Dreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri comerciale f ăr ă specificarea sursei şi acordul autorului
Adrian Stan
Editura Rafet 2007
1. Mulţimea numerelor reale 1.. Scrierea în baza zece:
abcd = a ⋅103 + b ⋅ 102
+ c ⋅10 + d
a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unităţilor;
a,efg = a ⋅10+ e ⋅10−1 + f ⋅10−2 + g ⋅10−3 =
= a ⋅10+ e ⋅ 0.1+ f ⋅ 0.01+ g ⋅ 0.001 e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.
2. Fracţii -Fracţii zecimale finite: a, b = -Fracţii zecimale periodice:ab − a ; simple: a, (b) = mixte: a, b(c) =
90
10
;
a, bc =
a, (bc) =
9
abc − ab
ab
;
abc
100
abc − a
99
a, b(cd ) =
se numeste raport ∀b ≠ 0;
;
abcd − ab
990
3.. Rapoarte şi proporţii a
;
a
=
a⋅n
b b b⋅ n k se numeşte coeficient de propor ţionalitate ; Proprietatea fundamentală a proporţiilor:
a b
;
= k , n ∈Q* ,
c
= ⇒ a ⋅ d = b ⋅ c d
4. Proporţii derivate: a b
=
c d
⎧ b = d sau d = c sau a = b ⎪a c b a c d ⎪ a c a ± b c ± d sau ⇒ ⎪⎨ = = c ± d b d ⎪a ± b ⎪a a + c a a − c a2 ⎪⎩ b = b + d sau b = b − d sau b 2 =
c
2
d 2
.
2
1. Mulţimea numerelor reale 1.. Scrierea în baza zece:
abcd = a ⋅103 + b ⋅ 102
+ c ⋅10 + d
a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unităţilor;
a,efg = a ⋅10+ e ⋅10−1 + f ⋅10−2 + g ⋅10−3 =
= a ⋅10+ e ⋅ 0.1+ f ⋅ 0.01+ g ⋅ 0.001 e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.
2. Fracţii -Fracţii zecimale finite: a, b = -Fracţii zecimale periodice:ab − a ; simple: a, (b) = mixte: a, b(c) =
90
10
;
a, bc =
a, (bc) =
9
abc − ab
ab
;
abc
100
abc − a
99
a, b(cd ) =
se numeste raport ∀b ≠ 0;
;
abcd − ab
990
3.. Rapoarte şi proporţii a
;
a
=
a⋅n
b b b⋅ n k se numeşte coeficient de propor ţionalitate ; Proprietatea fundamentală a proporţiilor:
a b
;
= k , n ∈Q* ,
c
= ⇒ a ⋅ d = b ⋅ c d
4. Proporţii derivate: a b
=
c d
⎧ b = d sau d = c sau a = b ⎪a c b a c d ⎪ a c a ± b c ± d sau ⇒ ⎪⎨ = = c ± d b d ⎪a ± b ⎪a a + c a a − c a2 ⎪⎩ b = b + d sau b = b − d sau b 2 =
c
2
d 2
.
2
5. Sir de rapoarte egale :
+ a 2 + a 3 + .... + a n ; b1 b2 bn b1 + b 2 + b 3 + ..... + b n (a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n ) şi (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt direct a1
=
a2
= ......... =
propor ţionale
⇔
an
=
=
a2
a1 b1
b2
a1
= .. =
an bn
= k .
(a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n ) şi (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt invers propor ţionale ⇔ a1 ⋅ b1 = a 2 ⋅ b2 = .. = a n ⋅ bn 6. Modulul numerelor reale Proprietăţi: ⎧ a, a〉0 ⎪ ⎪ a def ⎨ 0 , a = 0 ⎪ ⎪− a , a 〈0 ⎩ 1. a
≥ 0, ∀a ∈ R ;
2. a
= 0,
⇔ a = 0;
3. a
= − a , ∀a ∈ R ;
4. a
= b,
⇔ a = ±b ;
a
a
5. a ⋅ b
= a⋅b;
6.
b
=
b
;
7. a
− b ≤ a±b ≤
8. x
= a,
⇒ x = ± a,
9. x
≤ a,
⇔ x ∈ [−a, a],
10. x
≥ a,
⇔ x ∈ [−∞,−a] ∪ [a,+∞],
a
+b; a〉 0 ; a〉 0 ; a〉 0 .
7. Reguli de calcul în R 2 1. (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ; 2
2. (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 ; 3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;
3
2
4. (a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca 3
5. (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; 3
6. (a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ; 7. a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ; 8. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) . 8. Puteri cu exponent întreg
a n def
⋅ a⋅ ...... ⋅a a a ⋅ n factori
5. ( a m ) n = a m ⋅ n 1 6. a − n = n , a ≠ 0
1. a o = 1; a1 = a;0 n = 0; 2. a m + n = a m ⋅ a n
a
n
⎛ a ⎞ 7. ⎜ ⎟ = ⎝ b ⎠
3. ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n 4.
a
m
an
= am−n ; a ≠ 0
an b
n
,b ≠ 0
8. a m = a n ⇔ m = n.
9. Proprietăţile radicalilor de ordinul doi 1. a 2 = a ≥ 0, ∀a ∈ R 2. 3.
a ⋅b a
=
=
b
a⋅ b a b
,b ≠ 0 n
4. 5.
a
n
=(
a± b
a)
=
n
= a2 , a + a2
2
−b
±
a − a2
−b
2
unde a²-b=k² .
4
10. Medii Media aritmetică ma =
x + y
2
Media geometrică m g = x ⋅ y Media ponderată m p = Media armonică m h =
p ⋅ x + q ⋅ y p + q
2 1 x
Inegalitatea mediilor
2 xy
+ y
x
≤
xy
≤
x
+
+
1
=
; p, q − ponderile
2 xy x
+ y
.
y
y
2
11. Ecuaţii a ⋅ x + b
b
= 0 ⇒ x = − , a ≠ 0 a
≥0 ; −b± 2 a ⋅ x + b ⋅ x + c = 0 ⇒ x1, 2 =
x 2
a x
= a ⇒ x = ±
a, a
b2
− 4ac
2a
.
≠ 0, b 2 − 4ac ≥ 0.
= a, x
a
≥ 0 ⇒ x = ±a.
= a , a ≥ 0 ⇒ x =
a2
[ x ] = a ⇒ a ≤ x〈 a + 1 ⇔ x ∈ [a, a + 1) . 12. Procente p % din N =
p
100
⋅ N
5
D=
S ⋅ p ⋅ n
100 ⋅ 12
…. Dobânda obţinută prin depunerea la banc ă a unei
sume S de bani pe o perioad ă de n luni cu procentul p al dobândei anuale acordate de banc ă . Cât la sută reprezintă numărul a din N.
x % din N =a ⇒ x =
a ⋅ 100 N
.
13. Partea întreagă
1. x = [ x] + { x} , ∀ x ∈ R , [ x] ∈ Z şi { x}∈ [0,1) 2. [ x] ≤ x < [ x] + 1
[ x] = a ⇒ a ≤ x < a + 1
3. [ x] = [ y ] ⇔ ∃ K ∈ Z a. î. x, y ∈ [k , k + 1] ⇔ x − y < 1 4. [ x + k ] = k + [ x ] , ∀k ∈ Z , x ∈ R 5. { x + k } = { x}, ∀ x ∈ R , ∀k ∈ Z 6. Dacă { x} = { y} ⇒ x − y ∈ Z 7. Dacă x ∈ R ⇒ [[ x ]] = [ x ] ∈ Z [{ x}] = 0 , {[ x ]} = 0 , {{ x}} = { x} ⎡ 1⎤ 8. Identitatea lui Hermite [ x] + ⎢ x + ⎥ = [2 x] , ∀ x ∈ R ⎣ 2⎦ 9. [ x + y ] ≥ [ x] + [ y ] , ∀ x, y ∈ R 10. Prima zecimală, după virgulă, a unui număr N este dată de [10 ⋅ { N }] sau [( N − [N ]) ⋅ 10]
6
2. Inegalităţi a k −1 < a k a k < a k −1
∀ k ≥ 1 ∀ k ≥ 1 a ∈ (0,1) 2. 0 < a ≤ b ⇒ (a m − b m )(a n − b n ) ≥ 0 ∀ m, n ∈ N 1. a > 1
3. a + 4.
1 a
1
≥ 2 (∀) 1
<
a
a+
>0
1 a
≤ −2 ∀
a < 0.
= k - k − 1
2 k k + k − 1 1 1 > = k + 1 - k . 2 k k + k + 1 2
a + b ⎞ ≥ ⎛ ⎜ ⎟ ≥ ab ∀ a, b ∈ R 2 ⎝ 2 ⎠ a2 + b2 a+b 2 6. , ∀ a, b > 0 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 a+b 2 +
5.
a
2
+b
2
a b 7. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ∀ a, b, c ∈ R
8. 3(a 2
+ b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c )2 ∀a, b, c ∈ a2 + b2 + c2 1 9. ≥ (a + b + c ) ∀ a, b, c ∈ R 3 a+b+c 3 ( a + b + c )∀a, b, c ≥ 0 3 11. (n − 1) a12 + ... + an2 ) ≥ 2(a1a2 + ...a1an + a2 a3 + ... + an −1an ) 2 12. n(a12 + ... + a n2 ) ≥ (a1 + ... + a n ) , ∀ n ∈ N 10.
a+b+c
2
a + b ⎞ 13. ≥ ⎛ ⎜ ⎟ , ∀n ∈ N , a, b > 0. 2 ⎝ 2 ⎠ a a a + r 14. 0 < < 2 ⇒ < , ∀r > 0. b b b + r a a a + r 1< ⇒ > , ∀r > 0 b b b + r an
+ bn
≥
7
≤ a (a > 0) ⇔ − a ≤ x ≤ a. 16. a ± b ≤ a + b , a, b ∈ R sauC . 17. a1 ± a 2 ± ... ± a n ≤ a1 + ... + a n , 18. a − b ≤ a − b in sau C . 15. x
1
sau C .
ma 2
− nb 2 ≥ 1.
1 1 1 = − n 2 n ⋅ n (n − 1)n n − 1 n 1 1 1 1 < = − n! (n − 1)n n − 1 n
19.
=
1
in
≤
m
20. a, b ∈ Z , m, n ∈ Z ,
∉Q ⇒
n 21. Numerele pozitive a, b, c pot fi lungimile laturilor unui triunghi
∃ x, y, z ∈ R+* a.i a = y + z , b = x + z , c = x + y. a −b a ⎞ ⎛ 22. ⎜ ⎟ ≥ 1 a ≠ b ∀ a, b > 0 , ⎝ b ⎠ a+b b+c c+a 23. a, b, c ∈ R+* ⇒ + + ≥ 6. dacă şi numai dacă
c
a
b 24. Dacă x1 ,..., x n ≥ 0 si x1 + ... + x n = k constant atunci produsul x 2 ⋅ x 2 ... x n e maxim când x1
25. Dacă. x1 ,..., xn
k
= ... = x n = . n
n
< 0 si ∏ xi = k constant ⇒ x1 + ... + xn e i =1
minimă atunci când x1 = ... = xn = n k . 26. Dacă x1 ,..., xn ≥ 0 si x1 + ... + x n = k = constant atunci x 2 1 ⋅ x 2 1 ... x n n este maxim când p
x1 p1
p
=
x2 p2
p
= ...
xn pn
=
k p1 + ... + pn
, pi ∈ N * , i = 1, n
8
27. Teorema lui Jensen: x1 + x2 ⎞ f ( x1 ) + f ( x2 ) ⎛ Dacă f : Ι → R, (Ι interval) si f ⎜ ⎟ ≤ (≥ ) 2 ⎝ 2 ⎠ x2 + ... + xn ⎞ f ( x1 ) + ... + f ( xn ) ⎛ ∀ x1 , x2 ∈ Ι ⇒ f ⎜ ⎟ ≤ (≥ ) n n ⎝ ⎠ ∀ xi ∈ Ι , i = 1, n. a + ... + a n n ≤ n a1 ...a n ≤ 1 28. Inegalitatea mediilor . 1 1 n + ... + a1
an
⎛ 1 1 ⎞ 2 29. (a1 + a 2 + ... + a n )⎜⎜ + ... + ⎟⎟ ≥ n . ∀ ai ≥ 0, i = 1, n. a n ⎠ ⎝ a1 egalitate când ai = aj, ∀i, j = 1, n. 30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz.
(a12 + ... + a 2 )(b12 + ... + b 2 ) ≥ (a1b1 + ... + a b )2 ∀a , b ∈ R. n
n
n n
31. Inegalitatea mediilor generalizate:
⎛ a1 + ... + a ⎜⎜ n ⎝ α , β ∈ R. ⇓ α
1
⎞ α ⎛ a1 + ... + a ⎟⎟ ≥ ⎜⎜ n ⎠ ⎝
α n
β
" =" ⇔
i
ai bi
=
i
aj bj
.
1
⎞ β ⎟⎟ , ∀ai , bi ∈ R+ ,α ≥ β , ⎠
β n
1 2
⎛ a12 + ... + a n2 ⎞ a1 + ... + a n ⎟⎟ ≥ 32. ⎜⎜ n n ⎝ ⎠ 33.Inegalitatea lui Bernoulli:
(1 + a )n ≥ 1 + na, a ≥ −1, ∀n ∈ N .
9
3.Mulţimi. Operaţii cu mulţimi. 1. Asociativitatea reuniunii si a intersecţiei: A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 2. Comutativitatea reuniunii si a intersecţiei: A B=B A A B=B A 3. Idempotenţa reuniunii si intersecţiei: A A=A A A=A 4. A Ø=A A Ø=Ø 5. Distributivitatea reuniunii faţă de intersecţie: A (B C)=(A B) (A C) 6. Distributivitatea intersecţiei faţă de reuniune: A (B C)=(A B) (A C) 7. A,B E, (A B)= A B (A B)= A B 8. A E, ( A)=A 9. A\B= (A B) 10. A\(B C)=(A\B)\C A\(B C)=(A\B) (A\C) (A B)\C=(A\C) (B\C) (A B)\C=A (B\C)=(A\C) B 11. A×(B C)=(A×B) (A×C) A×(B C)=(A×B) (A×C) A×(B\C)=(A×B)\ (A×C) A×B≠B×A A B ⇔ ( x) (x∈ A=>x∈ B) A B ⇔ ( x)((x∈ A) (x B)) x∈ A B ⇔ (x∈ A) (x∈ B) x∈ A B ⇔ (x∈ A) (x∈ B) x∈ C EA ⇔ (x ∈ E) (x A) x ∈ A\B ⇔ (x ∈ A) (x B)
10
12. Relaţiile lui de Morgan 1. ( ךp q)=ך p ךq, (ךp q)= ך p ךq . 2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r). 3. ךp p=A, ך p p = F. 4. p ⇒ q ך p q. 5. p ⇔ q (p ⇒ q) (q ⇒ p) ך ( p q) ( ךq p). 6. p A = p , p A=A 7. p q = q p , p q = q p 8. ך(ך p)=p 9. p ך p =F , p ך p =A 10. (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r) 11. p F = p p F = F
11
4. Progresii
1. Şiruri Se cunosc deja şirul numerelor naturale 0,1,2,3,4,…….,şirul numerelor pare 2,4,6,…… Din observaţiile directe asupra acestor şiruri, un şir de numere reale este dat în forma a1 , a 2 , a3 ,..... unde a1 , a 2 , a3 sunt termenii şirului iar indicii 1,2,3, reprezintă poziţia pe care îi ocupă termenii în şir. Definiţie: Se numeşte şir de numere reale o funcţie f: N*→R , definită prin f(n)=a n
Notăm (a n )n∈ N * şirul de termen general , a n Observaţie: Numerotarea termenilor unui şir se mai poate face începând cu zero: a 0 , a1 , a 2 ,.....
a i , i ≥ 1 se numeşte termenul de rang i. Un şir poate fi definit prin : a) descrierea elementelor mulţimii de termeni. 2,4,6,8,…….. a n =2n b) cu ajutorul unei formule c) printr-o relaţie de recurenţă. a n +1 = a n + 2 Un şir constant este un şir în care toţi termenii şirului sunt constanţi : 5,5,5,5,….. Două şiruri ( a n ) n , (bn ) n sunt egale dacă a n = bn , ∀n ∈ N Orice şir are o infinitate de termeni.
12
2. Progresii aritmetice Definiţie: Se numeşte progresie aritmetică un şir în care diferen ţa
oricăror doi termeni consecutivi este un num ăr constant r, numit ra ţia progresiei aritmetice. 1. Relaţia de recuren ţă între doi termeni consecutivi :
an+1 = an + r , ∀n ≥1
2. a1,a2, … an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice ⇔
an
a n −1
=
+ a n +1 2
3. Termenul general este dat de :
an
= a1 + (n −1)r
4. Suma oricăror doi termeni egal departa ţi de extremi este egal cu suma termenilor extremi :
ak + an−k +1 = a1 + an
5. Suma primilor n termeni :
S n
=
(a1 + a n ) ⋅ n 2
6. Şirul termenilor unei progresii aritmetice: a1 , a1 + r , a1 + 2r , a1 + 3r ,…….
am
− a n = (m − n )r
7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu în progresie aritmetic ă de forma : x1 = u – v x2 = u x3 = u + v ∀ u,v ∈ ℜ . 8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu în progresie aritmetic ă astfel: x1 = u – 3v, x2 = u – v , x3 = u + v , x4 = u + 3v, ∀ u,v ∈ ℜ . 9. Dacă
÷ ai ⇒
a k
〈
ak +1
ak +1 ak + 2
13
4. Progresii geometrice Definiţie : Se numeşte progresie geometrică un şir în care raportul oricăror doi termeni consecutivi este un număr constant q, numit raţia progresiei geometrice. 1. Relaţia de recuren ţă : b n +1 = b n ⋅ q , ∀ n ≥ 1 2. b1,b2, … bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cu termeni pozitivi ⇔ b n = b n −1 ⋅ b n +1 n −1 b b q 3. Termenul general este dat de : n 1 4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal cu produsul extremilor
=
bk ⋅ bn − k +1
⋅
= b1 ⋅ bn
5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice : 1− qn S n = b 1 ⋅ 1− q 6. Şirul termenilor unei progresii geometrice : b1 , b1 ⋅ q, b1 ⋅ q 2 ,...b1 ⋅ q n ,....
7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu în progresie geometric ă de forma : x1 =
u
x2 = u
v
x3 = u ⋅ v ,
∀u, v ∈ R*+
8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu în progresie geometric ă astfel : x1 = u3 x2 =
v u
v x3 = u ⋅ v x4 = u ⋅ v 3
∀u, v ∈ R*+
14
5. Funcţii I. Fie ƒ: A→B. 1) Funcţia ƒ este injectivă,dacă ∀ x,y ∈A, x≠ y=>ƒ(x)≠ ƒ(y). 2) Funcţia ƒ este injectivă,dacă din ƒ(x)=ƒ(y) =>x=y. 3) Funcţia f este injectivă, dacă orice paralelă la axa 0x intersectează graficul funcţiei în cel mult un punct. II. 1)Funcţia ƒ este surjectivă, dacă ∀ y ∈ B, există cel puţin un punct x ∈A, a.î. ƒ(x)=y. 2) Funcţia ƒ este surjectivă, daca ƒ(A) =B. 3) Funcţia ƒ este surjectivă, dacă orice paralelă la axa 0x, dusă printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei în cel puţin un punct. III. 1) Funcţia este bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă. 2) Funcţia ƒ este bijectivă dacă pentru orice y ∈ B există un singur x ∈ A a.î. ƒ(x) =y (ecuaţia ƒ(x)=y,are o singur ă soluţie,pentru orice y din B) 3) Funcţia ƒ este bijectivă dacă orice paralelă la axa 0x, dusă printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei într-un punct şi numai unul. IV. 1A: A→A prin 1A(x) =x, ∀ x ∈ A. 1) Funcţia : A→B este inversabilă , dacă există o funcţie g:B→A astfel încât g o ƒ = 1A si ƒ o g =1B, funcţia g este inversa funcţiei ƒ şi se notează cu ƒ-1. 2) ƒ(x) = y <=> x= ƒ-1(y) 3) ƒ este bijectivă <=> ƒ este inversabilă.
15
V. Fie ƒ:A→B si g: B→C, două funcţii. 1) Dacă ƒ si g sunt injective, atunci g o ƒ este injectivă. 2) Dacă ƒ si g sunt surjective,atunci g o ƒ este surjectivă. 3) Dacă ƒ si g sunt bijective, atunci g o ƒ este bijectivă. 4) Dacă ƒ si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o ƒ este (strict) crescatoare. 5) Dacă ƒ si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o ƒ este (strict) descrescatoare. 6) Dacă ƒ si g sunt monotone, de monotonii diferite,atunci g o ƒ este descrescatoare. 7) Dacă ƒ este periodică, atunci g o ƒ este periodică. 8) Dacă ƒ este par ă, atunci g o ƒ este par ă. 9) Dacă ƒ si g sunt impare, atunci g o ƒ este impar ă, 10) Dacă ƒ este impar ă si g par ă, atunci g o ƒ este par ă. VI. Fie ƒ: A→ B si g:B→C, două funcţii. Dacă g o ƒ este injectivă, atunci ƒ este injectivă. Dacă g o ƒ este surjectivă, atunci g este surjectivă. Dacă g o ƒ este bijectivă, atunci ƒ este injectivă si g surjectivă. Dacă ƒ,g: A → B iar h: B→ C bijectivă si h o ƒ = h o ƒ, atunci ƒ = g. VII. Fie ƒ: A→B si X,Y mulţimi oarecare. Funcţia ƒ este bijectivă, dacă şi numai dacă oricare ar fi funcţiile u,v: X→A,din ƒ o u =ƒ o v, rezultă u=v. Funcţia ƒ este surjectivă, daca şi numai dacă oricare ar fi funcţiile u,v :B→Y, din u o ƒ = v o ƒ, rezultă u=v
16
VIII. 1)Dacă ƒ :A→B este strict monotonă,atunci ƒ este injectivă. 2) Daca ƒ : R →R este periodic şi monotonă, atunci ƒ este constant ă. 3) Daca ƒ : R →R este bijectivă şi impar ă,atunci ƒ-1 este impar ă. 4) Fie A finită şi ƒ :A→A. Atunci ƒ este injectivă <=> este surjectivă. IX. Fie ƒ: E → F, atunci 1)ƒ injectivă <=> (∃) g : F →E (surjectivă) a.i. g o ƒ=1E. 2) ƒ surjectivă <=>(∃) g : E→F (injectivă) a.i. ƒ o g =1F 3) ƒ bijectivă <=> inversabilă. X. Fie ƒ : E → F. 1)Funcţia ƒ este injectivă dacă şi numai dacă (∀) A,B ⊂ E ƒ(A ∩ B) = ƒ (A) ∩ (B). 2) Funcţia ƒ este surjectivă dacă şi numai dacă (∀) B ⊂ F există A ⊂ E, astfel încât ƒ(A)=B. 3) Funcţia ƒ este injectivă dacă ƒ(A— B)=ƒ(A) — ƒ(B), ∀ A, B ⊂ E. XI. Fie ƒ : E → F si A⊂ E, B ⊂ E, atunci ƒ(A) ={ y ∈ F ⏐ ∃ x ∈ A a.i. ƒ( x)= y} ƒ-1 (B) = { x ∈ E ⏐ƒ( x)∈ B}. 1.Fie ƒ: E→ F si A,B ⊂ E, atunci a) A ⊂ B => ƒ(A) ⊂ ƒ(B), b) ƒ(A ∪ B)= ƒ(A) ∪ ƒ(B), c) ƒ(A ∩ B) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B), d) ƒ(A) — ƒ(B) ⊂ ƒ(A — B).
17
2.Fie ƒ: E → F si A,B ⊂ F atunci a) A ⊂ B => ƒ-1 (A) ⊂ ƒ-1 (B), b)ƒ-1 (A) ∪ ƒ-1 (B) ⊂ ƒ--1 (A ∪ B), c)ƒ-1 (A) ∩ ƒ-1 (B) = ƒ-1 ( A ∩ B), d) ƒ-1 (A) — ƒ-1 (B) = ƒ-1 (A— B), e) ƒ-1 (F) = E.
Funcţia de gradul al doilea Forma canonică a funcţiei f:R →R, f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 este 2 Δ b ⎞ ⎛ − , ∀ x ∈ R ; f ( x) = a⎜ x + ⎟ ⎝ 2a ⎠ 4a
Δ ⎞ ,− ⎟ , unde ⎝ 2a 4a ⎠
Graficul funcţiei este o parabolă de vârf V ⎛ ⎜−
b
Δ = b2 − 4ac a〉 0 f este convexă; Δ〈0 ; x1,x2 ∈ C f(x) >0, ∀ x ∈ R ; Δ ⎞ b ⎛ V ⎜ − ,− ⎟ - punct ⎝ 2a 4a ⎠ de minim;
18
Δ = 0 , x1=x2 ∈ R f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R ; f(x)=0 ⇔ x = −
b
2a
Δ〉 0, x1 ≠ x2 ∈ R f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (−∞, x1 ] ∪ [ x 2 ,+∞) ; f(x)<0, ∀ x ∈ ( x1 , x2 )
⎛ ⎝
Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− Pentru x ∈ [−
b
2a
b ⎞
⎟ funcţia este strict descrescătoare; 2a ⎠
,+∞), funcţia este strict crescătoare
19
a<0 funcţia este concavă
Δ〈0 ; x1,x2 ∈ C f(x) <0, ∀ x ∈ R ;
⎛ b ,− Δ ⎞ - punct de ⎟ 2 4 ⎝ a a ⎠
V ⎜ −
maxim
Δ = 0 , x1=x2∈ R f(x) ≤ 0, ∀ x ∈ R ; f(x)=0 ⇔ x = −
b
2a
Δ〉 0, x1 ≠ x2 ∈ R f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [ x1 , x2 ] ; f(x)<0, ∀ x ∈ (−∞, x1 ) ∪ ( x2 ,+∞)
20
⎛ ⎝
Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− Pentru x ∈ [−
b
2a
b ⎞
⎟ funcţia este strict crescătoare; 2a ⎠
,+∞), funcţia este strict descrescătoare.
6. NUMERE COMPLEXE 1. NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ ALGEBRICĂ
⎧ C = ⎨ z z = a + ib, a, b ∈ R, ⎩
2
i
⎫ = −1⎬ ⎭
- mulţimea numerelor complexe. z=a+ib=Re z+Im z OPERAŢII CU NUMERE COMPLEXE Fie z 1
= a + ib,
z 2
= c + id . Atunci:
= z 2 ⇔ a = c si b = d . 2. z 1 + z 2 = ( a + c) + i (b + d ). 3. z 1 ⋅ z 2 = (a ⋅ c − b ⋅ d ) + i (a ⋅ d + b ⋅ c). 4. z 1 = a − ib, conjugatul lui z 1 z a ⋅ c + b ⋅ d b ⋅ c − a ⋅ d 5. 1 = +i 2 2 2 2 z 2 c + d c + d 1. z 1
6.
1 z 1
=
a a
2
+b
2
−i
b a
2
+b
2
.
21
PUTERILE LUI i 1. i 4 k = 1 ; 2. i 4 k +1 = i ; 3. i 4 k + 2 = −1 ; 4. i 4 k +3 = −i ; 5. i
−n
6. i − n
1
=
i
n
−1
1
, i = = −i ; i
⎧i n , n par = (−i ) n = (−1) n ⋅ i n = ⎪⎨ ⎪⎩− i n , n impar
PROPRIETĂŢILE MODULULUI
z = a 2
+ b2
- modulul nr. complexe
1. z ≥ 0, z = 0 ⇔ z = 0 4. z 1 ⋅ z 2 5.
z 1 z 2
6. z 1
=
2. z ⋅ z = z
2
3. z = z
= z 1 ⋅ z 2 z 1 z 2
, z 2 ≠ 0
− z 2 ≤ z 1 ± z 2 ≤ z 1 +
8. z ∈ C ;
z ∈ R ⇔
z 2
7. z n
= z n
Im z = 0 ⇔ z = z
ECUAŢII:
= a + ib ⇒ z 1,2 = ± a + ib ⇒ ⎡ a + a2 + b2 ⎤ − a + a2 + b2 ⎥ z 1,2 = ±⎢ ±i 2 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ z 2
‚+’ dacă b pozitiv; ‚-‚ dacă b negativ
22
ax
2
+ bx + c = 0 ⇒ x1, 2 =
daca
Δ = b 2 − 4ac ≥ 0 x1, 2
=
−b±
b2
− 4ac
2a
sau
−b±i −Δ 2a
daca
Δ〈 0
NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ GEOMETRICĂ
Forma trigonometrică a numerelor complexe: z= ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ,
ϕ
=
ρ
arctg
b a
+ k π ,
2 = z a =
⎧ 0, ⎪ ⎪ k = ⎨1, ⎪ ⎪ 2, ⎩
+ b2
( a , b ) ∈ I ( a , b ) ∈ II , III ( a , b ) ∈ IV
se numeşte raza polar ă a lui z
Fie z1= ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) şi z2= ρ 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) ; z1=z2 ρ 1 = ρ 2 , si exista k ∈ Z a.i ϕ 1 = ϕ 2 + k π z 1 ⋅ z 2
= ρ 1 ⋅ ρ 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) z 1 = ρ 1 (cos ϕ 1 − i sin ϕ 1 )
23
1 z 1 z 2 z 1
= =
1 ρ 1 ρ 2 ρ 1
[cos(−ϕ 1 ) + i sin(−ϕ 1 )]
[cos(ϕ 2 − ϕ 1 ) + i sin(ϕ 2 − ϕ 1 )]
= ρ 1 n (cos nϕ 1 + i sin nϕ 1 ), n ∈ R ϕ + 2k π ϕ + 2k π n ), k ∈ 0, n − 1 + i sin 1 z 1 = n ρ 1 (cos 1
z 1
n
n
n
7. FUNCTIA EXPONENTIALĂ Def. f: R → (0,∞), f(x)= a x , a〉 0, a ≠ 1
Dacă a 〉1 ⇒ f este strict cresc ătoare x1 〈 x 2
⇒ a x 〈 a x Dacă a ∈ (0,1) ⇒ f este strict descresc ătoare x x x1 〈 x 2 ⇒ a 〉 a 1
2
1
2
Proprietăţi: Fie a,b ∈ (0, ∞ ), a, b ≠ 1, x, y ∈ R ⇒
24
⋅ a y = a x + y (a ⋅ b ) x = a x ⋅ a y (a x ) y = a x ⋅ y a
x
a
x
a
y
⎛ a
=
a
x
x
⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ b ⎠ a 0 = 1 a
− x
− y
a
x
b
x
1
=
a
,a ≠ 0
x
pentru
,b ≠ 0
,a ≠ 0 a
〈 0 , nu
se
defineste
a
x
Tipuri de ecuaţii: 1. a f ( x ) = b, a〉 0, a ≠ 1, b〉 0 ⇒ f ( x) = log a b 2. a f ( x ) = a g ( x ) , a〉 0, a ≠ 1 ⇒ f ( x) = g ( x) 3. a f ( x ) = b g ( x ) , a, b〉 0, a, b ≠ 1 ⇒ f ( x) = g ( x) ⋅ log a b 4. ecuaţii exponenţiale reductibile la ecuaţii algebrice printr-o substituţie. 5. ecuaţii ce se rezolvă utilizând monotonia func ţiei exponenţiale. Inecuaţii a>1, a f ( x ) ≤ a g ( x ) ⇒ f ( x) ≤ g ( x) a ∈ (0,1)
a
f ( x )
≤ a g ( x ) ⇒ f ( x) ≥ g ( x)
25
FUNCTIA LOGARITMICĂ Def : f:(0,∞) →R, f(x)= log a x , a〉 0, a ≠ 1 ,x>0
Dacă a 〉1 ⇒ f este strict cresc ătoare x1 〈 x 2
⇒ log a x1 〈log a x2 Dacă a ∈ (0,1) ⇒ f este strict descresc ătoare x1 〈 x 2 ⇒ log a x1 〉 log a x 2 Proprietăţi:
Fie a,b c ∈ (0, ∞ ), a, b, c ≠ 1, x, y ∈ (0, ∞), m ∈ R ⇒
= x 〉 0 ⇒ y = log a x log a x ⋅ y = log a x + log a y
log
x a
y
= log
a
x
− log
a
a
y
y
26
log log a
log
a
a
a
b
b
c
m
=
log log
= =
m
c
log
, c c
b
a
log b a
,
log a 1 = 0 , log Tipuri de ecuaţii:
a
m
b
=
1
,
log
=
x a
a
a
a
b
log
a
log
a
b
= log
b
a
m
x
= 1.
1. log f ( x ) g ( x) = b, f , g 〉 0, f ≠ 1 ⇒ g ( x) = f ( x) b 2. log a f ( x) = log a g ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) 3. log a f ( x) = log b g ( x) ⇒ f ( x) = a log g ( x ) 4. ecuaţii logaritmice reductibile la ecua ţii algebrice printr-o substituţie. 5. ecuaţii ce se rezolvă utilizând monotonia func ţiei logaritmice. b
Inecuaţii a>1, log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇒ f ( x) ≤ g ( x) a ∈ (0,1) log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇒ f ( x) ≥ g ( x)
27
8. BINOMUL LUI NEWTON
În 1664 Isaac Newton (1643-1727) a găsit următoarea formulă pentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Deşi formula era cunoscută încă din antichitate de către matematicianul arab Omar Khayyam (1040-1123), Newton a extins-o şi pentru coeficienţi raţionali.
TEOREMĂ: Pentru orice număr natural n şi a şi b numere reale
există relaţia: 0 n
1 n−1
2 n−2 2
k n−k k n
(a+b) =C n a +C n a ⋅b+C n a ⋅b +.......... +C a ⋅b +.....+C b n
n n n
(1)
Numerele C n 0 , C n 1 ,...., C n n se numesc coeficienţii binomiali ai dezvoltării; Este necesar să se facă distincţie între coeficientul unui termen al dezvoltării şi coeficientul binomial al acelui termen. Exemplu: (a+2b)4= a4 + 4a 3 .2b+….. Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iar coeficientul binomial este C41 =4; Pentru (a-b)n avem următoarea formă a binomului lui Newton:
(a−b)n =C n0an −C n1an−1 ⋅b+C n2an−2 ⋅b2 −.......... .+(−1)k C nk an−k ⋅bk +.....+(−1)nC nnbn (1’) Proprietăţi: 1. Numărul termenilor dezvoltării binomului (a+b)n este n+1; Dacă n=2k ⇒ coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvoltării este Cnk şi este cel mai mare. Dacă n=2k+1 ⇒ Cnk şi Cnk+1 sunt egali şi sunt cei mai mari; Cno
Cnk+1>…..>Cnn daca n este par, n=2k
28
Cno…..>Cnn daca n este impar, n=2k+1.
2. Coeficienţii binomiali din dezvoltare, egal depărtaţi de termenii extremi ai dezvoltării sunt egali între ei. k n
C
n−k n
= C
(2) 3. Termenul de rang k+1 al dezvoltării (sau termenul general al dezvoltării) este k n−k n
T k +1 =C a
⋅bk ,
k =0,1,2,....,n
(3)
⇒ Formula binomului lui Newton scris ă restrâns are forma: n
(a + b )n = ∑ C n k a n − k b k . k = 0
(4) 4. Relaţia de recurenţă între termenii succesivi ai dezvoltării este următoarea:
T k + 2 T k +1
=
n − k b
⋅
k + 1 a
(5) 5. Pentru a=b=1 se obţine 0 1
2
C n +C n +C n +.......... ...+C
n n
=(1+1)
n
(6) ceea ce înseamnă că numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n .
29
9. Vectori şi operaţii cu vectori Definiţie: Se numeşte segment orientat, o pereche ordonată de puncte din plan; Se numeşte vector, mulţimea tuturor segmentelor orientate care au aceeaşi direcţie, aceeaşi lungime şi acelaşi sens cu ale unui segment orientat. Observaţii: Orice vector AB se caracterizează prin: - modul(lungime,normă), dat de lungimea segmentului AB; - direcţie, dată de dreapta AB sau orice dreaptă paralelă cu aceasta; - sens, indicat printr-o săgeată de la originea A la extremitatea B. Notaţii: AB vectorul cu originea A şi extremitatea B; AB = ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 - modulul vectorului AB unde A(x0,y0), B(x.y). Definiţie: Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi acelaşi modul. Doi vectori se numesc opuşi dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi modul şi sensuri contrare: - AB = A . Adunarea vectorilor se poate face după regula triunghiului sau după regula paralelogramului:
30
λ ⋅ v
= 0 ⇔ λ = 0
sau v
= 0, ∀λ ∈ R
Daca λ ≠ 0, v ≠ 0 ⇒ λ ⋅ v
=
λ ⋅ v , λ ⋅ v
are direcţia şi sensul
vectorului v dacă λ 〉 0 şi sens opus lui v dacă λ 〈0 . Definiţie: Doi vectori se numesc coliniari dacă cel puţin unul este nul sau dacă amândoi sunt nenuli şi au aceeaşi direcţie. În caz contrar se numesc necoliniari.
vectori coliniari
vectori necoliniari
Teoremă: Fie u ≠ 0 şi v un vector oarecare. Vectorii u şi v sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ R a.i. v = λ ⋅ u .
31
Punctele A, B, C sunt coliniare
⇔ AB
si AC sunt coliniari
AB CD
⇔ AB
si CD
⇔ ∃λ ∈ Ra.i. AB = λ ⋅ AC .
sunt coliniari;
Dacă u şi v sunt vectori necoliniari atunci
∃ x, y ∈ R a.i.
x ⋅ u + y ⋅ v
= 0 ⇔ x = y = 0 .
Teoremă: Fie a şi b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , există α , β ∈ R(unice) astfel încât v = α ⋅ a + β ⋅ b . Vectorii a şi b formează o bază. α , β se numesc coordonatele vectorului v în baza a, b . Definiţie: Fie XOY un reper cartezian. Consider ăm punctele A(1,0), B(0,1). Vectorii i = OA si j = OB se numesc versorii axelor de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direcţiile axelor şi sensurile semiaxelor pozitive cu OX şi OY. Baza i, j se numeşte bază ortonormată.
32
v = A' B' + A' ' B' ' = x ⋅ i + y ⋅ j v = pr OX v ⋅ i + pr OY v ⋅ j
x=xB- xA, y=yB- yA
= ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
AB
Teoremă: Fie u ( x, y ), v( x' , y ' ) . Atunci: 1) u + v are coordonatele (x+x’.y+y’); 2) ∀λ ∈ R, λ ⋅ v are coordonatele ( λ x’, λ y’); 3) u ( x, y), v( x' , y' ) sunt coliniari
⇔
x x'
=
y y '
= k , x' , y' ≠ 0. ⇔ xy'− x' y = 0.
4) Produsul scalar a doi vectori nenuli. u⋅v = u ⋅ v
⋅ cos α unde α = m(u, v), α ∈ [0, π ]. x ⋅ x'+ y ⋅ y ' cos α = x 2 + y 2 ⋅ ( x' ) 2 + ( y ' ) 2 α ∈ [0,
π
π
] ⇒ u ⋅ v ≥ 0;α ∈ ( , π ] ⇒ u ⋅ v〈0 2 2 Fie u ( x, y ), v( x' , y ' ) nenuli. Atunci: u⋅v = 0 ⇔ u
⊥ v ⇔ x ⋅ x'+ y ⋅ y' = 0. 2
u ⋅u
=
u ⋅u
= 0 ⇔ u = 0.
i ⋅i
u
≥ 0, ∀u.
= j ⋅ j = 1; i ⋅ j = 0.
Vectori de poziţie. Dacă r A , r B sunt vectori de poziţie, atunci: AB = r B − r A
33
10. Funcţii trigonometrice Semnul funcţiilor trigonometrice:
⎡ π , π ⎤ → [− 1,1] ⎣ 2 2 ⎥⎦
Sin: ⎢−
π π ⎤ ⎡ arcsin:[-1,1]→ ⎢− , ⎥ ⎣ 2 2⎦
Cos: [0, π ] → [− 1,1]
arccos:[-1,1] → [0, π ]
34
Tg:
⎛ − π , π ⎞ → R ⎜ ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎛
π π ⎞
arctg:R → ⎜ − , ⎟ ⎝ 2 2 ⎠
Reducerea la un unghi ascuţit π Fie u ∈ (0, ) Notăm sgn f= semnul funcţiei f; cof = cofuncţia lui f
2
⎧sgn f (k π ± u ) ⋅ sin u, k = par π ⎞ ⎪ ⎪ ⎛ 2 sin ⎜ k ± u ⎟ = ⎨ Analog pentru ⎝ 2 ⎠ ⎪sgn f (k π ± u ) ⋅ cos u, k = impar ⎪⎩ 2 celelalte;
⎧sgn f (k π ± u ) ⋅ f (u ), k = par ⎪⎪ π 2 În general, f ( k ± u ) = ⎨ 2 ⎪sgn f (k π ± u ) ⋅ cof (u ), k = impar ⎪⎩ 2
35
Ecuaţii trigonometrice
Fie x un unghi, a un număr real şi k ∈ Z .
sin x = a, a ≤ 1 ⇒ x = (−1) k arcsin a + k π , dacă a ∈ [0,1] = ( − 1) k +1 arcsin a
+ k π , dac ă
a ∈ [ − 1,0 ]
cos x = a, a ≤ 1 ⇒ x = ± arccos a + 2k π , dacă a ∈ [0,1] = ± arccos a + ( 2 k + 1)π , dac ă a ∈ [ − 1,0 ] tgx = a, a ∈ R ⇒ x = arctga + k π
arcsin(sin x) = a ⇒ x = (−1) k a + k π arccos(cos x) = a ⇒ x = ± a + 2k π arctg (tgx) = a ⇒ x = a + k π sin f ( x) = sin g ( x) ⇒ f ( x) = (−1) k g ( x) + k π cos f ( x) = cos g ( x) ⇒ f ( x) = ± g ( x) + 2k π tgf ( x) = tgg ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) + k π , k ∈ Z Ecuaţii trigonometrice reductibile la ecua ţii care conţin aceeaşi funcţie a aceluia şi unghi; Ecuaţii omogene în sin x şi cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin 2 x+bsin x .cos x+ ccos 2 x=0 Ecuaţii trigonometrice care se rezolv ă prin descompuneri în factori; Ecuaţii simetrice în sin x şi cos x; Ecuaţii de forma: a sin x + b cos x + c
c
= 0 : a ⇒ sin x + tg ϕ cos x = − ⇒ a
x + ϕ = ( −1) k arcsin(−
a sin x + b cos x
≤
c a
cos ϕ ) + k π a2
+ b2
Observaţie importantă: Prin ridicarea la putere a unei ecuaţii trigonometrice pot apărea soluţii str ăine iar prin împăr ţirea unei ecuaţii trigonometrice se pot pierde soluţii;
36
FORMULE
1.
TRIGONOMETRICE
sin 2 α + cos2 α = 1 ⇒ cosα = ± 1 − sin 2 α ;
α
∈ R
sin α = ± 1 − cos2 α 2.
sin α 1 − cos 2 α 1 2 =± ⇒ tg α + 1 = 2 ; tg α = ± 2 cos α cos α 1 − sin α 1 tg α 3. cos α = ± ; sin α = ± ; 2 2 1 + tg α 1 + tg α 4. cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ; 5. cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ; 6. sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α ; 7. sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cos α ; 8. tg (α + β ) = 9. ctg (α + β ) =
tg α + tg β
1 − tg α ⋅ tg β
ctg α ⋅ ctg β − 1 ctg α + ctg β
tg (α − β ) =
; ;
tg α − tg β
1 + tg α ⋅ tg β
ctg (α − β ) =
;
ctg α ⋅ ctg β + 1 ctg α − ctg β
;
= 2 sin α cos α ; 11. cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α 1 + cos 2α 1 − cos 2α 12. cos 2 α = ; ; sin 2 α = 10. sin 2α
2 2 α α 1 + cos α 1 − cos α 13. cos = ± ; sin = ± ; 2 2 2 2 α α 1 − cos α 1 + cos α 14. tg = ± ; ctg = ± 2 1 + cos α 2 1 − cos α 2tg α ctg 2α − 1 15. tg 2α = ; ctg 2α = ; 2 2ctg α 1 − tg α
37
α
2tg
16. tg α =
2 ;
1 − tg
2
1 − tg 2
ctg α =
α
2
3tg α − tg 3α tg 3α = 1 − 3tg 2α ctg 3α − 3ctg α ; ctg 3α = 2 3ctg α − 1
sin 3α = 3 sin α − 4 sin α ; 3
cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α ; α 18. tg =
2
2;
α 2tg
2
17.
α
sin α 1 − cos α 1 = ; = α 1 + cos α sin α ctg 2 α
19. sin α =
2tg
2 ;
1 + tg
2
cos α =
α
sin a + sin b = 2 sin sin a − sin b = 2 sin
a+b
2
a−b
cos a + cos b = 2 sin
α
1 + tg
α
2
2
2
cos a − cos b = −2 sin
1 − tg 2
⋅ cos ⋅ cos
a+b
2
a−b
2
2; 2
a−b
2
a+b
2
⋅ sin
⋅ cos
a−b
2
a+b
2
sin( a + b) cos a ⋅ cos b sin( a − b) sin( a + b) tga − tgb = ctga + ctgb = cos a ⋅ cos b sin a ⋅ sin b sin(b − a) ctga − ctgb = sin a ⋅ sin b tga + tgb
=
38
sin( a + b) + sin( a − b) sin a ⋅ cos b = 2
cos a ⋅ cos b =
cos(a + b) + cos(a − b) 2
cos( a − b) − cos( a + b) sin a ⋅ sin b = 2
arcsin x + arcsin y = arcsin( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) arcsin x+arccos x=
π
2
1
π
x
2
arctg x+arctg =
arctg x +arcctg x=
π
2
arccos(-x)= π -arccos x
39
11. ECUAŢIILE DREPTEI ÎN PLAN 1. Ecuaţia carteziană generală a dreptei: ax+by+c=0 (d) Punctul M(x0,y0) ∈ d ⇔ a ⋅ x0 + b ⋅ y 0 + c = 0 2. Ecuaţia dreptei determinată de punctele A(x1,y1), B(x2,y2):
− y 1 x − x 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 y
3. Ecuaţia dreptei determinată de un punct M(x0,y0) şi o direcţie dată( are panta m) y-y0=m(x-x0) 4. Ecuaţia explicită a dreptei (ecuaţia normală):
− y1 y=mx+n, unde m = tg ϕ = x 2 − x1 y 2
este panta
dreptei şi n este ordonata la origine.
5. Ecuaţia dreptei prin tăieturi:
x a
y
+ = 1, a, b ≠ 0. b
6. Fie (d): y=mx+n şi (d’): y=m’x+n’ Dreptele d şi d’ sunt paralele ⇔ m=m’şi n ≠ n’. Dreptele d şi d’ coincid ⇔ m=m’şi n=n’. Dreptele d şi d’ sunt perpendiculare ⇔ mm’= -1. Tangenta unghiului ϕ a celor două drepte este m − m' tg ϕ = 1 + m ⋅ m' 7. Fie d: ax+by+c=0 şi d’: a’x+b’y+c’=0 cu a’,b’,c’ ≠ 0. şi θ = m(〈 d , d ' ) Dreptele d şi d’ sunt paralele ⇔
a a'
=
b b'
≠
c c'
40
a
Dreptele d şi d’ coincid ⇔
a'
=
b b'
= a
Dreptele d şi d’ sunt concurente ⇔
a'
ab’-ba’ ≠ 0. cos θ =
v v
⋅ v' ⋅ v'
a
= a
2
c c'
≠
b b'
⋅ a ' +b ⋅ b ' 2
+b ⋅
a'
2
+b'
2
⇔
unde
(−b , a ), v' (−b' , a' ) sunt vectorii directori ai dreptelor d şi d’. Dreptele d şi d’ sunt perpendiculare, d ⊥ d ' ⇔ a ⋅ a ' +b ⋅ b' = 0 8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) în plan. Dreptele AB şi CD sunt paralele, AB|| CD ⇔ ∃α ∈ R*, a.î AB = α CD sau mAB=mCD. şi CD sunt perpendiculare, Dreptele AB AB ⊥ CD ⇔ AB ⋅ CD = 0 Condiţia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) să fie coliniare este: v
y 3 y 2
− y 1 x 3 − x 1 = − y 1 x 2 − x 1
9. Distanţa dintre punctele A(x1,y1) şi B(x2,y2)
AB= ( x2 − x1 )
2
este
2
+ ( y2 − y1 )
Distanţa de la un punct M0(x0,y0) la o dreaptă h de ecuaţie (h): ax+by+c=0 este dată de: d ( M 0 , h) =
ax0
+ by 0 + c . 2 2 a +b
41
12. CONICE 1.CERCUL Definiţie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal depărtate de un punct fix, numit centru se numeşte cerc.
C ( O , r )
= { M ( x , y ) | OM = r }
1. Ecuaţia generală a cercului A(x² + y²) + Bx + Cy + D = 0 2. Ecuaţia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza „r” (x - a)² + (y + b)² = r² ; x² + y² = r² 3. Ecuaţia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2) (x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 0 4. Ecuaţia tangentei dup ă o direcţie O(0,0) : y = mx ± r 1 + m² O(a,b) : y-b = m(x-a) ± r 1 + m² 5. Ecuaţia tangentei în punctul M(x 0, y0) (x· x0) + (y ·y0) = r² respectiv (x - a)(x0 - a) + (y - b)(y 0 - b) = r² 6. Ecuatia normala a cercului
42
x² + y² + 2mx + 2ny + p = 0 cu O(-m; -n) şi r² = m² + n² - p 7. Ecuaţia tangentei în punctul M(x 0,y0) x · x0 + y · y0 + m(x + x0) + n(y + y 0) + p = 0 8. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecua ţie y = mx + n este
| ma − b + n | | ax 0 + by 0 + c | d(0,d) = sau ( d = ) m² + 1 a ² + b²
9. Ecuaţiile tangentelor din punctul exterior M(x 0, y0) I. Se scrie ecuaţia 4 şi se pune condiţia ca M s ă apar ţină cercului de ecuaţie 4. II. y - y0 = m(x - x0) x² + y² = r² , Δ =0 2. ELIPSA Definiţie: Locul geometric al punctelor din plan care au suma distanţelor la două puncte fixe, constant ă, se numeşte elipsă.
F,F’- focare, FF’ distanţa focală E= {M ( x, y ) MF + MF ' = 2a} MF,MF’- raze focale 1. Ecuaţia elipsei
43
x ² a²
+
y ² b²
=1 ,
b² = a² - c²
2. Ecuaţia tangentei la elipsă y = mx ± a ² m² + b ² 3. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0) la elipsă b ² x 0 x ⋅ x 0 y ⋅ y 0 + =1 , m = − ⋅ a² b² a ² y 0 4. Ecuaţiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) la elipsă VAR I Se scrie ecuaţia 2 şi se pune condiţia ca M să apar ţină elipsei de ecuaţie 2 de unde rezultă m VAR II Se rezolvă sistemul y – y0 = m(x-x0) , x ² y ² + = 1 cu conditia Δ = 0 a ² b²
3. HIPERBOLA
Definiţie: Locul geometric al punctelor din plan a căror diferenţă la două puncte fixe este constantă, se numeşte hiperbolă
44
H: = { M(x,y) | |MF – MF’| MF’| = 2a } b
y = ± x --ecuaţia asimptotelor a
1. Ecuaţia hiperbolei x ² a²
−
y ² b²
= 1 , b² = c² - a² ;
Daca a = b => hiperbola echilateral ă 2.Ecuaţia tangentei la hiperbol ă y = mx ± a ² m² − b² 3. Ecuaţia tangentei în punctul M(x 0, y0) x ⋅ x 0 a²
−
y ⋅ y 0 b²
=1 ,
m=
b² x 0
⋅
a ² y 0
4. Ecuaţiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x 0, y0) VAR I. Se scrie ecua ţia 2 si se pune condi ţia ca M să apar ţină hiperbolei de ecua ţie 2, de unde rezult ă m. VAR II. Se rezolva sistemul y - y0 = m(x - x 0) x ²
a²
−
y ² b²
=1
,
cu
Δ =0
4. PARABOLA Definiţie: Locul geometric al punctelor egal dep ărtate de un punct fix, (numit focar) şi o dreaptă fixă (numită directoare), se nume şte parabolă.
45
P: = { M(x, y) | MF = MN } (d): x =
−
p
2
( locul geometric al punctelor din plan de unde putem
duce tangente la o parabol ă). 1. Ecuaţia parabolei y² = 2px 2. Ecuaţia tangentei la parabol ă y = mx +
P
2m
3. Ecuaţia tangentei în M (x 0, y0) y·y0 = p(x + x0) 4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x 0, y0) VAR I. Se scrie ecuaţia 2 şi se pune condiţia ca M ∈ (ecuatia 2) => m VAR II. Se rezolvă sistemul y - y0 = m(x - x0) y² = 2px cu Δ = 0
46
13. ALGEBRA LINIAR Ă 1. MATRICE.
⎛ a Adunarea matricelor ⎜⎜ ⎝ c ⎛ x y ⎞ ⎛ a ⋅ x a ⋅ y ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ a ⋅ ⎜⎜ ⎝ z t ⎠ ⎝ a ⋅ z a ⋅ t ⎠
⎛ x y ⎞ ⎛ a + x ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ d ⎠ ⎝ z t ⎠ ⎝ c + z b ⎞
b + y ⎞
⎟⎟ d + t ⎠
Înmulţirea matricelor
⎛ a ⋅ x + b ⋅ z a ⋅ y + b ⋅ t ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ d ⎠ ⎝ z t ⎠ ⎝ c ⋅ x + d ⋅ z c ⋅ y + d ⋅ t ⎠ T ⎛ a b ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ Transpusa unei matrice ⎜⎜ ⎝ c d ⎠ ⎝ b d ⎠ ⎛ a ⎜⎜ ⎝ c
b ⎞ ⎛ x y ⎞
2. DETERMINANŢI. a b = a⋅ d −b⋅c; c d a b c d e f g h
= a ⋅ e ⋅ i + d ⋅ h ⋅ c + g ⋅ b ⋅ f − c ⋅ e ⋅ g − f ⋅ h ⋅ a − i ⋅ b ⋅ d
i
Proprietăţi:
1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse; 2. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul; 3. Dacă într-o matrice schimbăm două linii(sau coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniţiale. 4. Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice atunci determinantul său este nul;
47
5. Dacă toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt înmulţite cu un element a, obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu a înmulţit cu determinantul matricei iniţiale. 6. Dacă elementele a două linii(sau coloane) ale unei matrice sunt propor ţionale atunci determinantul matricei este nul; 7. Dacă la o matrice pătratică A de ordin n presupunem că '
''
elementele unei linii i sunt de forma aij =aij +aij atunci det A = det A’ +det A’’; 8. Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o combinaţie liniar ă de celelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul. 9. Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi element se obţine o matrice al cărei determinant este egal cu determinantul matricei iniţiale; 10. Determinantul Vandermonde: 1 1 1 a b c = (b − a )(c − a)(c − b) ; a2
b2
c2
11. Dacă într-un determinant toate elementele de deasupra diagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu a ⋅ c ⋅ f ; a 0 0 b c 0 = a ⋅ c ⋅ f d e f 12. Factor comun a ⋅ x a ⋅ y a ⋅ z b⋅m
b⋅n
b ⋅ p
u
v
r
x y z
= a ⋅b ⋅ m u
n p v
r
48
3. Rangul unei matrice Fie A ∈ M m , n (C ) , r ∈ 1 ≤ r ≤ min(mN, ,n . ) Definiţie: Se numeşte minor de ordinul r al matricei A, determinantul format cu elementele matricei A situate la intersecţia celor r linii şi r coloane. Definiţie: Fie A ≠ Om , n o matrice . Numărul natural r este rangul matricei A ⇔ există un minor de ordinul r al lui A, nenul iar toţi minorii de ordin mai mare decât r+1 (dacă există) sunt nuli. Teorema: Matricea A are rangul r ⇔ există un minor de ordin r al lui A iar toţi minorii de ordin r+1 sunt zero. Teorema: Fie A ∈ M m, n (C ), B ∈ M n , s (C ) . Atunci orice minor de ordinul k , 1 ≤ k ≤ min(m, s ) al lui AB se poate scrie ca o combinaţie liniar ă de minorii de ordinul k al lui A (sau B). Teorema: Rangul produsului a două matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecărei matrice. Definiţie: ∈ M n (C ) . A este inversabilă ⇔ det A ≠ 0.( A este nesingular ă). Teorema: Inversa unei matrice dacă există este unică. Observaţii: 1) det (A·B) =det A· det B. 1 −1 2) A = ⋅ A * det ( A → A
τ
i+ j
→ A* = ((−1)
−1
d ij)i, j → A )
3) A-1∈ M n ( Z ) ⇔ det A = ± 1 . Stabilirea rangului unei matrice:
Se ia determinantul de ordinul k-1 şi se bordează cu o linie (respectiv cu o coloană). Dacă noul determinant este nul rezultă că ultima linie(respectiv coloană )este combinaţie liniar ă de celelalte linii (respectiv coloane).
49
Teorema: Un determinant este nul ⇔ una din coloanele (respectiv linii) este o combinaţie liniar ă de celelalte coloane(respectiv linii). Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu numărul maxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintre coloanele (respectiv liniile) lui A astfel încât nici una dintre ele să nu fie combinaţie liniar ă a celorlalte.
4. Sisteme de ecuaţii liniare Forma generală a unui sistem de m ecuaţii cu n necunoscute este: ⎧a11 x1 + a12 x2 + ........... + a1n xn = b1 ⎪ (1 ⎨............................................. sau ⎪a x + a x + .......... + a x = b mn n m ⎩ m1 1 m 2 2 n
∑a j = 1
ij
x j
=
bi
Unde A (aij) 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n - matricea coeficienţilor necunoscutelor.
⎛ a11 ... ⎜ Matricea A = ⎜ ... ⎜ a .... ⎝ m1
a1n amn
b1 ⎞
⎟ ⎟ se numeşte matricea extinsă bm ⎠⎟
a sistemului. Definiţie: Un sistem de numere α 1, α 2 ,.......α n se numeşte soluţie a sistemului (1) ⇔ n
∑ a α j = 1
ij
j
=
bi , i
= 1, m .
Definiţie: - Un sistem se numeşte incompatibil ⇔ nu are soluţie; - Un sistem se numeşte compatibil ⇔ are cel puţin o soluţie; - Un sistem se numeşte compatibil determinat ⇔ are o singur ă soluţie;
50
- Un sistem se numeşte compatibil nedeterminat ⇔ are o infinitate de soluţii;
Rezolvarea matriceală a unui sistem Fie A, B ∈ M n (C ) . A
−1
n 1 ⋅ aij ⋅ bi , j = 1, n . A ⋅ X = B ⇒ X = A ⋅ B ⇒ X j = det A i =1
∑
−1
Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer: Teorema lui Cramer: Dacă det A not Δ ≠ 0 , atunci sistemul AX=B are o soluţie unică Xi=
Δi . Δ
Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil ⇔ rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse. Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil ⇔ toţi minorii caracteristici sunt nuli. Notăm cu m-numărul de ecuaţii; n- numărul de necunoscute; r -rangul matricei coeficienţilor. I
m=n=r
II
m=r 〈 n
III
n=r 〈 m
Sistem compatibil Δ ≠ 0 determinat Sistem compatibil Minorul nedeterminat principal este nenul Sistem compatibil Dacă toţi determinat sau minorii caracteristici sunt nuli
51
Există cel puţin un minor caracteristic nenul Sistem compatibil Dacă toţi nedeterminat sau minorii caracteristici sunt nuli Sistem Există cel incompatibil puţin un minor caracteristic nenul Sistem incompatibil
IV
r 〈 n, r 〈 m
Teorema: Un sistem liniar şi omogen admite numai soluţia banală ⇔ Δ ≠ 0
52
14. SIRURI DE NUMERE REALE 1. Vecinătăţi. Puncte de acumulare. Definiţia 1 : Se numeşte şir , o funcţie f : N → R definită prin f(n) = an . Notăm (a n )n∈ N : a 0 , a1 , a 2 ,............. sau a1 , a 2 , a3 ,........... Orice şir are o infinitate de termeni; a n este termenul general al şirului (a n )n∈ N . Definiţia 2 : Două şiruri (a n )n∈ N , (bn )n∈ N sunt egale
⇔ a n = bn , ∀n ≥ k ∈ N Definiţia 3: Fie a ∈ R. Se numeşte vecinătate a punctului a ∈ R, o mulţime V pentru care ∃ ε >0 şi un interval deschis centrat în a de forma (a- ε , a+ ε) ⊂ V. Definiţia 4: Fie D ⊆ R. Un punct α ∈ se numeşte punct de acumulare pentru D dac ă în orice vecinătate a lui α există cel puţin un punct din D- {α } ⇔ V ∩(D- {α }) ≠ Ǿ. Un punct x ∈ D care nu e punct de acumulare se nume şte punct izolat.
2. Şiruri convergente Definiţia 5 : Un şir (a n )n∈ N este convergent către un număr a ∈ dacă în orice vecin ătate a lui a se afl ă toţi termenii şirului cu excepţia unui număr finit şi scriem a n
⎯ ⎯ → a sau n→∞
lim a n = a n→∞
a se numeşte limita şirului . Teorema 1: Dacă un şir e convergent , atunci limita sa este unic ă. Teorema 2: Fie (a n )n∈ N un şir de numere reale. Atunci: (a n )n∈ N este monoton crescător ⇔ a n ≤ a n+1 , ∀n ∈ N sau a n +1
− a n ≥ 0, sau
a n +1 an
≥ 1;
53
(a n )n∈ N este stict cresc ător a n +1
− a n 〉 0, sau
a n +1 an
⇔ a n 〈 a n+1 , ∀n ∈ N sau
〉1 ;
(a n )n∈ N este monoton descrescător ⇔ a n ≥ a n+1 , ∀n ∈ N sau a n +1
− a n ≤ 0, sau
a n +1 an
≤ 1;
(a n )n∈ N este strict descrescător ⇔ a n 〉 a n+1 , ∀n ∈ N sau a n +1
− a n 〈0, sau
a n +1 an
〈1 .
Definiţia 6. Un şir (a n )n∈ N este mărginit ⇔ ∃ M ∈ R astfel încât a n
≤ M
∃α , β ∈ R
sau
astfel
încât α ≤ a n
≤ β .
Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice şir monoton şi mărginit este convergent. Definiţia 7: Dacă un şir are limită finită ⇒ şirul este convergent. Dacă un şir are limită infinită + ∞ sau − ∞ ⇒ şirul este divergent. Teorema 4: Orice şir convergent are limită finită şi este mărginit dar nu neapărat monoton. Teorema 5: Lema lui Cesaro: Orice şir mărginit are cel pu ţin un subşir convergent. Definiţia 8: Un şir e divergent fie dac ă nu are limită, fie dacă are o limită sau dacă admite două subşiruri care au limite diferite. OBS: Orice şir crescător are limită finită sau infinită. * Teorema 6: Dacă (a n )n∈ N ∈ R+ este un şir strict crescător şi nemărginit atunci
lim a n = +∞
⇒ lim
1 an
=0
. Un şir
n→∞
descrescător cu termenii pozitivi este m ărginit de primul termen şi de 0.
54
3. Operaţii cu şiruri care au limit ă Teorema 7: Fie (a n )n∈ N , (bn )n∈ N şiruri care au limit ă: a n ⎯ n→∞ → a , b n ⎯ n→∞ → b . Dacă operaţiile a+b,ab a b
, a b au sens
an
atunci
şirurile
+ bn , an − bn ,α ⋅ an , an ⋅ bn ,
an bn
.
, an b au n
lim it ă
lim( a n + bn )= lim a n +lim bn ; lim( a n ⋅ bn )=lim a n .lim bn ; n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞ lim( α ⋅ a n )=α·lim a n ; lim a n
bn
lim
an bn
=
lim a n lim bn
= (lim a n ) lim b
n
lim (log a a n ) = log a (lim a n )
lim
k
a
n
=
k
lim a
n
Prin convenţie s-a stabilit: ∞+∞=∞ ; a+∞=∞,a ∈ R ; a+(-∞)=-∞; ∞+(-∞)=-∞; a·∞=∞ ,a>0; a·∞=-∞,a<0; ∞·(-∞)=-∞; -∞·(-∞)=∞; ∞ ∞ = ∞; ∞ −∞ = 0;
⎧∞, dacă a〉 0 ⎪ 0 ∞ = 0; ∞ a = ⎨ ⎪⎩0, dacă a〈0
±∞ Nu au sens opera ţiile: ∞-∞, 0·(±∞); , 1∞ , 1−∞ , ∞ 0 . ±∞ Teorema 8: Dacă a n − a ≤ bn Dacă a n
≥ bn
şi
şi
bn
bn
→ 0 ⇒ a n ⎯ ⎯ ⎯ → a n →∞
→ ∞ ⇒ a n ⎯ ⎯ ⎯ → ∞ n →∞
55
Dacă a n
≤ bn
şi
bn
→ −∞ ⇒ a n ⎯ ⎯ ⎯ → −∞ n →∞
⎯ → a ⇒ Dacă a n ⎯ ⎯ n→∞
⎯ ⎯ → a . a n ⎯ n →∞
Dacă a n ⎯ ⎯ ⎯ → 0 ⇒ n→∞
⎯ ⎯ → 0 . a n ⎯ n →∞
Teorema 9: Dacă şirul (a n )n∈ N este convergent la zero, iar (bn )n∈ N este un şir mărginit, atunci şirul produs a n ⋅ bn este convergent la zero.
4. Limitele unor şiruri tip
⎧0, dac ă q ∈ ( − 1,1) ⎪ ⎪ 1, dac ă q = 1 ⎪ n lim q = ⎨ n→∞ ⎪∞ , dac ă q 〉1 ⎪ ⎪ nu exist ă , dac ă q ≤ − 1 ⎩ ⎧⎪ ∞ , a0 〉 0 p p −1 lim (a 0 n + a1n + .... + a p ) = ⎨ n→∞ ⎪⎩ − ∞ , a0 〈 0
+ a1 ⋅ n p −1 + .......+ a p lim q q −1 ⋅ + ⋅ + ..... + bq b n b n n →∞ 0 1 a0 ⋅ n p
⎧0, dacă p〈q ⎪ ⎪ a0 ⎪ , dacă p = q ⎪⎪ b0 =⎨ a0 ă ş ∞ 〉 〉0 , dac p q i ⎪ b0 ⎪ ⎪ a ⎪− ∞, dacă p〉q şi 0 〈0. ⎪⎩ b0
56
⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎟⎟ lim ⎜1 + ⎟ = e ≈ 2,71...... lim ⎜⎜ 1 + ⎝ n ⎠ ⎝ x n ⎠ n→∞ x n →∞ n
1
lim (1 + xn ) x
n
=e
x n →0 lim
arcsin x n x n
=1
x n
=1
x n →0
lim
−1
x n
= ln a
x n →0
lim
=1
lim
tgx n
=1
x n
lim
ln(1 + xn) xn
=1
x n →0
x n
e
e
x n →0
arctgx n
a
xn
=
x n →0
x n →0 lim
lim
sin xn
x n
x n p
x n x n →∞
lim
(1 + xn )r − 1 xn
= r
x n →0
=∞
lim
ln x n x n
p
=0
x n →∞
57
15. LIMITE DE FUNCŢII Definiţie: O funcţie f:D ⊆ R → R are limită laterală la stânga ( respectiv la dreapta) în punctul de acumulare x0
⇔
exist ă l s
∈ R (respectiv
l d ∈R)
a. î. lim f(x)= l s ,
(respectiv lim f(x) = l d ).
→ x 0 x 〈 x 0 x
x
→
x 0
x 〉 x 0
Definiţie: Fie f:D ⊆ R → R , x0 ∈ D un punct de acumulare. Funcţia f are limită în x0 ⇔ l s ( x0 ) = l d ( x0 ) Proprietăţi:
1.
x → x0
Dacă lim f(x) există, atunci această limită este unică.
2. Dacă lim f(x) =l atunci x → x0
3. Dacă
lim f ( x) = l . x → x0
Reciproc nu.
lim f ( x) = 0
⇒
lim f ( x) = 0
x → x 0
4. Fie f,g:D ⊆ R → R , ∃ U o vecinătate a lui x0 ∈ D astfel încât f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ D ∩ U − { x0 } şi dacă există lim f ( x), lim g ( x) x → x0 , x → x 0
⇒ lim f ( x) 〈 lim g ( x) x → x0
x → x 0
58
5. Dacă f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) ∀ x ∈ D ∩ U − { x 0 } ∃ lim
f ( x )
şi
= lim h ( x ) = l ⇒ ∃ lim g ( x ) = l .
x→x0
x→x0
x→x0
6. f ( x) − l ≤ g ( x)
∀
x ∈ D ∩ U − { x0 } şi
Dacă lim g ( x) = 0 ⇒ lim f ( x) = l
7. Dacă lim f ( x) = 0 şi ∃M 〉0 a.î . g ( x) ≤ M .
⇒ lim f ( x) ⋅ g ( x) = 0 Dacă
8.
f ( x) ≥ g ( x)
şi
lim g ( x) = +∞
şi
lim g ( x = −∞
⇒ lim f ( x) = +∞. Dacă
f ( x) ≤ g ( x)
⇒ lim f ( x) = −∞. OPERAŢII CU FUNCŢII Dacă exist ă
lim f ( x) = l 1 , lim g ( x) = l 2
sens operatiile
l 1 + l 2 , l 1 − l 2 , l 1 ⋅ l 2 ,
l 1 l 2
şi au
, l 1l 2 , l 1
atunci: 1. lim(f(x) ± g(x))= l 1 ± l 2 . 2. limf(x)g(x)= l 1 ⋅ l 2
59
3.lim
f ( x) g ( x)
=
l 1 l 2
4.lim f ( x) g ( x ) = l 1l 2 5.lim f ( x) = l 1
P(X)=a0xn + a1xn-1 + ……………..+an ,a0 ≠ 0 n = ±∞ ( ) ( ) P x a 0 lim ⎯→ ±∞ x ⎯
lim
qx =
0, 1,
dacă q ∈ (− 1,1) dacă q=1
∞,
dacă q>1 dacă q ≤ −1
⎯→ ∞ x ⎯
nu există,
60
⎧0, dac ă p q 〈 ⎪ ⎪ a0 ⎪ , dac ă p = q ⎪⎪ b0 =⎨ a ⎪∞, dac ă p〉 q şi 0 〉 0 b0 ⎪ ⎪ a ⎪− ∞, dac ă p〉 q şi 0 〈 0. ⎪⎩ b0
+ a1 ⋅ x p −1 + ....... + a p lim q q −1 + ..... + bq x → ∞ b0 ⋅ x + b1 ⋅ x a 0 ⋅ x p
a>1
lim ⎯ ⎯→ ∞
a
lim ⎯ ⎯→ ∞
a x
x
lim ⎯ ⎯→ −∞
=∞
x
a ∈ (0,1)
lim ⎯ ⎯→ −∞
=0 a
x
a
x
x
0
lim ⎯ ⎯→
0
x
lim ⎯ ⎯→
0
lim ⎯ ⎯→
0
x
sin x
lim ⎯ ⎯→
tgx x
lim ( ) ⎯ ⎯→
=1
u x
lim ( ) ⎯ ⎯→
=1
u x
arcsin x x
lim ⎯→ ( ) ⎯
=1
u x
arctgx x
(1 + x ) lim ⎯ ⎯→ 0
a
0
log x = −∞ lim log x = ∞ lim ⎯ ⎯→ ∞ ⎯ ⎯→
a ∈ (0,1)
x
=∞
x
x
x
a x
log x = ∞ lim log x = −∞ lim ⎯ ⎯→ ∞ ⎯ ⎯→
a>1
x
=0
x
x
x
x
a
=1
lim ⎯→ ( ) ⎯
u x
1 x
=e
a
0
sin u ( x ) 0
u(x ) tgu ( x )
0
u(x)
=1
=1
arcsin u ( x ) 0
u (x )
arctgu ( x ) 0
u (x )
=1
=1
1
(1 + u ( x )) ( ) = e lim ⎯→ ( ) ⎯ u x
u x
0
61
x
1 ⎞
⎛ 1 + ⎜ ⎟ =e lim ⎯→ ∞ ⎝ x ⎠ x ⎯
lim ⎯ ⎯→
x
ln (1 + x ) x
0
lim
x
⎯→ 0 x ⎯
lim ⎯ ⎯→
x
= ln a
x x
lim ⎯ ⎯→ ∞ a
k x
=0
x
x
0
= r
u(x)
=0 =1
−1 = ln a u ( x )
au ( x )
(1 + u ( x ))r − 1 = r lim u ( x ) u ( x ) ⎯ ⎯→ 0 u ( x )
k
lim ( ) ( ) ⎯ ⎯→ ∞ a u x
=0
u x
ln x
lim ⎯ ⎯→ ∞ x
lim
u ( x )
ln (1 + u ( x ))
⎯→ 0 u ( x ) ⎯
(1 + x )r − 1
0
lim ⎯→ ( ) ⎯
u x
−1
x
a
=1
⎛ 1 ⎞ ⎜⎜1 + ⎟⎟ lim u ( x ) ⎠ ⎯→ ∞ ⎝ u ( x ) ⎯
k
=0
ln u ( x )
lim ( ) ⎯ ⎯→ ∞ u ( x )
k
=0
u x
62
16. FUNCŢII CONTINUE DEFINIŢIE. O funcţie f : D ⊂ R → R se numeşte continuă în punctul de acumulare x0 ∈ D ⇔ oricare ar fi vecin ătatea V a lui f(x0 ) , există o vecinătate U a lui x0, astfel încât pentru orice x ∈ U ∩ D ⇒ f(x) ∈ V.
DEFINIŢIE. f : D ⊂ R → R este continuă în x0 ∈ D ⇔ f are limită în x0 şi lim f(x) = f(x0 ) sau l s (x0 ) = l d (x0 ) = f(x0 ). x0 se numeşte punct de continuitate. Dacă funcţia nu este continu ă în x0 ⇒ f.se numeşte discontinuă în x0 şi x0 se numeşte punct de discontinuitate. Acesta poate fi: - punct de discontinuitate de prima spe ţă dacă l s (x0 ), l d (x0 ) finite, dar ≠ f(x0 ); - punct de discontinuitate de a doua spe ţă dacă cel puţin o limită laterală e infinită sau nu există. DEFINIŢIE. f este continuă pe o mulţime ( interval) ⇔ este continuă în fiecare punct a mul ţimii ( intervalului). • Funcţiile elementare sunt continue pe domeniile lor de definiţie. ţ ii elementare: funcţia constantă c, funcţia Exemple de func identică x, funcţia polinomială f(x) = a0 xn + a1 xn-1 + .......an , funcţia raţională f(x)/g(x), funcţia radical n f ( x) , funcţia logaritmică log f(x), funcţia putere xa, funcţia exponenţială a x, funcţiile trigonometrice sin x, cos x, tg x, ctg x. PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCŢII ÎNTR-UN PUNCT DE ACUMULARE DEFINIŢIE. Fie f : D ⊂ R → R. Dacă f are limita l ∈ R în punctul de acumulare x0 ∉ D ⇒ f: D ∪ {
⎧ f ( x), x ∈ D x0 } → R, f(x) = ⎨ ⎩l , x = x0
63
este o func ţie continuă în x0 şi se numeşte prelungirea prin continuitate a lui f în x0. OPERAŢII CU FUNCŢII CONTINUE T1. Dacă f,g:D→ R sunt continue în x0 f g , f ( respectiv pe D) atunci f+g, α f, f • g,f/g, sunt continue în x0 ( respectiv pe D ); α ∈ R, g ≠ 0. T2. Dacă f:D→ R e continuă în x0 ∈ D ( respectiv pe D) ⇒ f ( x) e continuă în x0 ∈ ( respectiv pe D). Reciproca nu e valabil ă. T3. Fie f:D→ R continuă în în x0 ∈ A şi g:B → A continuă în x0 ∈ B, atunci g • f e continuă în x0 ∈ A. lim f( g (x) = f( lim g(x)) x→ x0 x→ x0 Orice func ţ ie continuă comut ă cu limita.
PROPRIETĂŢILE FUNCŢIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL LEMĂ. Dacă f este o funcţie continuă pe un interval [ a,b] şi dacă are valori de semne contrare la extremit ăţile intervalului ( f(a) • ( f(b) < 0 ) atunci există cel puţin un punct c ∈ ( a,b) astfel încât f(c) = 0. • Dacă f este strict monotonă pe [ a,b] ⇒ ecuaţia f(x) = 0 are cel mult o r ădăcină în intervalul ( a, b). f este strict monotonă ⇔ f: I → J - continuă f(I) =J - surjectivă f - injectivă
Orice funcţie continuă pe un interval compact este m ărginită şi îşi atinge marginile.
64
STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNCŢII PROP. O funcţie continuă pe un interval, care nu se anuleaz ă pe acest interval păstrează semn constant pe el. DEFINIŢIE. Fie f : I ⊂ R → R ( I = interval) f are proprietatea lui Darboux. ⇔ ∀ a,b ∈ I cu a < b şi ∀ λ ∈ ( f(a), f(b)) sau λ ∈ ( f(b), f(a)) ⇒∃ c ∈ ( a,b), a.î. f(c) = λ .
TEOREMĂ. Orice func ţ ie continuă pe un interval are P.D. Dacă f :I → R are P.D. atunci ⇒ f( I) e interval.
( Reciproca e în general fals ă).
CONTINUITATEA FUNCŢIILOR INVERSE T1. Fie f : I ⊂ R → R o funcţie monotonă a.î. f( I ) e interval. Atunci f este continu ă. T2. Orice funcţie continuă şi injectivă pe un interval este strict monoton ă pe acest interval. T3. Fie f : I → R, I, J ⊂ R intervale. Dacă f e bijectivă şi continuă atunci inversa sa f -1 e continuă şi strict monotonă.
65
17. DERIVATE FUNCŢIA
DERIVATA
C x xn
nxn-1
xa
axa-1
ax
a x lna
ex
e x - 12
1
1 x
n
x n
0 1
x
sin x cos x tg x ctg x arcsin x
-
x n
x n +1
1 2 x 1 n n x n −1
cosx -sinx 1 cos 2 x - 12 sin x 1 1 − x 2
66
arccos x
-
arctg x arcctg x lnx
f(x)=
1 − x 2 1 1 + x 2 - 12 1+ 1 x
1 x ln a
log a x (uv)’ =
1
v. uv-1.u’ + uv.v’.lnu ax + b cx + d
f’(x)=
a
b
c
d
( cx + d ) 2
REGULI DE DERIVARE (f.g)’=f’g+fg’
( χ f )' = χ f ' ' ' ⎛ f ⎞ f g − fg ' ⎜⎜ ⎟⎟ = g 2 ⎝ g ⎠ 1 ( f ) ( f ( x0 )) = ' f ( x0 ) −1 '
67
18. STUDIUL FUNCŢIILOR CU AJUTORUL DERIVATELOR Proprietăţi generale ale func ţiilor derivabile . 1.Punctele de extrem ale unei func ţii. Fie Ι un interval şi f:Ι → R. Definiţie. Se numeşte punct de maxim (respectiv de minim)(local) al funcţiei f , un punct a ∈ Ι pentru care există o vecinătate V a lui a astfel încât f ( x ) ≤ f (a )(respectiv. f ( x )) ≥ f (a )∀ x ∈ V. • Un punct de maxim sau de minim se nume şte punct de extrem. • a se numeşte punct de maxim(respectiv de minim) global dac ă f ( x ) ≤ f (a )(resp. f ( x ) ≥ f (a )) . ∀ x ∈ Ι. Obs.1.O funcţie poate avea într-un interval mai multe puncte de extrem.(vezi desenul). Obs.2.O funcţie poate avea într-un punct a un maxim (local), f ăr ă a avea în a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul f (a ) < f (c ) ).
(a, f (a)), (c, f (c)) -puncte de maxim
(b, f (b),)(d , f (d )) -puncte de minim
68
TEOREMA LUI FERMAT 0
Dacă f este o funcţie derivabilă pe un interval Ι si x0 ∈ I un punct de extrem,atunci f ' ( x0 ) = 0 . Interpretare geometrică: • Deoarece f ' ( x0 ) = 0 ⇒ tangenta la grafic în punctul ( x0 , f (x0 )) este paralelă cu OX. Obs.1. Teorema este adev ărată şi dacă funcţia este derivabil ă numai în punctele de extrem. Obs.2. Condiţia ca punctul de extrem x0 să fie interior intervalului este esenţială. (dacă ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca f ' ( x0 ) ≠ 0 ). Ex. f ( x ) = x. Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adev ărată.(se pot găsi funcţii astfel încât f ' ( x0 ) = 0 dar x0 să nu fie punct de extrem).
• Soluţiile ecuaţiei f ' ( x ) = 0 se numesc puncte critice . Punctele de extrem se găsesc printre acestea. • Teorema lui Fermat dă condiţii suficiente (dar nu si necesare) pentru ca derivata într-un punct s ă fie nulă. O altă teoremă care dă condiţii suficiente pentru ca derivata s ă se anuleze este :
69
TEOREMA LUI ROLLE. Fie f : I → R, a, b ∈ I, a < b. Dacă: 1. f este continuă pe [a, b]; 2. f este derivabilă pe (a, b ) ; 3. f (a ) = f (b ), atunci ∃ cel puţin un punct c ∈ (a, b ) a.î f ' (c ) = 0. INTEPRETAREA GEOMETRICA Dacă funcţia f are valori egale la extremit ăţile unui interval [a, b], atunci există cel puţin un punct în care tangenta este paralel ă cu axa ox .
Consecinţa 1. Între două r ădăcini ale unei func ţii derivabile se afl ă cel puţin o r ădăcină a derivatei. Consecinţa 2. Între două r ădăcini consecutive ale derivatei se afl ă cel mult o r ădăcină a funcţiei. TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a creşterilor finite)
→ R,I (interval, a, b ∈I, a < b. Dacă: 1. f este continuă pe [a, b] Fie f : I
70
2. f este derivabilă pe (a, b ), atunci există cel puţin un punct c ∈ (a, b ) a.î să avem f (b ) − f (a ) b−a
= f ' (c ).
INTERPRETAREA GEOMETRICĂ Dacă graficul funcţiei f admite tangentă în fiecare punct(cu excep ţia eventual,a extremit ăţilor) există cel puţin un punct de pe grafic(care nu coincide cu extremit ăţile), în care tangenta este paralel ă cu coarda care uneşte extremităţile. tg α =
f (b ) − f (a )
tangenta la grafic în M are coeficientul.
b−a unghiular f ' (c ) dar f (b ) − f (a ) f ' (c ) = b−a Obs.1. Daca f (a ) = f (b ) ⇒ Teorema lui Rolle.
Consecinţa 1. Dacă o funcţie are derivata nula pe un interval,atunci ea este constanta pe acest interval. • Dacă o funcţie are derivata nula pe o reuniune disjuncta de intervale proprietate nu mai r ămâne adevărată în general.
⎧1, x ∈ (0,1) Expl. f : (0,1) ∪ (2,3) f ( x ) = ⎨ ⎩2, x ∈ (2,3)
71
Consecinţa 2. Dacă f si g sunt două funcţii derivabile pe un interval I şi dacă au derivatele egale f ' = g ' atunci ele difer ă printr-o constantă. f − g = c. c ∈ R • Dacă f si g sunt definite pe o reuniune disjunct ă de intervale, proprietatea e fals ă în general. Expl. f ( x ) = tgx
⎧ ⎛ 0, π ⎞ 1 , + ∈ tgx x ⎜ ⎟ ⎪⎪ 2 ⎝ ⎠ , g ( x ) = ⎨ π ⎞ ⎪tgx − 1, x ∈ ⎛ ⎜ π ⎟ ⎪⎩ ⎝ 2 ⎠ Consecinţa 3. Daca f ' ( x ) > 0 pe I ⇒ f e strict crescătoare pe I. Daca f ' ( x ) < 0 pe I ⇒ f e strict descrescătoare I. −
Consecinţa 4. f : i → R, x0 ∈ I Daca f s ( x0 ) = f d ( x0 ) = l ∈ R . '
'
⇒ f are derivata în x0 şi = f ' ( x0 ). Dacă l < ∞ ⇒ f e derivabila in x0 . Consecinţa 5.Daca f ' ( x ) ≠ 0 pe I ⇒ f ' păstrează semn constant pe I.
ETAPELE REPREZENTĂRII GRAFICULUI UNEI FUNCŢII
1. Domeniul de defini ţie; 2. Intersecţia graficului cu axele de coordonate :
Intersectia cu axa Ox conţine puncte de forma{x,0},unde x este o r ădăcină a ecuaţiei f(x)=0 {daca există}. Intersecţia cu axa Oy este un punct de forma {0,f{0}} {dacă punctul 0 apar ţine domeniului de definitie} 3. Studiul continuităţii funcţiei pe domeniul de defini ţie :
72
Dacă funcţia este definită pe R se studiază limita funcţiei la ± ∞ iar dacă este definită pe un interval se studiază limita la capetele intervalului. 4.Studiul primei derivate :
a. Calculul lui f’. b. Rezolvarea ecuaţiei f’(x)=0.R ădăcinile acestei ecuaţii vor fi eventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ; c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f. 5.Studiul derivatei a doua :
a.Se calculează f’’ b.Se rezolva ecuatia f’’(x)=0. R ădăcinile acestei ecuaţii vor fi eventuale puncte de inflexiune ale graficului c.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Astfel,pe intervalele pe care f’’>0 functia este convexă şi pe cele pe care f’’<0, funcţia eate concavă. 6.Asimptote :
a. Asimptotele orizontale sunt drepte de forma y=a, unde a= lim f ( x) dacă cel puţin una din aceste limite are sens şi
x → ±∞
există în R. b) Asimptotele verticale sunt drepte de forma x=x 0, dacă există cel puţin o limită laterală a funcţiei în x0, infinită. c) Asimptotele oblice sunt drepte de forma y=mx+n, unde f ( x) ∈ R si n = lim ( f ( x) − mx) ∈ R , analog şi pentru m = lim
x → ∞
x
x → ∞
-∞.
7. Tabelul de variaţie; 8. Trasarea graficului.
73
19. PRIMITIVE Primitive. Proprietăţi.
Fie I un interval din R. Definiţia 1. Fie f: I →
R. Se spune că f admite primitive pe I dacă ∃ F : I →R astfel încât a) F este derivabilă pe I; b) F’(x) =f(x), ∀ x ε I. F se numeşte primitiva lui f . ( I poate fi şi o reuniune finită disjunctă de intervale).
Fie f : I → R. Dacă 1 , 2 : I → R sunt două primitive ale funcţiei f, atunci există o constantă c ∈ R astfel încât 1 ( x) = 2 ( x) + c, ∀ x ∈ I. , 2 sunt primitive atunci , 2 sunt Demonstraţie : Dacă 1 1 ' ' ( x) = f ( x) ∀ x ε I derivabile ⇒ F ( x) = Teorema 1.1
1
2
⇔ ( F 1 − F 2) ' ( x) = F 1' ( x) − ' 2 ( x) = 0 , x ε I. ⇒ 1 ( x) − 2 ( x) = c , c= constantă OBS 1. Fiind dată o primitivă F 0 a unei funcţii, atunci orice primitivă F a lui f are forma F = F 0 + c , c= constantă ⇒ f admite o infinitate de primitive. OBS 2. Teorema nu mai r ămâne adevărată dacă I este o reuniune disjunctă de intervale Expl: f: R- {0 }, f(x) = x²
⎧ x 3 +1 3 ⎪ x ⎪ , G= ⎨ 33 F= 3 ⎪ x + 2 ⎪⎩ 3 F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constantă . Contradicţie cu T 1.1 OBS 3. Orice funcţie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux. Se ştie că derivata oricărei funcţii are Proprietatea lui Darboux , rezultă că f are Proprietatea lui Darboux. F’ =f.
74
F P.D
P C
OBS 4. Dacă I este interval şi f(I) def { f ( x) / x ∈ I } nu este interval atunci f nu admite primitive. Dacă presupunem că f admite primitive atunci din OBS 3 rezultă că f are P lui Darboux, rezultă f(I) este interval ceea ce este o contradicţie. OBS 5. Orice funcţie continuă definită pe un interval admite primitive.
→R o funcţie care admite primitive. Mulţimea tuturor primitivelor lui f se nume şte integrala nedefinită a funcţiei f şi se notează prin simbolul f ( x ) dx. Definiţia 2. Fie f: I
∫
Operaţia de calculare a primitivelor unei func ţii(care admite primitive ) se nume şte integrare. Simbolul
∫ a fost propus pentru prima dată de Leibniz, în
1675. Fie F(I)= { f : I → R} Pe această mulţime se introduc operaţiile : (f+g)(x) =f(x)+ g(x) , (αf)(x)=α.f(x) ∀ x ∈ R ,α constantă C= { f : I → R / f ∈ R}
∫ f ( x ) dx = F ∈ F ( I ) / F
primitivă
a
lui
f
.
75
Teorema 1.2 Dacă f,g:I→ R sunt funcţii care admit primitive şi α ∈ R, α ≠0, atunci funcţiile f+g, αf admit de asemenea primitive şi au loc relaţiile: ∫(f+g) =∫f +∫g, ∫αf=α∫f, α≠0, ∫f =∫f +C Formula de integrare prin părţi. Teorema 1.1 Dacă f,g:R →R sunt funcţii derivabile cu derivatele continue, atunci funcţiile fg, f’g, fg’ admit primitive şi are loc relaţia: f(x)g’(x)dx =f(x)g(x)f’(x)g(x)dx
∫
∫
Formula schimbării de variabilă (sau metoda substituţiei). Teoremă: Fie I,J intervale din R şi ϕ : I → J , f : J → R , functii
cu proprietat ile
:
1) ϕ este derivabilă pe I; 2) f admite primitive. (Fie F o primitiv ă a sa.) Atunci funcţia (f o ϕ ) ϕ ’ admite primitive, iar func ţia F o ϕ este o primitivă a lui (f o ϕ ) ϕ ’ adică:
∫
f (ϕ (t )) ⋅ ϕ ' (t )dt
= Fo ϕ +
C
5. Integrarea funcţiilor trigonometrice Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosind formula integrării prin părţi, fie metoda substituţiei. În acest caz se pot face substitu ţiile: 1. Dacă funcţia este impar ă în sin x, R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t. 2. Dacă funcţia este impar ă în cos x, R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t. 3. Dacă funcţia este par ă în raport cu ambele variabile R(-sin x,-cos x) atunci tg x=t.
76
4. Dacă o funcţie nu se încadreaz ă în cazurile 1,2,3,atunci se utilizează substituţiile universale: x 1 − t 2 x unde t tg = = sin x = , cos 2 1 + t 2 1 + t 2
2 t
5. Se mai pot folosi şi alte formule trigonometrice: sin 2x=2sin x .cos x, 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sin 2 x = cos 2 x = 2
2
Integrarea funcţiilor raţionale Definiţie: O funcţie f:I→R , I interval, se nume şte raţională dacă R(x)=
f ( x) g ( x)
, g ( x) ≠ 0, x ∈ I , unde f,g sunt func ţii polinomiale.
Dacă grad f ≥ grad g, atunci se efectueaz ă împărţirea lui f la g ⇒ f=gq+r, 0 ≤ grad r
f ( x )
=
g ( x )
scrierea
= q ( x ) +
r ( x ) g ( x )
. Pentru
ca suma de functii
R ( x ) se face
rationale
simple
.
PRIMITIVELE FUNCŢIILOR CONTINUE SIMPLE 1.
∫ cdx = c ⋅ x + C ,
2.
∫ x
3.
∫ x
4.
∫ a
n
α
dx
dx
x
dx
=
= =
c∈R
n
x
+1
+1
n
x α + 1 α
+1 a
x
ln a
+
C
+
C
+
C
77
5. 6.
7.
∫
=
x
+
= ln x +
C
e x dx
1
∫ x dx
e
C
1 dx = − ctgx + C 2 sin x
∫
1 dx = tgx + C 2 cos x
8.
∫
9.
∫ sin xdx = − cos x + C
10.
∫ cos xdx
11.
∫ x
1
+a
2
= sin x + C
dx
2
=
1 a
arctg
x a
+ C
1 x − a + C dx = ln 12. 2 2 2 a x + a x − a 13.
14.
15.
∫
1
∫ x
1
∫ x ∫
+ a2
2
1
−a
2
2
1 a
2
− x
2
dx = ln( x + a 2 + x 2 ) + C
dx = ln x + x 2 − a 2
dx
+ C
x
= arcsin + C a
78
16.
∫ tgxdx = − ln cos x + C
17.
∫ ctgxdx = ln sin x + C
18. 19.
20.
∫
∫
x x
2
x
∫ a
a
−
2
a
x 2
− x
2
=
x
2
+
a
2
+
C
dx
=
x 2
−
a
2
+
C
dx = − a 2 − x 2
x
∫
22.
∫
23.
∫ a
25.
2
x
21.
24.
+
2
dx
x2 + a2 dx =
−a
2
x
2
2
dx =
− x
2
x2 + a2
2 x
2
x
2
dx =
1
x
2
+ C
a2
+ ln x + 2
a2
− a − ln x + 2
2
a
2
− x + 2
a2
2
x2 + a2
+ C
x2 − a2
+ C
x
arcsin + C a
1
∫ ax + b dx = a ln ax + b + C ∫ ( ax
1
+ b)n
dx
= −
1 ( n − 1 )( ax + b ) n − 1
⋅
1 a
+
C
+ a 2 − x 2 ∫ ( x 2 + a 2 ) 2 dx = a 2 ∫ ( x 2 + a 2 )2 + C = 26. ' ⎛ − 1 ⎞ 1 1 1 ⎜⎜ 2 ⎟ dx − ⋅ dx x 2 ∫ 2 2 2 ∫ 2 ⎟ a x + a a ⎝ 2 ( x + a ) ⎠ 1
1
x 2
79
1 ⎧ dx, Δ〉 0 ⎪∫ ⎪ a[( x + b ) 2 − ( Δ ) 2 ] 27. 1 ⎪ 2a 2a = dx ⎨ ∫ ax 2 + bx + c ⎪ 1 dx, Δ〈 0 ∫ ⎪ b 2 −Δ 2 a [( x ) ( ) ] + + ⎪ 2a 2a ⎩
28.
29.
∫ ax ∫ ax m
2 ax + b
+ bx + c
2
+ B dx = + bx + c
Ax 2
⋅ ln
dx
ax 2
= ln ax 2 + bx + c + C + b) + n dx = + bx + c
m ( 2 ax
∫
ax 2
+ bx + c + n ⋅ ∫
ax
1 2
+ bx + c
dx
80
Bibliografie: - Arno Kahane. Complemente de matematică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1958. - C. Năstăsescu,C. Niţă, Gh. Rizescui:”MatematicăManual pentru clasa a IX-a”, E.D.P., Bucureşti, 1982. - C. Năstăsescu, C Niţă, I. Stănescu: Matematică-Manual pentru clasa a X-a-Algebr ă”, E.D.P., Bucureşti,1984. - E. Beju, I. Beju:”Compendiu de matematică”, editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1996. - E. Rogai,”Tabele şi formule matematice”,Editura tehnică,1983. - „Mică enciclopedie matematică”, Editura tehnică, Bucureşti,1980. - Luminiţa Curtui,” Memorator de Matematică-Algebra, pentru clasele 9-12”, Editura Booklet,2006.
81
Probleme propuse şi rezolvate 1.Să se determine numerele întregi a şi b astfel încât 4 6 + 14 = a 2 + b 3; Rezolvare: Ridicăm la puterea a doua expresia dată: 4 6 + 14 = 2a 2 + 2 6ab + 3b 2 ; Din egalarea termenilor asemenea între ei rezultă : ab=2 şi 2a2+3b2=14 rezultă: a=1 şi b=2. 1 1 2.Dacă a − =7, să se calculeze a4 + 4 . Rezolvare:
a
a
1 Ridicăm la puterea a doua relaţia dată: ( a − )2=49, a
a2+ a4
1 a
+
=51 procedând analog se ob ţine
2
1 a
4
= 512 − 2 ⇒ a 4 +
1 a
4
= 2599 .
3.Aflaţi X din X.3 2008 = (3 2008 – 1) : (1+ 1 1 1 + 2 + ....... + 2007 ) 3 3 3 Rezolvare: 1 1 1 3 3 2008 − 1 1 + + + ........ + 2007 = ⋅ 2008 , după formula 3 3² 2 3 3 n+ X 1 − 1 n 1 + X + X ² + ......... + X = X − 1 2 3 2008 2 2008 2008 ⇒ X ⋅ 3 = [3 − 1] ⋅ 2008 ⇒ X = 3 3 −1 3
82
4. Să se calculeze:
2a − 3 unde a = 3−a
7 − 11 − 4 7
Rezolvare: 11 + 3 11 − 3 − = 7 −2⇒ a = 2 2 2
11 − 4 7 = 2 2− 3
(2 2 − 3 )( 3 + 2 ) = 2 6 + 4 − 3 − 6 = 6 +1 = 3− 2 3− 2
5. Ştiind că numărului
a
= 3 − 1 să se calculeze partea întreagă a
b a ² + b² a² − b²
Rezolvare: a b
= 3 + 1 ⇒ a = 3 + 1, b = 1 ⇒
(
3 + 1)² + 1 3 + 2 3 + 1 + 1 = = 3 + 1)² − 1 3 + 2 3 + 1 − 1
5 + 2 3 (5 + 2 3 )(3 − 2 3 ) = = = 9 − 12 3+ 2 3 15 − 10 3 + 6 3 − 12 3 − 4 3 4 3 − 3 = = = 3 −3 −3 ⎡ 4 3 − 3⎤ ⎢ 3 ⎥ =1 ⎣ ⎦
6.Se dă numarul x = 6 − 2 5 − 6 + 2 5 Să se arate ca x² = 4 Să se calculeze (X+2)2007 Rezolvare: a)
83
(1 − 5 )² − (1 + 5 )² =
x =
1 − 5 − 1 + 5 = −1 + 5 − 1 − 5 = −2 ⇒ x² = 4 b. x =− 2 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ ( x + 2) 2007 = 0
7. Dacă
a b
= 2007 , să se calculeze
66b . a 223 − 9b
Rezolvare: 66b 66 66 1 = = = a = b 2007 ⇒ b 2007 ⋅ 223 − 9b 223 ⋅ 3 − 9 660 10
8.Să se calculeze suma S = 2 + 2 2 + 2 3 + .......... + 2 2007 . Rezolvare: S=
= 2 + 23 + 25 + ............ + 22007 + 2 4 2006 ⎞ + ⎛ ⎜ 2 + 2 + ............ + 2 ⎟ = ⎝ ⎠ = 2 (1 + 2 + 22 + ............ + 21003 ) + + 2 + 22 + 23 + ............. + 21003 + 1 − 1 = = (1 + 2 + 22 + ............. + 21003 )( 2 + 1) − 1 = = [(21004 ) − 1]( 2 + 1) − 1. Am adăugat şi am scăzut 1.
84
9.Calculaţi: E = 4 + 2 3 + 7 − 4 3 + ( 2 68 − 351 + 2 68 ) : 350 Rezolvare:
4+2 4−2 + = 3 +1 4+2 3 = 2 2 7 +1 7 −1 7−4 3 = − = 2− 3 2 2
(24 )17 − (33 )17 < 0 ⇒ E =
3 + 1 + 2 − 3 + (− 268 + 351 + 268 ) : 350
= 3 + 351 : 350 = 3 + 3 = 6. 10.Determinati n ∈ Z astfel încât
14 − 6 5 + 6 − 2 5 n
∈ Z .
Rezolvare
(3 − 5 )
2
+
(
5 − 1)
n
2
=
3 − 5 + 5 −1 n
=
3 − 5 + 5 −1 n
2
= ∈ Z ⇔ n ∈ {− 2,−1,1,2} n
11. Să se rezolve ecuaţia: (2x-4)(2x-3)(2x+1)(2x+2)=-6 Rezolvare: Ecuaţia dată este echivalentă cu: (2x-4)(2x+2)(2x-3)(2x+1)=-6 ⇔ (4x2 –4x-8) (4x2 –4x-3)=-6 Notam 4x2 –4x-8=t ⇒ t(t-5)=-6 ⇒ t2-5t+6=0 ⇒ t1=2 si t2=3 4x2 –4x⇒ 4x2 –4x-8=2 ⇒ x1,2= 1 ± 11 2
8=3 ⇒ x3,4=
1± 2 3 . 2
85
12 . Se dă ecuaţia: x² + 18x + 1 = 0. Se cere să se calculeze 3 x1 + 3 x2 , unde x1, x2 sunt soluţiile ecuaţiei . Rezolvare : Fie A = 3 x1 + 3 x2 . Se ridică la puterea a treia A³ = x1 + x2 + 3 3 x1 x 2 · A Cum x1 + x2= - 18 x1+x2=1 (Relaţiile lui Viete) A³- 3A + 18= 0 ; Soluţia reală a acestei ecuaţii este A = -3 ; restul nu sunt reale A³+ 3A²-3A²-9A+6A+18=0 A²(A+3) – 3A (A+3)+6(A+3)=o (A+3)(A²-3A+6)=0 A=-3
13. Doua drepte perpendiculare între ele în punctul M(3;4) intersectează axa OY în punctual A si OX în punctual B. a) să se scrie ecuaţia dreptei AB b) să se arate ca diagonalele patrulaterului AOBM sunt perpendiculare ,unde 0 este originea sistemului. Rezolvare : Scriem ecuaţiile dreptelor AM si MB (1) AM : y − 4 = m(x − 3) cum AM ⊥ B 1 (2)MB : y − 4 = − (x − 3) m
Aflam coordonatele lui A: - din (1) când x = 0 ⇒ y = 4 − 3m Aflam coordonatele lui B: - din (2) când y = 0 ⇒ x = 4m + 3
86
Fie P(x,y) mijlocul lui AB 4 M + 3 4 − 3m 2 x − 3 ⇒ X = ⇒ x = , y = 2 2 4 2 x − 3 ⇒ 2 y = 4 − 3 ⋅ ⇒ 8 y = 16 − 6 x + 9 ⇒ 4 ⇒ 6 x + 8 y − 25 = 0(ec.drepteiAB) 3 ⇒ panta dreptei AB estem = − . 4 Panta dreptei OM este evident 4−0 4 = ⇒ m AB ⋅ mom = −1 ⇒ OM ⊥ AB. 3−0 3 A
M(3,4) O
B
14. Se dau punctele A (2,6), B(-4,3), C(6,-2). Se cere: a) perimetrul triunghiului ABC şi natura sa ; b) coordonatele centrului de greutate; c) ecuaţia dreptei BC; d) ecuaţia medianei AM şi lungimea sa; e) ecuaţia înălţimii din A pe BC şi lungimea sa ; f) ecuaţia dreptei care trece prin A şi face un unghi de 300 cu axa OX;
87
g) ecuaţia dreptei care trece prin A şi este paralelă cu BC; h) ecuaţia bisectoarei din A şi lungimea ei i) aria triunghiului ABC. Rezolvare: a) Aplicând formula distanţei pentru cele trei laturi ale triunghiului AB = ( x2 − x1 )
2
+ ( y2 − y1 )2 obţinem:
AB = 3 5 , BC = 5 5 ,AC = 4 5 ⇒ P = 12 5 ; Se verifică cu reciproca teoremei lui Pitagora că triunghiul este dreptunghic cu unghiul de 90 0 în vârful A. b) Coordonatele centrului de greutate sunt date de formula: ⎛ x + x 2 + x3 , y1 + y 2 + y3 ⎞ ⇒ G⎛ 4 , 7 ⎞ ; G⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c) Ecuaţia dreptei BC se scrie folosind formula:
− y 1 x − x 1 = ⇒ y 2 − y 1 x 2 − x 1 y − 3 x + 4 = ⇒ 5x+10y-10=0 x+2y-2=0 −5 10 1 (forma generală a dreptei )sau y = − x + 1 (forma normală); y
2
1 d) Coordonatele mijlocului segmentului BC sunt : M (1, ) ⇒ 2 ecuaţia medianei este: x − 2 y − 6 = ⇒ 11x-2y-10 =0; Pentru calculul lungimii 1− 2 1 − 6 2 medianei AM se poate folosi faptul că într-un triunghi dreptunghic mediana corespunz ătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: BC 5 5 ⇒ AM = = , altfel se poate aplica formula distanţei. 2 2 e) Fie AD înălţimea din A ⇒ AD şi BC sunt perpendiculare ceea ce înseamnă că produsul pantelor este egal cu -1. Cum
88
1 panta dreptei BC este − ⇒ panta lui AD este 2. R ămâne să 2 scriem ecuaţia dreptei care trece prin A şi are panta 2 : y-6=2(x-2) ⇒ 2x-y+2=0 este ecuaţia înălţimii din A; Pentru calculul înălţimii (într-un triunghi dreptunghic) este convenabil să aplicăm formula: AB ⋅ AC 3 5 ⋅ 4 5 12 5 AD = ; = = 5 BC 5 5 Altfel, trebuia rezolvat sistemul format din ecua ţiile dreptelor BC şi AD pentru a determina coordonatele lui D. 3 f) y-6= (x-2); Am aplicat formula y-y0=m(x-x0) în 3 condiţiile în care panta este tg300 1 1 g) y-6= − (x-2) unde − este panta dreptei BC . 2 2 h) Fie AE bisectoarea unghiului A. BE AB 3 = ⇒ k= .Folosindu-ne Din teorema bisectoarei k= EC AC 4 de raportul în care un punct împarte un segment rezultă 2 6 ⎞ ⎛ coordonatele lui E ⎜ , ⎟ . Atunci ecuaţia bisectoarei este: ⎝ 7 7 ⎠ x − 2 y−6 = ⇒ 21x-7y=0. Pentru a calcula lungimea 2 6 −2 −6 7 7 bisectoarei ne putem folosi şi de formula AE =
2 AB ⋅ AC cos AB + AC
A
2 care este utilizată de obicei când se
cunoaşte măsura unghiului a c ărei bisectoare se calculează. 12 10 ⇒ AE = . 7 i) Aria triunghiului dreptunghic ABC este dat ă de formula A = AB ⋅ AC
2
= 30 .
89
Se va insista pe faptul că dacă triunghiul nu ar fi fost dreptunghic ar fi trebuit s ă se calculeze distanţa de la A la dreapta BC adică tocmai lungimea înălţimii iar aceasta s-ar putea face mai simplu folosind formula : Distanţa de la un punct M0(x0,y0) la o dreaptă h de ecuaţie (h): ax+by+c=0 este dată de: d ( M 0 , h) =
ax0
+ by 0 + c . 2 2 a +b
15. Sa se rezolve ecuaţia : x x 3 ⎞ ⎛ 2006 x − 2005 x = 6 ⋅ 2005 2 + 4⎜⎜ 2005 4 + 2005 4 ⎟⎟ + 1 ⎝ ⎠ x
Rezolvare : Ecuaţia dată este echivalentă cu :
⎛ ⎞ 4 ⎜ 2006 = ⎜ 2005 + 1⎟⎟ ⎝ ⎠ x
4
x
Ridicăm la puterea x x x x 1 ⇒ 2006 4 = 2005 4 + 1 ⇒ 2006 4 − 2005 4 = 1 4
( x )
Din monotonia func ţiei f ( x ) = (1 + a ) x − a x care e strict crescătoare ⇒ ecuaţia ( x ) are soluţie unică ⇒ x = 4
16 . Să se rezolve ecuaţia: 2x x x x 3 3 2007 – 2006 = 3(2006 + 2006 ) + 1
90
Rezolvare:
Ecuaţia dată este echivalentă cu: x x 3 3 2007 = (2006 + 1) . Ridic ăm la puterea 1/3 => x x 3 3 2007 = 2006 +1 => x x 3 3 2007 – 2006 =1 (*) Din monotonia func ţiei f(x) = (1+ a)x – ax care e strict crescătoare => ecuaţia (*) are soluţie unică: x = 3
17. Să se determine numărul de cifre din care este compus numărul 72007. Rezolvare: 102 < abc <103 ; p = 3 ______ 103 < abcd < 104 ; p = 4
(*) 10 p-1 ≤ N < 10 p , unde p reprezintă numărul de cifre ale lui N. Din (*) => lg 10 p-1 ≤lg N p-1 ≤ lg N lg N = 2007 lg 7 ≈ 1696 de cifre.
91
⎛ a b ⎞
⎟⎟ ∈ M 2 ( Z ) e 18. Să se arate că matricea A = ⎜⎜ ⎝ c d ⎠ inversabilă , unde : a = 2005 2006 = 6 + 6 2 + 6 3 + ... + 6 2006 c = 1 + 11 + 111 + ... + 111 ... 11 2006 ori de 1 d = 2006 2005 Rezolvare : b
A e inversabilă ⇔ det A ≠ 0 ⇔ ultima cifr ă a numărului det A e≠0 u (a ) = 5 u (d ) = 6 u (b ) = 6
⇒ u (det A) = 5 ⋅ 6 − 6 ⋅ 6 = 0 − 6 = 4 ≠ 0 ⇒ det A ≠ 0.
u (c ) = 6
92
Probleme - sinteze
I. NUMERE REALE. APLICAŢII. 1. Să se calculeze: a) b)
98 − 44 − 50 + 99 . (7 2 − 8 3 ) − (5 2 − 6 3 ) + (− 2 + 2 3 ).
c)
( 20 − 18 ) ⋅ ( 45 + 50 ) − 10.
d )
(520 + 330 − 520 ) : 914.
e)
( 287 − 358 − 358 ) : 1620.
f )
3
2
12 − ⋅ . 2 3 3 2 3 3−2 2
g )
5 2 + 3 ⋅ {− 8 3 + 4 ⋅ [3 2 + 2 ⋅ ( 3 − 2 2 )]}: 2 2.
h)
12 − 2 3 12 + 3 2 2 6 − 6 . − + 2 3 3 2 6 −1
i)
⎛ 1 − 1 ⎞ : ⎛ 1 ⎞ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 20 ⎠ ⎝ 2 5 ⎠ ⎝ 5
93
6561 + 1225 − 5184 .
j )
−1 ⎛ 1 2 1 ⎞ − + ⎟⎟ : (3 2 ) k ) ⎜⎜ ⎝ 3 2 32 2 2 ⎠
l )
2⋅ 2+ 2 ⋅ 2+ 2+ 2 ⋅ 2− 2+ 2.
m)
(3 − 7 ) + (2 − 7 ) . 2 2 2 (3 − 2 ) + (2 2 − 3) − (3 2 − 5) . 2 3 + 2 2 + 6 − 4 2 − ( 2 − 1) . 2
n) o)
16 x16
p)
2
.
25 y 24
q)
3 + 7 ⋅ ( 13 − 7 − 5 − 7 ).
r )
2 − 3 ⋅ ( 6 − 2 ) ⋅ (2 + 3 ).
s )
11 − 6 2 + 6 − 4 2 + 9 + 4 2 . 2+ 3 2− 3 + . 2− 3 2+ 3 2+ 3 2− 3
t )
+
u)
2+ 2+ 3 v)
(
.
2− 2− 3
3 + 2 ) − ( 3 − 2 ) + ( 3 + 2 )( 3 − 2 ). 2
2
2. Dacă a=2006.2007, ar ătaţi că 3. Să se calculeze numărul
a2
a+ a+ a
− b 2 pentru
〈 2007.
a
= 242,5
şi b
= 46,5
94
4. Comparaţi numerele:
(
5 − 3) +
(
2
3 − 5) + 2
(
2
5 + 3 ) + 4(6 − 5 ).
a
=
b
= 6 − 2 5 + 6 + 2 5 + 2 14 − 6 5 .
5. Dacă
a b
= 1996 ,
2
3b . a ⋅ 499 + 3b
calculati
6. Ar ătaţi că numărul
a
= 1,41 − 2 + ( 2 − 3 + 2 ) : 3 + 1,41 − 2 51
34
51
25
e pătrat perfect.
7. Să se arate că expresia
E =
2a − b ∈ Q stiind ca a = 3 − 5 + 9 − 4 5 a + 2b
b=
7 − 1 − 11 − 4 7
8. Să se aducă la o formă mai simplă expresia:
E ( a) =
6a 4 + 6a 8 + 5a16 + 16a 32 , a〉 0. 3
2 sau 3 a ) 5n + 7 ∈ R − Q
9. Care număr este mai mare: 10*. Să se arate că: a)
11. Să se arate că:
a)
2
b)
.
5n + 13 ∈ R − Q
3 2 n + 2 ⋅ 4 2 n +3 − 2 2 n +1 ⋅ 6 2 n +3 ∈ Q, ∀n ∈ N
.
2 2 n ⋅ 9 n +1 + 4 n + 2 ⋅ 3 2 n ∈ N , ∀n ∈ N 12. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei: 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ....... ⋅ 31 + 32 ∈ Q. b)
2 x = 1 + 2 0 + 21 + 2 2 + 2 3 + ....... + 2 999. 2 x − 4 14. Să se afle numerele întregi x pentru care ∈ Z . x + 5 13. Să se afle x ştiind că
a)
3
5 2 +7 −3 5 2 −7 = 2
b)
3
9+4 5 +3 9−4 5 =3
15. Să se verifice egalităţile:
16. Să se ordoneze crescător numerele: 2 , 3 17. Să se raţionalizeze numitorii fracţiilor:
3, 6 6 .
95
a)
1
.
1 1 ; c) b) 3 3 2 +1 9+3 5 1
5− 2 2− 2 − 3 ; e) 2+ 2 − 3 2−3 3 3
3
; d)
.
18. Să se determine r ădăcina pătrată a numărului a= 6 + 2 3 − 2 19. Să se determine cel mai mare număr natural n cu proprietatea:
1 2+ 3
+
1 4 + 15
+ .................... +
2 −2 6
1 2n + 4n 2 − 1
≤3 2.
20. Fie a,b,c numere raţionale astfel încât ab+ac+bc=1. Să se demonstreze că:
(a 2 + 1)(b 2 + 1)(c 2 + 1) ∈ Q . 21. Să se demonstreze că
2+ 3+ 5
nu este un număr raţional.
II. PROGRESII ARITMETICE 1. Să se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (a n )n dacă : a) a1 =-3 ; r=5 b) a1 =7 ;r=2
c) a1 = 1,3 ; r= 0,3
2. Să se găsească primii doi termeni ai progresiei aritmetice (a n )n : a) a1 , a 2 ,15,21,27,......
b)
a 1 , a 2 , − 9 , − 2 , 5 ,........
3. Să se calculeze primii cinci termeni ai şirului cu termenul general a n a) a n =3n+1 ; b) a n = 3 + (-1) n c) a n = n 2 + n + 1
4. Fie (a n )n o progresie aritmetică . Dacă se dau doi termeni ai progresiei să se afle ceilalţi : a )a3 = 7, a5 = 13, a9 = ?, a15 = ?
= 40, a 20 = −20, a7 = ?, a10 = ? c)a 6 = 2, a10 = 36, a9 = ?, a11 = ? d )a 2 = −5, a9 = −125, a 7 = ?, a19 = ?
b ) a8
5. Fie (a n )n o progresie aritmetică. Se dau :
96
= −2, r = 0,5 se cere a 12 b) a1 = 3, r = −1,5 se cere a 19 c) a10 = 131, r = 12 se cere a1 d) a 200 = 0, r = −3 se cere a1 a) a1
6. Să se găsească primul termen şi raţia unei progresii aritmetice dacă : a) a5 = 27, a 27 = 60
= 0, a60 = −92 c) a1 + a 7 = 42, a10 − a3 = 21 d ) a 2 + a 4 = 16, a1 ⋅ a5 = 28 e) S 10 = 8S 5 , S 3 = −3 f )a1 + a 2 + a3 = a 7 , a3 + a 4 + a5 = a12 + 2 b) a 20
7. Şirul ( x n )n este dat prin formula termenului general. a) x n =2n-5 ; b) x n =10-7n. Să se arate că ( x n )n e o progresie aritmetică. Să se afle primul termen şi raţia.
8.
÷
a)a1 =10, a100 =15
a i . Să se afle S 100 dacă : b)a1 = 2, r = −5 c)a1 = 5,5, a100 = 7,5
9.Cunoscând Sn să se găsescă : a) primii cinci termeni ai progresiei aritmetice dacă Sn =5n 2 +3n ; Sn =3 n2 2 − n. n ; Sn =
4
b) a1 = ?, r= ? dacă Sn = 2 n 2 +3n ;
10. Este progresie aritmetică un şir pentru care : a) Sn = n 2 -2n ; b) Sn= 7n-1 ; c) Sn = -4 n 2 +11. 11. ÷ a i , S10 = 100, S30 =900 . Să se calculeze S50. 12. Determină x aritmetică.
∈ R astfel încât următoarele numere să fie în progresie
97
b) x
a) x-3, 9, x+3 ;
2
+ 2, (3 x )2 ,4 − 2 x + x2
c)
x + 2 ,18, x − 2
13. Să se rezolve ecuaţiile : a) 1+7+13+….+x =280 ; b) 1+3+5+…..+x = 169 ; c) (x+1)+(x+4)+(x+7)+…..+(x+28) = 155 ; d) (x+1)+(x+3)+(x+5)+ ……..+(x+25) = 338 ; e) x+(x+5)+(x+10)+………+(x+100) = 2100. 14. Să se arate că următoarele numere sunt în progresie aritmetică : a) (a+b)² , a²+b² , (a-b)² ; a a+b b , , b) ; b( a − b) 2ab a(b − a) c)
a x + 1
,
x + a − 1 x 2
+ a −1 , x ≠ −1, x ≠ 0. x( x + 1)
,
2 x
1
15. Să se arate că dacă numerele
,
1
,
1
sunt în progresie
b+c c+a b+a aritmetică atunci numerele a 2 , b 2 , c 2 sunt în progresie aritmetică.
16. Fie (a n )n o progresie aritmetică. Să se arate că :
1 a1 ⋅ a 2
+
1 a 2 ⋅ a3
+ ....... +
1 a n −1 ⋅ a n
=
n −1 a1 ⋅ a n
, ∀n ≥ 2 .
17. Fie ecuaţia ax² +bx+c =0 cu soluţiile x1,x2. Dacă numerele a,b,c sunt în progresie aritmetică atunci există relaţia : 2(x1+x2)+x1.x2 +1 = 0 18. Să se demonstreze : a) b)
÷ a 2 − bc, b 2 − ca, c 2 − ab ⇔ ÷a, b, c
÷ a 2 + 2bc, b 2 + 2ca, c 2 + 2ab ⇔ ÷ c)
÷ a3
a2 bcd
, b3
b2
, c3
acd
c2 abd
, d 3
d 2 abc
1
,
1
,
1
b−c c−a a−b
⇒ ÷a 2 , b 2 , c 2 , d 2
98
III. PROGRESII GEOMETRICE 1. Să se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (b n ) n dacă : a) b1
= 6, q = 2
1 c) b2 = −10, q = 2 e) b1 = 1, q = 5
b) b1 d) b2
= −24, q = −0,5
= 0,5, q = 3
2. Să se găsească primii doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n : a) b1 , b2 ,24,36,54,.......
b) b1 , b2 ,225,−135.81,......,.......
3. Dacă se cunosc doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n
= 6, b5 = 24 , să se găsească b7 , b9 , b10 b) b5 = 10, b8 = −10 ,……………. b6 , b12 , b3 . a) b3
4. Să se scrie formula termenulei al n-lea al progresiei geomertice date prin : a) b1 = 2, bn +1 = 3bn b) b1 = 4, bn +1 = −3bn c) b1 = 9, bn +1 = 2bn
d) b1 = 10, bn +1 =
1 bn 5
5. Este progresie geometrică un şir pentru care suma primilor n termeni este : a) Sn = n² -1 ; b) Sn = 2 n − 1 ; c) Sn = 3 n + 1 6. Să se determine x a.î. numerele următoare să fie în progresie geometrică : a) a+x, b+x, c+x ; b) 2 x 2 , x 4 ,32 ; c) 1, x 2 ,6 − x 2 ; 7. Să se găsească primul termen b1 şi raţia q a progresiei geometrice (b n ) n dacă :
99
⎧b2 − b1 = −4 a) ⎨ ⎩b3 − b1 = 8
⎧b3 − b2 = 12 b) ⎨ ⎩b4 − b2 = 48
⎧b6 = 25 c) ⎨ ⎩b8 = 9
8.Să se calculeze sumele : a) 1 + 2 + 2 2 + 23 + ......... + 22008 b) 1 − 2 + 2 2 − 23 + ......... + 2 2008
1 1 1 1 + 2 + 3 + ....... + 2008 2 2 2 2 1 1 1 1 d) − 2 + 3 − ....... − 2008 2 2 2 2 c)
e) 1+11+111+1111+………111111…1 (de n ori 1) f) 3+33+333+……..33333…..3 g) 7+77+777+…..7777…7(de n ori 7) h) 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 2 + 4 ⋅ 23 + .....100 ⋅ 22007
9. Să se rezolve ecuaţiile : a) 1 + x + x 2 + x 3 + ..... x 2007
= 0, x ≠ 1 b) 1 + (1 + x) + (1 + x) 2 + ........ + (1 + x) 2007 = 0, x ≠ 0 IV. LOGARITMI 1. Să se logaritmeze expresiile în baza a : a) E=a2 b) E= 4 c) E=
7
a3 b
3. Să se arate că log26+log62>2.
a)
5
.
a⋅3 b a ⋅ b2
2. Să se determine expresia E ştiind că : lg E=2 lga-
4. Să se calculeze expresiile:
ab 6 .
1 lgb-3 lg3. 2
log12125
11
100
b)
7
1 log 4 49
c) E=log225-log2 ⎛ ⎜
20 ⎞ 4 ⎞ ⎛ log ⎟ + 2⎜ ⎟ . ⎝ 3 ⎠ ⎝ 21 ⎠ d) log 5 (log 3 (log 6 216)) e) log 2 (log 5 (log 3 243)) log 5 125 − log 3 3 9 f) 64 log 2 + log 2 2 49 log7 3 + log 3 81 g) log 2 3 2 − log 3 3 log 2 x + log 2 y + log 2 3 z Să se arate că expresia: E= este 3 log 3 x + log3 y + log 3 z 8
5.
independentă de valorile strict mai x,z,y.
mari ca 1 ale variabilelor
log 2 24 log 2 192 6. Să se calculeze expresiile: a) E= . − log96 2 log12 2 b) E= 31+log3 7 − 2 log 4 121 7.Să se calculeze suma:
1 1 + log 2 1 + log 2 2 + ... + log 2 n log 3 1 + log 3 2 + .... + log 3 n 1 + ... + log n 1 + log n 2 + ... + log n n 8. Să se arate că dacă a,b,c sunt în progresie geometrică atunci are loc egalitatea:
2 1 1 = + log b x log a x log c x
∀a, b, c ∈ R * + − {1}, x〉 0
9. Să se arate că dacă x, y, z sunt în progresie geometrică atunci log a x, log b y, log c z sunt în progresie aritmetică.
101
PRIMITIVE 1. Să se calculeze primitivele urm ătoarelor funcţii.
1. ∫(3x 5 −2 x 3 + 3 x − 2)dx 3. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 5.
∫ 2 x −
3
x
+4
5
x dx
7. ∫ x ( x − 1) 3 dx 9. ∫( e x +
1
2. ∫ x(x-1)(x-2)dx 1 4. ∫ (3 x + 3 )dx x x
⎛ 5 3 2 ⎞ 6. ∫ ⎜⎜ 5 − 3 + ⎟⎟dx ⎝ x x x ⎠ 5 3 ⎞ 2 8. ∫ ⎛ + − 2 ⎟dx x ⎜ ⎝ x x ⎠ 10. ∫ (x 5 +5 x )dx
)dx x
e
2
5 + 4 x ⎞ 11. ∫ ⎛ ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ 13. ∫ x 2 + 4dx
dx
15. ∫ 4 − x 2 dx 17.
∫
+3 dx 2 x + 2
x 2
1 dx 2 2 sin x. cos x 1 + x dx 1 − x
19.
∫
21.
∫
12.
( x + 2)
∫ x
3
3
d
14. ∫ x 2 − 9dx 1 16. ∫ dx 2 x + x − 1 x 2 − 2 18. dx 2 x − 3 1 20. dx sin x . cos x
∫ ∫
102
2..Să se calculeze primitivele urm ătoarelor funcţii compuse.
3. ∫ 4 sin 4 xdx ∫ ∫ 1 4. ∫ 3 cos 3xdx 6. ∫ ∫ 4 x + 9dx 1 1 1 7. ∫ 8. ∫ 9. ∫ dx dx dx 4 x − 16 25 − 9 x cos 3 x 1 10. ∫ 11. ∫ tg 4 xdx 12. ∫ 2ctg 2 xdx dx sin 5 x 1 1 13. ∫ dx 14. ∫ dx 16 x + 4 9 − 16 x 1. 5 ⋅ 2 5 x dx
2. 34 x dx 1 5. dx 5 x + 3
2
2
2
2
2
2
2
2
3. Să se calculeze primitivele urm ătoare utilizând metoda integrării prin părţi:
∫ ∫ ∫ ∫ x ∫ x ∫ x 2 ln x 7. ∫ ln xdx 8. ∫ ln(1 + )dx 9. ∫ dx x x ln x 10. ∫ 11. ∫ cos(ln x)dx 12. ∫ sin(ln x)dx dx x 13. ∫ ( x − 2 x + 3) ln xdx 14. ∫ x ln( x − 1)dx x − 1 x 15. ∫ 16. ∫ x ln ln(1 + x + 1)dx dx x + 1 x + 1 17. ∫ ( x + 1) ⋅ e dx 18. ∫ x ⋅ e dx 19. ∫ ( x + 2 x )⋅ e dx 20. ∫ x ⋅ e dx 21. ∫ x ⋅ e dx 22. ∫ ( x + 5 x − 2) ⋅ e dx 3⋅ 2 + 2⋅ e 23. ∫ x ⋅ e dx 24. ∫ dx 2 1. ln xdx 1 4. ln xdx
2. x ln xdx 1 5. ln xdx 2
3. x 2 ⋅ ln xdx ln(ln x) 6. dx 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−x
x
3x
2x
−x
2
3
x
2
x
2x
x
x
103
∫ 27. ∫ e ⋅ sin 2 xdx 29. ∫ x ⋅ sin xdx 31. ∫ x ⋅ sin xdx 33. ∫ x ⋅ sin 2 xdx 35. ∫ x ⋅ sin xdx x 37. ∫ dx cos x x ⋅ arcsin x 39. ∫ dx 1 − x 41. ∫ e ⋅ sin xdx 43. ∫ x ⋅ x − 9dx 45. ∫ x ⋅ 4 − x dx x − 2 x + 5 47. ∫ dx e 25.
e x
∫ 28. ∫ e ⋅ cos 2 xdx 30. ∫ x ⋅ cos xdx 32. ∫ x ⋅ cos xdx 34. ∫ x ⋅ cos 2 xdx 36. ∫ x ⋅ cos xdx x 38. ∫ dx sin x arcsin x 40. ∫ dx 42. ∫ cos (ln x)dx 44. ∫ x ⋅ x + 16dx 46. ∫ x ln xdx
⋅ sin xdx
26. e x ⋅ cos xdx
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−x
2
2
2
2
2
2
x
3. Să se calculeze integralele prin metoda substituţiei
∫ 3. ∫ x(2 x − 1) dx 5. ∫ x ( x + 1) dx 7. ∫ x ⋅ 7 dx e 9. ∫ dx e +1 1. (ax + b )n dx 9
2
3
x2
x
2 x
11.
e
6
∫ 4. ∫ x(5 x − 3) dx 6. ∫ x ( x + 1) dx e 8. ∫ dx e +1 10. ∫ e dx 2. (2 x − 1)9 dx k +1
k
n
x
x
x
x
∫ x dx
7
2
12.
∫ e
e
x
2 x
dx
−1
104
e3
x
∫ e − 1dx 15. ∫ 2 x + 5dx 17. ∫ x 1 − x dx 13.
∫ 16. ∫ x 1 + x dx 18. ∫ x x + 2dx 20. ∫ x − 6 x − 7dx ln x 22. ∫ dx x 14. x x − 1dx
2 x
3
2
4
25
19. 3 2 x + 5dx 21. 23.
∫
∫ x
29.
3
24.
dx
x − 2 x
∫ 27. ∫ 25.
2
− x 2 − x + 2dx
ln x
x
∫ x ln xdx (1 − x )2
∫ x x dx 1 28. ∫ dx − x + 3 x + 4
26.
dx
1 4 x + 2 x − 3 2
dx
x
∫ x + 1dx
2
30.
4
1 dx 4 x(1 + ln x ) 1 33. dx 2 x 3 − ln x 3 1 + ln x 35. dx 31.
3
x
∫ x
2
+1 1
∫
32.
∫
1 34. dx x ln x
∫ x 1 37. ∫ x( 2005 + ln x)
2006
dx
∫ x(ln x + 8)dx 2
∫
∫ 1 38. ∫ dx x x − 1
36 . x 3 x 2 + 2dx dx
2
4. Să se calculeze primitivele urm ătoarelor funcţii trigonometrice:
∫ 3. ∫ sin(2 x + 5)dx
1. sin 3 x ⋅ cos xdx
∫ 4. ∫ sin x ⋅ cos
2. cos 3 x ⋅ sin 2 xdx 3
2
xdx
105
cos x 6. dx 2 1 + sin x 1 8. cos x dx
∫ (tgx + tg x)dx sin x 7. ∫ dx cos x x 9. ∫ dx 1 − cos x 11. ∫ cos xdx
∫ ∫ x
3
5.
3
∫ arcsin x 12. ∫ dx 1 − x 10. sin 3 xdx
3
2
sin x 13. dx 2 cos x − 4
∫
14.
sin 2 x
∫ 1 − (cos x) dx 2
2
1 1 15. 16. dx dx 2 2 sin x 1 − x ⋅ arcsin x 1 17. 18. sin 10 x ⋅ cos 3 xdx dx cos x (arctgx )2006 1 19. dx 20. dx 2 2 2006 1 + x 1 − x ⋅ (2005 + arcsin x)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
5.Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii raţionale:
1. 4.
1
∫ 3 x + 5 1 − 3 x ∫ 2 x + 3 dx 1
dx
2 x + 3 dx 2 x + 1 1 5. dx 2005 (2 x + 3) 2.
∫ ∫
x
∫ x + 4 dx 1 6. ∫ dx x − 9 3.
2
x 2
x 2
2
2
8. ∫ 9. ∫ dx ∫ x + 4 dx x − 2 x 1 1 10. ∫ 11. ∫ dx dx ( x − 1)( x − 2) 3 x + 5 1 1 12. ∫ 13. ∫ dx dx ( x + 1)( x + 2) x( x + 2) 7.
2
+1
dx
2
106
1 dx 2 x − 3 x + 2 1 dx 2 3 x + + 1 4 x − 3 dx 2 2 x − 3 x + 1 3 x − 2 dx 2 x − 5 + 6 x + 1 dx 2 x + 2 + 10
∫ 16. ∫ 18. ∫ 20. ∫ 22. ∫ x 24. ∫ 14.
1 4 x + 4 x 3
26.
∫ 1 + x
28.
x
dx
dx
8
∫ ( x − 1)
10
dx
1
∫ 2 x − x − 3 dx 1 17. ∫ dx x − 2 x + 5 6 x − 2 19. ∫ dx 3 x − 2 x + 5 5 x − 2 21. ∫ dx x + 4 x 23. ∫ dx x − 3 2 x 25. ∫ dx 1+
15.
2
2
2
2
2
6
4
27. 29.
x 3
∫ ( x − 1)
12
∫ x
x 2 6
+4
dx
dx
107
ISTORICUL NOŢIUNILOR MATEMATICE
Sec. 18 î.e.n. mesopotamienii creează primele tabele de înmulţire; sec. 6 î.e.n. este cunoscută asemănarea triunghiurilor de către Thales; Sec. 5 î.e.n. pitagorienii introduc noţiunile de număr prim, număr compus, numere relativ prime, numere prime perfecte; Sec. 4 î.e.n. Aristotel (384-322 î.e.n) filozof grec a introdus noţiunile de perimetru, teoremă, silogism. Sec. 3 î.e.n. Matematicianul grec Euclid(330-275 î.e.n ) cel care a întemeiat celebra şcoală din Alexandria (în 323 î.e.n) a introdus noţiunile de semidreaptă, tangentă la o curbă, puterea unui punct faţă de un cerc sau sfer ă, sau denumirile de paralelogram, poliedru, prismă, tetraedru. A enunţat teorema catetei şi a înălţimii pentru un triunghi dreptunghic şi a demonstrat concurenţa mediatoarelor unui triunghi; Apolonius din Perga(262-200 î.e.n), unul din cei mai mari geometri ai antichităţii introduce pentru prima dată denumirile pentru conice, de elipsă, hiperbolă, parabolă şi noţiunile de focare, normale şi defineşte omotetia şi inversiunea şi dă o aproximare exactă a lui π cu patru zecimale. este dată aria triunghiului în funcţie de laturi sau în funcţie de raza cercului înscris şi semiperimetru; Eratostene din Cyrene(275-195 î.e.n) introduce metoda de determinare a tuturor numerelor prime mai mici decât un număr dat, metodă cunoscută sub numele de „Ciurul lui Eratostene”
108
în prima carte din „Elementele” lui Euclid este cunoscută teorema împăr ţirii cu rest şi „algoritmul lui Euclid” pentru aflarea c.m.m.d.c. a două numere întregi 85-168 matematicianul grec Ptolemeu prezintă în cartea sa „Almagest”, pe lângă vaste cunoştinţe de astronomie şi trigonometrie şi diviziunea cercului în 360 de păr ţi congruente şi exprimarea acestora în fracţii sexagesimale. Sec. 3 s-a dat formularea teoremei celor trei perpendiculare de către Pappos; acesta a mai dat şi definiţia conicelor precum şi teorema despre volumul corpurilor de rotaţie Sec. 7 sunt cunoscute regulile de trei directă şi inversă de către Bragmagupta, matematician indian; Arhimede(287-212 î.e.n) precursor al calculului integral, a determinat aria şi volumul elipsoidului de rotaţie şi ale hiperboloidului de rotaţie cu pânze. 1202- Leonardo Fibonacci (1170-1240) matematician italian introduce notaţia pentru fracţia ordinar ă; 1228- Fibonacci introduce denumirea pentru numărul zero, precum şi sistemul de numeraţie zecimal. Tot prin opera sa „Liber abaci” sunt introduse pentru dată în Europa numerele negative, fiind interpretate ca datorii; 1150- este descrisă extragerea r ădăcinii pătrate şi a celei cubice în cartea „ Lilavati” a matematicianului indian Bhaskara(1114-1185), tot el prezintă şi operaţiile de înmulţire şi împăr ţire cu numere negative; 1515- rezolvarea ecuaţiilor de gradul al treilea cu o necunoscut ă de către Scipio del Fero, iar mai târziu de Niccolo Tartaglia în 1530, şi pe acelea de gradul al patrulea de Ludovico Ferrari în 1545. Acestea au fost f ăcute cunoscute abia în 1545 de către Girolamo Cardano(1502-1576) în lucr ările sale, deşi promisese autorilor lor să nu le divulge;
109
1591-matematicianul francez Francois Viete(15401603) introduce formulele cunoscute sub numele de relaţiile lui Viete; 1614- inventarea logaritmilor naturali de către John Neper(1550-1617); 1637- este introdusă noţiunea de variabilă de către Rene Descartes(1596-1650), cel care a introdus literele alfabetului latin pentru notaţii şi a folosit coordonatele carteziene (definite după numele său), reducând problemele de geometrie la probleme de algebr ă; 1640- este introdusă denumirea pentru cicloidă de către Galileo Galilei (1564-1642); 1654- începutul creării teoriei probabilităţilor datorat corespondenţei dintre Pierre Fermat(1601-1665) şi Blaise Pascal(1623-1662) şi dezvoltarea combinatoricii odată cu apariţia lucr ării lui Pascal, „Combinaţiones”; 1656- matematicianul englez John Wallis(1616-1703) 1 1 introduce simbolul ∞ cu notaţiile = ∞, = 0 şi a 0 ∞ denumirilor de interpolare respectiv mantisă 1670- este determinat semnul sinusului şi desenată sinusoida respectiv secantoida de c ătre John Wallis); 1678- este dată teorema lui Ceva de către Ceva Giovani(1648-1734); 1679- în „Varia opera mathematica” apărută postum, a lui Pierre Fermat(1601-1665), a fost dată „Marea teoremă a lui Fermat”, reguli de integrare, definiţia derivatei. 1692- este scris primul manual de calcul integral de către matematicianul elveţian Jean Bernoulli(16671748)” Lectiones mathematicae de methodo integralium aliisque”, tipărit abia în 1742 şi de asemenea a mai scris un manual de calcul diferenţial, descoperit abia în 1920. „Regula lui l’Hospital” este dată de către Jean Bernoulli lui Guillaume de l’Hospital pe care acesta o publică în 1696;
110
1690- este propusă denumirea de integrală de către Jacques Bernoulli(1654-1705) 1692- sunt descoperite proprietăţile spiralei logaritmice (Jacques Bernoulli) 1694- este descoperită curba numită lemniscată, caracterizată de inegalitatea (1+x)n ≥ 1+nx (Jacques Bernoulli); 1696-1697- introducerea calculului variaţional, punerea problemei izoperimetrelor de către Jean Bernoulli. 1705- este dată „Legea numerelor mari” de către Jacques Bernoulli; 1711- realizarea dezvoltării în serie a funcţiilor ex, sinx, cosx,arcsinx, de către matematicianul englez Isaac Newton(1642-1727) cel care a pus bazele calculului diferenţial şi integral concomitent cu Gottfried Leibniz(1646-1716); 1729- este demonstrată existenţa r ădăcinilor complexe în număr par a unei ecuaţii algebrice cu coeficienţi reali de către Mac Laurin Colin(1698-1746; 1731- utilizarea sistemului de axe perpendiculare pentru a determina poziţia unui obiect în funcţie de cele trei coordonate; 1733- crearea trigonometriei sferoidale de către Alexis Clairaut(1713-1765); 1735- Matematicianul elveţian Leonhard Euler(17071783) introduce şi calculează constanta 1 1 1 e= lim(1 + + + ... + − ln n) =0,577215..., n→∞; 2 3 n 1739- introducerea conceptului de integrală curbilinie de către Alexis Clairaut; 1746- relaţia lui Stewart este demonstrată de Mathew Stewart după ce în prealabil ea îi fusese comunicată de către Robert Simson în 1735; 1747 este enunţată problema celor trei corpuri de către Clairaut;
111
introducerea metodei multiplicatorilor nedeterminaţi în studiul sistemelor de ecuaţii diferenţiale de către Jean Le Rond D’Alembert(1717-1783); 1750- Gabriel Cramer dă o regulă de rezolvare a sistemelor cunoscută sub denumirea de metoda lui Cramer; 1755- sunt puse bazele calculului variaţional de către Lagrange(1736-1813) concomitent cu Euler, 1765- începutul creării geometriei descriptive de către Gaspard Monge(1746-1818); 1766- crearea mecanicii analitice de către Joseph Lagrange(1736-1813) cu enunţarea principiului vitezelor virtuale şi a ecuaţiilor Lagrange; 1767- demonstrarea iraţionalităţii lui π de către Heinrich Lambert(1728-1777); 1768- demonstrarea existenţa factorului integrant la ecuaţiile diferenţiale de ordinul întâi de către D’Alembert; 1771- a fost dată ecuaţia planului normal şi formula distanţei dintre două puncte din spaţiu de către matematicianul francez G. Monge; 1775- introducerea noţiunilor de soluţie generală şi soluţie particular ă în teoria ecuaţiilor diferenţiale de către Leonhard Euler; acesta a introdus şi funcţia ϕ ( n) - indicatorul lui Euler, precum şi notaţiile e, i, f(x)şi a creat teoria fracţiilor continue; 1780- au fost introduse liniile de curbur ă ale suprafeţelor(G. Monge); sunt descoperite funcţiile automorfe de matematicianul francez Henri Poincare(1854-1912); 1785- a fost dată ecuaţia planului tangent(G. Monge); 1796- este dată „Teorema lui Fourier” de determinare a numărului r ădăcinilor reale cuprinse într-un interval, de către Joseph Fourier(1768-183); 1797- este dată formula creşterilor finite, cunoscută sub denumirea de „teorema lui Lagrange”;
112
1798- au fost considerate cosinusurile directoare ale unei drepte(G. Monge); este introdus simbolul [.], pentru partea întreagă de către Arien Marie Legendre (1752-1833); 1807-, 1822 sunt date seriile Fourier care au contribuit la crearea teoriei analitice a căldurii. 1812- este introdusă seria hipergeometrică de către Carl Friedrich Gauss(1777-1855) matematician german, cel care a demonstrat teorema fundamentală a algebrei; 1816-1835- Augustin Cauchy (1789-1857), fondatorul analizei matematice moderne, a enunţat criteriul de convergenţă al seriilor, criteriu care-i poartă numele, a dat primele teoreme de existenţă din teoria ecuaţiilor diferenţiale şi al ecuaţiilor cu derivate par ţiale, a introdus noţiunile de afix, modul al unui număr complex, numere conjugate, transpoziţie; 1820- introducerea noţiunii de raport anarmonic de către Chasles Michel(1793-1880), fondatorul geometriei proiective alături de matematicianul francez Jean Poncelet; 1822 introducerea funcţiilor Bessel de către Friedrich Bessel; este introdusă notaţia pentru integrala definită b
∫ f ( x)dx , de către Fourier.; a
este propusă denumirea de reprezentare conformă de către Gauss; cercul lui Euler sau cercul celor nouă puncte este considerat pentru prima dată de către Charles Brianchon , Jean Poncelet şi Karl Feuerbach, atribuinduse din greşeală numele lui Euler acestei teoreme;
113
1823-1831- începutul creării primei geometrii neeuclidiene de către Janoş Bolyai(1802-1860) concomitent şi independent de cea a lui Lobacevski. 1824este dată denumirea de geometrie neeuclidiană de către Gauss; demonstrează Niels Abel(1802-1829) imposibilitatea rezolvării cu ajutorul radicalilor, a ecuaţiilor algebrice de grad mai mare decât patru; 1825- Abel introduce integralele ce-i poartă numele; 1827- este creată teoria funcţiilor eliptice de către Abel; 1828 sunt introduse formele fundamentale ale suprafeţelor şi curburii totală a unei suprafeţe(curbura Gauss) de către Gauss; demonstrarea teoremei lui Fermat pentru n=5 de către matematicianul german Dirichlet (1805-1859); 1830- este propusă denumirea de grup cu înţelesul actual de către matematicianul francez Evariste Galois(1811-1832); 1831- definitivarea calculului cu numere complexe de către Gauss ; 1834- introducerea noţiunii de factor de discontinuitate, referitor la integralele 1837- introducerea notaţiilor pentru limite laterale de către Dirichlet şi a funcţiei care îi poartă numele, funcţia Dirichlet; W. Hamilton introduce termenul de asociativitate a unei legi de compoziţie; 1839introducerea noţiunii de integrale multiple(Dirichlet); 1840- este dată o formă a eliminantului a două ecuaţii algebrice de către James Sylvester(1814-1897), matematician englez; descoperirea invarianţilor de către 1841matematicianul irlandez George Bole (1815-1864);
114
introducerea noţiunilor de margine inferioar ă şi superioar ă ale unei funcţii, de convergenţă uniformă de către Weierstrass(1815-1897); 1843- descoperirea cuaternionilor de către William Hamilton (1805-1865); 1845- „Teorema limită centrală” este dată de matematicianul rus Pafnuti Cebâşev; 1846- Legea numerelor mari – Cebâşev; introducerea variabilei complexe în teoria numerelor imaginare de către D’Alembert; 1847 este introdus calculul logic de George Boole, creatorul algebrei booleene; este introdusă noţiunea de ideal de către Ernest Kummel(1810-1893); 1851- sunt introduse noţiunile de rang şi signatur ă a unei forme pătratice şi sunt propuse noţiunile de matrice şi jacobian(J. Sylvester); introducerea sufrafeţelor riemann de către matematicianul german Bernhard Riemann(1826-1866), lui datorându-se studiul integralei definite. 1852- introducerea segmentelor orientate B de către Chasles Michael(1793-188) care a formulat şi proprietăţile axei radicale a două cercuri precum şi a conicelor şi cuadricelor. 1853- Kronecker(1823-1891) introduce notaţia a ij = det( aij ) ; 1854- este introdusă noţiunea de oscilaţie într-un punct de către Riemann care creează o nouă geometrie neeuclidiană, numită geometria sferică; 1858- crearea calculului matriceal de către Arthur Cayley(1821-1895) matematician englez ; 1871 Dedekind introduce noţiunile de corp şi modul ceeace în limbajul actual exprimă noţiunile de subcorp şi Z-submodul ale lui C. Tot el introduce mulţimea întregilor unui corp de numere algebrice, definind şi
115
idealele acestei mulţimi şi demonstrează teorema fundamentală de descompunere unică a oricărui ideal în produs de ideale prime; 1872introducerea structurilor de subinel şi modul de către Dirichlet; introducerea numerelor raţionale prin tăîeturi de către Dedekind; 1873- Charles Hermite(1822-1901) demonstrează 1 transcendenţa numărului e= lim(1 + ) n = 2,718281.... n →∞
n
1874- este dată denumirea de subgrup de către Sophus Lie(1842-1899); 1874-1897- crearea teoriei mulţimilor de către Georg Cantor(1845-1918). El a introdus noţiunile de mulţime deschisă, mulţime închisă, mulţime densă, mulţime bine ordonată, mulţime numărabilă, punct de acumulare, punct izolat, produs cartezian, reuniune, intersec ţie. 1878- rezolvarea problemei celor patru culori pentru colorarea hăr ţilor de către Cayley; 1880-sunt descoperite funcţiile automorfe de matematicianul francez Henri Poincare(1854-1912); a 1882Ferdinand Lindemann(1852-1939) demonstrat trascendenţa numărului π =3,141592......; (un număr se numeşte transcedent dacă nu este soluţia niciunei ecuaţii algebrice cu coeficienţi raţionali); tot el demonstrează imposibilitatea cvadraturii cercului cu rigla şi compasul; 1893- H. Weber, asociază conceptului de corp, sensul de astăzi, ca o structur ă cu o lege de grup aditiv şi o înmulţire asociativă, distributivă şi în care orice element e inversabil; 1897- introducerea denumirii de inel de către Hilbert(1862-1943); 1899 -axiomatizarea geometriei de către David Hilbert;
116
1900- introducerea axiomatică a numerelor întregi(D.Hilbert); 1905- este introdusă noţiunea de distanţă între două mulţimi închise de către matematicianul român Dimitrie Pompeiu(1873-1954); 1910- este introdusă denumirea de funcţională de către Jacques Hadamard (1865-1963), unul din fondatorii analizei funcţionale; 1912 -este descoperită noţiunea de derivată areolar ă(Pompeiu) 1927-s-a stabilit formula Onicescu referitoare la geodezice dată de Octav Onicescu(1892-1983); 1928 -este introdusă funcţia areolar-conjugată de către matematicianul român Miron Nicolescu(1903-1975); 1933 -introducerea funcţiilor convexe de ordin superior de către Tiberiu Popoviciu(1906-1975); 1936 -Matematicianul român Gheorghe Mihoc(19061981) dă o metodă cunoscută sub numele de metoda Schulz-Mihoc, de determinare a legilor limită ale unui lanţ Markov; 1941 -teorema lui Moisil referitoare la geodezicele unui spaţiu riemannian este introdusă de Grigore Moisil(1906-1973); 1944 -este introdusă în domeniul algebrei moderne noţiunea de signatur ă de către matematicianul român Dan Barbilian(1895-1961); 1950 -este introdusă noţiunea de Δ - derivată de către Dan Barbilian; 1996 -celebra conjectur ă a lui Fermat este demonstrată de către Andrew Wiles de la institutul Isaac Newton din Cambridge. 2000 -este determinat cel mai mare număr prim 269725931, având două milioane de cifre, obţinut cu ajutorul a 20 de mii de calculatoare puse în reţea;
117
BIBLIOGRAFIE.
1: N. Mihăileanu- Istoria matematicii,vol.1,vol2.,Editura Ştiinţifică şi enciclopedică; Bucureşti,1974/ 1981; 2: Vasile Bobancu- Caleidoscop matematic, Editura Niculesu; 3. Neculai Stanciu, 100 de probleme rezolvate. Editura Rafet; 4. Mică enciclopedie matematică, Editura Tehnică, Bucureşti
118
Cuprins Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie.............5 Sinteze matematice Mulţimea numerelor reale...........................................37 Inegalităţi....................................................................42 Mulţimi. Operaţii cu mulţimi..................................... 45 Progresii......................................................................47 Funcţii.........................................................................50 Numere complexe.......................................................56 Funcţia exponenţială şi logaritmică............................59 Binomul lui Newton....................................................63 Vectori şi operaţii cu vectori..................................... .65 Funcţii trigonometrice.................................................69 Formule trigonometrice...............................................72 Ecuaţiile dreptei în plan..............................................75 Conice..........................................................................77 Algebr ă liniar ă..............................................................82 Şiruri de numere reale..................................................88 Limite de şiruri.............................................................93 Funcţii continue...........................................................98 Derivate.......................................................................101 Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor.....................103 Primitive......................................................................109 Probleme propuse şi rezolvate....................................117 Probleme.sinteze.........................................................128 Istoricul noţiunilor matematice...................................143
119
