Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Segundo parcial de C´ alculo alculo III II I
29 de noviem noviembre bre de 201 2018 8
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y (ln2), sabiendo que y es soluci´
Respuesta:
x˙ = 3x 4y 2, y˙ = x y 1, x(0) = 3, y (0) = 1.
− − − −
Comenzamos con el sistema lineal asociado al problema a valor inicial: x˙ y
=
3 1
−4 −1
− x y
2 1
+
−
Partimos con la resoluci´on on de (LH) asociado, aplicando la variante de la matriz exponencial. x˙ y
=
3 1
−4 −1
⇒ x y
A =
3 1
−4 ⇒ p −1
A (λ)
= (λ
2
2
− 3)(λ + 1) + 4 = λ − 2λ − 1 = (λ − 1)
λ = 1 es un valor propio que se repite dos veces; por lo tanto, la familia generadora de soluciones es FG = on general: et , tet . Planteamos como soluci´on
{
}
x = c 11 et + c12 tet , y = c 21 et + c22 tet .
Reemplazamos en la segunda ecuaci´on on de (LH) asociada: y˙ = (c21 + c22 )et + c22 tet , x y = (c11 c21 )et + (c12
−
−
t
22 )te
−c
⇒
c21 + c22 = c 11 c22 = c 12 c22
−c
21
−
21 = c 1 ,
⇒c
c22 = c 2 , c12 = 2c2 c 11 = 2c1 +c2
La soluci´ soluci´ on general de (LH) asociada es on x = (2c1 + c2 )et + 2c2 tet , y = c 1 et + c2 tet .
La soluci´ on particular se obtiene por tanteo, planteando x = α, y = β , lo que da como soluci´on on on particular on on general de (L) es x = 2, y = 1. Por lo tanto, la soluci´ x = (2c1 + c2 )et + 2c2 tet + 2, y = c 1 et + c2 tet + 1.
Hallamos los valores de c 1 y c2 reemplaza reemplazando ndo las condiciones condiciones iniciales en la soluci´ soluci´ on on general general x(0) = 2c1 + c2 + 2 = 3, y = c 1 + 1 = 1.
⇒ c = 0, 1
c2 = 1
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es on x = e t + 2tet + 2, y = te t + 1.
De donde y (ln (ln 2) = ln 2eln 2 + 1 = 1 + 2ln 2. on general de la ecuaci´ on en diferenciales 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(y + x2 y 2 ) dx + (x
2
− x y) dy = 0
Resolveremos mediante manipulaciones de diferenciales. La ecuaci´on on la escribimos como (x dy + y dx)
2
2 2
= 0,
2
2 2
= 0
⇒ dx(xyy ) − dyy + dx = 0
= 0
⇒ d(− xy1 − ln y + x) = 0
− x y dy + x y dx d(xy ) − x y dy + x y dx −1 d( ) − d(ln y ) + dx xy
− xy1 − ln y + x La soluci´ soluci´ on on general est´a dada por
1 xy
− − ln y + x = c.
= c.
2 2
3. (30 puntos ) Un punto P es arrastrado por el plano x
− y mediante una cuerda P P T de longitud 2 2. Si T T arranca
del origen y se mueve a lo del eje x positivo y si P arranca del punto (0 , 2). Dar la ecuaci´ on de la trayectoria del punto P . Respuesta:
El punto P se mueve con una velocidad proporcional al vector P T , por consiguiente el segmento P T es tangente a la trayectoria del punto P , ver figura. Por lo tanto, si la trayectoria es el grafo de y (x), se tiene
−→
−→ − −→ − − PR
y =
y
=
1
RT
y2
.
La trayectoria del punto P es soluci´on on del problema a valor inicial
y
− √ −
y =
1 y2
,
y (0) = 2 .
La ecuaci´on on diferencial es de tipo separable, integrando, mediante substituci´on trigonom´ trigono m´ etrica, etrica, obtenemos 2 ln
− − − 2+
4
y2
4
y
y2 = x + C
Remplazando el valor inicial y = 2, cuando x = 0, obtenemos C = 0. Por lo tanto, tanto, la ecuaci´ on on de la trayectoria es x = 2ln
− − − 2+
4
y
2
y2
4
y2 .
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Segundo parcial de C´ alculo alculo III
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
e
3.
a
on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y (ln2), sabiendo que y es soluci´
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = 1, d) y(ln (ln 2) = 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
x˙ = 3x 4y 2, y˙ = x y 1, x(0) = 3, y (0) = 1.
− − − −
b) y(ln (ln 2) = 4 + 2ln 2, e) y(ln (ln 2) = 0,
c) y(ln (ln 2) = 1 + 2ln 2, f) y(ln (ln 2) = 2,
−
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(y + x2 y 2 ) dx + (x a) ln y = cxy, d) 3x + x3 y 4 + cy = 0, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
2
− x y) dy = 0
b) ln xy = 31 y 3 + c, 1 e) ln y + x = c, xy
c) f)
− −
3. (30 puntos ) Un punto P es arrastrado por el plano x
− x y
y x
= x1 + x + c, = x1 + y + c,
−
−
− y mediante una cuerda P P T de longitud 2 2. Si T T arranca
del origen y se mueve a lo del eje x positivo y si P arranca del punto (0 , 2). Dar la ecuaci´ on de la trayectoria del punto P . Respuesta:
a)
x = 2 ln
2+
√ −
4 y2 y
− −
− √
4
d) y = ln 2+√ x4−x 4 + x2 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es. 2
y2 ,
b) x = 2 ln e)
2
√
−
x = cosh(y),
4+y 2 y
+
4 + y2 ,
c) y = e x f)
− 1,
x = sinh(y ),
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2
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
a
3.
c
on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y (ln2), sabiendo que y es soluci´
Respuesta:
x˙ = 3x 4y 2, y˙ = x y 1, x(0) = 3, y (0) = 1.
− − − −
a) y(ln (ln 2) = 0, d) y(ln (ln 2) = 4 + 2ln 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(ln (ln 2) = 2, e) y(ln (ln 2) = 1 + 2ln 2,
−
c) y(ln (ln 2) = 1, f) y(ln (ln 2) = 2,
−
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(y + x2 y 2 ) dx + (x 1 a) ln y + x = c, xy y d) ln x = 31 y3 + c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
− −
b) e)
2
− x y) dy = 0 = − + y + c, − = − + x + c, x y
3. (30 puntos ) Un punto P es arrastrado por el plano x
y x
1 x
1 x
c) ln y = cxy, f) 3x + x3 y 4 + cy = 0,
− y mediante una cuerda P P T de longitud 2 2. Si T T arranca
del origen y se mueve a lo del eje x positivo y si P arranca del punto (0 , 2). Dar la ecuaci´ on de la trayectoria del punto P . Respuesta:
a)
x = cosh(y),
d) x = 2 ln
2
b) x = sinh(y),
√
−
4+y 2 y
+
4 + y2 ,
g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
e)
y = e x
− 1,
c) x = 2ln f)
y = ln
√ −
2+
2+
√ x
4 y2 y
4 x2
−
− − 4
− √
4 + x2 ,
y2 ,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Segundo parcial de C´ alculo alculo III
29 de noviem noviembre bre de 201 2018 8
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
f
3.
b
on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y (ln2), sabiendo que y es soluci´
Respuesta:
x˙ = 3x 4y 2, y˙ = x y 1, x(0) = 3, y (0) = 1.
− − − −
a) y(ln (ln 2) = 2, d) y(ln (ln 2) = 1 + 2ln 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(ln (ln 2) = 1, e) y(ln (ln 2) = 2,
−
c) y (ln (ln 2) = 4 + 2ln 2, f ) y (ln (ln 2) = 0,
−
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(y + x2 y 2 ) dx + (x a) xy = x1 + y + c, y d) = x1 + x + c, x g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
− − −
2
− x y) dy = 0 c) ln yx = 31 y 3 + c, 1 f) ln y + x = c, xy
b) ln y = cxy, e) 3x + x3 y 4 + cy = 0,
3. (30 puntos ) Un punto P es arrastrado por el plano x
− −
2 . Si T y mediante una cuerda P P T de longitud 2 T arranca del origen y se mueve a lo del eje x positivo y si P arranca del punto (0 , 2). Dar la ecuaci´ on de la trayectoria del punto P . Respuesta: a)
x = sinh(y), x
d) y = e 1, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
−
b) x = 2 ln e)
y = ln
−
2+
√ −
√ x
2+
4 y2 y
4 x2
−
− − 4
− √
4 + x2 ,
y2 ,
c) x = 2 ln f)
2
√
−
x = cosh(y),
4+y2 y
+
4 + y2 ,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Segundo parcial de C´ alculo alculo III
29 de noviem noviembre bre de 201 2018 8
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
b
3.
d
on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y (ln2), sabiendo que y es soluci´
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = 2, d) y(ln (ln 2) = 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
x˙ = 3x 4y 2, y˙ = x y 1, x(0) = 3, y (0) = 1.
− − − −
b) y(ln (ln 2) = 0, e) y(ln (ln 2) = 4 + 2ln 2,
c) y(ln (ln 2) = 2, f) y(ln (ln 2) = 1 + 2ln 2,
−
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(y + x2 y 2 ) dx + (x a) 3x + x3 y 4 + cy = 0, d) ln y = cxy, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
2
− x y) dy = 0 − − ln y + x = c,
1 b) xy e) ln xy = 31 y 3 + c,
3. (30 puntos ) Un punto P es arrastrado por el plano x
c) f)
x y
−
= x1 + y + c, y = x1 + x + c, x
−
−
− y mediante una cuerda P P T de longitud 2 2. Si T T arranca
del origen y se mueve a lo del eje x positivo y si P arranca del punto (0 , 2). Dar la ecuaci´ on de la trayectoria del punto P . Respuesta:
a)
y = ln
d) x = 2 ln
− √ √ − − √ x
2+
4 x2
2+
−
4 y2 y
−
4 + x2 , 4
g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) x = cosh(y), y2 ,
e)
x = 2 ln
2
√ −
4+y 2 y
c) x = sinh(y ),
+
4 + y2 ,
f)
y = e x
− 1,
