Cuaderno de Apuntes Estadisticas

Cuaderno de Aprendizaje – 2012

CUADERNO DE APRENDIZAJE

ESTADÍSTICA

Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Estimado Estudiante de AIEP, en este Cuaderno de Aprendizaje, junto a cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán el aprendizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves entregadas a modo de síntesis te orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser.

Mucho Éxito.-

Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP



UNIDAD 1: 1: Presentación de datos. APRENDIZAJ APRENDIZA J E ESPERADO: 1. Identifican y operan con los conceptos básicos de la Estadística descriptiva. Criterio 1.1. Identifica y caracteriza fenómenos determinísticos y no determinísticos. Ejercic Ejercic io 1 EJEMPLOS DE FENÓMENOS DETERMINÍSTICOS a) Si lanzamos una moneda, saldrá una cara o un sello. b) Si lanzamos un dado de 6 caras, con seguridad saldrá un número entre 1 y 6. c) Cinco más siete serán doce. Ejercic Ejercic io 2 EJEMPLOS DE FENÓMENOS NO DETERMINÍSTICOS a) Mi bus pasará dentro de 5 minutos. b) El próximo número de la Lotería terminará en 3. 3. c) Mañana lloverá intensamente. Ejercic Ejercic io 3 DADOS LOS FENÓMENOS SIGUIENTES, INDICA CON UNA D SI ES DETERMINÍSTICO DETERMINÍSTI CO Y CON UNA ND SI NO ES DETERMINÍSTICO: a) b) c) d) e) f)

____ La suma de 8 más 2 es 10. ____ al apostar 3 fichas en la ruleta ganaré $ 150.000. ____mañana el clima en Chiloé estará soleado. ____al sacar 4 cartas desde un naipe obtendré 4 ases. ____ si lanzo una piedra hacia arriba, caerá hacia el suelo. ____mi próximo hijo será un varón.

Solución: a) b) c) d) e) f)

D ND ND ND D ND



Criterio 1.2. 1.2. Identifica el ámbito de acción de la Estadística, sus aplicaciones y método. Ejercic Ejercic io 4 La Estadística tiene su ámbito de acción en todas las actividades humanas, por ejemplo: Psicología Completa el crucigrama con las siguientes actividades humanas. Deportes – Negocios – Medicina – Educación – Psicología – Política – Ciencias – Economía

Ejercic Ejercic io 5 Coloque un 1 si el concepto corresponde a ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA o un 2 si corresponde a ESTADÍSTICA INFERENCIAL A) ____TABLAS B) ____PROBABILIDADES C) ____GRÁFICOS CIRCULARES D) ____MARCA DE CLASE E) ____CURVA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL



Solución:

D

N E G O C I O S

A) B) C) D) E)

1 2 1 1 2

P

O

P O L I T I C A

R M

T E

S

I

E D U C A C I O N

S I

C

I

N

A

O

L

O

G

I

A

I

E C O N O M I A

N

C

I

A

S

TABLAS PROBABILIDADES GRÁFICOS CIRCULARES MARCA DE CLASE CURVA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL



Criterio 1.3. Identifica los conceptos básicos de: población, muestra y variable. Ejercic Ejercic io 6 POBLA POBLACI CI N Las edades de los estudiantes de AIEP Los sueldos de los trabajadores de CODELCO Los diámetros de los pernos fabricados hoy El color de los automóviles importados desde Alemania

MUESTRA MUES TRA Las edades de 35 estudiantes de AIEP Los sueldos de los trabajadores de EL TENIENTE Los diámetros de 150 pernos fabricados hoy El color de 200 automóviles importados desde Alemania

VARIA VARIABL BLE E La edad de los estudiantes El sueldo de los trabajadores El diámetro de los pernos pernos El color de los automóviles

Criterio 1.4. 1.4. Identifica los distintos tipos de variable: nominal, ordinal, discreta y continua. Ejercic Ejercic io 7 Ubique las variables siguientes en la tabla adjunta: -Diámetro de perno -peso de un bebe -comuna de residencia -tipos de fumadores -número de hermanos -color de automóvil -número de salas de estudio -estado civil

-Grados militares -Cantidad de autos en el estacionamiento estacionamient o -Valor de PI -olor de un perfume -número de sillas en la sala -estatura de un joven -grados eclesiásticos eclesiástic os -nivel de educación

CUANTITATIVA DISCRETA CONTINUA número de Diámetro de perno hermanos número de salas de peso de un bebe estudio Cantidad de autos Estatura de un en el joven estacionamiento Número de sillas Valor de PI en la sala

CUALITATIVA NOMINAL ORDINAL comuna de tipos de residencia fumadores color de automóvil Grados militares estado civil

Nivel de educación

Olor de un perfume

Grados eclesiásticos



Criterio 1.5. Trabaja en forma sistemática en la solución de problemas y casos propios del ámbito. Ejercic Ejercic io 8 Para realizar un examen de tipos de sangre en un consultorio, las alumnas de AIEP seleccionan 25 pacientes mujeres y les realizan dicho examen. Determine: a) b) c) d)

¿Cuál es la población? ¿Cuál es la muestra? ¿Cuál es la variable? ¿Qué tipo de variable es?

Solución: a) b) c) d)

Todas las pacientes del consultorio. Las 25 mujeres seleccionadas. El tipo de sangre. Cualitativa Nominal

Ejercic Ejercic io 9 En una institución educativa se quiere saber sobre las remuneraciones de los egresados de la última década. Para esto se convoca a una reunión de egresados y de los asistentes, se encuesta a diez egresados de cada año. Determina: a) b) c) d)

¿Cuál es la población? ¿Cuál es la muestra? ¿Cuál es la variable? ¿Qué tipo de variable es?

Solución: a) b) c) d)

Los egresados de la última década. Diez egresados de cada año. Las remuneraciones. Cuantitativa Discreta.



APRENDIZAJE APRENDIZA JE ESPERADO E SPERADO 2. Organizan datos cualitativos en tablas, graficando e interpretando la información según contexto. c ontexto. Ejercicio 10 En una encuesta de un curso de AIEP se consultó sobre la comuna de procedencia de los alumnos y alumnas, encontrándose las siguientes respuestas: Recoleta 3 personas, Maipú 5 personas, Santiago 14 personas, Puente Alto 9 personas, Ñuñoa 10 personas, Providencia 7 personas. Con estos datos, construya una tabla para datos cualitativos. Determine los porcentajes de cada variable y dibuje un gráfico circular. Solución: Comuna Recoleta Maipú Santiago Puente Alto Ñuñoa Providencia Total

Número de grados =

ni

ni

hi

3 5 14 9 10 7 n=48

3/48=0,0625 5/48=0,104166 14/48=0,29166 9/48=0,1875 10/48=0,20833 7/48=0,145833 0,9999 ≈1

% 6,25 10,4166 29,166 18,75 20,833 14,5833 99,99≈100%

ngulo 22,5° 37,5° 105° 67,5° 75° 52,5° 360°

360



n

Recoleta Providencia

Mai ú

Recoleta Maipú

Ñuñoa

Santiago

Santiago

Puente Alto Ñuñoa

Puente Alto

Providencia

Según los datos tabulados y graficados, se puede afirmar que en este curso la mayor cantidad de alumnos y alumnas proviene de la comuna de Santiago, con un 29,6%, y en segundo lugar la comuna de Ñuñoa con un 20,83%. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 11 En una empresa, el departamento de Recursos Humanos ha registrado el estado civil de sus trabajadores, como sigue: Casados 26 personas, Solteros 38 personas, Divorciados 4 personas, Viudos 6 personas. Con estos datos, construya una tabla para datos cualitativos. Determine los porcentajes de cada variable y dibuje un gráfico de barras. Solución : Estado Civil Casados Solteros Divorciados Viudos Total

ni 26 38 4 6 n=74

hi 26/74=0,35135 38/74=0,51351 4/74=0,054 6/74=0,081 0,999 ≈1

% 35,135 51,351 5,4 8,1 99,9≈100

ngulo 126,48° 184,86° 19,45° 29,18 360°

El gráfico de barras:

Si fuera un pictograma, sería así: 40 30 20 10 0

Casados

Solteros

Divorciados

Viudos



APRENDIZAJE APRENDIZA JE ESPERADO E SPERADO 3. Organizan datos discretos en tablas, graficando e interpretando la información según contexto Ejercicio 12 En un curso de 30 alumnos y alumnas se consultó por el número de hermanos de cada uno, encontrándose los siguientes resultados: 2 3 1 1 1 0 0 4 2 3 3 3 1 1 3 2 4 4 3 5 4 4 5 1 3 2 1 0 2 3 Construya una tabla para datos discretos. Determine la frecuencia absoluta, la frecuencia absoluta acumulada, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada, la frecuencia relativa porcentual y dibuje un gráfico de barras. Solución: Solución : Numero de hermanos xi

ni frecuencia absoluta

0 1 2 3 4 5 Totales

3 7 5 8 5 2 30

Ni Frecuencia absoluta acumulada 3 10 15 23 28 30

hi frecuencia relativa 0,10 0,2323 0,1667 0,2667 0,1667 0,0667

Hi Frecuencia relativa acumulada 0,10 0,3323 0,499 0,7657 0,9324 0,9991

hi% frecuencia relativa porcentual 10 23,23 16,67 26,67 16,67 6,67

≈1

≈100%

El gráfico es:


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Según la información tabulada y graficada, se puede afirmar que lo más común es que los alumnos y alumnas tengan 3 hermanos (26,67%), luego están los que tienen sólo un hermano (23,23%). Ejercicio 13 En un club deportivo se ha medido la estatura de varios jugadores y el resultado ha sido el siguiente: 161-163-161-165-165-163-166-176-165-174-173-174-172-172-170-170-166-166-173166-166-170-173-163-165-165 Con estos datos, construya una tabla para datos discretos. Determine la frecuencia absoluta, la frecuencia absoluta acumulada, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada, la frecuencia relativa porcentual. Dibuje un gráfico de líneas o segmentos y uno de tallo y hojas. Solución: Solución : Estatura (cm) Xi


161 163 165 166 170 172 173 174 176 Totales

2 3 5 5 3 2 3 2 1 26

Ni Frecuencia absoluta acumulada 2 5 10 15 18 20 23 25 26

hi frecuencia relativa 0,0769 0, 0769 0,1153 0,1923 0,1923 0,1153 0,0769 0,1153 0,0769 0,0384

Hi Frecuencia relativa acumulada 0,0769 0,1922 0,3845 0,5768 0,6921 0,769 0,8843 0,9612 0,9996

hi% frecuencia relativa porcentual 7,69 11,53 19,23 19,23 11,53 7,69 11,53 7,69 3,84

≈1

≈100



El gráfico es:

Y el Diagrama de tallo y hojas 16 1-1-3-3-3-5-5-5-5-5-6-6-6-6-6 17 0-0-0-2-2-3-3-3-4-4-6 Según los datos tabulados, los deportistas que miden 165 y 166 cm, son la mayoría en este grupo de individuos (19,23%).



APRENDIZAJ APRENDIZA J E ESPERADO 4. Organizan datos continuos en tablas, graficando e interpretando la información según contexto Ejercicio 14 Un curso de enseñanza básica ha obtenido las siguientes notas en una prueba. 6,5 5,3 4,9 6,8 7

6,7 5,7 5,6 5,3 4,5

3,9 4,5 4,4 6,2 7

7 4,8 5,3 5,7 3,1

2,7 2,6 5,3 4,7 4,8

2,5 2,7 3 3,1 4,9

Construya una tabla para datos continuos, luego grafique un histograma. Solución: Solución : Notas

2,1-3,0 3,1-4,0 4,1-5,0 5,1-6,0 6,1-7,0 Totales

ni

Ni Frecuencia frecuencia absoluta absoluta acumulada 5 5 3 8 8 16 7 23 7 30 30

Marca de clase 2,55 3,55 4,55 5,55 6,55

hi Hi hi% frecuencia Frecuencia frecuencia relativa relativa relativa acumulada porcentual 0,1666 0,1666 16,66 0,1 0,2666 10 0,2666 0,5332 26,66 0,2333 0,7665 23,33 0,2333 0,9998 23,33 ≈1

≈100


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 15 El peso de un grupo de niños al nacer, está resumido en la siguiente tabla: 3,35 3,90 3,25 3,45 3,70

3,16 2,40 2,89 3,88 3,48

3,35 2,85 2,90 2,95 3,10

3,18 2,5 2,6 3,87 3,66

3,98 3,00 4,1 3,95 3,77

Construya una tabla para datos continuos. Solución: Solución : peso(kg) Xi


2,40-2,68 2,69-2,97 2,98-3,26 3,27-3,55 3,56-3,84 3,85-4,13 Totales

3 4 5 4 3 6 25

Ni Frecuencia absoluta acumulada 3 7 12 16 19 25

hi frecuencia relativa 0,12 0,16 0,2 0,16 0,12 0,24

Hi Frecuencia relativa acumulada 0,12 0,28 0,48 0,64 0,76 1

hi% frecuencia relativa porcentual 12 16 20 16 12 24 ≈100



APRENDIZAJE APRENDIZA JE ESPERADO E SPERADO 5. Organizan datos bivariados en tablas de contingencia, interpretando la información según contexto Ejercicio 16 En una oficina se desea comprar una cafetera, para ello consultan a todas las personas si beben café o no. El resumen de esta encuesta, se encuentra en la tabla de datos bivariados siguiente: Toma café

Si

No

Totales

12 6 18

5 8 13

17 14 31

sexo Hombre Mujer Total Con respecto a la tabla: De los que toman café ¿Qué porcentaje son mujeres? Respuesta :

6

100 100 = 33,3% 33,3%



19

Del total de personas ¿Qué porcentaje toma café? Respuesta :

18

100 100 = 58,06% 58,06%



31

De los que no toman café ¿Qué porcentaje son hombres? Respuesta :

5 13

100 100 = 38,46 38,46% %



Ejercicio 17 La práctica de un deporte implica, a veces, lesiones. En la tabla siguiente se resumen lesiones sufridas por 45 deportistas en dos disciplinas, fútbol y basquetbol. lesión

deporte Basquetbol Fútbol Total

Si

No

Total

12 18 30

5 10 15

17 28 45

Con respecto a la tabla: Del total de deportistas,¿Cuántos se han lesionado? Respuesta:

30 45

100 100 = 66,6% 66,6%



De los deportistas que se han lesionado,¿Cuántos son futbolistas? Respuesta:

18 30

100 = 60%





Del total de deportistas, ¿Cuántos practican basquetbol? Respuesta:

17 45

100 100 = 37,7% 37,7%





UNIDAD 2: 2: Estadísticos básicos APRENDIZAJ APRENDIZA J E ESPERADO 6. Calculan e interpretan estadísticos de tendencia central, con ayuda de calculadora. Ejercicio 18 Los buses que pasan por un paradero han demorado los siguientes minutos: 12 – 8 – 10 – 8 – 9 – 11 – 8 – 12 – 15 – 16 – 8 – 10 – 9 – 11 – 8 Cálculo de la Moda para Moda para datos no agrupados: Como la Moda, es el dato con mayor frecuencia, encontramos para estos datos que la Moda es 8 minutos. Cálculo de la Media Aritmética para datos no agrupados. Usando la funcion estadística de la calculadora (Mode SD) ingresamos los datos uno a uno con ayuda de la tecla M+. luego, con la tecla Shift 2 determinamos la Media x = 10,33 Arit Ar it métic mét ica a con la tecla 1 y el signo igual, en este caso Cálculo de la Mediana, para datos no agrupados. Ordenamos los datos de menor a mayor, como sigue: 8 – 8 – 8 – 8 – 8 – 9 – 9 – 10 – 11 – 11 – 12 – 12 – 15 – 16 16 10 – 10 – 11 El valor que queda en el centro de esta distribución, es la Mediana, en este caso, Me= 10 En el caso de que los datos fueran un número par, la mediana será el promedio de las dos cifras centrales de la distribución. Ejemplo: 523 – 527 – 531 – 532 – 535 – 540 – 547 – 550 540 – 543 – 545 – 547 Me= Me=

535 535 + 540 540 2

= 537,5

Ejercicio 19 Los sueldos de un grupo de empleados de un negocio, son (en miles de pesos): 350 – 450 – 225 – 350 – 500 – 400 – 450 – 225 – 350 – 225 – 350 – 550 – 225 – 350 Cálculo de la Moda para Moda para datos no agrupados: Como la Moda es el dato con mayor frecuencia, encontramos para estos datos que la Moda es $ 350.000. En ocasiones, no existe solo una moda, sino que hay dos o mas modas, ejemplo: 2,5 – 3,1 – 3,1 – 3,1 – 4,0 – 4,0 – 4,0 – 4,8 – 5,2 – 5,4 – 5,7 – 5,9 5,9 Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Las modas serian 3,1 y 4,0 (Bimodal)

APRENDIZAJ APRENDIZA J E ESPERADO 7. Calculan media aritmética y media ponderada, con ayuda de calculadora Ejercicio 20 Calcule la edad media para los datos agrupados en la siguiente tabla, que representa la edad de un grupo de trabajadores de una empresa: Edad (años) Xi

Frecuencia absoluta ni 5 8 12 7 6 38

20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 Totales La media sera:

x

=

1240 38

Marca de Clase MC 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5

ni*MC 112,5 220 390 262,5 255 1240

= 32,63

La edad promedio, para este grupo de trabajadores es de 32,63 años (32 años, 7 meses, 17 dias) Ejercicio 21 Los datos siguientes, corresponden al gasto mensual en combustible destinado a calefacción expresado en miles de pesos, de una muestra aleatoria de hogares de un sector de la ciudad, en los meses de Invierno. Calcule el gasto promedio. Gasto ($miles) Xi 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 Totales La media sera:

x

=

Frecuencia absoluta ni 17 26 14 9 11 77 735 77

Marca de Clase MC 5 7 9 11 13

ni*MC 85 182 126 99 143 735

= 9,545

El gasto promedio mensual de los hogares, para estos datos agrupados, es de $ 9.545. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Ejercicio 22 En AIEP una alumna tiene las siguientes notas: 4,8 – 5,6 – 4,2 – 6,2. Para calcular su promedio, debe sumar sus notas y dividirlas por el total de ellas: x

=

4, 8 + 5, 6 + 4, 2 + 6, 2 4

= 5,2 5, 2

Pero, estas notas vienen ponderadas por coeficientes expresados en porcentajes, así, la primera nota vale 20%, la segunda 35%, la tercera 15% y la ultima 30%. Entonces, su nuevo promedio es: x

=

4,8 20 + 5,6 35 + 4,2 15 + 6,2 30 





100



= 5,41

Este promedio se denomina “media ponderada” ya que todas las notas no valen lo mismo.



APRENDIZAJ APRENDIZA J E ESPERADO 8. Calculan e interpretan mediana, cuartiles y percentiles, con ayuda de calculadora, calculadora, los inter retan en el contexto de casos reales. Ejercicio 23 De la siguiente tabla (del gasto mensual en combustible), determine la Mediana para datos agrupados en intervalos. Gasto ($miles) Xi 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 Totales


Marca de Clase MC 5 7 9 11 13

Frecuencia acumulada Ni 17 43 57 66 77

Solución : Primero, determinamos el intervalo que tiene la Mediana, dividiendo el total de la frecuencia absoluta n i por 2 Nk =

77 2

= 38,5 buscamos este valor en la columna de la frecuencia acumulada, está

dentro del intervalo 6-8 porque 38,5 esta “dentro” de 43.

Usaremos la siguiente fórmula para calcular la mediana: n

Me = Li + C

2

− N k −1 nk

Donde Li= Limite inferior de la clase mediana C = amplitud del intervalo de la clase mediana Nk-1 = frecuencia acumulada anterior a la del intervalo mediano. nk= frecuencia de la clase mediana. 38,5 38,5 − 17  Me = 6+2   = 7,65



26



La Mediana para estos datos agrupados es 7,65. Esto significa que el 50% del gasto en combustibles esta bajo los $7.650 y el otro 50% está sobre los $7.650.



Ejercicio 24 Cálculo de percentiles Los percentiles son valores típicos que dividen a un conjunto de datos numéricos en cien partes iguales. Por ejemplo, el percentil 45 indica que el 45% de los datos están bajo este número y el 55% están sobre este número. Calcule el percentil 35 de la tabla siguiente, la cual muestra las horas de trabajo transcurridas hasta que un trabajador sufre un accidente de trabajo. Tiempo (horas) xi 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 Totales



Para identificar el intervalo que contiene al percentil buscado, en este caso, el percentil 35, se utiliza la formula Pi ∗ n 100 35 ∗ 27 100

= 9,45

El intervalo que contiene a 9,45 en la columna de la frecuencia acumulada es 2-4. Luego, aplicamos la fórmula para calcular percentiles: 45 − 6   9, 45 P35 = 2 + 2    17 − 6  P35= 2,62 

Esto significa que el 35% de los accidentes ocurren bajo las 2,62 horas. Cuartiles Los cuartiles dividen la distribución de datos numéricos en 4 partes, por lo tanto, el primer cuartil es igual al percentil 25, el segundo cuartil es igual al percentil 50 y el tercer cuartil es igual al percentil 75.



Ejercicio 25 Determine el tercer cuartil de los datos de la siguiente tabla correspondientes a la recaudación de impuestos de 40 contribuyentes: Impuestos (en miles de $) 50-70 70-90 90-110 110-130 130 Totales



El tercer cuartil es igual al percentil 75, así que calculamos este valor: 75 40 

100

= 30

Este valor está en el intervalo 110-130 Calculamos el percentil 75 usando la formula percentil  30 − 25  P = 110 + 20 *   = 118,33  37 − 25  Esto indica que el 75% de los contribuyentes paga a lo menos $118.333 en impuestos Diagrama de cajas Es una representación de una distribución de datos para mostrar sus características más importantes. Se calculan los tres cuartiles, se ordenan los datos identificando el valor mínimo y el valor máximo obteniéndose el recorrido.


Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 26 La tabla muestra los años de experiencia de un grupo de trabajadores. Construya un diagrama de cajas. Solución : Calculamos los tres cuartiles desde la tabla. Experiencia (años)


0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 Totales 25 84 

100


= 21

 21−12   = 3, 72  49 − 12 

Q1 = P25 = 3 + 3  

50 84 

100

= 42

 41 − 12   = 5, 43  49 − 12 

Q2 = P50 = 3 + 3  

75 84 

100

= 63

 63 − 49   = 7, 9  71 − 49 

Q3 = P75 = 6 + 3  

Q1

Q2 Q3

_______________ ________ ______________ ______________ ______________ ________________ ___________ 0

2 Tamaño muestra 84

4

6

8

Mediana

Cuartiles

5,43

Q 1=3,72 Q2=5,43 Q3=7,9

10

12 Valor minimo 0

14

15

Valor maximo 15

Rango 15



El diagrama nos indica que Q 1=3,72 por lo tanto, el 25% de las personas tiene una experiencia de 3,72 años; Q 2=5,43 indica que el 50% de los trabajadores tiene al menos 5,43 años de experiencia y Q 3=7,9 señala que el 75% tiene menos de 7,9 años de experiencia. APRENDIZAJ APRENDIZA J E ESPERADO 9. Calculan los estadígrafos estadígrafos de dispersión: Rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación, con uso de la función estadística de la calculadora.

Ejercicio 27 En la tabla siguiente, se resumen los ingresos mensuales de un grupo de trabajadores de una empresa( en miles de pesos). Calcule la Varianza. frecuencia absoluta ni 5 12 8 2 27

Ingresos 500-600 600-700 700-800 800-900 Totales Media=

18250 27

marca de clase MC 550 650 750 850

MC*ni

(MC-x)2

(MC-x)2*ni

2750 15855,8464 79279,232 7800 671,8464 8062,1568 6000 5487,8464 43902,7712 1700 30303,8464 60607,6928 18250 52319,3856 191851,853

= 675,92

Varianza=191851,853/27 Varianza=7105,62

En este caso, la varianza es: V= 7105,62 Ejericio 28 Desviacion estandar

Su fórmula es σ= V siendo V la Varianza. Para este ejercicio, la desviación estandar es: σ= 7105,62 =84,29 σ=84,29



Ejercicio 29 Coeficiente de variación

su fórmula es: CV=

σ

x

En este ejercicio, el Coeficiente de Variación es: CV= 84,29 = 0,124 675,92

El Rango, en este ejercicio, es: R=900-500 = 400 Ejercicio 30 Datos no agrupados

Se encuestó a 20 familias sobre un producto en lata consultándoles ¿cuántas unidades de este producto consume mensualmente su grupo familiar? Las respuestas están en la siguiente tabla. Calcule la media aritmética, la Varianza y la Desviación típica. 1 0 2 1

2 3 2 5

2 0 2 3

4 5 1 3

1 4 0 5

Tabulando la información, tenemos: Consumo xi 0 1 2 3 4 5 Totales Media=

frecuencia absoluta ni 3 4 5 3 2 3 20 46/20=2,3

xi*ni 0 4 10 9 8 15 46

(xi-x)2 5,29 1,69 0,09 0,49 2,89 7,29 17,74

Varianza=17,74/20=0,887 Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


La varianza es V= 0,887 Por lo tanto, la desviación estandar es: σ= 0,887

= 0,941

el Coeficiente de Variación es: CV=

0,981 2,3

= 0,426

el Rango, en este caso, será: R=5 – 0 = 5



UNIDAD 3: 3: Informes estadísticos APRENDIZAJ APRENDIZA J E ESPERADO 10. Delinean una investigación estadística de corte descriptivo.

El informe estadístico es una herramienta a través del cual un investigador comunica a la comunidad los resultados de una investigación. Debido a la importancia de este instrumento, para su construcción, la comunidad científica se ajusta a un formato más o menos estándar, cuya estructura general es la siguiente: 1. TÍTULO 2. RESUMEN 3. INTRODUCCIÓN 4. OBJETIVOS 5. MÉTODO 6. RESULTADOS 7. CONCLUSIÓN A continuación se desarrolla uno a uno estos puntos, con ejemplos y links hacia informes de investigación en diversos campos del saber. 1. TÍTULO El título de una investigación debe dar una idea clara de su contenido. Su lenguaje debe ser descriptivo, directo y preciso, evitando la ambigüedad, los juicios de valor y la generalización. Aunque no hay reglas rígidas al respecto, se recomienda una extensión de no no más de 20 – 25 palabras.

Ejemplo: Deficiente: “El almuerzo y los estudiantes” Mejor: “Los hábitos alimenticios del almuerzo en los estudiantes” Mejor aún: “Aspectos cualitativos de los hábitos alimenticios del almuerzo en los estudiantes de educación superior de AIEP en las regiones urbanas” 2. RESUMEN

El resumen de una investigación expresa abreviadamente, en forma precisa y exacta, todo el contexto de una investigación, sus propósitos, objetivos, métodos, resultados y conclusiones. La función que cumple el resumen es orientar al lector acerca de todo el contenido de la investigación. De este modo, a través de la lectura de los aspectos claves de ésta, el lector puede decidir si leer todo el informe o no.



La extensión recomendada del resumen de una investigación es de unas 250 palabras, lo que equivale, más o menos, a unas 20 líneas. Como el resumen sintetiza toda la investigación, se redacta al final de todo el proceso investigativo. investigativo. Ejemplo: Ejemplo: “Caracterización del tipo de almuerzo que consumen estudiantes de educación sup erior de AIEP AIEP en las regiones urbanas.” Resumen: Evaluaciones previas sobre una población de estudiantes demostraron que un porcentaje importante de estudiantes de educación superior de AIEP no consumen una alimentación caracterizada como sana, observándose tasas en el aumento de peso, corroborando conclusiones del MINSAL y las señaladas en la literatura. Con el objetivo de conocer mejor el comportamiento de los hábitos alimenticios de los estudiantes en sus almuerzos, se encuesto a 8 cursos de distintas sedes de las regiones urbanas, ubicadas en la ciudad de Santiago. La población se obtuvo en 4 sedes de Aiep, iniciándose su estudio en Agosto del 2012, durante este período se les encuestó con formularios elaborados por estudiantes de Estadística; se realizaron 246 encuestas anónimas. Se encontró que el 56% almuerza de manera sana, un 23% consume comida chatarra y el resto no almuerza.

Se advierte en este resumen de investigación, lo siguiente: • Está redactado en un lenguaje descriptivo, directo y preciso. • Es breve, conteniendo 11 renglones. • Resume el objetivo y método empleado. • Resume los resultados más relevantes de la investigación. investigación. • Menciona las conclusiones del estudio. • Solo con leerlo, es posible ubicar el contenido toda la investigación. 3. INTRODUCCIÓN

Corresponde a la presentación de la naturaleza y alcance del problema de investigación y del propósito que se persigue. Se plantea y fundamenta el problema a investigar. La importancia de la Introducción en un informe de investigación es que contextualiza, sitúa al lector, lo ubica en el contexto de lo que se va a investigar. En la función f unción orientadora orientadora de la Introducción, Introducción, esta sección aporta información información de lo que se sabe acerca del tema investigado, de la teoría que lo sustenta y de datos relevantes que han aportados distintos autores e investigaciones. A este conjunto de aspectos, en el ámbito académico y de la investigación suele denominarse denominarse “estado del arte”. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


En resumen, una introducción debe expresar con claridad, al menos lo siguiente: • Fundamento: por qué se investiga el tema, por qué es importante de investigar ese tema, qué espera aportar la investigación acerca del tema. • Propósito: para qué se investiga, qué se hará con los resultados de la investigación. • Objetivos: qué se investigará dentro del tema propuesto. • Antecedentes: qué es y qué se sabe actualmente del tema a investigar (estado del arte). Ejemplo: Ver informe de investigación: investigación: “Informe estadístico de Aduanas Chilenas, Agosto 2012. Ver en: http://www.aduana.cl/prontus_aduana/site/artic/20070228/pags/20070228174902. html 4. OBJETIVO OBJ ETIVOS S

Los objetivos responden a la pregunta: ¿Qué se va a investigar? Es, por lo tanto, el enunciado de los aspectos concretos a investigar dentro del tema ya planteado en el título. De ahí su importancia. importancia. Una investigación, por simple que sea, debe plantear un objetivo general, seguido de dos o más objetivos específicos. Estos últimos corresponden a los aspectos específicos a investigar dentro del tema. Entre el objetivo general y los específicos debe existir una estrecha relación, ya que estos últimos se derivan del primero. Ejemplo: Ejemplo: Tema: Estudio sobre determinados hábitos alimenticios de una población de estudiantes de educación superior. Objetivo general: Describir los hábitos alimenticios de una población de estudiantes de educación superior. Objetivos Objetivos específicos: específicos: 1. Determinar qué tipo de alimentación consumen los estudiantes de educación superior 2. Cuantificar el tipo de alimentos que consumen y su calidad alimenticia 3. Investigar los horarios en que los estudiantes de educación superior consumen sus alimentos. 4. Investigar los mecanismos que el estado tiene para apoyar la alimentación de los estudiantes de educación superior a través de becas de alimentación.



5. MÉTODO

El método corresponde a la descripción, en tiempo pasado, de cómo se realizó la investigación. Relata, entre otros, quienes fueron los sujetos investigados, cómo se seleccionaron, cómo se entrevistaron o se les aplicó el cuestionario, cómo se recopilaron los datos y cómo c ómo se manipularon. En general, el método responde a la pregunta: ¿cómo se realizó la investigación? Ejemplo: Ver informe de investigación: investigación: “Estudio sobre determinados hábitos alimenticios de una población población de estudiantes”. Ver en: http://www.efdeportes.com/efd84/aliment.htm 6. RESULTADOS

Es la presentación clara y sintética de los datos recolectados. Los resultados se muestran mediante: tablas, gráficos, dibujos, esquemas, etc., con títulos claros y breves, acompañados en cada caso por una descripción analítica. Junto con la presentación de datos, en esta sección se presentan los estadígrafos de las variables en estudio, tales como media, mediana, desviación estándar, etc. En esta parte es muy importante el uso de un lenguaje descriptivo preciso, entendible,, que ayude al lector a comprender el contenido de tablas y gráficos. entendible Ejemplo 1 Detalle del informe del trabajo: “ EVALUACIÓN DE IMPACTO PROGRAMAS DE BECAS DE ALIMENTACION PARA EDUCACIÓN SUPERIOR “

Se desprende, que se ha producido un gran aumento del porcentaje de estudiantes de educación superior que están recibiendo el beneficio de una beca de alimentación, principalmente aquellos estudiantes provenientes de los quintiles de menor ingreso. En Chile, en el año 2012 existirá un 50% de estudiantes beneficiados con esta beca. Ver en:” http://www.dipres.gob.cl/572/articles-70699_doc_pdf3.pdf” 7. CONCLUSIÓN

Es el sumario o resumen de los resultados obtenidos, presentando los aportes de la investigación. Se trata de enunciados o afirmaciones concretas y específicas, que relacionan el problema y objetivos planteados con los resultados obtenidos.



Las conclusiones deben apuntar, por tanto, a los objetivos específicos y al objetivo general. Ejemplo “Obesidad en prescolares de la Región Metropolitana de Chile” Conclusiones:

1. En el análisis de corte transversal, los principales resultados mostraron que, en promedio, los prescolares entre 2 y 4 años estaban excedidos de peso. Se observa un incremento significativo en la obesidad entre los 2 y 3 años de edad y prevalencias altas a los 3 y 4 años. Es necesario aclarar que, parte de los niños evaluados en noviembre de cada año ya habían sido medidos en marzo de ese año, dado la naturaleza transversal de esta evaluación. 2. Los números de noviembre son más bajos, debido a la deserción que ocurre dentro de cada año y por la posibilidad de que los niños no estuvieran presentes el día que se efectuaron las mediciones 3. Vale la pena destacar que la prevalencia de obesidad infantil varía en las distintas regiones del país y que estos preescolares son en la región Metropolitana, donde la prevalencia de obesidad corresponde a, aproximadamente, el promedio del país. 4. En algunas zonas, como por ejemplo Punta Arenas, la prevalencia de obesidad es 20% mayor que el promedio nacional. 5. El aumento de peso queda mejor evidenciado en el seguimiento longitudinal de niños y niñas; éstas se mantuvieron en el mismo nivel los dos últimos años. Es necesario señalar que las conclusiones que resultan del análisis de los datos longitudinales, tienen limitaciones. Estas son la deserción y recambio de sujetos dentro del programa, al igual que la pérdida que se produjo al considerar sólo a los niños que contaban con las 6 mediciones, lo que derivó que la muestra inicial de 5.824 niños en marzo de 2002 se redujera a un tercio. Los resultados mostraron que los niños mayores de 3 años presentan un mayor peso que lo esperado para la edad, siendo especialmente notorio este aumento en las niñas. Este fenómeno sugiere que la edad del rebote adiposo (es decir la edad en que se observa el ascenso del IMC, luego de haber descendido en forma continua después de los 2 años), ha ocurrido tempranamente. Lo esperado normalmente es que ocurra entre los 4 y 6 años, sin embargo, estos datos sugieren que un grupo importante de niños, en especial niñas, tiene su rebote adiposo alrededor de los 3 años. Ver informe completo en: http://www.scielo.cl/pdf/rmc/v13 http://www.sciel o.cl/pdf/rmc/v135n1/art09 5n1/art09.pdf .pdf Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.


Sitios WEB:

Biblioteca científica - SciELO Chile: biblioteca electrónica que incluye una colección seleccionada de revistas científicas chilenas. http://www.scielo.cl/ Biblioteca Digital SID: Incluye los informes de avance o finales de los proyectos de investigación de la Secyt-UNCuyo, o avalados por la Secretaría de Investigación de alguna unidad académica. http://bdigital.uncu.edu.ar/



APRENDIZAJE APRENDIZA JE ESPERADO ES PERADO 11. Organizan y presentan datos según plan de investigación.

Recolectar datos: datos : Implica elaborar un plan detallado de procedimientos que nos conduzcan a reunir datos con un propósito específico. Este plan incluye determinar: ¿Cuáles Cuáles son las fuentes de donde vamos a ob tener tener los datos ? Es decir, los datos van a ser proporcionados por personas, se producirán de observaciones o se encuentran en documentos, archivos, bases de datos etc. Por ejemplo: La información se obtendrá de supermercados ¿En dónd e se loc alizan alizan tales fuentes ? Regularmente en la muestra seleccionada, pero es importante definir con precisión. Por ejemplo: en la ciudad de Santiago, Concepción, Rancagua, etc. ¿ A tr t r avés de q ué m edio edi o o méto mé todo do vamos vam os a reco re co lec tar dato da toss ? Esta fase implica elegir uno o varios medios y definir los procedimientos que utilizaremos en la recolección de los datos. El método o métodos deben ser confiables, válidos y objetivos. Por ejemplo: Para la recolección de datos, se utilizarán entrevistas, utilizando un cuestionario ¿Una vez recolectados los datos, de qué forma vamos a prepararlos para que puedan analizarse y respondamos al planteamiento del problema? Ejemplo: Los datos serán ordenados en tablas de distribución de frecuencias. Recordemos que una distribución de frecuencias es un conjunto de puntuaciones ordenadas en sus respectivas categorías, a veces las categorías de las distribuciones de frecuencias son tantas que es necesario resumirlas, utilizando intervalos. Las distribuciones de frecuencias pueden completarse agregando los porcentajes de casos en cada categoría y los porcentajes acumulados. Las distribuciones de frecuencias, especialmente cuando utilizamos los porcentajes, pueden presentarse presentarse en forma de histogramas, gráficas gráficas circulares o de otro tipo.



Una vez que los datos han sido ordenados en tablas de distribución de frecuencias y graficados, se procede a su análisis. Calcule los estadígrafos de posición y dispersión, estudiados anteriormente, recuerde que las medidas de posición y de variabilidad se interpretan en conjunto, no aisladamente. Analice e interprete la información, con ayuda de gráficos, estadígrafos de posición y dispersión Parte de este paso final se utiliza en el resumen que antecede al informe, pero aquí el estudiante explica el cómo y el porqué de las conclusiones. Si hay un buen número de pruebas o procedimientos en el trabajo quizá sea conveniente combinar: Resultados, Análisis y Conclusiones. Esto permitiría una mejor continuidad en la lectura.



APRENDIZAJE APRENDIZA JE ESPERADO ES PERADO 12. Elaboran informe estadístico de acuerdo a estructura dada.

Elaboración del informe estadístico, de acuerdo a lo señalado en el aprendizaje 10. La siguiente tabla de frecuencias nos muestra un resumen de los medios de transporte utilizados por un grupo de personas para llegar a su trabajo: Medio de transporte xi Automóvil particular Bus Metro Bicicleta Caminar Total


1. Complete la columna de frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada y frecuencia relativa acumulada Medio de transporte xi Automóvil particular Bus Metro Bicicleta Biciclet a Caminar Total


Frecuencia relativa % 12,195 30,487 42,682 9,756 4,878

Frecuencia absoluta acumulada 10 35 70 78 82

Frecuencia relativa acumulada 12,195 42,682 85,364 95,12 99,998

2. ¿Qué tanto por ciento de los encuestados prefieren viajar en Bus o Metro? Respuesta: ( 25 + 35 ) 82

100 100 = 0,7317 0,7317 100 100 = 73,1 73,17% 7%







Se tomó una muestra en relación al número de minutos de atrasos en una empresa, encontrándose la información siguiente: 3 5 4 5 5

0 6 3 4 5

0 5 5 3 4

5 4 3 2 1

1 3 5 5 6

1 6 5 4 2

3. Construir tabla de distribución de frecuencias. Respuesta:

4.

xi

f i

hi %

Fi

Hi

0

2

6,67

2

6,67

1

3

10

5

16,67

2

2

6,67

7

23,34

3

5

16,66

12

40

4

5

16,66

17

56,66

5

10

33,33

27

89,99

6

3

10

30

100

Totales

30

i) ¿Qué tanto por ciento de los trabajadores no ha llegado atrasado? Respuesta 2 30

100 100 = 6,67% ,67%



ii) ¿Cuántos trabajadores han llegado 5 minutos atrasados? Respuesta: 10 trabajadores (33,33%)



La tabla de distribución de frecuencias adjunta, muestra los puntajes estandarizados de una prueba internacional. Puntajes Frecuencia absoluta n i 100-150

15

150-200

40

200-250

25

250-300

10

300-350

3

Totales

93

5. Graficar mediante Histograma

6. i) ¿Qué tanto por ciento de alumnos tienen 250 puntos o más? Respuesta: 13 93

100 100 = 13,97 13,97% %



ii) ¿Cuántos estudiantes tienen menos de 150 puntos? Respuesta: 15 93

100 100 = 16,12 16,12% %





Una agencia de turismo registra los destinos de vacaciones extrayendo una muestra aleatoria de clientes, según grupo de edad, pudiendo construirse la siguiente tabla de frecuencias, en número de casos: Lugar de vacaciones

Edades (años)

Total

18 a 29

30 a 49

50 a 70

Campo

18

60

32

110

Playa

65

26

12

103

Montaña

31

11

6

48

Extranjero

8

33

24

65

122

130

74

326

Totales

De acuerdo a la tabla. 7. i) Del total de la muestra ¿qué tanto por ciento viaja al extranjero? Respuesta: 65/326 = 0,1993 * 100 = 19,93%

ii) De los que van a la montaña. ¿Qué tanto por ciento tiene menos de 29 años? Respuesta: 31/48 = 0,6458 * 100 = 64,58%

8. En el siguiente caso calcule la media aritmética, la mediana y la moda. En los casos que alguna de estas medidas no sea posible de calcular, explique por qué. Los datos corresponden a la medida de la acidez de una serie de mediciones de aguas lluvias: pH = 3,7 – 3,8 – 3,8 – 4,0 – 4,2 – 4,8 – 5,1 – 5,4 Media Aritmética: 4,35 Mediana: 4,1 Moda: 4 3,8



9. La distribución de estaturas de un grupo de postulantes a Carabineros (En centímetros) viene dada por: Estaturas (cm)

Frecuencia absoluta ni

Ni

160-165

4

4

165-170

6

10

170-175

9

19

175-180

6

25

180-185

7

32

185-190

4

36

190-195

4

40

Totales

40

¿Bajo qué estatura están el 42% de las estaturas menores? Respuesta: El 42% de las estaturas menores está bajo 173 cm



10. La tabla de distribución de frecuencias adjunta, muestra las precipitaciones caídas en varias comunas c omunas de Santiago. Litros por m 2

Frecuencia absoluta n i

10-20

5

20-30

3

30-40

4

40-50

2

50-60

3

60-70

1

Totales

18

i) La Varianza de las precipitaciones es Respuesta: V (x) = 254,32 ii) La desviación típica de las precipitaciones es Respuesta: s(x)= 15,94 iii) El coeficiente de variación de las precipitaciones es Respuesta: Cv(x)= 47,05%



11. Establezca, con base estadística, en cuál de los siguientes grupos de animales el peso está repartido en forma más homogénea: Elefantes

Ratones

Peso (kg)

Numero de elefantes

Peso (gr)

Numero de ratones

7350

2

30

8

7550

3

33

2

7850

5

34

1

8000

6

36

9

8200

5

40

7

El coeficiente de Variacion para los Elefantes es de: CV(x)=

266,43

100 100 = 3,37% ,37%



7885,71

El coeficiente de variacion para los ratones es de: CV(x) =

3,81 34,96

100 100 = 10,89 10,89% %



Respuesta: El peso está repartido en forma más homogénea en los Elefantes.


Cuaderno de Apuntes Estadisticas

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