2872 b) 8 c) 5.6569 8
EJERCICIO DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
La proporción de tiempo T, que un autómata industrial trabaja durante una semana de 40 horas, es un V.A. con la siguiente función de densidad de probabilidad:
3t 2 , 0 t 1 f (t ) en otro caso 0, 1. ¿Cuántas horas se espera que trabaje el autómata por semana? 2. Determina la desviación estándar del experimento 3. Para que un autómata sea rentable se requiere que mínimo trabaje 24 horas por semana, ¿Cuál es la probabilidad de que lo sea? 1. E(t)=0.75= 30 hrs. 2. σ=0.1936 3. P(t>24)= 0.784 9
UNIFORME MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA
EXPONENCIAL NORMAL WEIBULL
10
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME Definición
Se dice que X es una V.A.C. distribuida Uniformemente en el intervalo (a,b) sí: 1) El rango de X es el intervalo (a, b) 2) La función de densidad de probabilidad de la V.A. es:
1 , f ( x) b a 0,
si a x b en otro caso
Observaciones: Los valores de a y b son parámetros de la función de densidad de probabilidad de la V.A. uniforme El valor que toma f(x) en el intervalo (a,b) es la constante 1/(b-a) 11
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME El tiempo medido en minutos que tarda una transportadora de concreto en entregar un pedido, es una V.A.C. distribuida uniformemente en el intervalo (50, 90). ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima entrega tarde: 1) Al menos 65 minutos? 2) Más de 70 minutos, si se sabe que tarda más de 60 minutos?
1) P(x>65)= 5/8=0.625, 2) P(x>70|x>60)=2/3=0.6667 12
VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA V.A. UNIFORME Teorema Si X es una V.A. continua con función de densidad de probabilidad uniforme, con parámetros a y b, entonces
E ( x)
a b 2
V ( x)
(b a)
2
12
Tomando el ejemplo anterior
1) ¿Cuánto tiempo se espera que tarde la transportadora de concreto en entregar un pedido? 2) Calcule la desviación estándar del experimento y utilizando la regla empírica, interprete los intervalos que esta determina. 1) E(x)=70, 2) σ=11.547, el 68% de las entregas se realizan entre 58.5 y 81.6 minutos, el 95% de las entregas se llevan a cabo entre 46.9 y 93.1 minutos y el 99.7% de las entregas se hacen entre 35.4 y 104.7 minutos
13
EJERCICIO DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME Un vuelo procedente de Canadá esta programado para llegar a la Ciudad de México a las 0:30 hrs., Pero es probable que llegue en cualquier momento entre las 0:20 y las 0.55 hrs. Calcule la probabilidad de que: a) El avión llegue a tiempo o antes. b) El avión llegue después de las 0:40 hrs. c) ¿A qué hora se espera que llegue el avión?
a) P(x<=30)=0.2857, b) P(x>40)=0.4286, c) E(x)=37.5 entonces llega a las 0:38 hrs.
14
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL DEFINICIÓN La V.A. X que mide distancia, tiempo, volumen, área o espacio entre eventos sucesivos de un proceso de Poisson, con media λ>0, tiene una distribución exponencial con el parámetro λ. La función de densidad de probabilidad de X es:
f ( x)
e
x
,
para 0
x
La distribución exponencial se utiliza para modelar el tiempo que transcurre antes de que suceda un evento, llamado tiempo de espera. También sirve para modelar el tiempo de vida de un componente. 15
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL El Valor esperado y la Varianza de una V.A.C. X de una distribución exponencial están dados por : E ( x)
En a) b) c)
1
,
V ( x)
1 2
EJEMPLO una red de computadoras de una empresa, el acceso de usuarios al sistema puede modelarse como un proceso de Poisson con media de 25 accesos por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que se dé un acceso después de 6 minutos? ¿Cuántos minutos se espera que pasen para que suceda un acceso de un usuario cualesquiera? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta el siguiente acceso esté entre 9 y 12 minutos? a) P(x>6 min.)=P(x>0.1hrs)=0.0821, b)E(x)=0.04 hrs.=2.4 minutos, c) P(9
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL EJERCICIO El tiempo entre las llamadas telefónicas a una ferretería tienen una distribución exponencial con un tiempo promedio entre las llamadas de 15 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se dé una llamada después de 30 minutos? b) ¿Cuántos minutos se espera que pasen para que se reciba una llamada telefónica? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya una llamada en un tiempo mayor a 10 minutos?
a) P(x>30)=0.1353, b)E(x)=15, c) P(x>10)=0.5135 17
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL
f ( x)
1
2
μ
e
1
2 ( x ) / 2
x 18
CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL Y
X
1. La curva normal es acampanada y presenta sólo un pico en el centro de la distribución. 2. La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y están localizadas en el pico. De esta forma, la mitad del área bajo la curva se encuentra por arriba de este punto central, y la otra mitad por abajo. 19
CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL (continuación) Y
X
3. La distribución de probabilidad normal es simétrica con respecto a su media. 4. La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, esto significa que la curva se acerca cada vez más al eje x , pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, los puntos extremos de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones. 20
LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
La distribución normal estándar es una distribución normal con media cero y desviación estándar de 1. También es llamada distribución z . Un valor z es la distancia entre un valor seleccionado llamado x , y la media de la población µ, dividida entre la desviación estándar, σ . La fórmula es: Z = ( x – µ)/σ
21
LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
EJEMPLO El salario inicial de los primeros dos meses de los recién graduados de una universidad siguen la distribución normal con una media de $2,000 y una desviación estándar de $200. a) ¿Cuál es el valor z para un salario de $2,200? Z = ( x – µ)/ = (2,200 – 2,000)/200 = 1.00 Si Z vale 1 indica que el valor de $2,200 está a una desviación estándar arriba de la media. b) ¿Cuál es el valor z de $1,700? Z = ( x – µ)/σ = (1,700 – 2,000)/200 = -1.50 Si Z es de -1.50 indica que $1,700 está a 1.5 desviaciones estándar debajo de la media. 22
USO DE LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
Si requiere la P(0.0
TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
24
LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
EJEMPLO El uso diario de agua por persona en una colonia de la Ciudad de México, está distribuido normalmente con una media de 75.71 litros y una desviación estándar de 18.93 litros. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa colonia seleccionada al azar consuma entre 75.71 y 90.85 litros por día? 1.- El 28.81% de los residentes consumen entre 75.71 y 90.85 litros de agua por día.
2. ¿Qué porcentaje de la población consume entre 68.14 y 98.42 litros por día? 2.- El 54.03% de los residentes consumen entre 68.14 y 98.42 litros de agua por día.
25
LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
EJERCICIO El profesor Velasco ha determinado que las calificaciones en su curso de estadística, tienen una media de 72 y desviación estándar de 5. Él avisa a la clase que el 15% de las calificaciones más altas obtendrán una calificación de A. ¿Cuál es la puntuación límite más baja que obtendrá calificación de A?
Aquellos cuya puntuación sea de 77.2 o más ganarán una A.
26
LA APROXIMACIÓN NORMAL A LA BINOMIAL
La Distribución Normal (una distribución continua) proporciona una buena aproximación de la Distribución Binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n o bien cuando np y n(1 – p) son ambos mayores que 5. Recordemos las características de una distribución binomial: En un experimento sólo existen dos resultados mutuamente excluyentes: éxito y fracaso. La distribución es el resultado de contar el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos. Cada ensayo es independiente. La probabilidad p, permanece igual de un ensayo a otro. 27
FACTOR DE CORRECCIÓN DE CONTINUIDAD
Cuando se lleva a cabo la estandarización de la variable se sumará o restará 0.5 al valor de variable X , dependiendo de la situación y con esto se hace una corrección por el uso de la distribución normal en lugar de una distribución de probabilidad discreta. CRITERIOS PARA LA APLICACIÓN DEL FACTOR DE CORRECCIÓN POR CONTINUIDAD PARA LA PROBABILIDAD DE QUE POR LO MENOS OCURRA USA EL ÁREA X SE SOBRE LOS VALORES MAYORES QUE X - 0.5. A)
P( X
x)
28
B) PARA LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA MÁS DE X SE USA EL ÁREA
SOBRE LOS VALORES MAYORES QUE X +0.5.
P( X
x)
C) PARA LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA X O MENOS, SE USA EL
ÁREA SOBRE LOS VALORES MENORES QUE X +0.5.
P( X
x)
29
D) PARA LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA MENOS DE X SE USA EL
ÁREA SOBRE LOS VALORES MENORES QUE X - 0.5.
P( X
x)
30
EJEMPLO DE APROXIMACIÓN NORMAL A LA BINOMIAL
Un informe reciente de una firma de estudios de mercado mostró que 15% de residentes americanos son propietarios de una videocámara. Para una muestra de 200 residentes. 1. ¿Cuántos residentes se espera que tengan videocámara? 2. ¿Cuál es el valor de la varianza y la desviación estándar? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 residentes en la muestra tengan videocámara?
1. μ=30, 2. σ2=25.5,σ=5.0498, 3. P(x<40)=P(z<1.88)=0.9699
31
EJERCICIO DE APROXIMACIÓN NORMAL A LA BINOMIAL
Se ha observado que 90% de las impresoras de un cierto distribuidor funcionan correctamente en el momento de la instalación y las demás requieren de ajustes. Si el distribuidor vende 250 unidades en un cierto periodo. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 23 impresoras requieran de ajuste en su instalación? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 y 35 impresoras necesiten un ajuste?
1. 2.
P(x<=23)=P(z<=-0.32)=0.3745, 2. P(20<=x<=35)=P(-1.16<=z<=2.21)=0.8634 32
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD WEIBULL
y
x
1
e
x
y
y=2e-2x
y=4xe-(2x^2)
y=0.8xe-(0.4x^2) x
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD WEIBULL La Distribución de probabilidad Weibull representa un modelo apropiado para El comportamiento de las fallas (confiabilidad del periodo de vida de un componente hasta que presenta falla), Sistemas en los que el número de fallas aumenta con el tiempo (desgaste de rodamientos) o disminuye con el tiempo (algunos semiconductores). La duración (tiempo de vida) de dispositivos eléctricos y mecánicos, de plantas y de animales.
34
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD WEIBULL Definición. Si X es una V.A. continua con función de densidad de probabilidad x
1
e
x
si x
0,
,
0
f ( x) 0
si x
0
entonces X es una V.A. Weibull, con parámetros (parámetro de escala) y β (parámetro de forma).
α
35
VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL TEOREMA Si X es una V.A. continua con función de densidad de probabilidad Weibull, con parámetros α y β , 1 entonces E ( x)
1
1
2 2
1
2
2
Donde Γ(x) es la función llamada Gamma, la cual esta definida por: ( x)
tx 1e tdt
Propiedades: 0 a) Γ(1)=1, b) Para x>1 Γ(x)=(x-1) Γ(x-1), c) Si x es entero positivo Γ(x)=(x-1)!
x 0
36
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA WEIBULL
Utilizando la definición de función de distribución acumulada de una V.A. continua: x
F ( x) P ( X x)
x
f (t )dt t
1 t
1 e F ( x) 0,
e
dt
0
x
, x 0 x 0
37
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD WEIBULL
Algunos componentes electrónicos están ubicados en aparatos sometidos a vibraciones continuas, suponga que el tiempo de falla (en minutos) de uno de estos componentes puede considerarse como una variable aleatoria que tiene una distribución Weibull con α=1/5 y β=1/3. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ese componente falle en menos de 5 horas? b) ¿Cuánto tiempo se espera que dure un componente sin falla? a) P(x<300)=0.7379, b) μ=750 min o 12.5 hrs
38
EJERCICIO DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD WEIBULL
El tiempo de desgaste, en cientos de horas, de determinado tipo de rodamiento, tiene una distribución que aproximadamente es Weibull con α=1/4 y β=2. a) Calcular la probabilidad de que un rodamiento de este tipo tenga avería en menos de 200 horas. b) Calcular la probabilidad de que un rodamiento de este tipo falle después de 150 horas.
a) P(x<2)=0.6321, b) P(x>1.5)=0.5698
39
CONFIABILIDAD Y TASA DE FALLA Un estudio de la confiabilidad de un sistema, pretende evaluar éste, para determinar la probabilidad de que funcione adecuadamente bajo las condiciones para las cuales se diseño. Describiremos a la V.A. T como:
el tiempo necesario para que falle un sistema que es irreparable una vez que deja de funcionar .
Las funciones que participan en la evaluación de la confiabilidad son: • Densidad de Probabilidad Falla f , • La Función de Confiabilidad R y • La Tasa de Falla o Riesgo de la Distribución ρ. 40
CONFIABILIDAD Y TASA DE FALLA Teorema: Sea X una variable aleatoria con densidad de falla f , la función de confiabilidad R y función de tasa de falla ρ. Entonces f (t ) f (t ) (t )
R (t )
1 F (t )
Que expresa la razón de falla (tasa de falla) en términos de la distribución del tiempo de falla. La función de Densidad de Falla f(t) puede ser: La Distribución Exponencial, aplicado a la vida útil de componentes, cuando la razón de falla es constante.
f (t ) e
t
t 0 41
CONFIABILIDAD Y TASA DE FALLA O bien f(t) puede ser:
La distribución de Weibull, cuando la razón de falla no es constante el problema es de pruebas de vida. 1 t
f (t ) t e
t 0
42
EJEMPLO DE CONFIABILIDAD Y TASA DE FALLA Un chip de circuito integrado tiene una razón constante de falla de 0.02 por cada mil horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que funcione satisfactoriamente al menos 20,000 hrs.? b) ¿Cuál es la confiabilidad en 5000 hrs. de un chip? c) ¿Cuál es la confiabilidad en 5000 hrs. de 4 chips de estos, conectados según el siguiente diagrama? I1
I2
I4
I3 a) P(t>20)=0.6703, b) R(5)=0.9048, c) R T(5)=0.8112
43
EJERCICIO DE CONFIABILIDAD Y TASA DE FALLA Un diodo que se emplea en una tarjeta de circuitería tienen una tasa de falla variable debido al aumento de esfuerzo por temperatura. El tiempo de falla se distribuye aproximadamente bajo una distribución Weibull con parámetros α= 0.0005 por hora y β= 0.80. a) Calcúlese la probabilidad de que opere el diodo sin problemas al menos durante 5,000 hrs. b) ¿Cuál es la confiabilidad del diodo en 6000 hrs.? c) ¿Cuál es la tasa de falla en 6000 hrs.?
a) P(x>5000)=0.6344, b) R(6000)=0.5906, c) ρ(6000)=7.021x10-5 fallas por hora
44
