UNIDAD III Variable Aleatoria Discreta Profesor Abraham Gómez Avalos
Variable aleatoria
Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento. También, se considera como una función que asocia a cada elemento del espacio muestral con un número entero o real, según el tipo de variable aleatoria.
Notación: Se utilizan las últimas letras del alfabeto, Notación: en mayúsculas X, Y, Z, T. Definiéndose como X : los resultantes del experimento.
valores
numéricos
Variable aleatoria
Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento. También, se considera como una función que asocia a cada elemento del espacio muestral con un número entero o real, según el tipo de variable aleatoria.
Notación: Se utilizan las últimas letras del alfabeto, Notación: en mayúsculas X, Y, Z, T. Definiéndose como X : los resultantes del experimento.
valores
numéricos
Variable aleatoria
Ejemplos de variable aleatoria discreta: =1,2,…,30. X: Número de estudiantes en una clase; X =1,2,… Y: Número de niños en una familia; Y =0,1,2,3 =0,1,2,3 Z: Número de autos que entran en un autolavado por hora; Z =20, =20, 21, 22, …..
Ejemplos de variable aleatoria continua: X: Distancia que recorre cada estudiante para llegar a su clase, desde su casa, en kilómetros. X = 2.5, 10.34, 68.345, … T : Tiempo que le toma a un teléfono celular enlazarse con otro aparato, en segundos; T = 1.23, 0.56, 10.07,… 10.07,… Y : Tiempo invertido en una llamada telefónica, en minutos; Y = 8.0, 100.5, 216.97,...
Distribuciones de probabilidad
Una distribución de probabilidad es una descripción de cada uno de los valores de la variable aleatoria y la correspondiente probabilidad, obtenida de los resultados del experimento.
Tipos de distribuciones de probabilidad Una distribución de probabilidad discreta puede asumir sólo valores claramente separados (números naturales o enteros). Una distribución de probabilidad continua puede asumir un número infinito de valores dentro de un rango determinado (números reales).
Características de una distribución de probabilidad discreta
Ejemplo Consideremos el experimento aleatorio de lanzar tres monedas una por una. Sea X el número de “soles” que aparecen al lanzar tres monedas. Sea s que representa el resultado “sol” y a el resultado “águila”. Los posibles resultados para este experimento son: sss , ssa, sas, saa, ass, asa, aas, aaa.
Entonces los valores posibles para X (número de soles) son 0, 1, 2, 3. Es decir, el resultado cero soles ocurre una vez, el resultado un sol ocurre tres veces, el resultado dos soles ocurre una vez y finalmente el resultado tres soles ocurre una vez.
Media de una distribución de probabilidad discreta La media: Registra la ubicación central de los datos. Es el valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria. También se le conoce como su valor esperado E ( x ), en una distribución de probabilidad. Es un promedio ponderado.
La media se calcula con la fórmula:
[ xP ( x)] Donde µ representa la media y P ( x ) es la probabilidad de que x asuma algún valor.
Varianza de una distribución discreta de probabilidad
La varianza mide el tamaño de la dispersión de una distribución. La varianza de una distribución discreta es representada por la letra griega σ 2 (sigma cuadrada). La desviación estándar es la raíz cuadrada de σ 2 es decir σ . La varianza de una distribución de probabilidad discreta se calcula con la siguiente fórmula:
2
2
[( x ) P ( x)]
Ejercicio David Ramírez, dueño de un negocio de servicios de pintura, estudió sus registros de las últimas 20 semanas y reporta el siguiente número de casas pintadas por semana. 1. Elabore la distribución de probabilidad.
# de casas
semanas
pintadas 10
5
11
6
12
7
13
2
Ejercicio (Continuación) 1.
2.
Distribución de probabilidad:
Número de casas pintadas, X
Probabilidad, P ( x )
10
0.25
11
0.30
12
0.35
13
0.10
TOTAL
1.00
Calcule el número medio de casas pintadas por semana: E ( x ) [ xP ( x)] (10 )(. 25 ) (11)(. 30 ) (12 )(. 35 ) (13 )(. 10 ) 11 .3
Ejercicio (Continuación) 3.
Calcule la varianza del número de casas pintadas por semana: 2
[( x ) 2 P ( x )] (10 11.3) 2 (.25) ... (13 11.3) 2 (.10) 0.4225 0.0270 0.1715 0.2890 0.91
Función de distribución acumulada de probabilidad. Una función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X , denotada como F(x), es
F ( x)
P( X
x)
p( xi ) xi x
Propiedades: 1) 0 ≤ F(x) ≤ 1 2) Si x ≤ y entonces F(x) ≤ F(y)
Ejemplo de función de distribución acumulada Existe la posibilidad de que un bit transmitido a través de un canal digital se reciba con error. Sea X : el número de bits con error en los cuatro siguientes bits transmitidos, la distribución de probabilidad es: X
0
1
2
3
4
P(x)
0.6561
0.2916
0.0486
0.0036
0.0001
Determine la función de distribución acumulada de X X
0
1
2
3
4
F(x)
0.6561
0.9477
0.9963
0.9999
1.0
Ejercicio de función de distribución acumulada Supóngase que la producción de un día, con 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote dos piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable aleatorio X: el número de piezas de la muestra que no cumplen. Determine la función de distribución acumulada de X. X
0
1
2
P(x)
0.8857
0.1109
0.0034
F(x)
F(0) = 0.8857 F(1) = 0.9966
F(2) = 1.0
Binomial
Modelos de distribuciones de probabilidad discreta
Hipergeométrica Poisson Geométrica
Distribución de probabilidad binomial La distribución binomial tiene las siguientes características: El resultado de cada prueba de un experimento se clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes, a saber: éxito o fracaso. La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en una cantidad fija de pruebas ( n). La probabilidad de un éxito ( p) permanece igual en todos las pruebas. Lo mismo sucede con la probabilidad de un fracaso. Las pruebas son independientes.
Distribución de probabilidad binomial La fórmula para calcular probabilidades de una distribución binomial es:
P ( X
x)
x
n
C x p (1
p)
Donde: C es una combinación. n es el número de pruebas. x es el número de éxitos. p es la probabilidad de éxito en cada prueba.
n x
Ejemplo El departamento de recursos humanos registró que el 20% de la fuerza de laboral en la empresa Aceites y Parafinas está sin actividad alguna. Para una muestra de 14 trabajadores, calcule las probabilidades de que: 1.
Exactamente 3 estén sin actividad.
2.
Al menos 3 estén sin actividad.
3.
Menos de 2 este sin actividad.
1. La probabilidad de que exactamente 3:
P ( x 3) 14 C 3 (0.20) 3 (1 0.20)11
(364)(0.0080)(0.0859) 0.2501
Ejemplo (Continuación) 2.
La probabilidad de que al menos 3: 3 11 14 0 P ( x 3)14 C 3 (0.20 ) (0.80 ) ...14 C 14 (0.20 ) (0.80 )
0.250 0.172 ... 0.000 0.5519 3.
La probabilidad de que menos de 2:
P ( x 2) P ( x 0) P ( x 1)
14 C 0 (0.20) (1 0.20) 14 C 1 (0.20) (1 0.20) 0
14
0.0440 0.1539 0.1979
1
13
Media y varianza de la distribución binomial La media se calcula así:
La varianza se calcula así:
np
2
np (1
p )
Ejemplo Del ejemplo anterior calculemos la media e interprétela y obtenga la varianza: La media es: µ = np = 14(0.2) = 2.8, que significa que en promedio 3 trabajadores están sin actividad. La varianza es: σ 2 = np(1 – p) = 14(0.2)(0.8) = 2.24
Ejercicio La probabilidad de que un retraso en un proceso automatizado de producción exceda 2 minutos es de 0.20. Determine la probabilidad de que: a)
Tres de ocho retrasos de este proceso, duren más de dos minutos.
b) A lo más dos de ocho retrasos duren más de dos minutos. c)
¿Cuántos retrasos de más de dos minutos se espera que sucedan en ocho de estos?
d)
Calcule la desviación estándar si suceden ocho retrasos.
a) 0.1468, b) 0.7969, c) 1.6, d) 1.1314
Distribución de Probabilidad Hipergeométrica La distribución hipergeométrica siguientes características:
tiene
las
Hay sólo dos resultados posibles.
La probabilidad de un éxito no es la misma en cada prueba.
La variable aleatoria resulta de contar el número de éxitos ( x ) en un número fijo de pruebas ( n).
Se indica el tamaño de la población ( N ) y el número total de éxitos en la población ( r ).
Distribución hipergeométrica La fórmula para encontrar una probabilidad, utilizando la distribución hipergeométrica es:
P ( X x)
( r C x )( N r C n x ) N
C n
Donde N es el tamaño de la población, r es el número de éxitos en la población, x es el número de éxitos en una muestra de n observaciones. Se
utiliza la distribución hipergeométrica para encontrar la probabilidad de un número específico de éxitos o resultados si:
La muestra es seleccionada de una población finita sin reemplazo.
El tamaño de la muestra n es mayor que el 5% del tamaño de la población N .
Media y varianza de la distribución hipergeométrica La media se calcula así:
r n N
La varianza se calcula así:
2
r N r N n n N N N 1
Ejemplo La fábrica de juguetes Andy, tiene 50 empleados en el departamento de ensamble. De éstos, 40 pertenecen a un sindicato y 10 no. Se van a elegir cinco empleados aleatoriamente, para que integren un comité que hablará con el gerente acerca de la hora de inicio de los distintos turnos. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los cinco elegidos pertenezcan al sindicato?
Ejemplo
(Continuación)
N es 50, el número de empleados. r es 40, el número de empleados del sindicato. x es 4, el número de empleados del sindicato que fueron seleccionados. n es 5, el número de empleados elegidos. P (x=4)= 40C 4 (50-40C 5-4) / 50C 5 = (91390)(10)/2118760 P (x=4)= 0.4313
¿Cuál es la probabilidad de que 3 o más empleados no sean del sindicato? P(x=<2)=P(x=2)+P(x=1)+P(x=0)= = 40C 2 (50-40C 5-2) / 50C 5 + 40C 1 (50-40C 5-1) / 50C 5 + 40C 0 (50-40C 5-0) / 50C 5 = P(x=<2)= 0.0483
Ejercicio En el curso de una hora una máquina llena 1000 botellas de cerveza. En ese intervalo, se selecciona aleatoriamente una muestra de 20 botellas y se verifica el volumen del contenido en cada una. Sea X el número de botellas seleccionadas con contenido insuficiente. Suponga que en la misma hora se producen 100 botellas llenadas en forma deficiente. a) Calcule la probabilidad de que al menos tres botellas con contenido deficiente se incluyan en las muestreadas. b) ¿Cuántas botellas con contenido deficiente se espera que produzca la máquina en una hora? c) Determine la varianza del experimento.
a) 0.3228, b) 2, c) 1.7658
Distribución de probabilidad de Poisson La distribución de Poisson tiene como características:
La variable aleatoria describe la cantidad de éxitos que ocurren en un experimento en un intervalo determinado.
Sólo se utiliza el parámetro λ, que representa el promedio de éxitos en un intervalo determinado.
No se conoce el número máximo de éxitos que se pueden obtener.
Distribución de probabilidad de Poisson Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente fórmula: x e P ( X x) x! Donde λ es la media del número de ocurrencias (éxitos) en un intervalo específico. e es la constante 2.71828 (base del sistema logarítmico neperiano). x es el número de éxitos. P(X=x) es la probabilidad que se va a calcular para un valor dado de x .
Distribución de probabilidad de Poisson
La media en esta distribución es λ.
La varianza de una distribución Poisson es también λ.
Puede utilizarse una distribución de Poisson para aproximar una distribución Binomial, si; n es bastante grande (n≥50) y p pequeño (cercano a cero), es decir si np<5. Donde n es el número de pruebas y p es la probabilidad de éxito.
Ejemplo La Sra. Bonilla está encargada de los préstamos en el Banco del Centro de Peralvillo. Con base en sus años de experiencia, estima que en promedio en un mes, un solicitante no será capaz de pagar su préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 préstamos no sean pagados en un mes? λ = 1 (un solicitante por mes) P (x=3) = 13e-1/3! = 0.0613
¿Cuál es la probabilidad de que más de cuatro solicitantes no puedan pagar su préstamo? P(x>4)= 1- P(x=<3)=1-P(x=3)+P(x=2)+P(x=1)+P(x=0)= P(x>4)=0.019
Ejercicio El promedio de llamadas que una secretaria recibe en su teléfono es de 3 por minuto. a)
¿Cuál es la probabilidad de que reciba 5 llamadas en un minuto?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que reciba más de 2 llamadas en un minuto?
c)
¿Cuál es la probabilidad de recibir 3 llamadas en 30 segundos?
a)0.1008, b)0.5768, c) 0.1255
Distribución de Probabilidad Geométrica La distribución geométrica tiene como características: Hay sólo dos resultados posibles, éxito y fracaso. pruebas son independientes con una Las probabilidad de éxito ( p) constante. La variable aleatoria cuenta el número de pruebas hasta encontrar el primer éxito. El número de pruebas no es fijo.
Distribución de Probabilidad Geométrica La fórmula para encontrar una probabilidad utilizando la distribución geométrica es:
P ( X x) (1 p ) x 1 p, x 1,2, ... Donde p es la probabilidad de éxito y x es el número de pruebas hasta que aparece el primer éxito. Ejemplo La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal digital se reciba con un error es de 0.1. Suponga que las transmisiones son eventos independientes y sea la variable aleatoria que denota el número de bits transmitidos hasta el primer error. Determine la probabilidad de que el primer bit transmitido con error sea el quinto.
Media y varianza de la distribución geométrica 1
La media se calcula así:
La varianza se calcula así:
p 2
(1
p) 2
p Ejercicio
La probabilidad de que una oblea de semiconductor contenga una partícula de contaminación grande es de 0.01. Si se supone que las obleas son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar exactamente 125 obleas antes de detectar una partícula grande? b) ¿Cuántas obleas se espera que sean revisadas antes de encontrar una, que contenga una partícula de contaminación? c) Determine la desviación estándar del análisis de obleas. a) P(x=126)=0.0029, b) 100, c) 99.4987
Desigualdad de Chebyshev Teorema Sea X una V.A. con media finita μ y varianza σ2, entonces para cualquier constante k>1, el porcentaje de valores de X , μ+k σ ) es por lo que se encuentran dentro del intervalo ( μ-k σ menos 1-1/k2. Considerando que la distribución de las mediciones es sesgada (no normal).
Ejemplo El número de alumnos a los que se les da servicio en un centro de cómputo de la ESIME, en un día jueves en el periodo normal de clases, es una V.A. con media μ=160 y desviación estándar σ =8, la distribución se considera sesgada ¿Cuál es, de acuerdo al teorema de Chebyshev la probabilidad mínima de que el número de alumnos que se atienden en dicho centro de cómputo, sea entre 140 y 180 alumnos?
Ejemplo (continuación) El intervalo donde se desea calcular la probabilidad es (140, 180) e igualándolo con ( μ-k σ , μ+k σ ), se tiene que μ-k σ = 140 y como μ= 160 y σ = 8, despejando k , se tienen que k= 2.5.
Así que P(140
Regla Empírica Para una distribución de mediciones (distribución de frecuencias) que es aproximadamente normal o tiene la forma de campana, el intervalo: i) ( ) contiene aproximadamente 68% de las mediciones. μ±σ ii) ( ) contiene aproximadamente 95% de las mediciones. μ ± 2σ iii) μ ± 3σ ) contiene aproximadamente 99.7% de las mediciones.
Ejemplo Los costos de mantenimiento semanal de Toyota Co. registrados durante un largo periodo y ajustados por la inflación, tienen aproximadamente una distribución normal con media de 420 (miles de dólares) y una desviación estándar 30 (miles de dólares), ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que el presupuesto se encuentre entre 360 y 480 miles de dólares, proyectados para la próxima semana?
Ejemplo (continuación) Igualando el intervalo dado con la forma del intervalo de la regla empírica se tiene que: (360, 480) = ( μ-k σ , μ+k σ ) por lo tanto, μ-k σ = 360 y como μ= 420 y σ = 30, despejando k , se tienen que k= 2. Así que P(360
