UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA CRECIMIENTO DECRECIMIENTO Y DESINTEGRACION DESINTEGRACION
DOCENTE: LIC. BIDDER CALAPUJA PRESENTADO POR: GONZALO ARCE HUAHUACHAMPI ALEJANDRA SANCHEZ YANCAPALLO MONICA SIVINCHA QUISPE LUIS SULLCA VILCA MARIELA YUCRA CHAPALLMA SEMESTRE IV SECCION SECCI ON “A” AREQUIPA- PERÚ !"
Crecimiento, Decrecimiento y desintegración Radiactiva
Sea P=P(t) una población que depende del tiempo t dP dt Es la tasa de cambio de la población que se mide en número de unidades por unidad de tiempo 1 dP P dt Denota la tasa de crecimiento de la población, que se mide en porcentaje por año, horas, días, etc 1 dP
=
P dt
! Sir"e para predecir el #uturo, donde $ es i%ual a la constante de
proporcionalidad en resumen
dP dt
= !P ⇒ ! = cte porporcionalidad P(t0 ) = P 0
dP dt Si K>0
denota crecimiento dP dt
Si K<0
denota decrecimiento o desinte%ración
&a solución es de la #orma P(t)=Ce
Ejercicios Resueltos:
' n pro#esor redacta las notas del curso con una rapide proporcional al número de hojas *a escritas Por otra parte sus alumnos son capaces de leer los apuntes con una
10 "elocidad constante +l comenar el curso, el pro#esor entre%a
hojas a sus alumnos
* posteriormente se las "a a proporcionando a medida que las escribe Determine el 3er atraso de uno de sus alumnos en la lectura de las notas al #inaliar el
trimestre si al
6 cabo del primero lle"aba un atraso de - p.%inas * al t/rmino de
meses un atraso
70 de p.%inas 0onsidere cada trimestre de tres meses sin receso entre cada uno de ellos Solución1 t : tiempo medido en meses 2 (t ) : número de hojas escrita al cabo de t meses &(t ) : número de hojas leídas al cabo de t meses
3a ahora tenemos los si%uientes datos que sacamos del problema, para esta parte 2 (t ) tomamos como 4 meses es i%ual a un trimestre, escribimos
donde t esta en
#unción del tiempo en trimestre 2 (0) = 10 L(0)=0
2 (1) = &(1) + 20
2 (2) = & (2) + 70
3 ahora las ecuaciones di#erenciales ser.n1 Donde 2a es el número de hojas escritas, entonces inte%ramos * tenemos1 d2 = !2 ⇒ 2 (t ) = ce!t dt +hora la otra parte donde & es la "ariable por así decirlo que nos indica la lectura de apuntes de los alumnos1
d& dt
= p ⇒
pt + c1
De la ecuación tenemos una condición en la "ariable &1
&(0) = 0 0 = pt + c1 &(t ) = pt
+hora aremos una relación entre las dos ecuaciones pero el tiempo se "a dar en meses 2 (3) = &(3) + 20
2 (6) = &(6) + 70 5esol"iendo el sistema1 10e3! = 3 p + 20 10e6 ! = 6 p + 70
6 = e3! 5estando la se%unda ecuación con dos "eces la primera * poniendo obteniendo la ecuación cuadr.tica 10 6 2 − 20 6 = 30
6 = e3! = 3 0u*a solución positi"a es
!
=
ln(3)
p=
3
De esta #orma1
10 3
+sí1
2 (t ) = &(t ) =
ln3 t ÷ 10 e 3
10 3
t
3 el número de p.%inas de atraso al cabo de 7 meses es1 2 (9) − &(9) = 10e(
3ln3)
− 30
= 270 − 30 = 240
Si la "ida media de una sustancia reacti"a es de 8 días Determinar el tiempo 9t: en que ; !ilos se con"ierten en 8 !ilos Solución1 Sea el modelo matem.tico de acuerdo a los datos del problema1 dS d6
= −
!S
Dónde1 S es la #unción de sustancia que depende del tiempo ! es la constante de proporcionalidad S (0) = 24
".m. = 32 !% *
días S (t ) = 3
!%
&a ecuación anterior se resuel"e mediante el m/todo de separación de "ariables, entonces tenemos1
dS
= −!d6
S dS
∫ S
Despejando S: Integrando amos
= −! ∫ dt m!emros:
ln( S ) = −!t + cDespejando S: S (t ) = ce − !t
+hora usando las condiciones iniciales del problema1
S (0) = ce
".m =
ln 2 !
−
24 = c
! (0 )
! =
ln 2 ".m.
S (t ) = 24e
! =
−
!t
ln 2 32
Entonces, tenemos la ecuación di#erencial1 −
S (t ) = 24e
ln 2 32
t
S (t ) = 3 0uando
se tiene1
−
32
3 = 24e 1
−
=
e
ln 2 32
ln 2
t
t
" 1 ln(2) ln( ) = − t " 32 ln(2) −3ln(2) = − t 32 t = 96
3. En una reacción química, la sustancia se trans#orma en otra sustancia a una "elocidad proporcional a la cantidad de no trans#ormada toda"ía Si al inicio de la reacción había -- %r De * a una hora m.s tarde >? %r, calcule el porcentaje de trans#ormada despu/s de horas (guía UN! "EE.DD #$ edición datos : sea #(t) la $ant!dad de s%stan$!a saemos : #(0)=200gr& #(1)=7'gr
:
d=
= − != & > 0 dt nos piden : = trans#ormada despues de 2horas
solucion : de :
d=
=−
!=
→
− !t
= (t ) = e c
dt ahora : = (0) = c = 200 %r : = (1) = 200e
!
=
→
7'
c = 200%r
→−
! = ln(
7' 200
)
reempla*ando : ln(
#(t) = 200 e
7' 200
entonces : = (t) = 200 e
2ln(
7' 200
)
2".12' %r
=
por re%la de tres simple :
200 %r → 100 (200 − 2".12') → 6 rpta : lacantidad trans#ormada despues de dos horas es "'.93
%. El aúcar se disuel"e en el a%ua con una rapide proporcional a la cantidad que queda sin diluir si 8- libras de aúcar se reduce a '- libras en ; horas @en cu.nto tiempo se habr. diluido el 7?A del aúcarB(guía de &ractica UN!'EE.DD 3$edicion D+CS sea +(t) la cantidad de a)ucar presente enun tiempo sabemos :
d+
=
dt
!+& !
>
o
+(0) = 30 +(4) = 10 S&(0E< +(t) = 0e !t hallando 0
→
+(0) = 30 = 0e 0
hallamdo !
→
+(4) = 10 = 30e 4 ! → ! = −0.27'
→
0 = 30
reempla)ando : +(t ) = 30e
0.27't
−
nos piden : +(t ) = cuando seha diluido el 9' +(t) =
(')(30)
30e
0.27't
−
→ t = 10."9 horas 100 respuesta : despues 10."9horas sehabradiluidoel 9' =
? sando carbono F'; cu*a "ida media es de ??4G,determine la edad deun#osil humano que contiene ?m%r de 0F';,si la cantidad presente en un ser humano "i"o es de ?8G m%r
D+CS : sea 0 (t ) : la cantidad de carbono en el humano 0 (0) = '3." mgr& +('600) = 26.9 mgr saemos :
d0 dt
= !0 → 0 (t ) = ce !t
entonces : 0 (0) = $ = '3." → c = '3." 0 ('600) = '3."e '600 ! = 26.9 → ! = −1.237" × 10−4 reempla)ando : −4 t
0 (t ) = '3."e −1.237"×10 entonces :
nos pidenla ED+D del #osil humano −4 t
+(t ) = '3."e −1.237"×10
= 2'.2
laedad del #osil es = 6127 años apro6.
Ejercicios propuestos1 ' En una reacción química, la sustancia setrans#orma en otra sustancia a una "elocidad proporcional a la cantidad de no trans#ormada toda"ía Si al inicio de la reacción había --% de * una hora m.s tarde >?%r, calcule el porcentaje de trans#ormada despu/s de dos horas 5pta G?,78A En un culti"o de le"adura la rapide de cambio es proporcional a la cantidad presente Si la cantidad de culti"o se duplica en ; horas, @Hu/ cantidad puede esperarse al cabo de ' horas, con la misma rapide de crecimientoB 5pta G "eces m.s 8 n ma%nate posee una #ortuna que crece a un ritmo proporcional al cuadrado de su "alor en cada momento Si tenía '- millones de dólares hace un año * ho* tiene - millones @De cu.nto ser. su #ortuna en 4 mesesB 5pta ;- millones ; na bola de na#talina pierde su "olumen por e"aporación con una rapide que es proporcional a su .rea instant.nea Si el di.metro de la bola disminu*e de cm a 'cm en 8 meses @0u.nto tiempo se requiere para que su di.metro sea de 'mmB
5pta ?,> meses ? 0on #recuencia, el #echado por carbono se usa para determinar la edad de un #ósil Por ejemplo, en una cue"a de Sud.#rica se halló un cr.neo humano junto con los restos de una ho%uera &os arqueólo%os creen que la edad del cr.neo sea i%ual a la edad de la ho%uera Se ha determinado que sólo queda A de la cantidad ori%inal de carbono '; en los restos de madera en la ho%uera Estime la edad del cr.neo, si la "ida media del carbono '; es de apro6imadamente ?4-- años 5pta 8'4-4 años 4 &os arqueólo%os utiliaron pieas de manera quemada o carbón "e%etal, que se encontraron el sitio para #echar unas pinturas prehistóricas * dibujo en paredes * techos de una ca"erna en &ascau6, Irancia Si se encuentra que había disminuido G??A del 0F'; que se encontró en arboles "i"os del mismo tipo 1'600 5pta años > 0uando un ha "ertical de lu pasa por un medio transparente, la rapide a la que E ( t ) decrece su intensidad es proporcional a
, donde t presenta el espesor del
medio (en pies) En a%ua de mar clara, la intensidad tres pies por debajo de la 0 super#icie es ?Ade la intensidad inicial
del ha incidente@0u.l es la
intensidad del ha de '? pies debajo de la super#icieB (1') = 0.0009" 0 0.1 0 5pta apro6imadamente de G &a población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al número t
de personas presente en el tiempo Si en ? años se duplica una población inicial P 0 @0u.nto tarda en triplicarseB @En cuadriplicarseB 5pta >,7 añosJ '- años 7 &a población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población presente
'00
t
en el tiempo
& a población inicial de
1' se incrementa
en die años
30 @0u.l ser. la población en
añosB @Hu/ tan r.pido est. creciendo la población
t = 30 en
B 760 11 5pta J apro6imadamente personasKaño Pb − 209 '- El isotopo reacti"o de Plomo, , decae a una rapide proporcional a la t
cantidad presente en el tiempo * tiene una "ida media
3.3 horas Si al inicio est.
90 presente un %ramo de isotopo, @0u.nto tiempo tarda en decaer 11 5pta horas
del plomoB
'' El carbono obtenido de un anti%uo cr.neo contiene solamente la se6ta parte de 0F '; respecto del carbono obtenido de un hueso actual @qu/ tan anti%uo es el cr.neoB (la "ida media del 0F';=?4-- años) (EE.DD %$ edición'ED)!RD'*ENNE+ Res&uesta#%-3 a/os a&ro0.
' n accidente en una planta de potencia nuclear ha dejado una .rea contaminada con material radioacti"o a su alrededor, la cual decrece de manera natural &a cantidad inicial de material radioacti"o presente es de '? su(unidad de se%uridad) * ? meses m.s tarde es toda"ía de '- su (EE.DD %$ edición'ED)!RD' *ENNE+ a) Escriba una #órmula para calcular la cantidad +(t) de material radioacti"o que permanece despu/s de t meses b) @Hu/ cantidad de material radioacti"o permanecer. despu/s de G mesesB c) @0u.nto tiempo pasara hasta que +=' su, de tal manera que sea se%uro para que la %ente pueda re%resar a esa .reaB Res&uesta a ! (t#((123 (t2 4 a&ro0. -.5%su c des&u6s de 33.% meses
'8 supón%ase que la población P de bacterias en un culti"o al tiempo t , cambia a una raón directamente proporcional a si inicialmente ha* '--bacterias * despu/s de ; horas la población se redujo a '-- bacterias determine1 a) la población en #unción del tiempo
b) la población despu/s de un tiempo mu* lar%o (EE.DD'7 .8EN9UR! ERREC;<'D!8;D E<;=!RR!R!= P (t ) =
1000 1000 − 999e
0.001" t
−
Res&uesta a 4 #
'; 0ierto material radioacti"o se desinte%ra con una rapide proporcional a la cantidad e6istente en cada instante En una prueba realiada con 4- m% de este material, se obser"ó que despu/s de 8 horas, solamente permanecía el G-A de la masa ori%inal (EE.DD'7 .8EN9UR! ERREC;<'D!8;D 2allar1 E<;=!RR!R!= a) &a cantidad restante de masa en cualquier instante b) @Hu/ cantidad de material ha* despu/s de ? horasB c) @0uanto tiempo de transcurrir para que la cantidad de material sea un cuarto de la cantidad inicialB
Res&uesta
a ) 6(t ) = 60e−0.0743"t b)41.37 m% c )1".64 horas '? &a población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al número de habitantes que ha* en un momento dado, si despu/s de ? años la población se ha triplicado * despu/s de G años la población es de ;?--- habitantes ,halle el número de habitantes que había inicialmente en la cuidad (guía UN! "EE.DD #$ edición. Res&uesta-->? @a4itantes
'4 0uando pasa un ra*o "ertical de lu por una sustancia transparente , la raon con que decrece su intensidad L es proporcional a L(t) donde t representa el espesor , en pies del medio en a%ua de mar clara , la intensidad a 8#t bajo la super#icie ,es el ?A dela intencidad inicial del ra*o incidente @ cual es la intensiad del ra*o a '? #t bajo la super#icie (EE.DD >$edicion' DENN; A.=;<<
Res&uesta?.???B5#? a&ro0 ?.# de la intensidad inicial
'> En un proceso radioacti"o se e#ectúan dos mediciones la primera, dos horas despu/s de iniciado el proceso, arroja la cantidad de '- m%r mientras que en la se%unda ,que se e#ectúa una hora despu/s ,indica la presencia de G m%r @ cu.l es la cantidad ori%inal de la sustancia radioacti"aB(guía de &ractica UN!'EE.DD 3$edicion Res&uesta#.>1mgr. #5. Supon%a que un cuerpo mineral #ormado en un anti%uo cataclismo contenía ori%inalmente el isotopo de uranioF8G,el cual tiene una "ida media de ;?'6'-M7 años, pero no contenía plomo ,producto #inal del decrecimiento radioacti"o del uranio si ahora la relación entre los .tomos de uranio * plomo en el mineral es de -7@ cu.ndo ocurrió el cataclismoB (EE.DD %$ edición'ED)!RD'*ENNE+ Res&uesta@ace %.5>0#?B a/os. #B. Supon%a que el pentobarbital de sodio se usa para anestesiar a un perro Este queda anestesiado cuando su torrente san%uíneo contiene al menos ;? mili%ramos de pentobarbital de sodio por $% de peso ,supon%a tambi/n que esta sustancia se elimina e6ponencialmente del torrente con una "ida media de ? horas @ qu/ dosis se le debe administrar a un perro de ?- $% de peso para anestesiarlo durante ' hora (EE.DD %$ edición'ED)!RD'*ENNE+ Res&uesta1.5 miligramos.
- Se ha obser"ado en el laboratorio que el radiose desinte%ra a una rapide proporcioanl ala cantidad de radio presente Su "ida media es de '4-- años@ que porcentaje desaparecera en un añoB (EE.DD'7 .8EN9UR! ERREC;<'D!8;D E<;=!RR!R!= Res&uesta?.?%33 de la cantidad inicial.
ENE500S P5PESCS ' na cierta sustancia radioacti"a tiene una "ida media de 8G horas Encontrar que tanto tiempo toma el 7-A de la radiacti"idad en disiparse 5espuesta1 t= '4 años Se sabe que un cierto material radiacti"o decae a una "elocidad proporcional a su cantidad de material presente n bloque de ese material tiene ori%inalmente una
masa de '-- %r 3 cuando se le obser"a despu/s de - años, su masa ha disminuido a G- %r Encuentre una e6presión para la masa de ese material como #unción del tiempo −t
5espuesta1 6 (t)= '--
e
20
ln
5 4
8 Suponer que una %ota de llu"ia es#/rico se e"apora a una "elocidad a su .rea super#icial Si ori%inalmente el radio es de 8mm , ' hora despu/s se ha reducido a mm Encontrar una e6presión para el radio de la %ota como #unción del tiempo 5espuesta1 r=t mm, -OtO8 ; El radio se descompone con una "elocidad proporcional a la cantidad de radio presente Supón%ase que se descubre que en ? años apro6imadamente '1'A de una cierta cantidad de radio se ha descompuesto Determínese apro6imadamente que tanto tiempo tomara el radio para que se descompon%a la mitad de la cantidad ori%inal 5espuesta1 '??4> años ? Se ha descubierto que una bola de na#talina que tenía ori%inalmente un radio de 1 4
1
de pul%adas, tiene un radio de
8
de pul%ada al cabo de un mes
Suponiendo que se e"apore aun índice proporcional a su super#icie Encu/ntrese el radio en #unción del tiempo despu/s e cuantos meses m.s desaparecer. por completo 5espuesta1 r= (Ft)GJ desaparecer. despu/s de un mes nada m.s
