Cuaderno de Apuntes Matemática aiep

Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009

I. IDENTIFICACIÓN NOMBRE DEL MÓDULO:

MATEMÁTICA

UNIDAD DE COMPETENCIA:

Al finalizar el módulo los participantes serán capaces de: Resolver problemas matemáticos básicos relacionados con el mundo de la economía, los negocios, la tecnología y otros fenómenos socioeconómicos, utilizando eficazmente calculadora científica. 90 horas pedagógicas.

DURACIÓN:

II. DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITO ÁREA DE FORMACIÓN: UBICACIÓN EN LA MALLA: PRERREQUISITO:

General Diferenciada Primer semestre No tiene

III. UNIDADES DE APRENDIZAJE PRIMERA UNIDAD: DURACIÓN:

Nivelación 20 horas pedagógicas

APRENDIZAJES ESPERADOS: - Reconocen y nominan los conjuntos numéricos, desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos. - Utilizan propiedades y reglas de los números Reales para resolver las cuatro operaciones básicas, con ayuda de calculadora científica. - Resuelven problemas sencillos, relacionados con la especialidad y el mundo cotidiano, utilizando calculadora científica, propiedades y reglas de los Números Reales - Transforman números decimales a fracción común y viceversa - Realizan operaciones combinadas de números decimales y fracciones, con ayuda de calculadora - Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad. SEGUNDA UNIDAD: DURACIÓN:

Álgebra en los Reales 35 horas pedagógicas

APRENDIZAJES ESPERADOS: - Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas - Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando el concepto y las propiedades de las razones - Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas - Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental de las proporciones - Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando el concepto y las propiedades de las proporciones. - Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones algebraicamente. - Aplican el concepto de Variación Proporcional Directa e Inversa en la resolución de problemas relacionados con la especialidad - Grafican variables relacionadas con la proporcionalidad directa e inversa en el contexto de la especialidad - Interpretan gráficos de variaciones proporcionales directas e inversas y no proporcionales, relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos etc. - Resuelven problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad - Resuelven problemas de tanto por ciento, descuentos y recargos, relacionados con la especialidad - Resuelven ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral. - Resuelven ecuaciones de segundo grado orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral - Resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Resuelven ecuaciones exponenciales, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano Resuelven ecuaciones logarítmicas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral Exploran sistemáticamente, diversas alternativas y estrategias para la resolución de problemas relacionados con la especialidad Resuelven problemas relacionados con la especialidad, seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo error, y analizando la pertinencia de los datos y soluciones.

TERCERA UNIDAD: DURACIÓN:

Geometría Plana y Trigonometría 35 horas pedagógicas

APRENDIZAJES ESPERADOS: - Expresan medidas de ángulos en sistemas sexagesimal, centesimal y radianes - Determinan valores de ángulos aplicando teoremas de planimetría - Calculan longitudes en distintas figuras y unidades, aplicando teorema de Thales. - Calculan longitudes en distintas figuras y unidades, aplicando el teorema de Pitágoras. - Calculan longitudes en distintas figuras y unidades, aplicando teorema de Euclídes - Calculan perímetros en distintas figuras, utilizando distintas unidades. - Calculan áreas de distintas figuras y unidades. - Calculan volúmenes de distintos cuerpos, utilizando distintas unidades. - Identifican y calculan razones trigonométricas en triángulos rectángulos y sus cofunciones - Resuelven triángulos rectángulos aplicando las razones trigonométricas fundamentales y sus cofunciones. - Resuelven problema de aplicación de las razones trigonométricas

IV. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS A) GENERALES: - Iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje a partir de los conocimientos previos de los estudiantes. Diagnóstico. - Centrar la docencia en el aprendizaje de los estudiantes, más que en la enseñanza. El estudiante debe ser activo. - Situar y vincular permanentemente los aprendizajes, contenidos y actividades con el contexto social y laboral de los estudiantes y la carrera que estudian. - Utilizar la resolución de problemas como uno de los ejes fundamentales de la enseñanza-aprendizaje. - Promover en los estudiantes la reflexión sobre sus conocimientos y las posibles implicaciones de sus actos. - Promover aprendizajes de conocimientos, habilidades y actitudes, integradas y relevantes en el contexto de la carrera. B) ESPECÍFICAS: - Presentación centrada en el estudiante por parte del profesor de los diferentes contenidos temáticos. - Desarrollo de diferentes ejercicios de práctica escritos. - Actividades individuales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad. (reforzamiento a través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante). - Actividades grupales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad (reforzamiento a través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante). - Consolidación de conocimientos a través de diversos ejercicios guiados por el profesor, con el objetivo de esclarecer y reforzar contenidos.

V. EVALUACIÓN DE UNIDADES Las evaluaciones que se aplican en este módulo son del tipo ENE (Evaluación Nacional Estandarizada). Se aplican dos Controles escritos por unidad para obtener una calificación por unidad: Además cada docente puede evaluar trabajos en grupos u otras actividades con nota. De estos trabajos se obtiene una nota promedio, que corresponde a una nota por unidad. Con las notas del semestre se obtiene la nota de presentación a examen. Si esta nota es igual o mayor a 5,5 el estudiante se exime del examen final. El examen final es una Prueba Nacional Estandarizada escrita que equivale al 30% del promedio. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Evaluaciones Nacionales Estandarizadas Primera ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 Segunda ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 Evaluaciones Unidad 1: al menos 1 Unidad 2: al menos 1 Unidad 3: al menos 1 Examen de Módulo

Unidades 1 y 2 Unidad 2

Examen escrito, nacional.

VI. BIBLIOGRAFÍA - Larson, Roland E; Hostetler, Robert P. Algebra Intermedia McGraw- Hill. Ciudad de México 2000. - Allen R. Angel; (2000); Álgebra Elemental, 4ta Ed., Prentice Hall, México.

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VII. CLASE A CLASE PRIMERA UNIDAD: CLASE

NIVELACIÓN

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APRENDIZAJES ESPERADOS • Reconocen y nominan los conjuntos numéricos, desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos.

CONTENIDOS 1. Conjuntos numéricos. 1.1. Naturales 1.2. Enteros 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. Reales XXX

CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1 Conjunto de los Naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......} El conjunto de los Números Naturales se caracteriza porque: Tiene un número infinito de elementos Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor. El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1). 1.2. Conjunto de los Enteros: Z = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción; la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él). Por lo tanto podemos decir que el conjunto de los números enteros, está formado por los Naturales, sus simétricos y el cero 1.3. Conjunto de Racionales: Q = {....- ¾, - ½, - ¼, 0, ¼, ½, ¾,.....} El conjunto de los Números Racionales está formado por todos los números de la forma

a En esta fracción el numerador (a), es un b

número entero y el denominador (b), es un número entero distinto de cero. El conjunto de los números Racionales, se define como:

⎫ ⎧a Q = ⎨ / a, b ∈ Z ∧ b ≠ 0⎬ ⎭ ⎩b Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de la recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes (dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal. Es decir, al dividir numerador por denominador, el resultado es el mismo)


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1.4. Conjunto de los Irracionales: Son aquellos que no se pueden expresar en forma Racional El conjunto de los números Irracionales se define como.

I = {x /x es un decimal infinito no periódico} Algunos ejemplos de números irracionales son:

0,313313331.......

2 = 1,414213562..........

π = 3,141592653.......

A él pertenecen todos los números que no pueden escribirse en la forma

a b

e = 2,71….

No deben confundirse con los números racionales,

porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos que sí pueden escribirse en la forma

a b

1.5. Conjunto de los Reales: El conjunto de los números reales se define como:

IR = {Q ∪ I } Con lo cual obtenemos la denominada recta numérica. Recordemos que una recta es una sucesión infinita de puntos alineados. Entre dos puntos existen infinitos puntos y a cada punto le corresponde un único número Real Valor absoluto de un número: El valor absoluto de un número real a denotado por a , es la distancia sobre una recta numérica entre 0 y el punto con coordenada a

⎧ Si ⎪ Para cualquier número real x ⎨Si ⎪ ⎩

x ≥ 0 entonces x ≤ 0 entonces

x =x x = −x

Si x es positivo o 0, entonces x es su propio valor absoluto. No obstante, si x es negativo, entonces – x (que es un número positivo) es el valor absoluto de x. En consecuencia x ≥ 0 , para todos los números reales x. Ejemplo:

− 4,5 = 4,5 = 4,5 Encuentre cada uno de los siguientes valores absolutos: a. 3 Respuesta: 3 b. − − 8 Respuesta. 8


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c. − 4 Respuesta. 4 d. − 6 ⋅ − 3 Respuesta: 18

CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS • Reconocen y nominan los conjuntos numéricos, desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos.

CONTENIDOS 1. Conjuntos numéricos. 1.1. Naturales 1.2. Enteros 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. Reales Taller de Matemática

1. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a.-La medida de una excavación de 5 metros de profundidad se puede representar por el numeral -5. b.-El valor del pasaje del transporte público se representa por un número positivo. c.-La cantidad de personas que asiste a un evento está representado por un número positivo. d.-La temperatura de un caluroso día de verano, en grados Celsius está dada por un número positivo. 2. En la figura siguiente, en los recuadros señalados por cada flecha, anote las sumas de los números que están en el cuadriculado respectivo

A) Los números de los recuadros señalados con las flechas son los cubos de 2, de 3, de 4 y de 5 B) La suma de los números de la diagonal principal de cada cuadriculado son los cuadrados de 2, de 3, de 4 y de 5. C) La suma de todos los números del sexto cuadriculado de este mismo tipo es 216. D) Todas las afirmaciones anteriores son verdaderas. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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3. A continuación se presenta parte de una tabla de la ubicación de los números del 1 al 200. 1 17 33

2 18 34

3 19 35

4 20 36

5 21 37

6 22

7 23

8 24

9 25

10 26

11 27

12 28

13 29

14 30

15 31

16 32

La figura siguiente es parte de esta tabla. ¿Qué números deben figurar en los recuadros x e y? A) 96 y 98 B) 98 y 100 C) 101 y 103 D) 102 y 104

4.

a. Anote cuatro números enteros menores que 10 y mayores que 3 b. Anote cuatro números enteros que sean mayores que − 3

5.

Dados 3 números irracionales determinar el orden de mayor a menor de ellos:

6 3 5 ; ; 2 7 2 2 6.

CLASE

Ordenar de menor a mayor los números: - (- 3);

π ; e ;

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APRENDIZAJES ESPERADOS • Utilizan propiedades y reglas de los números Reales para resolver las cuatro operaciones básicas, con ayuda de calculadora científica.

CONTENIDOS 2. Operaciones Básicas: 2.1. Adición 2.2. Sustracción 2.3. Producto 2.4. Cuociente 2.5. Uso de calculadora científica

OPERACIONES BÁSICAS Adición de números reales: Cuando se efectúa la adición de números, el resultado se denomina suma. Por ejemplo: a. Sume: + 5 y + 7

+ 5 + (7) = + 12 b. Sume ( −2) y ( −8)

(−2) + (−8) = − 10


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Generalizando: • •

Con signos iguales: Sumar los valores absolutos de los números y mantener el signo común Con signos diferentes: Restar los valores absolutos de los números (del mayor, restar el menor) y mantener el signo del número con mayor valor absoluto

Sume los números. a. + 12 + ( +20) b. − 20 + ( −8)

+ 15 + (−12) d. − 30 + ( +15) c.

Sustracción de números reales: Cuando un número se resta de otro número, el resultado se denomina diferencia. Para encontrar una diferencia, podemos convertir la resta en una suma equivalente. Por ejemplo, la resta de 10 − 6 es equivalente a la suma de 10 + (−6) , porque tienen el mismo resultado:

10 − 6 = 4

10 + (−6) = 4

Esto sugiere que, para restar dos números al minuendo le sumamos el opuesto aditivo del sustraendo Reste: a. 14 − 9 = 14 + ( −9) = 5

− 20 − 10 = − 20 + (−10) = − 30 c. − 8 − ( −12) = b.

Multiplicación de Números Reales: Cuando se multiplican dos números, el resultado se llama producto. Podemos encontrar el producto de 5 y 4 si usamos el 4 cinco veces en una suma:

(5) ⋅ (4) = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 El producto de 5 y (−4) lo encontramos al usar − 4 cinco veces en una suma: 5*(-4) = (-4)+ (-4)+ (-4)+ (-4)+ (-4)=-20 Por lo tanto para multiplicar dos números reales se procede: • •

Con signos iguales: Multiplique sus valores absolutos. El producto es positivo. Con signos diferentes: Multiplique sus valores absolutos. El producto es negativo.

•

Multiplicación por 0: Si x es cualquier número real, entonces x ⋅ 0 = 0 ⋅ x = 0 (el cero en la multiplicación es un elemento dominante).

Multiplicar: a. 3 ⋅ ( −9) =

− 4 ⋅ (−15) = c. − 3 ⋅ (9)

b.


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División de números reales: Cuando se dividen dos números, el resultado lo denominamos cuociente. En la división tal que b ⋅ q = a

a = q (b ≠ 0) , el cuociente q, es un número b

Considere las siguientes divisiones:

+ 24 = + 12, ya que + 2(+12) = 24 +2 − 15 = − 3, ya que 5(−3) = − 15 5 − 24 =12, ya que (−2)12 = − 24 −2 Los resultados anteriores sugieren que, para dividir números reales: • •

Con signos iguales: Divida sus valores absolutos. El cuociente es positivo Con signos diferentes: Divida sus valores absolutos. El cuociente es negativo.

•

División entre 0: La división entre 0 no está definida.

Si x ≠ 0, entonces

0 x = 0. Sin emb arg o, no está definido para ningún valor de x x 0

Dividir: a. b. c.

30 = 15 −20 = 4 −10 = −5

Orden de realizar las operaciones: Consideremos la expresión: 10 + 3 ⋅ 4 , que contiene las operaciones de adición y multiplicación, convenimos en efectuar las multiplicaciones antes que las sumas:

10 + 3 ⋅ 4 =10 + 12 Realice primero la multiplicación = 22 Luego realice la adición Para indicar que las sumas deben efectuarse antes que las multiplicaciones, debemos utilizar signos de agrupación como son los paréntesis:

( ) Paréntesis redondo [ ] Paréntesis rectangular o de corchete { } Paréntesis de llaves Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Por ejemplo en la expresión (3 + 7 ) ⋅ 2 , los paréntesis indican que la adición debe efectuarse primero:

(3 + 7 ) ⋅ 2 =10 ⋅ 2 = 20

Para garantizar resultados correctos, realizar el siguiente orden. Utilice los siguientes pasos para realizar todos los cálculos dentro de cada par de símbolos de agrupación; trabaje del par más interno al más externo. a. b.

Efectúe todas las multiplicaciones y divisiones, trabajando de izquierda a derecha. Efectúe todas las adiciones y sustracciones, trabajando de izquierda a derecha

Cuando se hayan eliminado todos los símbolos de agrupación, repita las reglas antes mencionadas para finalizar el cálculo. En el caso de una fracción simplifique (divida el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero) Ejemplo: Evalúe la siguiente expresión:

4(7 − 2) : 5 + 1 = 4( 5) : 5 + 1 = 20 : 5 + 1 = 4 +1 =5

Evaluar:

[

]

a. 5 3 − 2(6 : 3 + 1) Respuesta: − 15

4 + 8(3 − 4) 6 − 2(2) Respuesta: − 2 b.

Propiedades de los números reales: Sean a, b y c elementos pertenecientes a los reales entonces: AXIOMAS EN IR A1 A2 A3 A4 A5 A6

Clausura composición interna)

(Ley de

ADICIÓN

MULTIPLICACIÓN

a + b pertenece al mismo

a ⋅ b pertenece al mismo

conjunto IR

Elemento Neutro

a+b =b+a a + (b + c) = (a + b) + c a+0= a =0+a

Elementos Inversos

a + (−a ) = 0 = (−a) + a

Conmutatividad Asociatividad

Distributividad

conjunto IR

a ⋅b = b⋅a a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c a ⋅1 = a = 1 ⋅ a a ⋅ a −1 = 1 = a −1 ⋅ a tal que a no es cero

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c


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CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS Utilizan propiedades y reglas de los números Reales para resolver las cuatro operaciones básicas, con ayuda de calculadora científica. Resuelven problemas sencillos relacionados con la especialidad y el mundo cotidiano, utilizando calculadora científica, propiedades y reglas de los números reales.

CONTENIDOS 2. Operaciones Básicas: 2.1. Adición 2.2. Sustracción 2.3. Producto 2.4. Cuociente 2.5. Uso de calculadora científica Taller

Resolver los siguientes problemas manualmente y con ayuda de calculadora científica

[

1. Obtenga el valor final de: − 5 ⋅ − 6 ⋅ 7 − (18 ⋅ 7 − 6 ⋅ −15 ) − 40

]

2. En 15 barriles de igual capacidad, se han almacenado 1.200 litros de agua. ¿Cuántos barriles son necesarios para almacenar 8.400 litros de agua? Respuesta: a) b)

1200 ÷ 15= 80 ⇒ la capacidad del barril es de 80 litros 8400 ÷ 80 = 105 ⇒ se necesitan 105 barriles.

3. En una bodega hay 400 cajones de manzanas. Cada cajón tiene 80 manzanas. En diciembre se almacenan otros 639 cajones. ¿Cuál de las siguientes preguntas se contesta mediante una adición? A) B) C) D)

¿Cuántas manzanas hay en la bodega? ¿Cuántas manzanas se almacenan en Diciembre? ¿Cuántos cajones hay ahora en la bodega? Si se venden 180 cajones, ¿cuántos quedan por vender en la bodega?

4. Un camino de 37 baldosas se desea modificar para generar un cuadrado sobre el cuál se instalaría una maceta. ¿Es posible realizar esta modificación con 37 baldosas? ¿Es posible, si son 36 baldosas? Respuesta: Un cuadrado es un paralelogramo (lados opuestos paralelos) cuyos lados tienen igual medida, por lo que No existe un número natural tal que al multiplicarse por sí mismo, dé 37.En cambio con 36 baldosas Sí es posible. Todos los números que no es posible descomponerlos en factores distintos de 1 y de sí mismo, se denominan Primos. 5. Un buzo que hace trabajos en una obra submarina se encuentra en la plataforma base, a 6 metros sobre el nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes: a. Baja 20 metros para dejar material b. Baja 6 metros más para hacer una soldadura c. Sube 8 metros para reparar una tubería d. Finalmente vuelve a subir a la plataforma. ¿Cuantos metros ha subido en su último desplazamiento hasta la plataforma? Solución: 18 metros 6. En una industria de congelados, la temperatura en la nave de envasado es de 12 grados Celsius, y en el interior del almacén frigorífico, de 15 grados Celsius bajo cero. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la nave y la cámara?


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7. Un día de invierno amaneció a dos grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido ocho grados, y hasta las cinco de la tarde subió tres grados más. Desde la cinco a medianoche bajo cinco grados, y de medianoche al alba, bajo seis grados más. ¿A qué temperatura amaneció el segundo día? 8. El empresario de un parque acuático hace este resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo del año. Enero – Mayo: pérdidas de 2.475 euros mensuales Junio – Agosto: ganancias de 8.230 euros mensuales Septiembre: ganancias de 1.800 euros Octubre – Diciembre: pérdidas de 3.170 euros mensuales ¿Cuál fue el balance final de año? 9.

Ud. tiene una Cuenta Corriente en un determinado Banco y como usted es una persona muy ordenada, contabiliza sus haberes de la siguiente manera: Saldo anterior Depósito/ Cargo (± ) Red compra Saldo Valor del cheque Nuevo saldo Si su saldo anterior fue de $1.200.000, depositó hoy $350.000, realiza compras por un total de $250.000, usando su Red Compra y cancela la cuenta de la luz con cheque por $15.000. ¿Cuál es su nuevo saldo? Respuesta: $1.285.00

CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS - Transforman números decimales a fracción común y viceversa. - Operaciones con fracciones

CONTENIDOS Transformaciones: Transformación de fracción a decimal Transformación de un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracción

REPRESENTACIÓN DECIMAL DE NÚMEROS RACIONALES: Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0,5. 3405/25=136,2 y 1/3= 0,33333....... Esto puede dar lugar a dos tipos de desarrollos decimales, los finitos (nº decimal) y los periódicos. Éstos últimos pueden a su vez dividirse en periódicos o periódicos mixtos. Desarrollo decimal finito, es aquél que tiene un número finito de cifras decimales. Por ejemplo: 0,5, 1,348 ó 367,2982345 Estas expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreductible) sólo contiene los factores 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25,… Desarrollo decimal periódico es aquél que tiene un número infinito de cifras decimales, pero, de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente, de forma periódica, llamado período, por ejemplo 0,333333....., 125,67777777....... ó 3,2567256725672567...... Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0,33333... En un desarrollo decimal periódico mixto, antes del período y después de la coma aparece un bloque de una o más cifras que no se repite, llamado anteperíodo. Podría considerarse que las expresiones decimales finitas son periódicas mixtas pero con período 0. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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TRANSFORMACIÓN DE FRACCIÓN A DECIMAL Para transformar una fracción en un número decimal, se divide el numerador por el denominador: Ejemplos: 1)

125 = 125 : 400 = 0,3125 (desarrollo decimal finito) 400

2)

5 = 5 : 6 = 0,833333 (desarrollo decimal periódico mixto) 6

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN Recíprocamente, dado un desarrollo decimal finito o periódico, puede encontrarse una expresión racional (fracción) para la misma, siguiendo la siguiente norma: Si el desarrollo decimal es finito: se coloca como numerador el número entero que resulta de suprimir la coma decimal y como denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras se encontraran a la derecha de la coma decimal en la expresión decimal original. Ejemplo: 34,287 =

34287 1000

Si el desarrollo decimal es periódico: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero, sin coma, hasta la primera repetición del período, la parte entera. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Ejemplo: 32,532 532... =

32532 − 32 999

=

32500 999

Si el desarrollo decimal es periódico mixto: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero formado por la parte entera, el anteperíodo y la primera repetición del período, el entero formado por la parte entera y el anteperíodo. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo: 4,58 41 4141... =

45841 − 458 9900

= 45383 9900

Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresión fraccionaria irreductible. FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal. Es decir, al dividir numerador por denominador, el resultado es el mismo. Para obtener fracciones equivalentes, se amplifica o simplifica la fracción, por cualquier número distinto de cero. Ejemplos: 1) Dada la fracción

2 2·2 4 , si la fracción se amplifica por 2, se obtiene , que es equivalente a la anterior ya que al dividir 2 en 5 = 5·2 10 5

se obtiene 0,4 y al dividir 4 en 10, también se obtiene 0,4. 2) Dada la fracción

5 5:5 1 , si se divide numerador y denominador por 5 se obtiene = , que es equivalente a la anterior, ya que 20 20 : 5 4

al dividir 5 en 20 se obtiene 0,25 y al dividir 1 en 4 se obtiene, también, 0,25. Observación: Si una fracción no es simplificable, se denomina fracción irreductible. Si una fracción se amplifica por cada elemento de Z (excepto el cero) se forma el conjunto llamado clase de equivalencia.


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Ejemplos de clases de equivalencia: 1 ⎫ ⎧1 2 3 4 5 → ⎨ , , , , ,...⎬ 2 2 4 6 8 10 ⎭ ⎩

−

3 9 12 ⎫ ⎧ 3 6 → ⎨− ,− . − , ,...⎬ 4 4 8 12 16 ⎭ ⎩

PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES: 1.

Simplificar una fracción

a:n a equivale a . Sólo se pueden efectuar en presencia de multiplicación.( n no es cero) b b:n

2.

Amplificar una fracción

a a⋅n equivale a b⋅n b

3.

Máximo común divisor (MCD) entre dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos. Ej.: el MCD entre 48-96-64 es 16.

4.

Mínimo común múltiplo (MCM) entre dos o más números es el menor número que es divisible por cada uno de ellos.

( n no es cero)

Ej.: el mcm entre 48-96-64 es 192. El mínimo común múltiplo entre 15, 45 y 60 es 180 Para determinar el MCM se procede de la siguiente forma. Disponer los números en una tabla y comenzar a dividir por 2, 3, 5, 7, etc. 15 15 15 5 5 1

45 45 45 15 5 1

60 30 15 5 5 1

2 2 3 3 5

El mínimo común múltiplo resulta de multiplicar 2 ·2 ·3 · 3 · 5 = 180 5.

Fracción propia es la fracción menor que la unidad. Ej.: 3 25

6.

Fracción impropia es la fracción igual o mayor que 1. Ej.: 25 3

7.

Las fracciones impropias se transforman en números mixtos. Ej.

8.

Igualdad de fracciones:

a c = b d

⇔ ad = bc

9.

Comparación entre dos fracciones

a c ≤ b d

⇒

25 1 =8 3 3

ad ≤ bc


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10. Intercalar un racional entre dos racionales dados: - ordenar de menor a mayor los racionales - sumar los numeradores y denominadores respectivamente - la fracción así obtenida se ubica entre las fracciones dadas Ej.: ubicar una fracción entre

2 5 ∧ 5 4

2 7 5 2 2+5 5 〈 〈 , entonces, se determina que 〈 〈 5 5+4 4 5 9 4 11. Inverso multiplicativo. Si el producto de dos números es 1, los números son recíprocos o inversos multiplicativos.

Ej.:

3 ⎛4⎞ ⎜ ⎟ =1 4⎝3⎠

OPERACIONES CON FRACCIONES: Si

a c y son números racionales, se define: b d

OPERACIÓN

a c ad + bc + = b d bd a c a+c + = b b b a c a −c − = + b d b d a·c a c · = b d b·d

ADICIÓN Adición con denominadores iguales SUSTRACCIÓN MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN

a c : b d

=

a d a·d · = b c b·c

Completar la siguiente tabla, sabiendo que a, b, c, d son números racionales. a

b

c

d

1

−2 5

7 8

−3 2

6 5

2

1 3

1 8

21 10

1 10

3

45 4

−4 5

−

2 25

a b

c· d

a–(b+c)

(a+b)·c

a·b – c·d

3 40


15


Respuestas:

1

a b 16 − 35

c· d

8 3

21 100

2

3

CLASE

−

225 16

−

−

a–(b+c)

9 5

3 500

9 40 −

(a+b)·c

−

227 120

1213 100

−

a·b – c·d

57 80

29 20

77 80

−

101 600

209 250

−

4497 500

6

APRENDIZAJES ESPERADOS - Transforman números decimales a fracción común y viceversa. - Operan con fracciones

CONTENIDOS Transformaciones: Transformación de fracción a decimal Transformación de un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracción Taller

Resolver los siguientes problemas: 1. En la especialidad de alimentación se preparan tortas para una recepción. Susana preparó 2 tortas de igual tamaño, una de piña y otra de manjar. La de piña la dividió en 24 trozos iguales y la otra en 12 trozos iguales. Don Juan, asistente a la recepción, comió 4 pedazos de torta de piña y dos de manjar. a) b) c) d) e)

Represente numéricamente cuánto de torta de piña comió don Juan Represente numéricamente cuánto de torta de manjar comió don Juan ¿Comió lo mismo de ambas? ¿Cuánto comió en total? Si cada trozo de torta de piña se vendiera a $400 y cada trozo de torta de manjar se vendiera a 1/3 de lo que se vende el de piña, ¿Cuánto debería pagar don Juan por lo que comió?

Solución a) La torta de piña se divide en 24 partes iguales y se toman 4 de ellas, se obtiene la fracción:

4 24


16


b) La torta de manjar se divide en 12 partes iguales y se toman 2 partes, se obtiene la fracción:

c) ¿Qué puede decir de las fracciones

2 12

5 1 y ? ¿Son iguales? ¿Por qué? 20 4

Entonces, tomando la fracción de la torta de piña

4: 4 1 4 se simplifica por 4, = 24 : 4 6 24

Luego, hacemos lo mismo con la fracción de la torta de manjar Podemos concluir que las fracciones

2: 2 1 2 se simplifica por 2, = 12 : 2 6 12

4 2 y representan la misma fracción, son fracciones equivalentes, luego, don Juan 24 12

comió la misma cantidad de torta de piña que de manjar.

d) Debemos sumar 4/24 y 2/12 ó 1/6 y 1/6. Resulta más fácil la segunda opción, pues, son dos fracciones de igual denominador:

1 1 2 1 + = = . Don Juan comió 1/3 (un tercio) de torta, en total. 6 6 6 3 e) Para saber cuánto debería pagar, multiplicamos 4*400 = $1.600, lo que correspondería a los trozos de torta de piña. Para saber el valor de un trozo de torta de manjar multiplicamos

1 400 ⋅ 400 = = $133,333... El valor de cada trozo de torta de manjar 3 3

es $133. Aproximamos al entero, pues, la división 400/3 da un número decimal infinito periódico y los precios en Chile no tienen decimales. En total, don Juan debería pagar: 4*400 + 2*133 = $1.866 por lo consumido. 2. Un almacén de pinturas utiliza 2/3 de la superficie para almacenar pinturas, 1/4 del resto para disolventes y los 600 m² restantes para pintar. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el almacén? Solución: Al decir 2/3 significa que queda 1/3 que no almacena pinturas. La suma de las partes debe dar el entero 3/3 = 1. Al decir ¼ del resto, significa ¼ de 1/3. Debemos multiplicar ¼ por 1/3, O sea, 1/12 del almacén contiene disolventes.

1 1 1 ⋅1 1 . ⋅ = = 4 3 4 ⋅ 3 12

Pero, la pregunta apunta al total de metros cuadrados que tiene el almacén. Si ¼ de 1/3 están con disolventes, entonces, ¾ de ese 1/3 no tienen ni pintura ni disolventes, es decir, está destinado a pintar y 2

corresponden a 600 m . Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

17


Multiplicando de nuevo ¾ por 1/3 y simplificando:

3 1 3 ⋅1 3 1 obtenemos que ¼ corresponde a 600 ⋅ = = = 4 3 4 ⋅ 3 12 4

multiplicando por 4 concluimos que el almacén tiene 2.400

m 2 . Luego

m2 .

3. En una fábrica de automóviles se trabaja desde las 8 hrs. hasta las 20 hrs. El proceso para maximizar la producción es el siguiente:

1 3 1 4 1 2 1 3 1 2

del tiempo se dedica a la construcción de motores de la jornada para carrocerías del tiempo que se ocupa para fabricación de motores, se utiliza para construir accesorios. del tiempo destinado a carrocerías, se usa para afinar detalles finales. del tiempo utilizado para los accesorios, se destina a almorzar.

El resto de la jornada se dedica a actividades recreativas. ¿Cuántas horas se dedican a esta actividad?

4. Se tienen dos botellas de bebida. La primera de 1

1 3 1 lt. y la segunda de lt. Con cada una se llenan vasos de lt. 4 4 8

¿Cuántos vasos más se pueden llenar con la primera botella que con la segunda? Respuesta: 4 vasos más

5. Una lechería despacha al supermercado 18 cartones de mantequilla de 25 kg. cada uno. La mantequilla está envasada en paquetes de

1 de kg. Calcular cuántos paquetes se despacharon. 4

Respuesta: 1.800 paquetes de mantequilla 6.

a) b)

1 1 1 de los ingresos de una comunidad de vecinos de un edificio se emplean en gas, se emplean en electricidad, en la 5 3 12 1 en mantenimiento del edificio y el resto en limpieza. recogida de basuras, 4 ¿Cuánto se emplea en limpieza? Si la comunidad dispone de $3.300.000, ¿cuánto corresponde a cada actividad?

7. En un centro comercial, 5 de cada 7 empleados cobran cada 15 días, 2 de cada 9 lo hacen mensualmente y el resto cobra semanalmente. Si en total hay 6.300 empleados, hallar el número de empleados de cada clase.


18


CLASE

7

APRENDIZAJES ESPERADOS - Realizan operaciones combinadas de números decimales y fracciones, con ayuda de calculadora.

CONTENIDOS -Operaciones básicas con decimales

- Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad

La matemática en el mundo cotidiano y en la especialidad

Clase de Taller: Resolver los siguientes problemas en forma manual y con ayuda de calculadora científica

1 a ⋅ b + 3c , c = 3, 25 , evalúe 3 b(c − a ) 1 ( a + b) ⋅ c 2. Si a = − 4, b = 3, 5, c = − , evalúe b 5 c 1. Si a = 2, b =

3. Se desea construir un edificio de 10 pisos con 4 departamentos por piso y dos niveles de estacionamientos subterráneos. Para esto se realiza una excavación de 5 metros y se construye una fundación para 8 pilares como soporte del edificio. Cada uno de los departamentos debe tener una altura de 2.5 metros entre suelo y cielo, además cada nivel estará dividido por una losa de 15 centímetros más una sobre losa de 7 centímetros. De acuerdo a la situación planteada: a)

Calcular la altura del edificio y la de la construcción. Respuesta: 27,2 metros

b)

Si uno de los dormitorios de los departamentos es cuadrado y tiene una superficie de 10 metros cuadrados ¿cuáles son sus dimensiones? Respuesta: 3,16 metros por lado

c)

Si por cada departamento se pagan $ 44.775.000 ¿Cuál es el precio expresado en UF si UF 1 = $19.930? Respuesta: UF 2.246,6314…

1 litro de leche diariamente. Calcular: 2

4.

Una familia consume 1

a) b) c)

el consumo semanal el consumo en el mes de Abril el consumo anual.

5.

En la celebración de unos tijerales participan 38 albañiles y carpinteros, además de 10 empleados de la obra. Cada uno recibe con la comida, 4 vasos de vino de

2 1 litro y 2 vasos de bebida de litros cada uno. ¿Cuántos litros de vino y cuántos de 8 5

bebida hubo que encargar? 6.

Si un trozo de tela mide 820 cm. y se divide en 4 partes, de modo que, el segundo trozo sea 2/3 del primero, el tercer trozo sea 1/5 del segundo y el cuarto trozo es el doble del tercer trozo, calcular el tamaño longitudinal de cada trozo de tela.


19


CLASE

8

APRENDIZAJES ESPERADOS • Realizan operaciones combinadas de números decimales y fracciones, con ayuda de calculadora. • Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad

CONTENIDOS Operaciones básicas con decimales La matemática en el mundo cotidiano y en la especialidad Taller

CLASE DE TALLER Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal manualmente y con ayuda de calculadora científica. 1. Un mayorista vende azúcar a $750 el kilo en el caso de cantidades hasta 100 kilos .Si se trata de cantidades mayores a 100 kilos, pero menores que 200 kilos la tarifa es de $675 el kilo y para compras superiores a 200 kilos el precio es de $600 el kilo. Si en un día cualquiera las compras efectuadas al comerciante fueron las siguientes: Comprador 1: 250 kilos de azúcar; comprador 2: 120 kilos de azúcar; comprador 3: 95 kilos de azúcar. Determine la cantidad total de dinero cancelada por los tres compradores. 2. Un cartero reparte correspondencia en un edificio de cuatro pisos sin ascensor .Cierto año subió 25 días al primer piso, 72 días al segundo piso, 43 días al tercer piso y 140 días al cuarto piso. El número de escalones que hay de la calle al primer piso es 32 y 24 entre piso y piso. ¿Cuantos escalones subió el cartero durante ese año solo en el servicio de ese edificio? 3. Para la formación de una sociedad se reúnen cuatro socios A, B, C y D. El socio A aporta $1.500.000, el socio B la mitad del aporte del socio A, el socio C, el triple del aporte de A y el socio D $750.000 más que el socio B, determine el aporte total para la formación de la sociedad. 4. Un comerciante compró 500 unidades de un producto a 6 euros cada uno .Vendió cierto número de unidades en 500 euros, a 5 euros cada una. ¿A que precio debe vender el resto para no perder? 5. Una persona compra en un mall de la capital dos artículos A y B por un total de $300.000, si por el artículo B canceló $35.800 menos que por el artículo A, determine el precio de cada artículo. 6. Obtener el valor entero correspondiente a la expresión: − [− (9 + 10 ) − 4] − [3(− 2 − 8 ) − 3] + 14 : 7 1 4

7. Sean a = − ; b = 0,75; c = 0, 2 y d = 8.

(a − b + c ) ⋅ a 3 , calcule el valor de = 5 b⋅d

Una jarra tiene 5 4 de litro de capacidad y está llena de jugo. Se echa 15 de litro de este jugo en un vaso. ¿Cuanto queda en la jarra?

9. El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879,002 Kg. El primer depósito contiene 18,132 Kg. menos que el segundo; el segundo, 43,016 Kg. más que el tercero, y el tercero 78,15 Kg. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en cada depósito.


20


CLASE

9

APRENDIZAJES ESPERADOS - Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental en las proporciones.

CONTENIDOS - Razones: Concepto, Cálculo e interpretación. - Proporciones : Concepto, Teorema Fundamental -Término desconocido de una proporción

Frecuentemente comparamos dos o más cantidades, por ejemplo, cuantas veces es mayor el precio del transporte de una mercadería si se dispone de las cotizaciones de dos empresas de despacho a domicilio. 1.- Una empresa importadora dispone de dos cotizaciones para realizar el traslado de mercaderías que se encuentran en una bodega del puerto de Valparaíso a las bodegas de la empresa ubicadas en el sector sur de la región metropolitana. Los valores de cada cotización son: C1:$ 375.000 y C2: 431.250 ambas con IVA incluido. ¿Cuántas veces el valor de la cotización C2 corresponde a la cotización C1?

SOLUCIÓN: En la pregunta planteada debemos entender el concepto que matemáticamente nos entrega la palabra “veces”. Para ello recurramos a un ejemplo simple: ¿Cuántas veces esta contenido 20 en 40? Claramente entendemos que 40 es “doble” de 20, es decir si 20 se multiplica por 2 se obtiene 40. Por lo tanto podemos establecer que 40 es 2 veces 20. Entonces: para determinar la cantidad de veces un número esta contenido en otro bastará con conocer el factor que multiplica a uno de los números para obtener el otro. En el problema planteado se tiene: 431.250 = A ⋅ 375.000; donde A representa el numero de veces que el valor 375.000 esta contenido en 431.250, es decir: 431.2500/375.000 = 1,15 veces. 2.- Las utilidades anuales de una empresa que asciende a 100 millones de pesos se reparte entre dos socios de forma que el primero recibe 40 millones y la segundo 60 millones. Establezca una relación entre las partes que cada uno recibe, con respecto al monto total de las utilidades. SOLUCIÓN: Como necesitamos establecer la relación entre los montos recibidos por cada socio tenemos dos alternativas, establecer cuantas veces es menor el valor 40 millones que el valor 60 millones ó bien cuantas veces es mayor 60 millones que 40 millones. La

primera

alternativa

corresponde

a

40 millones = A ⋅ 60 millones; de donde se obtiene que:

40 millones = A ; como es lógico podemos prescindir de la unidad millones y así obtenemos una relación más simple la cual es 60 millones 40 = A. de la forma: 60

Esta última relación podemos aún expresarla en números más sencillos es decir

2 = A. (por simplificación) 3


21


Esta relación nos indica que las cantidades recibidas por cada socio se puede expresar diciendo que uno recibe dos partes de las utilidades y el otro tres partes. Si se considera la segunda alternativa, se tiene que: 60 millones = B ⋅ 40 millones; y procediendo de forma similar al caso anterior, se puede concluir: utilidades.

3 = B, lo que indica que un socio recibe tres partes y la otra dos partes de total de las 2

De lo anterior, podemos concluir que el socio que recibe 40 millones representa dos partes de las utilidades y el que recibe 60 millones tres partes. La relación entre dos cantidades, expresada en números enteros y sencillos, se denomina RAZÓN. Esta razón se representa utilizando simbología fraccionaria o de división, por ejemplo: Si 2 partes de A se relacionan con 5 partes de B, se establece la razón Una razón escrita en cualquiera de sus formas,

2 o bien 2 : 5 5

a ó a : b , se lee: “a es a b” b

La fracción o cuociente que genera una razón corresponde al valor de la razón e indica el número de veces que una de las cantidades esta contenida en la otra, por ejemplo: Si dos cantidades están en la razón 4: 5, significa que la primera esta contenida en la segunda cuatro quintas veces o dicho de otra forma 0,8 veces. También se puede establecer que la segunda está contenida en la primera cinco cuartos veces es decir 1,25 veces. Al invertir los términos de una razón se obtiene otra razón denominada razón inversa, por ejemplo: Si una razón es 4 : 5 su razón inversa es 5 : 4 Estas dos razones, que podríamos llamar directa e inversa, si bien mantienen la relación entre las cantidades, su interpretación o significado es diferente como se pudo ver al analizar el valor de cada una de ellas. Los términos que forman una razón se denominan ANTECEDENTE y CONSECUENTE Dada la razón

a , a se denomina antecedente y b consecuente b

Una razón plantea una comparación por cuociente entre dos magnitudes generalmente de la misma naturaleza, aunque también se da en el caso de distinta naturaleza por ejemplo al hablar de la razón ”distancia / tiempo” la cual llamamos velocidad. Entonces, en esto hay una base de comparación (un respecto a) y por ende la base sería el consecuente. Es el caso si planteamos como ejemplo que” la razón de los sueldos entre A y B es 2/3 “entonces se plantea que A/B = 2/3 y por tanto establecemos que por cada 3um que B gana (B es la base de comparación establecida) entonces A gana 2 um. Además se plantea que A = 2/3*B (el sueldo de A es los dos tercios del de B) PROPORCIÓN Una proporción es la igualdad de dos razones: Se anota

a c = y se lee “a” es a “b” como “c” es a “d” ; donde se debe cumplir como propiedad fundamental que: b d a⋅d = b⋅c

Toda proporción tiene dos medios y dos extremos los cuales verifican: El producto de los extremos es igual al producto de los medios


22


Ejemplo: El rendimiento de un automóvil en carretera es de 20 Km. por litro de combustible. Si se tiene que viajar una distancia de 450 Km. A lo largo del país. ¿Qué cantidad de combustible se deberá utilizar? La solución a la interrogante planteada se escribe como una proporción, donde:

20 km. 450 km. = 11lt . x

Utilizando el teorema fundamental de las proporciones, tenemos: 20km. ⋅ x = 1lt . ⋅ 450 450 ⋅ 1 20

x=

x = 22,5 litros

Otras propiedades importantes son: En toda proporción, la suma o diferencia de las componentes de una de las razones es a uno de sus términos, como la suma o diferencia de las componentes de la otra razón es a uno de sus términos a+b c +d = a c

b)

a+b c+d = b d

a−b c −d = a c

d)

a−b c −d = b d

a)

c)

En toda proporción, la suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes, como un antecedente es al consecuente de una de las razones:

a+c a a+c c a−c a a−c c = ; b. d. . = = ; c. = b+d b b+d d b−d b b−d d 3 En una razón de la forma , al multiplicarse simultáneamente antecedente y consecuente por una misma magnitud n, las 5 a.

componentes se modifican

3 n ⋅ 3 n2 ⋅ 3 n3 ⋅ 3 ....... generándose una serie de razones equivalentes. = = = 5 n ⋅ 5 n2 ⋅ 5 n3 ⋅ 5

Hemos definido la proporción como la igualdad de dos razones pertenecientes a dos magnitudes entre las cuales se puede establecer alguna relación, pero también este concepto de proporción se puede ampliar a más de dos razones iguales, generándose una Serie de Razones o Proporción Múltiple, dada por: x a c e g = = = = .......... = = K y b d f h

Siendo K la constante de proporcionalidad y corresponde al valor de la serie de razones. Esta ampliación del concepto de razón, permite establecer relaciones entre varias magnitudes.


23


Ejercicios 1.

En un supermercado de la comuna de Santiago el kilogramo de harina se comercializa a $450 y se desean adquirir 45 Kg. de este producto. Usando el concepto de proporción determine el valor a cancelar por la compra de este producto. 1Kg . 45 kg = $450 $x x = 450 ⋅ 45 x = $20.250

2.

En una empresa los dividendos obtenidos después de un año de inversiones positivas, se pretende dividirlos e cuatro estamentos, de acuerdo a la siguiente proporción múltiple: A : B : C : D =1 : 3 : 5 : 7 Si el monto de este dividendo alcanza los 800 millones de pesos. ¿Cuál deberá ser el monto a recibir por cada estamento de la empresa? La proporción múltiple,

A : B : C : D =1 : 3 : 5 : 7 la podemos expresar como:

A B C D = = = =K 1 3 5 7

A = K;

de modo que:

B = 3K ;

C = 5K ;

D = 7 K pero A + B + C + D = 800 millones

Por lo tanto K + 3K + 5 K + 7 K = 800 millones

K=

800 = 50 (valor de la constante de proporcionalidad, válida para cada razón de la serie) 16

Conociendo el valor de K se determina el monto a recibir por cada estamento de la empresa:

A = 50 millones; B = 150 millones;

CLASE

C = 250 millones;

D = 350 millones

10

APRENDIZAJES ESPERADOS - Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental en las proporciones.

CONTENIDOS - Razones: Concepto, Cálculo e interpretación. - Proporciones : Concepto, Teorema Fundamental -Término desconocido de una proporción Taller

Clase de Taller. Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal. 1.

Un cordel que mide 24 metros, se hacen dos cortes de modo los trozos que se obtienen se encuentran en la razón 3: 4: 5. ¿Cuál es la medida que tiene el trozo de mayor longitud? Respuesta: El trozo de mayor longitud, mide 10 metros


24


2.

En la confección del plano de una casa, se ha utilizado la escala 1 : 100, entonces: a) ¿Cuál será la medida real de un muro que en plano mide 2,5 centímetros? b) ¿Cuál será la medida en el plano de la altura de una ventana que mide 1,2 metros?

3.

En “propiedades.elmercurio.com” se han encontrado los siguientes avisos de venta de propiedades: Aviso 1:

Aviso 2:

652.000.000 Mónica Pobrete Piedra Roja, 566/ 1.800, impecable, cuatro dormitorios en suite, cinco baños, escritorio, estar, mansarda: amplia sala juegos, subterráneo, hermosísimo jardín, piscina, (0)92233xxx, 2323xxx. Publicado: 24/02/2009 415.000.000 Berríos Publicado: 23/02/2009

Zegers.cl,

Quinchamali

405/

1800

Mediterránea

Nueva,

4807xxx

¿Cuántas veces es el valor de la propiedad más cara con respecto a la más barata? ¿Cuántas veces es el valor de la propiedad más barata con respecto a la más cara? 4.

Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 4:9:2. ¿Cuál es la medida de cada uno?

5.

En la elaboración de una pintura para el revestimiento de una placa metálica se utilizan 3 componentes A, B, y C. Para fabricar esta pintura se mezclan 3 partes de A por cada 5 partes de B y 2 partes de C por cada 7 partes de A. Determine la cantidad de cada componente para fabricar 93 litros de esta pintura. Respuesta. 31,5 litros de A; 52,5 litros de B; 9 litros de C. 6.

La diferencia entre los lados contiguos de un rectángulo es 4 metros y están en la razón 5 es a 6 ¿Cuál es su perímetro?

7.

Si se pagan $12.000 por 40 minutos de tiempo en el uso de su teléfono. Con la información anterior completar la siguiente tabla: Costo en pesos Minutos

8.

3.000

1.200 20

48.000 80

La razón entre el precio de un litro de bencina u un litro de petróleo es de 5 : 3 y se deben cargar 5 camiones, de los cuales 3 son petroleros y 2 bencineros, gastando en total $218.000. a. ¿Cual es la cantidad de dinero asignado al gasto de petróleo? Respuesta: $103.363 b. ¿Que cantidad se gasta en cada camión bencinero si sus estanques tienen la misma capacidad? Respuesta: $57.368

9.

En supermercado de la capital, se tiene la siguiente oferta: Tres productos tipo A más cinco productos tipo B por un total de $25.000. Si el producto A y el producto B están en la razón 3 : 7 Determine el valor unitario del producto A y del producto B.


25


CLASE

11

APRENDIZAJES ESPERADOS -Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones algebraicamente. - Grafican variables relacionadas con proporcionalidad directa e inversa en el contexto de la especialidad - Interpretan gráficos de variaciones proporcionales directas, e inversas y no proporcionales, relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos etc. -Aplican el concepto de Variación Proporcional Directa e Inversa en la resolución de problemas relacionados con la especialidad

CONTENIDOS Proporcionalidad y Variación Proporcional : Proporción Directa Proporción Inversa Proporción Conjunta Gráficos de la proporcionalidad directa e inversa.

1. Entre dos o más magnitudes de cualquier naturaleza se pueden establecer relaciones de proporcionalidad y determinar como las cantidades pertenecientes a estas magnitudes varían mutuamente. Si se desea embarcar toneladas de un producto para exportar a países vecinos, cada tonelada de este producto tiene un costo en pesos, costo que crece a medida que la cantidad de toneladas a embarcar también crece. 2. Por el contrario, si se desea viajar entre dos ciudades de nuestro país en un automóvil, la cantidad de kilómetros ha recorrer dependerá de la cantidad de gasolina que se encuentre en el estanque, de modo que, a mayor distancia recorrida, menor será la cantidad de combustible que quedará en el estanque del automóvil. En ambas situaciones planteadas existen magnitudes que se relacionan. En el primer caso ambas crecen simultáneamente, Proporcionalidad Directa y en el segundo caso al crecer una la otra disminuye simultáneamente, Proporcionalidad Inversa. Proporcionalidad Directa Dos magnitudes A y B son Directamente Proporcionales, si la razón entre dos cantidades pertenecientes a A y B, son iguales entre sí y a la vez iguales a una constante K, constante de proporcionalidad

A : a1 , a 2 , a3, a 4 ,...........a n B : b1 , b2 , b3 , b4 ,...........bn a a1 a 2 = = ............... n b1 b2 bn y se lee A es directamente proporcional a B ⇒ A = K ⋅ B

La cual se anota:

Ejemplo 1 Una empresa del área gastronómica, desea estimar la cantidad de dinero que necesita para realizar una recepción para 130 personas dado que en 12 porciones se deben invertir $24.000¿Cuál es el monto que se requiere para las 130 personas? Solución: Como se sabe que en 12 porciones se tiene un costo de $24.000; en más porciones tendrá que destinar más dinero y para determinar exactamente cuanto dinero se requiere plantearemos la siguiente igualdad:

12 → $24.0000 130 → $ x ; es decir 12 24.000 = ⇒ 12 x = 24.000 ⋅ 130 130 x Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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12 x = 3.120.000 3.120.000 x= 12 x = 260.000

Se tendrá que destinar la suma de $260.000.

Proporcionalidad Inversa Dos magnitudes A y B son Inversamente Proporcionales, si el producto entre dos cantidades pertenecientes a A y B, son iguales entre sí y a la vez iguales a una constante K, constante de proporcionalidad

A : a1 , a 2 , a3, a 4 ,...........a n B : b1 , b2 , b3 , b4 ,...........bn a1 ⋅ b1 = a 2 ⋅ b2 = a3 ⋅ b3 = .............a n ⋅ bn Se anota A ⋅ B = K , y se lee A es inversamente proporcional a B Ejemplo: Una familia en las vacaciones de este año, viajo al sur, iban a una velocidad de 105 Km. /h y demoraron en llegar a su destino 8,4 horas. .Si hubieran viajado a una velocidad de 90 Km. /h ¿Cuántas horas se habrían demorado? Solución: 105 → 8,4 90 → x 90 8,4 = 105 x 90 x = 105 ⋅ 8,4 882 x = = 9,8 horas 90

Demorarían más tiempo dado que viajan a menor velocidad Ambas Variaciones de Proporcionalidad se pueden representar en Diagramas Cartesianos, donde cada magnitud se asocia a uno de los ejes de este diagrama, para representar respectivamente la Proporcionalidad Directa y la Proporcionalidad Inversa

Proporcionalidad Directa

Proporcionalidad Inversa

Estas variaciones de Proporcionalidad Directa e Inversa tienen gran aplicación en una cantidad de situaciones entre las cuales se puede citar la Proporción Conjunta o Compuesta.


27


Proporción Compuesta. Una Proporción es Compuesta, si la razón entre dos cantidades de una magnitud A es proporcional al producto entre otras magnitudes B y C, escritas como razón Directa o Inversa, según sea la proporción simple que entre ellas se determine

A : a1 a 2 B : b1 b2 C : c1 c 2 De la definición anterior se desprenden los siguientes casos: Caso I: Si las magnitudes B y C son Directamente Proporcionales a A, la Proporción Conjunta está dada por: a1 b1 c1 = ⋅ a 2 b2 c 2

Caso II: Si la magnitud B es directamente proporcional con A y la magnitud C es inversamente proporcional con A, la proporción conjunta o compuesta es:

a1 b1 c 2 = ⋅ a 2 b2 c1 Caso III: Si las magnitudes B y C sin inversamente proporcionales con A, entonces, la proporcionalidad conjunta se escribe:

a1 b2 c 2 = ⋅ a 2 b1 c1

Ejemplo 1: Se estimó por un experto que 6 trabajadores pueden realizar un trabajo de excavación para una línea de alcantarillado de 12 metros en 5 días. ¿Cuantos trabajadores serían necesarios para excavar 18 metros de iguales características en 3 días, si la habilidad de estos últimos es igual a la de los primeros? Solución: La relación entre el número de trabajadores y el número de metros es directamente proporcional (considerando que el número de días no varía) y la relación entre el número de trabajadores y los días es inversamente proporcional (considerando que la cantidad de metros no varía) 6 trabajador es → 12 metros → 5 días x trabajador es → 18 metros → 3 días 6 = x 6 = x

12 3 ⋅ 18 5 2 5

Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

28


2⋅ x =6⋅5 2 ⋅ x = 30 x = 15 trabajadores

Ejemplo 2: Se observan dos variables x e y x y

400 2.000

800 1.000

1.600 500

a.

¿Cual es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad

b.

¿Cual es el valor que corresponde a y para un x = 6.400?

Solución. a.

Es una relación inversamente proporcional:

400 ⋅ 2.000 = 800 ⋅ 1.000 = 1.600 ⋅ 500 = 800.000 = k

b. y =

CLASE

800.000 k = = 125 x 6.400

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APRENDIZAJES ESPERADOS - Resuelven problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad - Resuelven problemas de tanto por ciento, descuentos y recargos, relacionados con la especialidad

CONTENIDOS - Resolución de problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad.

Clase de Taller. Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal. 1. Diez y seis personas realizan 4 operaciones contables en 18 días trabajando 4 horas diarias. ¿Cuantos días demorarían 20 personas en realizar 6 de estas operaciones si trabajan 6 horas diarias? Respuesta: 14,4 días 2. La cantidad de petróleo consumida por un transporte marítimo convencional, que se desplaza con velocidad uniforme, es directamente proporcional a la distancia recorrida y al cuadrado de su velocidad. Si dicho transporte consume 50 barriles en un viaje de 400 Kilómetros, a una velocidad de 60 Km./ hr ¿ Cuanto petróleo consume en un viaje de 1.000 Kilómetros a una velocidad de 40 Km./ hr. ? Respuesta: 555,55 barriles 3. Un control de calidad estipula que la presión de un líquido en envase de transporte convencional debe ser inversamente proporcional al volumen que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta T. ¿A que presión se deben someter 100 metros cúbicos de gas de helio a 1 atmósfera de presión y 253 grados absolutos de temperatura, para que se reduzcan a 50 metros cúbicos a una temperatura de 313 grados absolutos? Respuesta: 2,47 atmósferas


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4. P es directamente proporcional a Q e inversamente proporcional a R. Si P = 5 cuando Q = 4 y R = 2 , determine el valor de Q cuando Respuesta: 33,6

P = 12 y R = 7

5. En la elaboración de cera para los automóviles, dos de los principales componentes son cera de ceresina y aguarrás, dependiendo de la cantidad de cera a elaborar, se recomiendan los siguientes volúmenes de aguarrás en mililitros Aguarrás (ml) Cera (gramos) a. b.

165 82,5

330 165

495 247,5

660 330

825 412,5

990 495

¿Cual es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad? Si Ud requiere preparar 450 gramos de cera. ¿Que cantidad de aguarrás requiere? Respuesta: a. Directamente proporcionales. k = 2 b.900 ml

PORCENTAJES El porcentaje es una de las herramientas matemáticas más utilizadas cotidianamente. En estudios de marketing es importante conocer las opiniones y preferencias de un grupo de personas respecto por ejemplo de un cierto bien, por lo general estos resultados se expresan porcentualmente En cálculos financieros se requiere trabajar con porcentajes ya sea en el cálculo de interés simple, interés compuesto, anualidades, amortizaciones, etc. Definición 1: Se llama tanto por ciento de un número o cantidad a una o varias de las partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir uno o varios centésimos de la cantidad. El Porcentaje es un caso particular de proporcionalidad Directa, en que uno de los términos de la proporción es 100, lo que resulta de comparar una parte con un todo. Para el cálculo del tanto por ciento consideraremos tres casos. Caso I: ¿Cuál es el tanto por ciento de un número? Ejemplo: ¿Cual es el 20% de 300? 300 → 100 % x

→ 20%

300 100 = x 20

Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones:

100 x = 300 ⋅ 20 100 x = 6.000 x = 60


30


Caso II: ¿Qué tanto por ciento es un número de otro? Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento es 30 de 800? 800 → 100% 30 → x% 100 800 = 30 x

Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones 800 x = 100 ⋅ 30 800 x = 3.000 x = 3,75 %

Caso III: ¿De qué número a es el b%? Ejemplo: ¿De qué número 80 es el 5%? x → 100% 80 → 5% x 100 = 80 5

Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones: 5 x = 80 ⋅ 100 5 x = 8000 x = 1.600

Consideremos dos nuevas situaciones que también se presentan con frecuencia: 1. Aumento de un número en un cierto porcentaje Ejemplo: Aumentar 7.500 en un 19% 19 ⎞ ⎛ 7.500 ⋅ ⎜1 + ⎟ 100 ⎠ ⎝ 7.500 ⋅ 1,19 = 8.925

2. Disminución de un número en un cierto porcentaje Ejemplo: Disminuir 63.000 en un 5%


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5 ⎞ ⎛ 63.000 ⋅ ⎜ 1 − ⎟ ⎝ 100 ⎠ 63.000 ⋅ 0,95 = 59.850

Hay expresiones que presentan ciertas características: Propiedad 1: El a % de b es igual al b % de a. Ejemplo: El 20% de 70 es igual al 70% de 20 70

100 20 x = 14

El 20% de 70 es: x

El 70% de 20 es:

=

20 100 = x 70 x = 14

Propiedad 2: El b % del c % del d %....................de “a” es: ⎛ b ⎛ c ⎛ d ⎛ .......... ...... ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⋅ a ⎟ ⎟ ⎜ 100 ⎜ 100 ⎜ 100 ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝

Ejemplo: El 15% del 12% del 9% del 4% de 3.000 es:

(0,15(0,12(0,09(0,04 )))) ⋅ 3.000 = 0,194 Propiedad 3: Variación Porcentual, es la razón entre la diferencia del valor final al valor inicial, al valor inicial, expresada porcentualmente Δ=

Vf − Vi ⋅ 100 . Vi

Δ% = (

También puede expresarse

Vf − 1) ⋅ 100 = .......% fórmula agregada Vi

Ejemplo: El I. P. C del mes de Febrero fue de un 1,2% y el IPC de Marzo del mismo año 1,3% Determine la variación porcentual. Δ=

1,3 − 1,2 ⋅ 100 = 8,33% 1,2


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Problemas Resueltos: 1. En un centro comercial por fin de temporada todos los artículos son rebajados en un 20%. Después de un mes todos los artículos vuelven a rebajarse en un 10%.Si originalmente un pantalón cuesta $9.000. a. ¿Cuanto vale después de la primera liquidación? b. ¿Cuanto vale después de la segunda liquidación? c. ¿La oferta sería la misma si originalmente todos los productos hubiesen sido rebajados en un 30%? Solución:

a. 9.000 ⋅ 0,80 = $7.200 b. 7.200 ⋅ 0,90 = $6.480 c. 9.000 ⋅ 0,70 = $6.300 La oferta sería diferente ya que se están aplicando disminuciones sobre bases distintas. 2. El precio de un equipo de música es de $250.000 si este se cancela al contado. Es posible cancelar a crédito en 10 cuotas de $28.500. ¿En que tanto por ciento aumenta el precio del televisor si se compra a crédito? Solución: La diferencia de precio entre la compra a crédito y contado es: 285.000 – 250.000 = $35.000, por lo tanto:

250.000 100 = 35.000 x x =14% de aumento 3. Un comerciante compra un producto en $250.000 la unidad, precio neto, pero desea obtener una ganancia del 8% sobre el precio neto. Determine el precio de venta al público. Solución. Al precio neto agregamos la ganancia y luego el IVA

250.000 ⋅1,08 = $270.000 270.000 ⋅1,19 = $321.300 Pr ecio venta público : $321.300 4. Por un trabajo realizado, Ud. recibe $750.000, los cuales son cancelados mediante boleta de honorarios, legalmente, se le retiene un 10%, calcule la retención.

$750.000 → 90% $x → 100% 750.000 90 = 100 x x = $833.333 Por lo tan to se le retiene : 833.333 − 750.000 = $83.333


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Clase de Taller. Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal: 1. Utilidades anuales correspondientes a $40.000.000 serán repartidas entre tres socios A, B y C de modo que: A recibirá el 38% del monto total, B recibirá el 70% de lo de A, más $2.000.000 y C recibirá lo restante. ¿Cuanto recibirá cada uno? Respuesta: A: $15.200.000 B: $12.640.000 C: $12.160.000 2. En un centro deportivo, se renuevan los siguientes implementos deportivos: 5 trotadoras, 4 bicicletas hidráulicas dobles y 2 bancas con pesas. Si cada trotadora cuesta $420.990, cada bicicleta hidráulica doble $97.990 y cada banco con pesas $69.990. Determine el total a cancelar si por pago al contado, le efectúan un descuento de un 15%, agregando además un 19% de IVA Respuesta: $2.667.214 3. El precio de costo y el precio de venta de un artículo están en la razón 13: 17. Si la ganancia fue de $18.500. ¿Cual fue el precio de venta del artículo? ¿Cual fue el porcentaje de ganancia? Respuesta. Precio de Venta: $78.625 Porcentaje de ganancia: 30,77% 4. En la permanente discusión, en una empresa si los hombres o las mujeres presentan mayor cantidad de inasistencias, se realizó una investigación, la que en un día dio la siguiente información: El día investigado asiste el 80% de los empleados, habían solo 210 mujeres, que corresponden al 70% del total de mujeres. Si el 30% de los empleados de esta empresa son mujeres. a. b. c.

¿Cuantas mujeres hay en la empresa? ¿Cual es el total de empleados de esta empresa? ¿Cuantos hombres faltaron ese día?

Respuesta: a. 300 mujeres

CLASE

b. 1.000 mujeres c. 110 hombres

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APRENDIZAJES ESPERADOS Refuerzan aprendizajes esperados, de las clases 1 a 12, preparación Evaluación Nacional

CONTENIDOS Reforzamiento Evaluación Nacional Estandarizada de los aprendizajes esperados de las clases 1 a 12

Resolver en forma grupal o individual, los siguientes problemas, en preparación de la primera Evaluación Nacional 1. Un vendedor viajero recorrió en su último viaje 3.360 kilómetros, viajando por todo Chile, gastando en total 160 litros de bencina. Si hubiese recorrido 210 kilómetros. ¿Cuanta bencina hubiese ocupado? Respuesta: 10 litros 2. En una fábrica trabajan 35 hombres y 12 mujeres, al final de año se retiran 1 7 de los hombres y 1 3 de las mujeres, en busca de nuevas perspectivas económicas. Al año siguiente se contratan 4 hombres y 3 mujeres. ¿Cual es la cantidad total de actual de trabajadores en la empresa? Respuesta: 45 trabajadores 3. Para la instalación y puesta en marcha, de un equipo de refrigeración, la

cuarta parte

del tiempo se utiliza en la

planificación para la ubicación del equipo; la sexta parte del tiempo en la instalación física del equipo y la novena parte del tiempo se destina a una marcha blanca ¿Qué cantidad del tiempo restante le quedará para atender otras tareas? Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Respuesta:

17 36

4. Un hombre puede hacer un trabajo en

18

7 36 días ¿Qué parte del trabajo

1 puede hacer en 3 días? 192 Respuesta: 655 5

5. En el sitio Mapcity de Internet, se establece que la razón de las distancias entre 2 puntos es de 1cm. por 1.000 m. Si en pantalla se puede observar una distancia de 3,5 cm. entre 2 puntos ¿Cual es la distancia real en kilómetros? Respuesta: 3,5 kilómetros 2

6. Las pruebas de calidad de una nueva pintura han permitido evaluar su poder cubridor de 30 m por galón. ¿Cuántos galones serán necesarios para pintar 60 paneles de 2 metros x 3 metros Respuesta: 12 galones

cada uno?

7. Cuarenta trabajadores han levantado una torre de 15 pisos en 250 días, si se quiere levantar una torre de 10 pisos con los mismos trabajadores. ¿Cuántos días demorarán? Respuesta: 166,67 días 8. El volumen V de madera útil que produce un tronco de cierta especie de árbol es directamente proporcional a su altura h y al cuadrado de su diámetro d. Si un tronco de 10 metros de altura y 20 centímetros de diámetro produce 24 decímetros cúbicos de madera, con estas unidades, determine la constante de proporcionalidad. Respuesta: k = 0,006 9. Una obra cuyo presupuesto inicial alcanza la cifra de $150.000.000 ha requerido un aumento en consideración al ítem mayor obra por una cifra de $55.000.000 ¿En que porcentaje aumento el presupuesto? Respuesta: 36,67% de aumento 10. Los estudios revelan que construir un edificio de 6 pisos, requiere 18 día por piso. Si la tabla muestra el estado de avance en porcentaje de cada piso, determinar el número de días que faltan para terminar la obra. PISO 1 2 3 4 5 6

% DE AVANCE 100 100 100 89 35 0

Respuesta: 32 días


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CLASE

14 APRENDIZAJES ESPERADOS

Desarrollan evaluación sumativa

CLASE

CONTENIDOS Evaluación Nacional Estandarizada de los aprendizajes esperados de las clases 1 a 12

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APRENDIZAJES ESPERADOS - Resuelven ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral

CONTENIDOS - Ecuación de primer grado Resolución y aplicaciones a la resolución de problemas

Ecuaciones Una de las herramientas mas importantes que nos ofrece el álgebra es poder expresar en forma simbólica diversos problemas cotidianos y del ámbito profesional o laboral. Estas expresiones a su vez nos permiten conocer las restricciones o cualidades que los elementos involucrados en dicha expresión deben tener para que ella se válida. Para conocer estos aspectos estas expresiones algebraicas se transforman en ECUACIONES, a las cuales debemos dar solución, encontrando así la respuesta al problema que deseamos resolver. Ecuaciones de primer grado La igualdad de dos expresiones algebraicas, que se cumple para uno o más valores de la o las variables que intervienen en estas expresiones, se denomina ecuación algebraica. Estas ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo al máximo exponente que tenga la variable, así se tiene por ejemplo: 5 x + 2 = 3x + 1 Ecuación de primer grado: Ecuación de segundo grado:

3x 2 − 7 = 4 x + 1

Una ecuación se puede representar por una balanza, la cual debe permanecer en perfecto equilibrio durante el desarrollo de la ecuación. Por ejemplo: Resolver la ecuación:

3x + 2 = x − 4

3x

X-

Restando 2 en ambos miembros de la igualdad: 3x

X-

3x = x − 6 2x

Restando x en ambos miembros de la igualdad:

6

2x = 6 Dividiendo por 2 ambos miembros de la igualdad:

x

3

X=3


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El ejemplo anterior nos muestra el proceso básico de una resolución de una ecuación de primer grado. En general se puede decir que esta igualdad no se altera si en cada uno de sus miembros se efectúan la misma operación, Algunas reglas que nos servirán para la resolución de ecuaciones: 1º A toda igualdad se le puede agregar o quitar una cantidad sin alterarla, siempre que se haga sobre ambos lados de dicha igualdad. Por ejemplo; todos sabemos que 2 = 1 + 1, si agregamos una unidad a cada lado de la igualdad obtenemos 2 + 1 = 1 + 1 + 1 lo que implica que 3 = 1 + 1 + 1 que también resulta ser verdadero. 2º Toda igualdad puede ser multiplicada y/o dividida en ambos lados por cualquier número real distinto de 0 manteniéndose la igualdad inalterable. 3º Toda ecuación de primer grado con una variable se puede escribir de la forma ax + b Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:

[

]

1. 3 x + − 5 x − ( x + 3) = 8 x + (− 5 x − 9) )

3 x + [− 5 x − x − 3]= 8 x − 5 x − 9

3x − 6 x − 3 = 3x − 9 − 3x − 3 = − 9 + 3 − 6x = − 6 x =1

2.

3x 2 x 1 − + =0 5 3 5

El mínimo común denominador es 15, por lo tanto:

15 ⋅

1 2x 3x − 15 ⋅ + 15 ⋅ = 0 5 3 5

9 x − 10 x + 3 = 0

− x + 3= 0 − x=−3 x =3


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Resolver el siguiente problema: Se ha reparado una tercera parte de la carretera Santiago – Valparaíso. Si falta por reparar las 3/5 partes más 800 metros. ¿Cual es la longitud total a reparar? Solución: 1 3 x= x + 800 3 5 15 x − 5 x = 9 x + 12.000 x = 12.000 mts. x−

CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS - Resuelven ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral

CONTENIDOS - Ecuación de primer grado Resolución y aplicaciones a la resolución de problemas

Resolver los siguientes problemas, en forma grupal o individual. 1. En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso? Respuesta: Primer piso: 32 habitaciones; Segundo Piso: 16 habitaciones 2. Repartir 300 dólares entre tres personas A, B, C, de modo que la parte que le corresponde a B sea el doble de la de A y la de C el triple de A. Respuesta: A= 50 dólares; B = 100 dólares y C = 150 dólares 3. Dos ángulos suman 180° y el doble del menor excede en 45° al mayor. Hallar los ángulos Respuesta: Los ángulos miden respectivamente, 75° y 105°. 4. Los ingresos de un trabajador durante el primer trimestre del año están dados bajo la siguiente condición:”Lo recibido el mes de febrero es

3 de lo recibido en el mes de enero y lo recibido en el mes de marzo es el doble de lo recibido en el mes de febrero”. Si el 4

total recaudado en este periodo del año es de 812.500 pesos. Hallar los montos ingresados en cada uno de estos meses señalados. Respuesta: Enero: $250.000; Febrero: $187.500; Marzo: $ 375.000 5. Un comerciante de artículos deportivos compró 1.000 pares de zapatillas a $15.000 cada una. Vendió 400 pares de ellas obteniendo una ganancia del 25% ¿A qué precio deberá vender los restantes 600 pares de zapatillas, si la utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30%? Respuesta: Vendió los restantes 600 pares de zapatillas a $20.000


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6. Un grupo de trabajadores han instalado la tercera parte de un cierro perimetral de una carretera. Si falta por instalar las 3/5 partes más 550 m. ¿Cuál es la longitud total del cierro a instalar?

1 3 x − x = x + 550 3 5 15 x − 5 x = 9 x + 8.250 Respuesta: 8.250 metros

CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS - Resuelven ecuaciones de segundo grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral

CONTENIDOS - Ecuaciones de segundo grado Resolución y aplicaciones a la resolución de problemas

Ecuaciones de segundo grado: Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, son aquellas cuya forma general es.

ax 2 + bx + c = 0

a ≠ 0 b, c ∈ IR

Las ecuaciones de segundo grado las podemos resumir en el siguiente cuadro:

ax 2 + bx + c = 0 Ecuación Completa General x 2 + bx + c = 0 Ecuación Completa Particular ax 2 + bx = 0 ax 2 + c = 0

Ecuación Incompleta Binomial Ecuación Incompleta Pura

Fórmula General de una ecuación de segundo grado:

− b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c x= 2⋅a Resolver la ecuación cuadrática: 2 x − 5 x − 3 = 0 2

En nuestro ejemplo tenemos que: a = 2 Por lo tanto: x=

b=−5

c= −3

5 ± ( −5 ) 2 − 4 ⋅ ( 2 ) ⋅ ( −3 ) 2( 2 )


39


x=

5 ± 25 + 24 4

5 ± 49 4 5±7 por lo tanto las raíces o soluciones son: x= 4 x=

x1 =

5 + 7 12 = =3 4 4

x2 =

5−7 2 1 =− =− 4 4 2

Resuelva la ecuación de segundo grado: 3 x − 5 x + 2 = 0 2

Solución: 1 y

2 3

Resolver el siguiente problema. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 metros. Si cada dimensión reaumenta en 4 metros, el área será el doble. Determine las dimensiones de la sala Solución:

x : Largo de la sala x − 4 : Ancho de la sala x + 4 : Largo de la sala aumentado en 4 metros x − 4 + 4 = x : Ancho de la sala aumentado en 4 metros Área = largo x ancho

x ( x − 4) ⋅ x = x 2 − 4 x Área original de la sala ( x + 4) ⋅ x = x 2 + 4 x Área de la sala una vez aumentadas sus dimensiones en 4 metros cada una Por lo tanto:

x 2 + 4 x = 2( x 2 − 4 x) x 2 − 12 x = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado, obtenemos:

x = 12 Por lo tanto el largo de la sala es de 12 metros y el ancho 8 metros


40


CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS - Resuelven ecuaciones de segundo grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral

CONTENIDOS - Ecuaciones de segundo grado Resolución y aplicaciones a la resolución de problemas

Resolver los siguientes problemas, en forma grupal o individual. 1. Un comerciante, compró cierto número de sacos de cemento por 1.000 unidades monetarias. Si hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 unidades monetarias menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno? Respuesta: 40 sacos y 25 unidades monetarias 2. Determine el valor de x

Respuesta: 70,7 metros 3. Determinar el valor de c (diagonal) y el área del cuadrado

Respuesta: Diagonal: 9,9 metros.

Área del cuadrado: 49 m

2

4. Determine el valor del lado desconocido

Respuesta: 5,4 metros


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5. Calcule la longitud de la escalera, sabiendo que está apoyada en la pared a una distancia de 1,8 metros y alcanza una altura de 7 metros.

Respuesta: 7,23 metros 6. Una antena está sujeta al suelo por dos cables que forman un ángulo recto de longitudes 27 y 36 cm. ¿Cuál es la distancia que separa los dos puntos de unión de los cables con el suelo?

Respuesta: 45 centímetros

CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS Resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral

CONTENIDOS Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Resolución Graficación Resolución de problemas

En muchos casos existen problemas que es necesario conocer el valor de más de una variable o incógnita, para lo cual en general, debemos disponer de tantas ecuaciones como variables se deseen conoce, las cuales forman en conjunto lo que se denomina SISTEMA DE ECUACIONES. La forma o método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en reducir las ecuaciones de forma tal que se obtenga una nueva ecuación que deberá contener solo una de las variables. Resolviendo esta ecuación y conociendo el valor de la incógnita es posible determinar el valor de las restantes.


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Ejemplo:

3 x + 2 y = 19 4x − 3y

= 14

Amplificando la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 obtenemos:

9 x + 6 y = 57 8 x − 6 y = 28 Sumando ambas ecuaciones, tenemos:

17 x = 85 ⇒ x = 5 Conocido el valor de x, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones y calculamos el valor de y.

3 ⋅ 5 + 2 y = 19 ⇒ 2 y = 19 − 15 ⇒ 2 y = 4 ⇒ y = 2 Resolver.

8x − 5 = 7 y − 9 6x = 3y + 6

8x − 7 y = − 4 6x − 3y = 6 Amplificando la primera ecuación por – 3 y la segunda por 4 obtenemos:

− 24 x + 21y = 12

24 x − 12 y = 24 Sumando ambas ecuaciones, tenemos:

9 y = 36 y=4 Conocido el valor de y, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones y calculamos el valor de x =3


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Resolver el siguiente problema: Se sabe que el total de la pintura de fachadas que se requiere para una construcción es de 160 galones, si por error de despacho se cuenta con el triple del verde musgo y el doble del amarillo colonial, por un total de 400 galones. ¿Cuántos galones se requiere de cada color?

x + y = 160 3 x + 2 y = 400

ecuación1 ecuación 2

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos; X = 80 galones de verde musgo Y = 80 galones de amarillo colonial

CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS Resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral

CONTENIDOS Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Resolución Graficación Resolución de problemas

Resolver los siguientes problemas, en forma grupal o individual. 1. Hallar la base y la altura de un rectángulo sabiendo que si se aumenta 3 cm. la altura y se disminuye 2 cm. la base, su área no aumenta ni disminuye, siendo además la altura 2 cm. mayor que la base. Respuesta.: base = 10 cm.; altura = 12 cm. 2. Si el largo de un rectángulo fuese 9 cm. más corto y el ancho fuese 6 cm. más largo, la figura sería un cuadrado con la misma área que el rectángulo. ¿Cuál sería el área del cuadrado? Respuesta.: 324 cm2 3. Un arquitecto planta algunos árboles y arbustos en la margen de un río. Instala 25 plantas por un costo total de 1.500 unidades monetarias. ¿Cuantos árboles y cuantos arbustos plantó si cada árbol cuesta 100 unidades monetarias y cada arbusto cuesta 50 unidades monetarias? Respuesta: 5 árboles y 20 arbustos 4. Dos barcos navegan en el mismo sistema de coordenadas. Uno de ellos sigue un curso descrito por

2 x + 3 y = 6 , y el otro sigue un

curso descrito por 2 x − 3 y = 9 a. ¿Hay posibilidad de una colisión? b. Encuentre las coordenadas del puntote peligro Respuesta: a. Si existe posibilidad de coalición b. (3,75; − 0,5) Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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5. Para una actividad de beneficencia se confeccionaron 120 invitaciones, las cuales se ofrecerán a 2.000 pesos las del almuerzo y a 1.000 pesos las de la once. Si en total se recaudan 200.000 pesos. Calcular la cantidad de invitaciones utilizadas en el almuerzo y las utilizadas en la once. Respuesta: ochenta entradas para el almuerzo y cuarenta entradas para la once. 6. En una granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? Respuesta: 100 botellas de 2 litros y 20 botellas de 5 litros

CLASE

21

APRENDIZAJES ESPERADOS - Resuelven ecuaciones exponenciales - Resuelven ecuaciones logarítmicas

CONTENIDOS - Ecuaciones exponenciales Resolución - Ecuaciones logarítmicas Resolución

Aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia, se consideran una Ecuación Exponencial:

ax =by ⇔ a = b y x = y Para resolver este tipo de ecuaciones, una vez igualadas las bases, se igualan los exponentes, transformándose la ecuación exponencial en una ecuación de primer o segundo grado, según corresponda. Cuando en las ecuaciones exponenciales, no podemos igualar los exponentes recurriremos a los logaritmos.

Las condiciones que se necesitan parar resolver Ecuaciones Exponenciales, hacen referencia al concepto de potenciación y Radicación, recordemos que:

Potencia Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente. Exponente 34=

Se lee:

3*3*3*3 Base es 3

tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta

El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).


45


Ejemplos: 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces. 32=3·3= 9 5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625

El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces. El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.

Una potencia puede representarse en forma general como: an = a · a · a · ........ Donde:

a = base

n = exponente “n” factores iguales

Recuerde que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.

Propiedades de Potencias a. Producto de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. Ejemplo: 2 ⋅ 2 = (2x2x2) x (2x2x2x2x2) = 2 8 = 2 3+5 (como la base (2) es la misma, los exponentes se suman) y da como resultado = 2 3+5 = 256 3

5

Si m y n son números naturales, entonces:

x m ⋅ x n = x m+ n b. División de potencias de igual base Para dividir potencias que poseen la misma base diferente de cero, se conserva la base y se restan los exponentes. Ejemplo: 2 ÷ 2 = = (2x2x2x2x2) ÷ (2x2) =2 5-2 = 2 3= 8 5

2

Si m y n son enteros, entonces:

xm = x m−n n x c. Potencia de un producto Si queremos realizar la siguiente operación: (2x3) 3 observamos que (2x3) 3 = (2x3) x (2x3) x (2x3) = (2x2x2) x (3x3x3) = 2 3 x 3 3. Para calcular el resultado también podemos multiplicar (2x3) y elevar el producto al cubo


46


(2x3) 3 = 6 3 = 216 O bien, elevar al cubo cada uno de los factores, que sería: 2 3 = 8 y 3 3 = 27 y luego, multiplicar el resultado: 8 x 27 = 216. Si m y n son números naturales:

( x ⋅ y )n

= xn ⋅ yn

d. Potencia de un cociente La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor. Tenemos que elevar el dividendo y el divisor a dicha potencia. Ejemplo: (6:2) 2 = 6 2: 2 2 = 9; Porque: (6:2) 2 = 3 2 = 9 Si m y n son números naturales, entonces: n

⎛ x ⎞ xn ⎜⎜ ⎟⎟ = n ( y ≠ 0) y ⎝ y⎠ e. Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia, se conserva la misma base y luego se multiplican los exponentes. Ejemplo: (2 2) 3 = 64; porque: 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64; o también podemos multiplicar los exponentes: es decir, 2 x 3 y, luego elevar la base a dicho resultado. (2 2x3) = 2 6= 64 Si m y n son números naturales, entonces:

(x )

m n

= x m⋅ n

http://www.escolares.net/trabajos_interior.php?Id=120 Potencia de un exponente cero y negativo Exponente cero: Por definición matemática, todo número real distinto de cero, elevado al exponente cero es igual a 1.

x 0 = 1 ( x ≠ 0) Exponente negativo: Si n es un número entero negativo y x es distinto de cero

x −n =

1 xn

Por ejemplo a2 / a4 = a2 - 4 = a-2 = 1 / a2 o bien (a x a) / (a x a) (a x a) = 1 / (a x a) = 1 / a2


47


Todo número real distinto de cero y elevado a un exponente negativo, es igual a la fracción de 1 dividido por dicho número elevado a su exponente con signo positivo A la inversa, toda fracción, cuyo denominador es un número real distinto de cero y está elevado a una potencia con signo negativo, es igual a dicho número elevado a la misma potencia con exponente positivo https://www.u-cursos.cl/ieb/2008/1/0352/227101/material_docente/objeto/8401 -

Radicales (Raíces) Raíz enésima de un número de un número real: Si n es un número natural y a y b sinnúmeros reales tales que

a n = b , entonces se dice que a es la raíz enésima de b.

Para n = 2 y n =3, las raíces se conocen como raíces cuadradas y raíces cúbicas respectivamente. Ejemplos de raíces:

− 2 y 2 son raíces cuadradas de 4, ya que (−2) 2 y 2 2 = 4 − 4 es una raíz cúbica de − 64 , ya que (−4) 3 = − 64 Número de raíces de un número real b

La notación El símbolo

n

Índice

b

Número de raíces

n par

b>0

Dos raíces reales (una raíz principal

n par

b<0

Sin raíces reales

n par

b=0

Una raíz real

n impar

b>0

Una raíz real

n impar

b<0

Una raíz real

n impar

b=0

Una raíz real

b , llamada radical, denota la raíz enésima principal de b es el signo radical, y el número b dentro del signo radical es el radicando. El entero positivo n es el índice del radical.

Para las raíces cuadradas(n =2), se escribe

b en vez de 2 b

Ejemplo 1: a. Determine el número de raíces de cada número real. i)

25

En este caso b >0, n es par y existe una raíz principal que es 5 ii).

3

− 27

en este caso b < 0, n es impar y existe una raíz que es – 3 2. Evaluar: a.

6

64 = 2, ya que 2 6 = 64


48


4 2 = − 25 5

b. −

Exponentes racionales y radicales 1. Si n es un número natural y b es un número real, entonces:

b

1

=n b

n

Si b < 0 y n es par, b

1

n

no está definido

Ejemplo:

9

1

= 9 =3

2

(−8)

m

3

m

2. Si

b

1

=3 −8 =− 2 es un número racional reducido a su mínima expresión (con m, n, naturales), entonces:

n

1

= (b n ) m o en forma equivalente b

n

m

n

= n b m siempre que exista

Ejemplo:

(27)

2

3

1

= (27 3 ) 2 = 3 2 = 9

Expresiones que comprenden exponentes racionales negativos:

a

−m

n

1

= a

m

a≠0 n

Ejemplo:

4

−5

2

=

1 4

5

= 2

1 ( 4) 5

=

1 1 = 2 5 32

Propiedades de los radicales Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los que existen las raíces indicadas, entonces 1.

(n a ) n = a


49


Ejemplo:

( 7)

5

5

2.

n

=7

a ⋅b =n a ⋅n b

Ejemplo: 3

216 =

3.

n

27 ⋅ 8 =

3

a = b

n

a

n

b

3

27 ⋅ 3 8 = 3 ⋅ 2 = 6

Ejemplo:

3

4.

25 = 8

m n

3

25

3

a =

8

m⋅ n

=

5 2

a

Ejemplo: 3

64 =

3⋅2

64 = 6 64 = 2

Suma y resta de expresiones con radicales Las expresiones con radicales con el mismo índice y el mismo radicando se llaman radicales iguales o semejantes. Por ejemplo

3 2 y 5 2 son radicales semejantes, no obstante 2 5 y − 4 7 no son radicales semejantes, porque los radicandos son diferentes

2 5 y 33 6 no son radicales semejantes, porque los índices son diferentes. La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma o resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados. Ejemplos; a. 12 b.

5 + 3 5 = 15 5

27 − 12

En nuestro ejemplo, tenemos radicales con el mismo índice, pero radicandos diferentes, entonces, utilizando las propiedades de los radicales, tenemos:


50


27 − 12 = 9⋅3 −

4⋅3

3 3 −2 3= 3 Las raíces no son distributivas respecto de la suma y resta:

a±b

=/

a± b

Ejemplo:

64 + 36

=/

64 +

36 .

Lo correcto es

64 + 36 = 100 = 10

Producto y Cuociente de Radicales El producto de dos radicales, con el mismo índice es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicando de los factores.

bn a ⋅ d n c = b ⋅ d n a ⋅ c Ejemplo: 2 5 ⋅3

15 15 75 75 6 = 6 5⋅ =6 = 6⋅ = 75 = 3 75 4 4 4 2 4

El cuociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, al cuociente de los coeficientes y radicandos de los radicales dividendo y divisor.

bn a b n a = dn c d n Ejemplo.

2 5: 3 7 =

2 5 3 7

RACIONALIZACIÓN Operación que consiste, en eliminar el término radical del denominador de una fracción. Los casos más comunes, en que se presenta la racionalización son tres: - Caso monomio con raíz cuadrada - Caso monomio con raíz de cualquier índice. - Caso binomio con suma o con resta -

Caso 1.- Racionalización de fracciones de la forma

p a

Se amplifica por el radical del denominador.


51


4

Ejemplo:

4

=

6

6

6

⋅

6

4 6

=


( 6)

2

2 6 3

=

p n

ak

Se amplifica por una raíz de igual índice, y se completa el exponente de la potencia dada.

6 = 6 16

Ejemplo:

6 6

2

⋅

4

6

22

6

2

2

=


-

6 6

3

2

2

6

= 33 2

p a± b

Se amplifica por el conjugado del término del denominador. Ejemplo: 5+ 3 5− 3

=

5+ 3 5− 3

⋅

5+ 3 5+ 3

=

5 + 2 15 + 3 8 + 2 15 2( 4 + 15 ) = = = 4 + 15 5−3 2 2

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales.

1. 5

2 x +1

= 25 4 x −1

Igualando las bases, tenemos.

5 2 x +1 = (5 2 ) 4 x −1 5 2 x +1 = 58 x − 2 Igualadas las bases, igualamos los exponentes:

2 x + 1= 8x − 2

2 x − 8x = − 2 − 1 − 6x = − 3 1 x= 2


52


⎛1⎞ 2. ⎜ ⎟ ⎝4⎠

x −1

⎛1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝8⎠

⎛⎛ 1 ⎞2 ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

3− 2 x

=

x −1

2 x −2

⎛ ⎛ 1 ⎞3 ⎞ ⋅ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝

⎛ 1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝2⎠

−4 x +7

1 32

9 −6 x

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠

3−2 x

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠

5

5

5

−4 x + 7 = 5 −4 x = − 2 x=

1 2

Resuelva la siguiente ecuación exponencial:

(c )

3 x +1 4 x −3

(

÷ c 2− x = c 6 x −1

) ⋅ (c ) x

2 x 3 x −1

Respuesta: x = − 5 En los siguientes problemas, resolveremos ecuaciones exponenciales, en las cuales no es posible igualar las bases, por lo tanto recurriremos a los logaritmos, es importante conocer logaritmos, vistos en clases anteriores para resolver problemas de este tipo.

Repaso: Se denomina logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

log a x = b ⇔ a b = x Condiciones: a positivo y distinto de 1; x es un número real positivo el cual se llama argumento del operador log o también antilogaritmo Se lee: “el logaritmo en base a del número x es b”, o también: “el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base” Ejemplos: 1. Escriba en forma logarítmica: 2 = 8 3

Solución: 2 = 8 ⇔ log 2 8 = 3 3

2. Escriba en forma exponencial log 5 25 = 2


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Solución: log 5 25 = 2 ⇔ 5 = 25 2

Los logaritmos tienen diversas aplicaciones en las áreas de la economía, la tecnología, la arquitectura y fenómenos socioeconómicos, por ejemplo, es posible realizar cálculos relacionados con cálculo de pH; Magnitud de terremotos, intensidad del sonido, presión sanguínea, presión barométrica etc. Los dos sistemas de logaritmos más utilizados son el sistema de los logaritmos comunes, cuya base es el número 10, y el sistema de logaritmos naturales, cuya base es el número irracional e = 2,711828....... Además, la práctica común es escribir log en vez de

log10 y ln en lugar de log e Cambio de base: la siguiente expresión, permite cambiar de base “b” a base “a”:

log b =

log a N log a b

Ejemplo: Dado log 2 5 , cambiarlo a la base 10 y a la base e, compruebe con la ayuda de su calculadora científica que el valor obtenido en ambos casos es idéntico Solución: log 2 5 =

log 5 ln 5 = = 2,3219..... log 2 ln 2

Propiedades de los logaritmos.

1. log a 1 = 0 2. log a a =1 3. log a a x = x 4. log a (u ⋅ v) = log a u + log a v ⎛u⎞ 5. log a ⎜ ⎟ = log a u − log a v ⎝v⎠ 6. log a (u ) n = n ⋅ log a u 1 7. log a n u = log a u n Nota:

log a (u + v) ≠ log a u + log a v log a u ≠ log a u − log a v log a v Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Los siguientes ejemplos ilustran las propiedades de los logaritmos. 1. log(2 ⋅ 3) = log 2 + log 3

2. ln

5 = ln 5 − ln 3 3

3. log 7 = log 7

1

2

=

1 log 7 2

Resuelva: 1. 4 = 7 x

Solución: Como los logaritmos de números iguales son iguales, podemos tomar el logaritmo común (o logaritmo natural) de cada lado de la ecuación. La regla de potencia de logaritmos entonces proporciona una forma de cambiar la variable x de su posición como exponente a una posición como coeficiente.

4x =7 log 4 x = log 7 x log 4 = log 7 log 7 x= Use calculadora log 4 x = 1,54037 2.

6 x −3 = 2 x aplicando logaritmo log 6 x −3 = log 2 x ( x − 3) log 6 = x log 2 x log 6 − 3 log 6 = x log 2 x log 6 − x log 2 = 3 log 6 x(log 6 − log 2) = 3 log 6 3 log 6 x= log 6 − log 2 x = 4,8928

3.

73= 1,6(1,03) t 73 = 1,03t 1,6 45,625 = 1,03t aplicando logaritmo log 45,625 = t log1,03


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log 45,625 =t log 1,03

t =129,2493 Resolución de Ecuaciones Logarítmicas En cada uno de los siguientes ejemplos, utilizamos las propiedades de los logaritmos para cambiar una ecuación logarítmica a una ecuación algebraica. Resolver:

log(3x + 2) − log(2 x − 3) = 0 log(3x + 2) = log(2 x − 3)

1.

Si log a r = log a s, entonces r = s

3x + 2 = 2 x − 3 x=−5

log x + log( x − 3) =1 log x( x − 3) = log 10 x( x − 3) =10 x 2 − 3x = 10 x 2 − 3x − 10 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos. x1 = − 2 x2 = 5 x1 = − 2 no es solución, porque no satisface la ecuación (un número negativo no tiene logaritmo)

2.

3.

log(5 x − 6) =2 log x

log(5 x − 6) = 2 log x log(5 x − 6) ) = log x 2 (5 x − 6) = x 2 0 = x 2 − 5 x + 6 Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos. x1 = 3

x 2 = 2 Compruebe los resultados


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CLASE

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APRENDIZAJES ESPERADOS - Resuelven ecuaciones exponenciales, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano -Resuelven ecuaciones logarítmicas , orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano

CONTENIDOS -Alternativas y estrategias de resolución de problemas atinentes a la especialidad. - Resolución de problemas

- Exploran sistemáticamente, diversas alternativas y estrategias para la resolución de problemas relacionados con la especialidad. - Resuelven problemas relacionados con la especialidad, seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo y error, y analizando la pertinencia de los datos y soluciones Resolver los siguientes problemas. 1. Según cierta información científica confiable, a partir del año 2000, la concentración de CO2 ambiental, en cierta ciudad ha ido variando según la relación: C = 175 · 1,02t; donde: C es la concentración de CO2, en ppm (partes por millón) y t = años a partir de 2000. A partir de este modelo determine la concentración de CO2 para el año 2010 Respuesta: 213,321 partes por millón 2. La concentración de pesticida en manzanas a partir de la última fecha de aplicación está dada por C = 1,5 · 0,86T, donde la concentración C está medida en miligramos del producto por cada 1 kilogramo de fruta, y el tiempo T, en días. Determine la variación en la concentración del pesticida entre el primer y tercer día de la última aplicación Respuesta: Bajó en aproximadamente un 26% 3. Bajo ciertas condiciones, una población de bacterias crece en función del tiempo según la ecuación: N = 500 · 2t, siendo N el número de bacterias del cultivo y t el tiempo, en horas. Según el modelo, determine el tiempo para el cual habrá 5 mil bacterias en el cultivo. Respuesta: 3,32 horas 4. Las utilidades de una empresa aumentan de acuerdo con la siguiente relación:

Uf = U i (1 + i ) t , donde U f es la utilidad final, U i es la utilidad inicial, i tasa de crecimiento y t es el tiempo. Si las utilidades de esta empresa han aumentado a un promedio de un 5% entre el año 2000 y el 2008, alcanzando este último año $3,5 millones, estime la utilidad para el año 2010, suponiendo que este crecimiento exponencial continúa. Respuesta: 3,86 millones de pesos 5. La altura de un cierto tipo de árbol (en pies) está dada aproximadamente por.

h=

160 , donde t es la edad del árbol en años. Estime la edad de un árbol de 80 pies de altura 1 + 240 ⋅ e −0, 2t

Respuesta: 27,4 años

6. La población de un cierto país era de 8.000.000 de habitantes el año 2005 y está creciendo a una tasa del 1% anual, suponiendo que esta tasa de crecimiento continúa. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Cuándo alcanzará este país los 10.000.000 de habitantes, de acuerdo a la siguiente relación

Pf = Pi ⋅ 1,01t , siendo Pf la población final, Pi la población inicial y t es el tiempo Respuesta: 22,43 años 7. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 500.000 habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula:

⎛7⎞ P = 50.000 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

−0 , 02 t

en donde t es el tiempo en años.

Calcule la población para el año 2.009 Respuesta: 42.927 habitantes


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Cuaderno de Apuntes Matemática aiep

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