Funciones trascendentes trascendentes Logaritmos y Exponenciales 1. Para valores valores no no negativo negativoss de x, represente gráficamente cada funcion y luego analice la gráfica
mediante cálculo: a. f x e 2 x b. f x e x /2 c. f x e 2 x d. f x e x /2 e. f x 3 e x Sol :
a :
b :
y 20000
y 10
10000
5
0 0
c :
y
2
4
0
x d :
1
2
4
x
y 10 5
0
e :
y
0
2
4
0
2
4
x
3 2
2. Represente Represente gráficame gráficamente: nte: x a. y 4 b. y 0. 4 x c. y 4 x
x
-4
-2 -2
0
2
4
x
Sol :
a :
y -4
c :
-2 -2
y -4
b :
1000
0
2
4
0
2
4
y -4
x
90
-2 -2
0
2
4
x
1000
-2 -2
x
3. Resuel Resuelve ve:: x a. 2 8 b. 2 x 10 c. 5 4 x7 125 d. 3 x
2 4 x
1 27
4 x 7 2 x 3 x1 2. 8 x 41 1. 7 x 20 log log x log x 9 1 log log x 9 log x 1 log log 5 x 4 log 5 x 4 l. log log 4 x log x
e. f . g. h. i. j. k.
m. log log 3 x 2
log 3 x 4
2
log2 3
Sol : a : 3
e : 1.4036
i : 1
b : 3.3219
f : 2.7093
j : 1
c : 5
g : 3.6064
k :
h : 5.6467
l : 1, 10 16
2 d : 3, 1 4. Halle una función función de la forma forma f x a. f 0 2, f 2 6 b. f 0 4, f 2 2 c. f 0 2, f 1 3
m :
41
ae bx con los valores funcionales dados.
2 4
Sol :
a :
y -4
c :
-2 -2
y -4
b :
1000
0
2
4
0
2
4
y -4
x
90
-2 -2
0
2
4
x
1000
-2 -2
x
3. Resuel Resuelve ve:: x a. 2 8 b. 2 x 10 c. 5 4 x7 125 d. 3 x
2 4 x
1 27
4 x 7 2 x 3 x1 2. 8 x 41 1. 7 x 20 log log x log x 9 1 log log x 9 log x 1 log log 5 x 4 log 5 x 4 l. log log 4 x log x
e. f . g. h. i. j. k.
m. log log 3 x 2
log 3 x 4
2
log2 3
Sol : a : 3
e : 1.4036
i : 1
b : 3.3219
f : 2.7093
j : 1
c : 5
g : 3.6064
k :
h : 5.6467
l : 1, 10 16
2 d : 3, 1 4. Halle una función función de la forma forma f x a. f 0 2, f 2 6 b. f 0 4, f 2 2 c. f 0 2, f 1 3
m :
41
ae bx con los valores funcionales dados.
2 4
Sol :
5. Encuentre Encuentre el valor valor de t en a. e t 100 b. e t 60 c. e t 0. 1 d. e 0.02t 0.06
a : f x
2e 1/2ln3 x
b : f x
4e 1/2ln1/2 x
c : f x
2e ln3/2 x
R:
Sol :
a : ln100 4.61 b : ln60 4.09 c : ln10 2. 3 d : 50ln 50 3
140.67
6. Exprese Exprese como un un sólo logari logaritmo tmo a. 1 log 1
1 log 1 log 1 5 5 3 3 2 1 3 b. 1 log 3 a log 3 a 4log 3 a 6 2 1 c. 2log y logc x 1 log x 2 y c 4 2 Sol : a
log
b
log
c
7. Dado Dado log b 3 a. log b 15 b. log b 3
5 c. log b 1 5 d. log b b 3 e. log b 5b f . log b 75
1.099 y log b 5
1.609, Halle:
log
3
5 3 52 3 a 43
y 2 x 2 y c 4
cx
Sol :
a : 2.708 b : 0.51 c : 1.609 d : 1.5 e : 2.609 f : 4.317 8. Encontrar x R tal que a. log 3 x 4 2 b. log 2 x 4
2
c. x 2 8 2 d. 3 x 1/3 e. log x5 3 2 f . log x 2 2 x 4 g. log 5 2 x 1 log 5 3 x 1
2
Sol : a : x
2/3
d : S
g : x
2
b : x e : x
17 4
5
3
c : x
1/3
f : x
7
2
9. Resuelva la ecuación dada para x. a. e 2 x 2 b. 2e 2 x 1 c. l n 2 x 4 d. 2 l n 4 x 1 6 e. 2e 12 x 3 f . e 2 ln x 4 g. e 4 x 3 h. 3e x /2 2 i. 2 l n 3 x 1 j. 3 l n2 x 6 2 k. 3e x 4 l. lne 2 x 6 Sol : a : 1 ln 2
e : 1 1 ln 3
i :
b : 1 ln 1
f : 2
j : e 2
c : 1 e4
g :
1
4 3
2
2
2
2
2 d : 1 e 7/2 4
1 4
2
2
ln 3
h : 2 ln
1 4 log x
1 3 log x
2 3
l : 3
1 Sol :
a x
0.01; x
b x
2; x
c x
2; x
d x
4
1 21 2 10 ; x
e x
11. Resolver las siguientes ecuaciones a. 25 x 6 5 x 5 0 b. 7 2 x 7 x1 8 0
1
e2
k : ln 2
10. Resolver las siguientes ecuaciones a. log x 5 log 2 x 6 0 b. log 2 x log 2 x 1 2 c. log7 x 9 2 log3 x 4 2 2 d. 3log 5 x log 5 32 2log 25 x /2 e.
1 3
0.001
0.25 13 21
1 21 2 10
2 1
; ln 2
4 3
c. 21 x 2 2 x1 5 x d. 5 2 x2 1 10 5 x 5 x x x 1 e. 3 3
3 x
3 x
4
Sol : a : x
0, x
c : x
log 1,05 2
e : x
1
b : x d : x
log 7 8
log 5 4; x
log 5 6
1 log 5/3 3 2
12. Resolver las siguientes inecuaciones a. log 3 x 2 3 x 4 1 b. log 1/2 x 2 1 2 c. |log2 x 6 | log x 1 d. log 2 log 1/2 x 1 1 e. 7 2 x 7 x1 8 0 f . x log 2 x1 4 x g. log 2 log 1/2 x 1 Sol : a :
3 37 2
, 1 Þ 4,
3 37 2
b :
c : 1, Ý e : Ý,log 7 8 g :
1 4
,1
Ý,
d : f :
0, 2
2
5 4
Þ
1,
3
5 4
,Ý
4
Þ 2
2
, Ý
13. Resuelva las siguientes ecuaciones e inecuaciones: a. log 9 log 1 x 2 1 log 1 x 1 2
2
0
27 x1 log4 8 log8 c. 2 x 2 x 1 2 x 2 2 x 3 960 4 9
b.
x
Sol : a x
b S
3 2 2
c S
9
14. Resuelva en R las siguientes ecuaciones e inecuaciones a. log 4 x log 1/2 2 log x 2
1
b. log 3 e x log 1/3 log
c. 1
3 log 3
d. 2
1 5 log
e x 2
1
1
log 2 4 3 x1
1 2
1 4
1
3 x1
Sol : a : S x
4
b : S x
ln 3
c : S
d : S
1; 3 1; 3
1 2 5 12
15. El control de la contaminación se ha convertido en una muy importante preocupación para todo los paises. Si no se implementan controles se predice que la funcion P 1000t 5/4 14000
describirá la contaminación promedio, en particulas de polución por centímetro cúbico, en la mayoría de las ciudades en el tiempo t , en años, donde t 0 corresponde a 1970 y t 32 corresponde al año 2002. a. Pronostique la contaminacion enlos años 2002, 2005 y 2010. b. Represente graficamente la función sobre el intervalo 0,40 Sol :
a : P32 90109;
y
P35 99130;
P40 114595.
1.1e+5 20000 0
b :
20
40
x
16. El valor V , en pesos, de una acción está modelada por V t 581 e 1.1t 20 donde V es el valor de la acción despues del tiempo t , en meses a. Halle V 1 y V 12 b. ¿después de cuantos meses el valor de la acción sera de $75? 58 1 e 1.1t 20
Solution is : t
0. 6926 2. 6926 30 : 20. 778 1 Sol : a : V 1 58.69;
75,
V 12 78
b : Aproximadamente, después de
2.69 meses 2 meses y 3 semanas . 17. El porcentaje P de médicos que aceptan una nueva medicina esta dado por: Pt 1001 e 0.2t donde t es el tiempo en meses. a. HalleP1 y P6 1001 e 0.2t 90, Solution is : t 11. 513 b. ¿Cuantos meses tomará para que el 90% de los médicos acepten una nueva medicina? Sol :
a : P1 18.13%;
P6 69.88%
b : Aproximadamente, 11. 5 meses. 18. Los estudiantes de un curso de botánica en la universidad presentaron el examen final. Luego,
presentaron formas equivalentes del examen en intervalos mensuales. La calificacción promedio St , en porcentaje, después de t meses está dada por: St 68 20lnt 1, t 0. a. ¿Cual fue la calificación promedio, cuando inicialmente presentaron la evaluación? b. ¿Cual fue la calificación promedio despues de 4 meses? c. ¿Cual fue la calificación promedio despues de 24 meses? d. ¿Que porcentaje de la calificacion inicial se mantuvo despues de 2 años?
Sol :
a : 68 puntos. b : 35.81 puntos aproximadamente. c : 3. 62 puntos aproximadamente. d : 5. 33 porciento aproximadamente. 19. Bornstein y Bornstein, en un estudio, encontraron que la velocidad promedio al caminar V de una persona en una ciudad de población P, en miles, está dada por: V p 0.37ln p 0.05, donde V se da en pies por segundo. a. La población de seattle es 531000. ¿Cuál es la velocidad promedio de una persona que
camina en Seattle?. b. La población de Nueva York es 7900000. ¿Cuál es la velocidad promedio de una persona que camina en Nueva York? Sol :
a : 2.37 p/s aproximadamente. b : 3.37 p/s aproximadamente. 20. Calcula la intensidad en decibeles del sonido de un lavaplatos que tiene una intensidad de 2500000 veces I 0 . (Utiliza la fórmula L 10log 10 I donde L es la intensidad en decibeles de un sonido de I 0 intensidad I ) Sol : 64 dec 21. Calcula la intensidad en decibeles del ruido que produce un jet con una intensidad de 10 12 veces I 0 . (Utiliza la fórmula L 10log 10 I donde L es la intensidad en decibeles de un sonido de I 0 intensidad I ) Sol : 120 dec 22. El terremoto ocurrido en San Francisco de 1906 tuvo una intensidad de 1. 8 10 8 veces I 0 .
¿Cuál fue su magnitud en la escaala de Richter? (Utiliza la fórmula R
log 10 I donde R es la magnitud en la escala de Richter de un I 0
terremoto de intensidad I ) Sol : à 8.25 23. Un terremoto tiene una magnitud de 7. 8 en la escala Richter. ¿Cuál es su intensidad? Sol : 6. 3 10 7 I 0 24. Para los huevos, H es de alrededor de 1.6 10 8 . Encuentra el pH .
(Utiliza la fórmula pH log 10 H ) Sol : 7. 8 25. Resuelve: a. log 5 x 2 1 b. |log 5 x | 2 c. log 10 x log x a 3 x1 2 d. a4
2
4
a 10 x
Sol :
a : 4 39 b : 25, 1 25 c : 100, 1 100 d : 1 2 26. Resuelve. a. y kb at , para t . Utiliza log b . b. PV n
c. log a y
c, para n. Utiliza log n .
2 x log a x, para y. Sol :
a : t
log b y log b k a
b : n
log v c log v P, o log v c
c : y
xa 2 x
P
27. Resuelve para x. 3 a. x log x x
100 b. |log 5 x | 3log 5 | x | c. 0. 5 x 4 5
4
Sol :
a : 1100 28. Si 2log 3 x 2 y
b : 5
c : 0.32193, Ý
log 3 x log 3 y, encuentra yx . Sol : 4
29. Un restaurante de comidas ràpidas le da a cada cliente un tiquete con el que puede ganar una
comida gratis con una posibilidad de 1 entre 10. Si usted va 10 veces, haga un estimativo de sus
9 10
posibilidades de ganar al menos una comida gratis. La probabilidad exacta es 1 Calcule este número y compárelo con su conjetura.
10
.
Sol : 0.651 30. En general, si usted tiene n posibilidades de ganar con una posibilidad de 1 en n en cada n ensayo, la probabilidad de ganar al menos una vez es 1 1 1 . Cuando n crece, ¿a qué n
número se acerca la probabilidad?. Sol : 1 e 0.632
Trigonometría Funciones Trigonométricas y Aplicaciones Iniciales 1. Sean x, y
R
,con x
y. Sea un ángulo agudo para que el sin
x y obtener los valores de
las restantes funciones trigonométricas
cos Sol :
cot
y 2 x 2 y y 2 x 2 x
csc
2. Sea un ángulo agudo para que el sin
tan
sec
x y 2 x 2 y y 2 x 2
y x
0. 75 obtener los valores de las restantes funciones
trigonométricas
Sol :
3. Si sin A sin A B
4 5
cos
, sin B
5 13
7 4
tan
3 7
cot
7 3
sec
7 4
csc
4 3
A y B son angulos del 2° y 1° cuadrante respectivamente Calcular Sol : 63
65
4. Expresar en términos de un ángulo comprendido entre 0° y 45° a. sin 70° b. cos 60° c. tan 81°
Sol :
a : cos20º b : sin30º c : cot8°57 5. Una escalera esta apollada contra un edificio de tal forma que su extremo inferior dista 12 mt .
del edificio. ¿A qué altura se encuentra su extremo superior y cuál es su longitud, si forma un ángulo de 60° con el suelo? Sol : 24mt.
6. Un edificio de 100 mt. de altura ubicado sobre un terreno horizontal, proyecta una sombra de
120 mt. de largo. ¿Calcular el ángulo de elevación del sol? Sol :
39,81°
7. En lo alto de una torre se ha instalado una antena transmisora de televisión. Una persona,
ubicada a 80 mt. del pie de la torre ve las cuspides de la torre y la antena bajo ángulo de elevación de 45° y 60° respectivamente, ¿Calcular la altura de la torre y de la antena? Sol : torre : 80 mt.
antena : 59 mt 8. Desde el piso 18 de un edificio se ve en frente y aliniados una casa A y un edificio B. La casa es
la más próxima tiene dos pisos y su cima se ve bajo un ángulo de depresión de 60°. El edificio B tiene 6 pisos y su cúspide se observa bajo un ángulo de depresión de 30°. ¿Calcule la distancia que separa A de B suponiendo que en promedio la altura por piso es de 3 mt.? Sol : 34, 6 mt.
9. Una torre se ve desde una distancia de 55 mt. bajo un ángulo de 43° para que este amgulo
disminuya en 10 % ¿en que tanto % ha de aumentar la distancia? Sol : 16,4%
10. Calcualar amplitud, período y ángulo de fase de la función y
3sin4 x Sol : Amplitud : 3
Periodo : /2 Angulo de fase : /4
11. Calcular las amplitudes, períodos y ángulos de fase de las funciones a. y 3sin4 x 1
Sol : amplitud : 3 Periodo :
2 angulodefase : 1 4 b. y
5sin 2 x 3 Sol : amplitud : 5 Periodo : 6 angulo de fase : 6
Identidades Trigonométricas. 1. Demostrar que: sin tan90° cos a. cot sin180° sin90 b. 1 2sec 2 x tan 2 x sec 4 x tan 4 0 c. sec4 x- sec 2 x tan 2 x tan 4 x tan tan sin d. tan tan sin sin2 x 1 cos x tan x e. cos 1 cos2 x 2 3 3 t t sin2t 2 sin cos f . sin t cos t 2 2. Simplificar la expresión
sin5 sin3 cos5 cos3 Sol : tan
3
3. Pruebe las siguientes identidades trigonométricas: cos x sin x a. sec2 x tan2 x cos x sin x sin2 x b. cot x cos2 x 1 1 cos cos 2 c. cot 2 sin sin d. e. f . g. h. i. j.
2 tan x sin x sec x 3 1 cos x sin x sin4t sin2t tan t cos4t cos2t 1 sin x cos x 2sec x cos x 1 sin x sec x tan x 2 1 sin x 1 sin x sec x sec y csc x csc y sec x y csc x csc y sec x sec y cos x y cos x y tan y sin x y sin x y 1 sin x 1 sin x 2coscot x csc 2 x 1 sec x 1 sec x
4. Demuestra las siguientes identidades. a. csc x cos x cot x sin x b. sec x sin x tan x cos x c. 1 cos sin cos 1 cos sin sin cos cos sin cos 1 d. sin cos sin 1 sin 2 sin x cos x e. 1 cos x 1 sin x x 1 cos sin x f . sin x 1 cos x tan 1 sec g. csc 1 cot h. cot 1 csc sec 1 tan x cos x sin sin x i. sec x csc x sec x x x x sin cos cos j. sec x csc x csc x k. 1 tan 1 cot 0 1 tan 1 cot 2 cot cos cos 2 tan 1 l. cos 2 cot cos 2 tan 1 m. 1 cos2 cot sin2 2tan sin2 n. 1 tan 2 sec 2 o. sec2 2 sec 2 2 p. cot2 cot 1 2cot
q. r. s. t. u. v. w. x. y. z. aa. bb.
sin tan tan cos cos cos tan cot cos sin tan sin cos 2 2tan 2 tan sin sin 2 2tan 2 4 4 cos x sin x cos2 x cos 4 x sin 4 x cos 4 x 1 tan 4 x tan3 tan 2tan 1 tan3 tan 1 tan 2 2 1 tan 1 sin2 1 tan 1 sin2 sin sin sin 2 sin 2 cos cos cos 2 sin 2 cos cos 2cos cos sin sin 2sin cos Sol : Use propiedades.
5. Demuestre que logcos x sin x logcos x sin x
logcos2 x
Sol : Use propiedades. 6. La ecuación sin
I 1 cos
I 1 cos 2
Puede suceder que I 1
I 2 sin 2
se presenta en el estudio de la mecánica.
I 2 . Suponiendo que éste es el caso, simplifica la ecuación.
Sol : sin
cos
1 se presenta en la teoría de corrientes alternas. C tan tan cos cos Muestre que esta ecuación es equivalente a R C sin
7. La ecuación R
Sol :Verdadero 8. En la teoría eléctrica se presentan las siguientes ecuaciones. E 1 2 E t cos , E 2 2 E t cos P P
Demuestre que: E 1
2
E 2
E E 2 2 E t cos cos y que 1 P 2
Sol :Verdadero
Ecuaciones Trigonométricas. 1. Resolver las siguientes ecuaciones:
2 E t sin sin P
a. tan
1
b.
2 cos x 1
/4 k , k z
0 Sol : x x
3 /4 2k
5 /4 2k
2. Resolver las siguientes ecuaciones: a. 2sin csc
, 3 , 5 , 7 4 4 4 4
Sol :
b. tan x 2sin x
0 Sol : x
c. sin x
k
x
3 /4 2k
x
5 /4 2k
1 cos x 2k 2 2k
Sol : x
3. Resolver en R a. sin x 3 cos x 1 b. sec3 x 2 tan2 x 1
x
2k
ó
x2
k
ó
x
0
Sol : a x 1
b x
2 8
2
7 2k 6 5 k 8 2
4. Encuentra todas las soluciones entre 0º y 360º, ambas inclusive. a. 2tan x 3 0 b. 6cos 2 5cos 1 0 Sol :
a : 123º41 , 303º41 app. b : 109º28 , 120º, 240º, 250º32 app. 5. Encuentra todas las soluciones desde 0 hasta 2 o 0º hasta 360º. a. 2sin x 3 0 b. 4sin 2 x 1 0 c. 2sin 2 x sin x 1
d. cos 2 x 2cos x 3 e. 2sin 2 7sin 4 Sol :
a : 4 , 5 o 240º, 300º 3 3 b : , 5 , 7 , 11 o 30º, 150º, 210º, 330º 6 6 6 6 c : , 5 , 3 o 30º, 150º, 270º 6 6 2 d : 0, 2 o 0º, 360º e : , 5 o 30º, 150º 6 6 6. Encuentra todas las soluciones de las siguientes ecuaciones entre 0 y 2 . a. cos2 x sin x sin x 0 b. tan x sin x tan x 0 c. 2sec x tan x 2sec x tan x 1 0 d. sin2 x sin x cos x 0 e. sin2 x 2sin x cos x 0 f . cos2 x cos x sin2 x sin x 1 g. sin2 x 2sin x cos x 1 0 h. sec2 x 4tan 2 x i. sec2 x 3tan x 11 0 j. cos x sin x 1
2
k. 2cos x 2sin x 6 l. 3 cos x sin x 1
Sol :
a : 0, , , 3 , 2 2 2 b : 0, , 2 c : 3 , 7 4 4 d : , , 3 , 5 , 3 , 7 4 2 4 4 2 4 e : 0, , , 3 , 2 2 2 f : 0, 2 g : , 5 , 6 6 h : , 5 , 7 , 11 6 6 6 6 i : 1.77, 4.91, 4.25, 1.11, app. j : 2 , 4 3 3 k : , 5 12 12 l : , 3 6 2 7. Construye una ecuación trigonométrica cuyas soluciones sean , 5 , y 3 sobre el dominio
12
0, 2
12
4
8. Use el intervalo de variación de para determinar el valor funcional indicado. a. sin
b. sin
c. sin
3 , 0 , halle cos 2 2 1, 0 , halle cos 3 2 1 , , halle cos 2 2 Sol :
a : 1 2 b :
8 3
c :
3 2
9. Encuentra las soluciones entre 0 y 1 de:
arccos x
arccos 3 arcsin 4 5 5 Sol :1
10. Encuentra todas las soluciones entre 0 y 2 de las siguientes ecuaciones.
1 , Solution is : 2 b. 12sin x 7 sin x 1 0 a. |cos x |
Sol :
a : ; 2 ; 4 ; 5 3 3 3 3 b : 0.062541; 3.0791; 0.11134; 3.0303 app. 11. Pruebe que para alguna constante , a. 4cos x 3sin x 5cos x b. 2sin x cos x 5 sin x Sol :
a : 0.6435 b : 0.4637
Resolución de Triángulos. 1. Se desea calcular la distancia entre dos puntos A y B de un terreno llano que no son accesibles.
Para ello, se toman dos puntos accesibles del terreno C y D y se determinar las distancias y ángulos siguientes: CD
300m;
α
BCD
α
40 ;
ACD
β
85 ;
β BDC 75 ;
ADC 35
Calcular la distancia de A a B Sol : 227.7m 2. La visual de una persona sentada a 2 millas de un sitio de lanzamiento de cohetes es de 20º en
relación con la parte más alta del cohete.¿Cuál es la altura del cohete? Sol : 2tan20º 0.73 millas 3. Una persona de 6 pies de alto está situada a 4 pies de la base de un poste de luz y proyecta una sombra de 2 pies de longitud. ¿ Cuál es la altura del poste ? Sol : La altura del poste es de 18 pies. 4. Un agrimensor está situado a 80 pies de la base de un edificio y tiene una visual de 45º en
relación con la parte más alta del edificio y de 50º en relación con la parte más alta de un mirador de cubierta esférica ubicado sobre el edificio. El agrimensor supone que el centro del mirador está 20 pies adentro del muro frontal. Halle la altura aproximada del mirador. Sol : 100tan50º 80 39 pies. 5. Suponga que el agrimensor del ejercicio anterior conjetura que el centro del chapitel está entre 20 y 21 pies hacia el muro frontal, determine qué tanto cambiaría el cálculo de la altura del
edificio el pie extra. Sol : Cambiaría menos de 1.4 pies.
6. Un alambre de suspención se sujeta a un poste formando un ángulo de 73º10 con el nivel del piso y se encuentra a 14.5 m del poste a lo largo del suelo. ¿A qué altura del poste se encuentra
sujeto el cable? Sol : A 47.93 metros app. 7. La cuerda de un cometa forma una ángulo de 31º40 con el nivel del piso y tiene una longitud de
445 metros. ¿A qué altura se encuentra la cometa? Sol : 239 m 8. Una carretera se eleva 3 m por cada 100 m horizontales. ¿Cuál es el ángulo que ésta forma con
la horizontal? Sol : 1º40 9. ¿Cuál es el ángulo de elevación del Sol cuando un objeto de 6 m proyecta una sombra de 10. 3 m? Sol : 30º10 10. Desde un globo a 2500 m de altura, se ve un puesto de mando bajo un ángulo de depresión de
7º40 . ¿A qué distancia se encuentra del puesto de mando un punto al nivel del suelo por debajo del globo? Sol : 18572 m 11. Un observador contempla la parte superior de un edificio a 173 m por encima del nivel de sus
ojos a un ángulo de elevación de 27º50 .¿A qué distancia se encuentra el edificio del observador? Sol : 328 m 12. Un avión se desplaza a 120 km / h durante dos horas en una dirección de 243º desde Chicago.
Después de este tiempo, ¿qué tan al sur de Chicago se encuentra el avión? Sol : 109 km 13. Un pentágono regular tiene lados de 30.5 cm. Calcula el radio del círculo circunscrito. Sol : 25. 9 cm 14. Un hexágono tiene un perímetro de 50 cm y se encuentra inscrito en un círculo. Calcula el radio
del círculo. Sol : 8.33 cm 15. Se monta una antena vertical sobre un poste de 50 m. Desde un punto al nivel del suelo y a 75 m de la base del poste, la antena subtiende un ángulo de 10. 5º. Calcula la longitud de la antena. Sol : 355 m
16. Desde un globo a 2 km de altura, los ángulos de depresión de dos poblaciones alineadas con el
globo son 81º20 y 13º40 . ¿A qué distancia se encuentran las poblaciones entre sí? Sol : 7.92 km 17. Un globo meteorológico se dirige hacia el oeste de dos estaciones de observación separadas entre sí por 10 km. Los ángulos de elevación del globo desde las estaciones son 17º50 y 78º10 .
¿A qué altura se encuentra el globo? Sol : 3.45 km 18. Demuestre que el área de un triángulo rectángulo en B es 1 bc sin .
2
19. Encuentra una fórmula para la distancia al horizonte como una función de la altura del
observador sobre la Tierra. Calcula la distancia al horizonte desde un avión a una altitud de 1000 m. (Tendrás que buscar cuál es el radio de la Tierra) Sol : La fórmula es d
h2r h , donde r es el radio de la tierra y
h la altura desde la cual se ubica el observador.
El avión está app. a112950 metros del horizonte. 20. Los puntos A y B se encuentran en los lados opuestos de un cráter lunar. El punto C se halla a 50 m de A. Se determina que las medidas de BAC y ACB son 112º y 42º, respectivamente.
¿Cuál es el ancho del crater? Sol :76.32m app. 21. Un poste apunta en la dirección opuesta al Sol, formando un ángulo de 7º con la vertical. Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 51º, el poste proyecta una sombra de 47 m de largo
sobre el piso. ¿Cuál es la longitud del poste? Sol : La longitud del poste es de 7.56 m app. 22. Un bote sale del faro A y navega 5.1 km. En ese momento se le puede observar desde el faro B, a 7. 2 km al oeste de A. La dirección del bote desde B es N 65º10 E . ¿A qué distancia se encuentra el bote de B? Sol : El bote se encuentra a 10.64 m del faro B. 23. Determinar los ángulos y lados que faltan del triangulo ABC dados a Sol :
28.42mt , b
a
28.42mt b
24. Resuelve los siguientes triángulos.
57°33
36,34m,
41°,18
36,34m
16 ° 15
c
41°,18 42,55
a. mC 135, a 6, b b. m A 30, b 12, c
7 24
Sol :
a : c
12.0, A
20º40 , B
b : a
14.9, B
23º40 , C 126º20
a : A
29º, B
b : A
73º40 , B
51º50 , C 54º30
c : A
25º43 , B
126º01 , C 28º16
24º20
25. Resuelve los siguientes triángulos. a. a 2, b 3, c 4 b. a 3.3, b 2.7, c 2. 8 c. a 2.2, b 4.1, c 2. 4 Sol :
46º30 , C 104º30
26. Dos barcos parten del mismo puerto a la misma hora. El primero navega N 15ºO a 25 nudos (un nudo es una milla náutica por hora). El segundo navega N 32º E a 20 nudos. Después de dos
horas, ¿a qué distancia se encuentran los barcos entre sí? Sol : Los dos barcos se encuentran aprox. a 37. 04 millas nauticas de distancia. 27. Una colina tiene una inclinación de 5º respecto de la horizontal. En la cumbre de la colina se
encuentra un poste de 45 pies de altura. ¿Qué longitud deberá tener una cuerda para alcanzar desde la punta del poste un punto que se encuentra a 35 pies de la base del mismo sobre la colina? Sol : La cuerda debe tener una longitud aproximada de 59. 37 m. 28. Un trozo de alambre de 5.5 m de largo se dobla formando un triángulo. Uno de los lados mide 1. 5 m y el otro 2 m. Encuentra los ángulos del triángulo. Sol : Los ángulos del triángulo son aproximadamente: 44º02 ; 67º59 ; 67º59 29. Un diamante de softbol es un cuadrado de 60 pies de lado. El montículo se encuentra a 46 pies
del plato. ¿A qué distancia del montículo se encuentra la primera base? Sol :El montículo se encuentra a 42. 58 pies de la primera base, app. 30. La base mayor de un trapezoide isósceles mide 14 m. Los lados no paralelos miden 10 m y los
ángulos de la base miden 80º. a. Encuentra la longitud de una diagonal. b. Encuentra el área.
Sol :
a : La longitud de la diagonal es aproximadamente de 15.73 m. b : El área del trapecio es aproximadamente de 136. 16 m.
Límites y Continuidad Límites 1. Demuestre los siguientes límites, utilizando la definición , . a. lim 2 x 5 1 x3
2 b. lim x 9 2 x x3 x 3 2 c. lim x 3 3
0
x0
d. lim x 2 x1
3 x 5
1 e. lim x x x1
f . lim x x4
2
9
2
3 x 16 x 2
6
2. Demuestre que lim f x y lim g x no existen, pero lim f x g x existe. Donde x1
x1
x1
f x
1
1x
;
g x
Sol : Pr opiedades
2 1 x2
.
3. Analice las siguientes afirmaciones: f x y xlim g x no existen entonces existe a. Si xlim Ý Ý
lim f x g x
xÝ
b. Si lim f x y lim g x no existen entonces debe existir x1
x1
lim f x g x
xÝ
f x y c. Si xlim Ý g x no existen entonces puede d. xlim Ý
f x g x existir xlim Ý
Calcular los siguientes límites (ejercicios 4 al 202) 3 2 4. lim x 2 2 x 5 x 6 x2 x 4 x 12 Sol : 15 8 5. lim x4
x 2 16 x 2 3 x 28 Sol :
6. lim x x2
3
8 11
x 2 16 x 20 x 3 x 2 12
Sol : 0 3 2 7. lim x 3 x2 3 x 4 x4 x 4 x
Sol : 21
4
3 2 8. lim 2 x3 6 x2 x 3 x3 x 4 x 2 x 3
Sol :
17 11
x 3 x 2 1 9. lim 2 x1 x 3 x 2 x 1 Sol :
10. lim
x2
x 3 8 x 3 2 x 4 Sol : 6
5
3
2
11. lim x 3 6 x 2 12 x 8 x2 x 2 x 4 x 8
Sol : 0
12. lim x1
x 3 1 x 3 x 2 Sol : 3
4
2 13. lim x2 5 x 6 x2 x 12 x 20
Sol : 1
8
2
14. lim x 2 3 x 10 x2 3 x 5 x 2 Sol : 1
15. lim x x2
3
4 x 2
4 x x x 6
2
Sol : 0
16. lim x x2
3
3 x 2
2 x x x 6
2
Sol : 2
5
3
17. lim x 2 1 x1 x 1 Sol : 3
2
3 18. lim x 4 3 x 1 x1 x 2 x 3
Sol : 1
2
19. lim x2
x 2 2 x x 2 4 x 4 Sol :
20. lim x1
1
x 1
1
x 3
2
3 x 5 Sol :
21. lim x1
1 3 1x 1 x3
1 32
Sol : 1 x 3 7x 2
22. lim x3
Sol : 4
23. lim x1
x 1 2 x x 2 1
1 2
Sol :
x 2 x
24. lim x0
2 Sol : 1
2
Sol : 1
3
4
x 5 x 2
25. lim
x2
3 6
x 2
26. lim x2
x
2
5 3 Sol : 3
2
x 1
27. lim x1
x
2
3 2 Sol : 2
28. lim x 8 x8 3 x 2 Sol : 12
29. lim x0
1x 1 3 1 x 1 Sol : 3
2
30. lim x2
x 2 2 3
x 6 2 Sol : 3
31. lim x4
2 x 1 3 x 2 2 Sol : 2
2
3
2 32. lim x 16 x4 x 2
Sol : 32
33. lim x1
3x 2 3 3 x 34 Sol :
3 32 2
2 34. lim 2 x x x1 2 3 x2
Sol : 6
35. lim x0
x
tan x Sol : 1
1x 1 x 2
36. lim
x 2
x0
Sol : 1
8
1 37. lim x x0
1 1 ax a Sol : 12 a
38. lim x3
x 2 2 x 6 x 2 2 x 6 x 2 4 x 3 Sol : 1
3
39. lim x0
sin2 x
1 x
x Sol : 2
40. lim 2 x x0 3x
x
Sol : 1
41. lim x1
x 1 x 2 1
x
Sol : 0
42. lim
log1 10 x x
x0
Sol : 10
43. lim x0
sin2 x 3 x Sol : 2
3
44. lim
x1
| x | 1 x 1 Sol : 1
45. lim
1 3 1 2 x x
x0
Sol : 2
3
1 x2 1
46. lim
x
x0
Sol : 0
47. lim x0
3 x 2 9 x Sol : 6 3
48. lim
x 2 2 3 x
1
x 1 2
x1
Sol : 1
9
49. lim x1
x 1 4 x 1 3
Sol :
4 3
50. lim 1 2cos x 3 x x
3
Sol : 1
3
51. xlim a
x x a a x
a Sol : 3a; a
52. lim x2
3
tan x x 2 Sol :
1 x 2 sin x 53. lim x0 sin2 x Sol : 0
1 sin x 2 54. xlim x Sol : 0
55. lim x2
sin2 x x 2 4 Sol : 1
4
56. lim 1 cos x x0 x tan x Sol : 1
2
57. lim x3
tan x x 3 Sol :
58. lim 1 x0
1 x 2 3 1 2 x x
2
Sol : 1
3
59. lim x
2
x
cot x
2cos x
0
Sol : 1
60. lim sec x tan x x
2
Sol : 0
61. lim x
4
cos x sin x cos2 x Sol : 1
2
2
62. lim x0
1 1 sin x tan x Sol : 0
x 63. lim sin x cos x x
4
Sol : 1 2
8
2 64. lim x 4 3 x 2 x1 x x
Sol : 1
3
a x 3 a 3 65. lim x x0 Sol : 3a 2 7 5 66. lim x 3 2 x 2 x1 x 3 x
1 2 Sol : 1
67. lim x1
x 1 x 1 Sol : 1
2
68. lim x2
x 2 2 x x 2 4 x 4 Sol :
69. xlim a
x 2 a 1 x a x 3 a 3 Sol : 1
3
70. lim x0
a1 a2
1x 1 3 1 x 1 Sol : 3
2
71. lim x1
1
1x
3 1 x2 Sol :
72. lim x7
2 x3 x 2 49 Sol : 1
56
73. lim x0
1x 1x 2x 2x Sol :
74. lim x0
2
sin2 x sin3 x Sol : 2
3
75. lim x1
1
x 1
x3 2 x 1
Sol : 2
3
2 x 4 16 76. lim x x0 Sol : 32
77. lim x 8 x8 3 x 2 Sol : 3
78. lim x2
3 x 1 2 3 x 2 x 3 x 2
3
8
2
Sol : 6 2
x x 3 79. lim x0 sin8 x sin5 x Sol :
80. lim x2
1 40
sin x x 2 cos x Sol :
1 cos x sin x 4 4 81. lim x x0 Sol : 1
4
sin x 82. xlim x Sol : 1
83. lim x9
sin x 9 x 2 81 Sol :
1 18
2 84. lim 1 x x1 sin x
2 Sol : 85. lim x 2 4 sin x2
1
x 2 Sol : 0
86. lim x0
1 cos x x 2 Sol : 1
2
sin x sin a 87. xlim x a a Sol : cos a
cos x 2 88. lim 2 x1
x
Sol : 0
89. lim
1 sin x 1 sin x x
x0
Sol : 1
90. lim
sina x sina x 2sina x 2
x0
Sol : sin a
91. lim x0
tan2 x sin x Sol : 0
92. lim x
2
x tan x 2 Sol : 1
93. lim x0
5 4 cos 2 x sin 2 x Sol :
94. lim x0
1 5 10
cosmx cosnx x 2 Sol : 1 m 2
2
95. lim x
4
sin x cos x 1 tan x Sol : 1
2
96. lim
x2
tan x x 2 Sol :
97. lim x0
1 n2 2
x sin2 x x sin3 x
2
Sol : 1
4
cos x 2 98. lim x1 1 x Sol :
1 cos x
99. lim
x 2
x0
Sol : 1
4
100. lim x0
x cos x x x 2 Sol : 0
101. lim 1 x tan x
2
x1
2 Sol : 102. lim x1
tan x sin x x 3 Sol : tan1 sin1
sin 2 x sin x 2 103. lim sin 2 x 4sin x 3 x 2
Sol : 3
2
104. lim x1
sin2 x 1 x 1 2 Sol :
105. lim x0
cosa x cosa x Sol : sin a
106. lim x0
sina x sina x Sol : cos a
a x 2 a 2 107. lim x x0 Sol : 2a
108. lim x0
x a x
a Sol :
109. lim x0
1 2 a
x a n a n x Sol :
x a n a n x
110. lim cot2 x cot x
2
x0
Sol : 1
2
111. xlim
x tan x 1 cos x Sol : 2
4 x 1 112. xlim Ý x 2 1 Sol : 4
113. xlim Ý
sin x x Sol : 0
114. xlim Ý
x x a
x
Sol : a
2
115. xlim Ý
x 1 x 1
x
Sol : e 2
1 x sin x 116. xlim Ý Sol : 1
117. xlim Ý
x 2 2 x 1
x sin
Sol : 1
2
118. xlim Ý
x x
2
1 Sol : 1
119. xlim 1 12 Ý x
x
Sol : 1
120. xlim cos x1 Ý
x
Sol : 1
121. xlim Ý
x2
x
x Sol :
122. xlim Ý
2 1/ x x 2 1 Sol : 0
x x 3 123. xlim Ý 3 x x 2 Sol : 1
3
124. xlim Ý
8 x 14 x Sol : 1
4
125. xlim Ý
1 7 3 x 2 3 x Sol : 0
126. xlim Ý
3 x x 1 x 2 2 x 6 Sol : 5
2
4 x 2 1 2 x 2 x
x 3 x 1
127. xlim Ý
3
Sol : 8
3
9 x 2 6 5 x 1
128. xlim Ý
Sol : 3
5
2 x 1 3 x 2 1
129. xlim Ý
Sol : 2
3
3
5 x 2 6 x 3 130. xlim Ý x 4 x 2 1
Sol : 5
3 x 2 6 x 8
131. xlim Ý
Sol : 1
2
2
132. xlim Ý
3
2 x 1 7 16 x Sol : 1
2
x 133. xlim Ý
x2 1 Sol : 0
134. xlim Ý
| x 5| x 5 Sol : 1
135. xlim Ý
|4 x | | x 1| x
Sol : 5
136. xlim Ý
1 x
2
2 x
2
3 x
2
. . .
x1 x 2 Sol : 1
2
137. xlim Ý
x 1 x 2 x 3 x 3 Sol : 1
x 1 x 138. xlim x Ý x 1 Sol : 1
2 x1 139. xlim x Ý 2
3 x1 3 x Sol : 3
1 140. xlim Ý 2
1 4
1 8
. . .
1 2 x Sol : 1
141. xlim 1 1 Ý
3
1 1 9 27
. . .
1 x1 3 x1 Sol : 3
4
12 142. xlim Ý
22
3 2 . . . x 2
x 3 Sol : 1
3
143. xlim Ý
x1
x Sol : 0
144. xlim Ý
x sin x! x 2 1 Sol : 0
145. xlim Ý
2 x 3 3 x 5 4 x 6 3 x 3 x 1 Sol : 8
146. xlim Ý
x 1 2 x 2 1 Sol : 1
2 x 2 3 x 4 147. xlim Ý x 4 1
Sol : 2
1000 x 148. xlim Ý x 2 1 Sol : 0
2 x 3 149. xlim Ý x 3 x Sol : 2 x 2 5 x 1 150. xlim Ý 3 x 7 Sol :
151. xlim Ý
x 2 10 x x Sol :
2 x 2 x 3 152. xlim Ý x 3 8 x 5 Sol : 0 3
153. xlim Ý
x 2 1 x 1 Sol : 0
2 x 3 3 3 x 2 2 154. xlim Ý x 5 5 Sol : 72
155. xlim Ý
x x
x
x Sol : 1
156. xlim xa Ý
x Sol : 0
157. xlim Ý
x x a
x Sol :
x 2 5 x 6 x
158. xlim Ý
Sol : 5
2
x2
x 159. xlim Ý
1 x Sol : 1
2
x 160. xlim Ý
3
1 x3 Sol :
161. xlim Ý
sin x x Sol : 0
x sin x 162. xlim Ý Sol :
163. xlim Ý
x 2
x 1 2 x 1
Sol : 0 x 1 164. xlim Ý x 1
x
Sol : e 2
165. xlim Ý
x
x x 1
Sol : e 1 x 1 166. xlim Ý x 3
x2
Sol : e 4
167. xlim Ý
1 x 2
2 x x 1 Sol : 0
n x 168. xlim 1 x Ý Sol : e n
169. xlim Ý
x 2
x 2 2 2 x 2 1
Sol : 0 x
170. xlim 1 x1 Ý
Sol : e 1
2
171. xlim 1 Ý
x
x 1 Sol : e 2
ln2 x 1 ln x 2 172. xlim Ý Sol : ln2 xln x 1 ln x 173. xlim Ý Sol : 1
174. xlim Ý
x x 2
1 Sol : 1
175. xlim Ý
ln1 e x x Sol : 0
176. xlim Ý
x x 2
1 Sol : 1
177. xlim Ý
ln1 e x x Sol : 1
178. lim x0
sin x tan x Sol : 1
179. lim sin2 x tan x x
4
Sol : 1
180. lim x
2
1 sin x cos 2 x Sol : 1
2
cos2 x 181. lim cot2 x x 4
Sol : 1
182. xlim
tan2 x tan x Sol : 2
183. lim x0
x
1 cos x Sol :
184. lim x cot x x0
Sol : 1
185. lim x0
x sin4 x x sin5 x Sol : 1
2
186. lim x0
sin2 x x sin4 x 5 x Sol : 1
9
187. lim x1
sin x 1 x x 2 Sol : 1
2 188. lim 2 x 5 x 3 x3 sin x 3
Sol : 7
189. lim x0
tan x x sin x
Sol. : 1
2
2 190. lim sin x2 x0 tan x
Sol. : 1 x 191. lim 1 cos 2 0 x x Sol. : 1
2
192. lim x0
arctan2 x 3 x Sol. : 2
3
ax 193. lim tan x x0 Sol. : a
194. lim x0
tan2 x tan3 x Sol. : 2
3
195. lim x0
x sin3 x x sin3 x Sol. : 2
196. lim tan x 3 sin x x0 x Sol. : 1
2
2 197. lim sin x2 x0 tan x
Sol. : 1
198. lim sin x3 x x0 x Sol. : 1
6
199. lim x0
sinmx sinnx
Sol. : m n
200. lim x sec x x0
Sol. : 0 x 201. xlim Ý
x2 1 Sol. : 0
1 ln 202. lim x x0
1x 1x Sol : 1
Continuidad 1. Determinar todos los valores reales para los cuales la función f x
x 2 2 x 8 es x 3 6 x 2 5 x 12
continua. Sol : f x es continua en
R
4; 3; 1 .
2. Dada la función: f x
x x 2
3 x 4 x 2 5 x 6 x 2 3 x 2 x 3
a. Determinar todos los puntos de discontinuidad de f x . b. Calcular el límite, si existe, en dichos puntos de discontinuidad. c. Redefinir f x , si es pòsible, de modo que sea continua en R. Sol : a : Dom f
R
b : lim f x
x1
1;2;3
5;
lim f x x2
x x 2
12;
lim f x x3
3 x 4 x 2 5 x 6 x x 2 3 x 2 x 3
c : f x
3. Determine el valor de las constantes a, b
R,
21.
R
1;2;3
5
x
1
12
x
2
21
x
3
para que la siguiente función sea continua en
R
:
3 x 3 4ax f x
x
2 x 2 5b
2
Sol :
25 , b 53
1
1x2
ax b
a
34 53
x
4. Estudie la continuidad o discontinuidad en x 0 f x
1 de la función siguiente:
4 x 3 3 x 1 3 x 3 2 x 2 4 x 1 5
x 1 x
1
x
Sol : f x es discontinua en x 0
1.
5. Determine si la siguiente función es o no contínua:
3 f x
x
x csc x
6sin x 2
0
x 0
x
Sol : Es contínua
: lim f x x0
3
6. Determine el valor de A de modo que f x sea contínua
f x
A cos2 x 1 x 2
8 3
x 3 2 x 3 x
Sol : A
x 0
1
: lim f x x0
4
7. Determine el valor de A de modo que f x sea contínua
1 cos x f x
x 2 A Sol : A
x
0
x 0
1 4
0
8. Determine si las siguientes funciones son contínuas a. f x
e x 1 x
x 0
1 b. f x
x
0
1 1 sin x x
x 0
e
x
0
Sol : Ambas son contínuas
9. Determine, si existe, el valor real B de modo que sea contínua la siguiente función 4
g x
1 x 2 4 1 2 x
x 0
x x 3 B
Sol : B
x
0
1 2
10. ¿La siguiente función es contínua? x 3 g x
3
x 9
x 1 2
18
x
x
9
Sol : Es verdadera la afirmación.
11. Determinar los valores de m, n
R
f x
tal que f x sea continua para:
x 1 x 2
x 1; 3
mx n x 1; 3
Sol : m
3; n
4
12. En cada caso siguiente, siguiente, demuestr demuestree que la función función dada es discontinua discontinua en el valor x
a.
Determine luego, si la discontinuidad en dicho punto es o no remediable. Si es remediable, redefina la función de modo que sea continua en x a. 2 a 4 a. f x x 3 x 4 ; x 4 2 a 3 b. f x x 2 x 12 ; x 2 x 3 x 2 4 x 3 x 3 x 3 a 3 c. f x ; x 3 5 d. f x
9 x 2 x 2 3 x 2 x
2
;
a
2
Sol : a :. f x
x 2 3 x 4 x 4
5
b :. f x
c :. f x
x 2 x 12 x 2 2 x 3
7 4 x 2 4 x 3 x 3
2
x 4 x
4
x 3 x
3
x 3 x
3
d :. f x posee discontinuidad no remediable en x
2.
Derivadas Cálculo Cálculo de Derivadas Derivadas 1. Cada uno de los siguientes límites límites representa la derivada derivada de la función función f en el punto x Determine f x , a, y calcule por definición en cada caso: 1h 1 a. lim lim h0 h 2 h 3 8 b. lim lim h0 h c. lim cos x 1 x3 x 3 x d. lim lim 3 x 1 x0
a.
Sol :
a
f x
b
f x
c d
f x
f x
x
a
1
f x
x3
a
2
f x
3
f x
cos x a
3 x
a
0
f x
1 2 12
0
ln 3
2. Calcule usando la definición, definición, si existen, las derivadas de las siguientes siguientes funciones en el punto punto x c. x 2 |; c 2 a. f x | x Sol : f 2
b. f x
x;
x
4 Sol : 1
4
c. f x
x 3 1;
x
1 Sol : 3
3. Calcule usando la definición, las derivadas derivadas de las siguientes siguientes funciones: a. f x 2 x 3 Sol : f x
b. f x
2
4 x 1
sin x Sol : f x
d. f x
cos x
e x Sol : f x
e. f x
2
4 x 1 Sol : f x
c. f x
2 x 1 n ; n
e x
N.
Sol : f x
2n2 x 1 n1
4. Consid Considere ere F x |5 x | a. ¿Es dF derivable en x 5? dx b. Encuen Encuentre tre F x e indique Dom F . Sol :
: a No es derivable en x : b F x
5
1
x
5
1
x
5
luego el dominio es x | 5. Consid Considere ere f x x| x a. Calcul Calculee f 0 b. Encuen Encuentre tre f x e indique Dom f .
R
5
,
Sol :
: a 0 : b f x 6. Encontrar a, b
R,
2| x |
si existen, tal que f sea derivable en R, donde f : a 2 x x f x
está definida por:
1
x 2
1 x 1
x b
x
R R
1
Sol :
No existen valores a, b 7. Hallar a, b, c
R
R
tales que f sea diferenciable en todo
para que f sea dos veces derivable en
R. ,
R
donde;
6sin 2 x cos 2 x 3 3
x 1
f x
8a x 1 2
6b x 1 c x
1
Sol : a
8. Sea f x un polínomio tal que f 0
2 16 3
b
72
12 c
1, para todo n y g x
3 3
1 2
x n f x . Calcular
g0 , g 0 , g 2 0 , . . , g n 0 . Sol : g0
g 0
g 2 0
9. Demuestre que la función g es derivable en x
g x
g n1 0
0
x 3 sin x 2
x 0
0
x
0
0; g n 0
n!
x 2 2 x
10. Sean f x
x 0
y h x
sin x 2
cos3 x . Hallar:
0
x
h3 x 3
a. f 0 , f 4 b. f h 4 c. g x 2 sabiendo que g x
d. h 1 0
e. h 1 1 Sol : 7 8
a 1 2
b c 9 x
2 cos33 x 6 3sin 3
e
6
6
no existe
1 x 2 sin x
x 0
0
x
2
3sin33 x 6
2 cos 3
d
11. Determine f 0 si f x
4
2 2
0
Sol : f 0
0
0
12. Derive las funciones a. y 1 x 2 arctane 2 x
1 e 2 x 2 2 x 2 1 e
Sol : 2 x arctane 2 x 1 x 2
b. x
ln x
arctan x 3
3
x 4
3 x 3 Sol : x
c. f x
x 2
ln x
ln x
x
1x
6
4 arctan x 3
3
x
2
3
x
2 x
x
0
x
0
2 x 2
x
0
x 0
4
x 2 2 x 4
x
0
Sol : f x
13. Determine a. Verifique si la función y
x ln 2 x satisface la ecuacion: d 2 y x dx 2 2
dy y x dx
0
b. La ecuacion de la recta tangente a la curva definida implicitamente por y
en el punto
1 , 0 es 2 x 2 x 2
arcsin xy
1 Sol : a falso,
: b falso, y 14. Determinar
0
dy si: dx e y
sin 2 x x
xe
Sol :
e y
dy dx
solo basta despejar la expresión
15. Si f x
x 3 sin 12 x
x 0
0
x
0
2sin x cos x x
x
xe
3 ln
sec 2 x
3 ln
sec 2 x
e
dy dx
para llegar al resultado.
2tan x ln3
a. Determine f x para x 0 b. Calcule f 0 si existe. c. ¿Existe f 0 ? Justifique su respuesta. Sol :
a y b : f x
2cos x 2
3 x 2 sin x 2 x 0
0
x
0
c : f 0 no existe. 16. Dada la función x 0
0 f x
sin x 0
2
x
x
2
2
Determinar f x Sol :
0 f x
x
cos x 0
2
0
x
x
2
2
17. Determine si las siguiente afirmación son verdaderas o falsas. Justifique. x 3 Si f x
1 x
3 x 2 x
0
x 2
x
0
sin x
x
0
entonces f x
0
x
0
cos x x
0
2 x
Sol :
falso : f x
3 x 2 x
0
cos x x
0
18. Determine los valores de a y b de modo que h sea derivable en x 2
h x
x 2ax 3b ax 3 3ax 2
1 para la función
x 1
2bx x
1 Sol : a
19. Para qué valores de a, b, c
R,
4;
b
1
las gráfica de las curvas cuyas ecuaciones son:
f x
x2
ax b
g x
x3
cx
tienen una recta tangente común en el punto 2, 2 Sol : a
20. Clacule a, b
R
si la recta 6 x y 1
5;
b
12;
c
3
0 es normal en la curva
y
x3
ax b
en 0, 1 Sol : a
1 ;
b
6
1
21. Derive la siguiente función: y Sol :
x 2 2
arctan 4 ln
x 2
2 x l n 4 4 ln
x 2 2
2 4 2 ln
x 2 2
1
22. Derive las siguiente funciones en el punto que se indica a. f x 3csc2 x lnsin2 x , x 0 /4 4 x b. f x arccossin x tan , x 0 /3
2
Sol :
a : 0 b :
8 3 27 27
sec 2 tancos3 x 2 12 x sin3 x 2 sintancos3 x 2 tan 2 cos3 x 2 1 Sol : F x cos 3 tancos3 x 2
23. Encuentre F x si F x
24. Si f :
R
R
es biyectiva y está definida por y
f x
1
x
1 . Determine f 1 y 2
x
Sol : 1
3
25. Sea f : f x
,
función biyectiva y derivable tal que f 0 2 2 x 2 cos x 2 . Deterrmine el valor de f 1 1 3 2 Sol : 3 R
26. Si h x es tal que h x
sin 2 sin x 1 ,
h0
3; y además
1 y además 2
2
f x
1 x 2 sin x
x 0
0
x
a. f h 0 b. x 2 tal que x c. Si ahora h0
. hallar
0
h x 2
3, h x
cos 2 cos x 1 y además h x es biyectiva, hallar h 1 3 .
Sol :
6sin 1 cos 1 3 3 2 2 4 2 b : x sin sin x 1 2 x 1 c : h 1 3 2 cos cos1 a : f h 0
sin 2 1
Derivación Implícita 1. Sea g una función diferenciable en un intervalo que contiene al 1, tal que g1 0, g 1 Si la ecuación y x g x x arctan x con x 0 , y 0 define implícitamente a y f x , dy entonces calcule el valor de dx x1 Sol : 1 ln
4
2. Si x tan y
0 define implíctamente a y x 2
1
2
2
4
4
f x entonces determine el valor de:
d 2 y d 2 x
2 x x 2
1
dy dx
Sol : 2
m
n
3. Si cos xy sin xy
4. Dada la curva, x 3 y 2 1, 1
k
xy 3
d 2 y donde m, n N y k R entonces es igual a: dx 2 2 y Sol : 2 x
2, obtenga la ecuación de la recta normal al gráfico en el punto Sol : 5 x 4 y
5. Derive la siguiente función para x
R
xy 2
e
1
:
y ln x
2 Sol :
4 x 2
1
arcsin2 x y 2 y 2 e xy x
ln x 2 xye xy
6. Demuestre que las rectas tangentes a las curvas: 2 x 2
y2
2
24 e y 2
8 x en los puntos de
0.
intersección de ellas son perpendiculares. 7. Calcular
dy en el punto dx
, 2 2
si x cos y
Sol :
8. Determine A
R
tal que la función y x
sin x y 2 2
sinsin x
Ay x tan xy x y x cos 2 x
satisfaga la ecuación;
Sol : 1
Aplicaciones de la Derivada L’Hopital 1. lim x x1
2
3 x 4 x 1
Sol. : 5 6 2. lim x 4 1 x1 x 1
Sol. : 3
2
a 3. lim x b 1 x1 x 1
Sol. : a b
x 4. lim e 1 x2 sin x
2 Sol. : e 1
sin2
5. lim ln x x1 x 1 Sol. : 1
6. lim sin3 x x0 x Sol. : no existe
tan x 7. xlim x Sol. : 0
0,
x
R
8.
cos x
lim 3 x 2
x
3 2
Sol. : 1
ln x
9. lim
x
x0
Sol. : no existe
10. xlim a
3
x 3 a x a Sol. :
1 3 3 a
2
x 2 x 11. lim 6 x x0
Sol.: ln3 x 12. lim e 12 x x0 x
Sol. : 1
2
13. lim
e x 1 x x
x0
x2
2
3
Sol. : 1
6
14. lim sin x x e x0 Sol. : 0
15. lim x2
ln x 2x Sol. : no existe
16. xlim Ý
lnln x x Sol. : 0
4 x 17. lim ecos x1 x0
Sol. : 0
18. xlim Ý
ln1 e x 5 x Sol. : 1
5
19. lim x0
x
arcsin3 x Sol. : 1
3
20. lim x0
2 x arcsin x 2 x arccos x Sol. : 0
21. lim
cosmx cosnx
x0
x 2 Sol. : 1 m 2
2
xe x 22. xlim Ý Sol. : 0 e x ln x 23. xlim Ý Sol. : 0 x 3 e x 24. xlim Ý Sol. : 0
25. lim x 1 tan x x1
2
2 Sol. : 26. lim x sin x x0
Sol. : 1
27. limsin x tan x x0
Sol. : 1
1 n2 2
28. lim1 2 x 1/ x x0
Sol. : e 2 a bx 29. xlim 1 x Ý Sol. : e ab x 1/ x 30. xlim Ý Sol. : 1
2 x 3 31. xlim Ý 2 x 5
2 x1
Sol. : e 8
32. lim ln x x x0
Sol. : 1
33. limcot x sin x x0
Sol. : 1
Máximos y Mínimos 1. Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular de
cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene un volumen máximo. Sol. :
Debe recortarse un cuadrado de 3 cm 2. Se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa que tenga un volumen de 24 cm 3 .
El material que se usa para la base cuesta tres veces más que el que se emplea para la parte cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia material, evaluar las dimensiones para las que es mínimo el costo del material de fabricación. Sol. :
radio
2 cm;
Altura
6 cm
3. Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de 12
cm de altura y 4 cm de radio en la base, de manera que los ejes del cilindro y del cono coincidan. Sol. : 3
Volúmen Máximo : 89.4 cm
4. Una carretera que va de norte a sur y otra que va de este a oeste se cruzan en un punto P. Un
vehículo que viaja hacia el este a 20 km/h, pasa por P a las 10:00 a.m. En ese mismo momento un automóvil que viaja hacia el sur a 50 km/h se encuentra 2 km al norte de P. Calcular cuándo se encuentran los dos vehículos más cerca uno del otro y cuál es la distancia mínima entre ellos. Sol. :
Los automóviles están más cerca uno del otro 1 horas 29 después de las 10 a.m. La distancia mínima es 0. 74km. 5. Un hombre que navega en una barca de remos a 2 millas del punto más cercano de una costa
recta, desea llegar a su casa, la cual está en la citada costa a 6 millas de dicho punto. El hombre puede remar a razón de 3 mi/h y caminar a razón de 5 mi/h. ¿Qué debe hacer para llegar a su casa en el menor tiempo posible?. Sol. :
Debe desembarcar a 1 1 millas de su actual posición y luego caminar 2 6. Sequiere construir una caja de base cuadrada y sin tapa que tenga un volumen de 4 dm 3
(decímetros cúbicos). Encuentre las dimensiones que minimicen la cantidad de material necesario (desprecie el valor del material y lo que se desperdicia en la construcción). Sol. :
Lado de la base
2 pie; altura 1 pie
7. Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin tapa que tenga una capacidad de 1 m 3
(metro cúbico). Encuentre las dimensiones que minimicen la cantidad de material necesario, suponiendo que no se desperdicia nada en la construcción Sol. :
Radio de la base
Altura
1
3
8. A la 1:00 p.m el barco A se encuentra 30 millas al sur del barco B y viaja hacia el norte a 15
mi/h. El barco B navega hacia el oeste a 10 mi/h. ¿A qué hora se alcanza la distancia mínima
entre las dos embarcaciones? Sol. :
2 : 23:05 p.m 9. Una cerca de 8 pie de alto al nivel del suelo va paralela a un edificio alto. La cerca dista 1 pie
del edificio. Calcule la longitud más corta de la escalera que se puede apoyar entre el suelo y el edificio por encima de la reja. Sol. :
5 5
11.2 pie
10. Se desea construir un almacén con un volumen de 100 m 3 que tenga techo plano y base
rectangular cuya anchura sea tres cuartas partes de su longitud. El costo por metro cúbico de los materiales es de U$36 para el piso, U$54 para los lados y U$27 para el techo. ¿Qué dimensiones minimizan el costo? Sol.:
Longitud 2 3 300 Anchura
3 2
3
Altura 3 300
300
13.38 pie
10.04 pie
6.69 pie
11. Un hotel que cobra U$80 diarios por habitación da precios especiales a grupos que reserven
entre 30 y 60 habitaciones. Si se ocupan más de 30 cuartos, el precio disminuye en U$1 por cada cuarto arriba de los 30. En estas condiciones, ¿la ocupación de cuántas habitaciones por grupo producirá el ingreso máximo para el hotel? Sol.: 55
12. Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas
en los extremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de los extremos es el doble del de la parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de 10 pie 3 ? Sol. :
Radio
3
15 2
Longitud del Cilindro
2 3 15
13. Determine las dimensiones del rectángulo que se puede inscribir en un semicírculo de radio A
de manera que dos de sus vértices estén sobre el diámetro. Sol. :
Longitud de la base a 2 Altura
a
2
14. Calcule el volumen del cono circular recto más grande que se puede inscribir en una esfera de radio a. Sol. : 32 a 3
81
15. Un mayorista vende zapatos para correr a U$ 20 el par si le piden menos de 50 pares. Si le
piden más de 50 (hasta 600), el precio por par se reduce en U$ 0.02 multiplicados por el volumen del pedido. ¿Cuál es el pedido que produce el mayor ingreso para el mayorista? Sol.: 500
16. Un alambre de 36 cm de largo se va a partir en dos trozos. Una de las partes se ha de doblar en
forma de triángulo equilátero y la otra en forma de un rectángulo cuya longitud es el doble de su anchura. ¿Cómo se debe partir el alambre para que la suma de las áreas del triángulo y el rectángulo sea (a) mínima y (b) máxima? Sol. :
a. Se usa
36 3
2 3
16.71 cm para el rectángulo
b. Se usa todo el alambre para el rectángulo 17. Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentre las
dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máxima, si el perímetro de la misma debe ser de 12 m. Sol. :
El radio y la altura del rectángulo deben medir r
12 1.68 m. 4
Razón de Cambio 1. Una escalera de 20 pie de largo está apoyada contra la pared de un edificio. La base de la
escalera se desliza horizontalmente a razón de 10 pie/s. ¿Con qué rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12 pie del suelo?. Sol. : dy dt
:
8 pie/s
3
2. Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto de 12 pie de alto y 6 pie de radio en
la base. Si se suministra agua al tanque a razón de 10 galones por minuto (gal/min), ¿Cuál será la rapidez de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es de 3 pie? (1 gal 0.1337 pie 3 ) Sol. : dh dt
0.189 pie/min
3. A las 13:00 horas el barco A se encuentra a 25 millas al sur del barco B. Suponiendo que A
navega hacia el oeste a razón de 16 mi/h, y que B navega hacia el sur a 20 mi/h, evaluar la rapidez de cambio o variación de la distancia entre los dos barcos a las 13:30. Sol. : dz dt
172
17
10.12 mi/h
4. Una escalera de 20 pie de largo está apoyada contra la pared de un edificio. La base de la
escalera resbala alejándose de la pared a razón de 3 pie/s. ¿Con qué rapidez desciende el extremo superior de la escalera cuando se encuentra a 8 pie del piso? Sol. :
3 336 8
6. 9 pie/s
5. Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 5 pie 3 /min. ¿Si la presión se mantiene constante,
cuál es la rapidez de cambio del radio cuando el diámetro mide 18 pulg?. Sol. :
20 9
0.71 pie/min
6. Un farol se encuentra en lo alto de un poste de 16 pie de altura. Un niño de 5 pie de estatura se
aleja del poste a una velocidad de 4 pie/s. (a)¿Con qué rapidez se mueve la extremidad de su sombra cuando él se encuentra a 18 pie del poste? (b)¿Cuál es la tasa de crecimiento de su sombra?. Sol. :
7. La ley de Boyle de los gases asevera que pv
a.
64 11
pie/s
b.
20 11
pie/s
c , donde p es la presión, v el volumen y c una
constante. En cierto momento el volumen es de 75 pulg 3 , la presión es de 30 lb/pulg 2 por minuto. ¿Cuál es la rapidez de cambio del volumen en ese momento? Sol. : 3
Aumenta a razón de 5 pulg /min 8. Los extremos de una abrevadero de 3 m de largo tienen la forma de triángulo equilátero, con
lados de 60 cm. Se suministra agua al abrevadero a razón de 20 L/min. ¿Cuál es la rapidez de cambio o variación del nivel del agua cuando la profundidad es de 20 cm? (1 Litro 1000 cm 3 ) Sol. :
15 3 32
0.8 pie/min
9. Un cable de 100 pie de largo y 4 pulgadas de diámetro está sumergido en el mar. Debido a la
corrosión, el área de la superficie del cable disminuye a razón de 750 pulg 2 /año. Encuentre la
rapidez con la que decrece el diámetro, despreciando la corrosión en los extremos del cable. Sol. :
5 8
0. 1989 pulg/año
10. El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm 2 /min. Calcule la rapidez de
variación de la longitud de sus lados en el momento en que el área del triángulo es de 200 cm 2 . Sol. : 4
3 600
0.215 cm/min
11. Se lanza una piedra a un lago y produce ondas circulares cuyos radios crecen a razón de 0.5
m/s. ¿A razón de cuántos metros por segundo aumenta el perímetro de una onda cuando su radio mide 4 m? Sol. :
m/s 12. Un niño deja caer una piedra a un lago desde un acantilado de 60 m de altura y, dos segundos
después, deja caer otra piedra desde el mismo lugar. Describa la rapidez de cambio de la distancia entre las dos piedras durante el siguiente segundo (suponga que la distancia que recorre un cuerpo que cae durante t segundos es de 4.9 t 2 m). Sol. :
64 pie/s 13. Una avión vuela con velocidad constante de 500 km/h y con una inclinación de 45º hacia arriba.
Encuentre la rapidez de cambio de la distancia del avión a una torre de control en tierra, un minuto después que este pasó directamente a 3 km arriba de ella (desprecie la altura de la torre). Sol. :
6 2 180
353.6 mi/h
10 3 2 14. Una vaso de papel con agua tiene forma de un cono circular recto truncado de 15 cm de altura
con radios de la base y de la orilla libre de 2 cm y 4 cm, respectivamente. El agua se fuga del vaso a razón de 100 cm 3 /h. ¿A razón de cuántos centímetros por hora disminuye la profundidad del agua cuando es de 10 cm? (El volumen de un cono circular recto truncado de altura h y radios a y b en los extremos está dado por V 14 ha 2 b 2 ab ).
Sol. : 27 25
0.344 pulg/h
15. Una pista de aterrizaje está a una distancia perpendicular de 300 pie de la base de una torre de
20 pie de altura. Un avión alcanza una velocidad de 100 mi/h después de recorrer 300 pie sobre la pista. Calcule la rapidez de cambio de la distancia entre el avión y la cabina de la torre de control. Sol. :
70.63 mi/h
Gráfica de curvas En cada ejercicio, determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la función y dibuje su gráfica 1. f x x 3 3 x 2 1
y
1
-1 -1 -2 -3
1
2
3
x
Punto de Inflexión : 1, 1 Concavidad hacia arriba en : 1, Ý Concavidad hacia abajo en : Ý, 1 2. f x
x 3 4 x
y x
Punto de Inflexión : 0, 0 Concavidad hacia arriba en : 0, Ý Concavidad hacia abajo en : Ý, 0
3. f x
x 16 x 2
4
y -4
-2
2 1 2
-1
4
x
-2
Punto de Inflexión : 0, 0 Concavidad hacia arriba en : 0, 4 Concavidad hacia abajo en : 4, 0 4. f x
x2 2 x
y
4 2
-4
-2
-2
2
4
-4
x
Punto de Inflexión : No hay. Concavidad hacia arriba en : 0, Ý Concavidad hacia abajo en : Ý, 0 5. f x
x x 1 4
y
4 2
-4
-2
-2 -4
2
4
x
Punto de Inflexión : 0, 0 Concavidad hacia arriba en : 1, 0 y 1, Ý Concavidad hacia abajo en : Ý, 1 y 0, 1 6. f x
x 1 x2
y
4 2
-4
-2
-2
2
4
-4
x
Punto de Inflexión : 0, 0 Concavidad hacia arriba en : 0, 1 Concavidad hacia abajo en : 1, 0 7. f x
e x e x
2
y -4
50
-2 -50
2
4
x
Punto de Inflexión : 0, 0 Punto de Inflexión : 0, 0 Concavidad hacia arriba en : 0, Ý Concavidad hacia abajo en : Ý, 0
