Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Segundo parcial de C´ alculo alculo III II I
26 de noviem noviembre bre de 201 2018 8
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y y (ln2), sabiendo que y y es soluci´
x˙ = 3x − 4y − 2, = x − y − 1, xy˙ = x (0) = 0, 0, y(0) = 0. 0.
Respuesta:
Comenzamos con el sistema lineal asociado al problema a valor inicial:
x˙ 3
−4 1 −1
=
y
x −2 y
+
−1
Partimos con la resoluci´on on de (LH) asociado, aplicando la variante de la matriz exponencial.
x˙ 3 y
=
−4 1 −1
x y
⇒ A =
3
−4 1 −1
⇒ pA (λ) = (λ − 3)(λ 3)(λ + 1) + 4 = λ 2 − 2λ − 1 = (λ − 1)2
λ = 1 es un valor propio que se repite dos veces; por lo tanto, la familia generadora de soluciones es FG = on general: {et , tet }. Planteamos como soluci´on x = c = c 11 et + c12 tet , y = c = c 21 et + c22 tet . Reemplazamos en la segunda ecuaci´on on de (LH) asociada: y˙ = (c21 + c + c22 )et + c22 tet , x − y = (c11 − c21 )et + (c (c12 − c22 )tet
c ⇒
+ c22 = c = c 11 21 + c
− c21
c22 = c = c 12 − c22
⇒ c21 = c = c 1 , c22 = c = c 2 , c12 = 2c2 c 11 = 2c1 +c2
La soluci´ soluci´ on general de (LH) asociada es on x = (2c (2c1 + c + c2 )et + 2c 2c2 tet , y = c = c 1 et + c2 tet . La soluci´ on particular se obtiene por tanteo, planteando x = α, y = β , lo que da como soluci´on on on particular x = 2, y 2, y = 1. Por lo tanto, la soluci´on on general de (L) es x = (2c (2c1 + c + c2 )et + 2c 2c2 tet + 2, 2, t t y = c = c 1 e + c2 te + 1. 1. Hallamos los valores de c de c 1 y c 2 reemplaza reemplazando ndo las condiciones condiciones iniciales en la soluci´ soluci´ on on general general x(0) = 2c 2c1 + c + c2 + 2 = 0, 0, ⇒ c1 = −1, y = c = c 1 + 1 = 0. 0.
c2 = 0
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es on x = −2et + 2, 2, t y = −e + 1. 1. De donde y (ln (ln 2) = −eln 2 + 1 = −2 + 1 = −1.
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x dy − y dx = dx = (1 + y + y 2 ) dy Tenemos:
−y 2
y dx − x dy = (1 + y 2 ) dy, y2
Por lo tanto,
x x 1 x 1 + y 2 ) dy ⇒ −d( ) = (1 + 2 ) dy ⇒ −d( ) = (dy − d( )), )), −y2 d( ) = (1 + y y y y y y
d(
x 1 x 1 x 1 + y − ) = 0 ⇒ + y − = c ⇒ − = y − + c , c , y y y y y y
on con y 3. (30 puntos ) Hallar y y (0), sabiendo que y(x) ≥ 0 es la funci´ y (−3) = 4 e y (3) = 4 que satisface 3
1 + y + y
2
dx → m´ın .
y
3
−
Respuesta:
Aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange cuando la funci´on on objetivo no depende de x, x , lo que da y2
Obtenemos
+ y y 1 + y y =
Luego
2
−
c 1 + y + y
2
1 + y + y y
,
2
=
−1 y 1 + y + y
2
= c.
y = tan θ ⇒ y = c = c cos θ.
dx dy/dθ −c sin θ = = = −c cos θ ⇒ x = −c sin θ + d. + d. tan θ dθ y
Por lo tanto (x ( x − d)2 + y 2 = c 2 circunferencia centrada en el eje x. x . Por simetr´ simetr´ıa del probema, el centro de la circunferencia es el origen y el radio por lo tanto es 5. De donde y (0) = 5.
2
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Segundo parcial de C´ alculo alculo III
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
e
3.
a
on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y y (ln2), sabiendo que y y es soluci´
x˙ = 3x − 4y − 2, = x − y − 1, xy˙ = x (0) = 0, 0, y(0) = 0. 0.
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = 1, 1, d) y(ln (ln 2) = 2, 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(ln (ln 2) = 2 + 2ln 2, e) y(ln (ln 2) = 0, 0,
c) y(ln (ln 2) = −1, f) y(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2,
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x dy − y dx = dx = (1 + y + y 2 ) dy b) ln xy = 31 y3 + c, e) − xy = − y1 + y + y + c, c,
a) ln y = cxy, = cxy, d) 3x + x + x3 y 4 + cy = cy = 0, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
1 − ln x + y c) − xy + y = = c, c, y 1 f) x = − x + x + x + + c, c,
on con y 3. (30 puntos ) Hallar y y (0), sabiendo que y(x) ≥ 0 es la funci´ y (−3) = 4 e y (3) = 4 que satisface 3
1 + y + y 3
−
y
2
dx → m´ın .
Respuesta:
a) y (0) = 5, 5, d) y (0) = 1, 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (0) = 3, 3, e) y (0) = 2, 2,
c) y(0) = 4, 4, f) y(0) = 0, 0,
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2
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
a
3.
c
on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y y (ln2), sabiendo que y y es soluci´
x˙ = 3x − 4y − 2, = x − y − 1, xy˙ = x (0) = 0, 0, y(0) = 0. 0.
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 0, 0, d) y (ln (ln 2) = 2 + 2ln 2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, e) y (ln (ln 2) = −1,
c) y (ln (ln 2) = 1, 1, f) y (ln (ln 2) = 2, 2,
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x dy − y dx = dx = (1 + y + y 2 ) dy b) yx = − x1 + x + x + + c, c, 1 e) − xy − ln x + y + y = = c, c,
a) − xy = − y1 + y + y + + c, c, y 1 3 d) ln x = 3 y + c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
c) ln y = cxy, = cxy, f) 3x + x + x3 y4 + cy = cy = 0,
on con y 3. (30 puntos ) Hallar y y (0), sabiendo que y(x) ≥ 0 es la funci´ y (−3) = 4 e y (3) = 4 que satisface 3
1 + y + y 3
−
y
2
dx → m´ın .
Respuesta:
a) y (0) = 2, 2, d) y (0) = 3, 3, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (0) = 0, 0, e) y (0) = 4, 4,
c) y(0) = 5, 5, f) y(0) = 1, 1,
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Segundo parcial de C´ alculo alculo III
26 de noviem noviembre bre de 201 2018 8
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
f
3.
b
on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y y (ln2), sabiendo que y y es soluci´
x˙ = 3x − 4y − 2, = x − y − 1, xy˙ = x (0) = 0, 0, y(0) = 0. 0.
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, d) y (ln (ln 2) = −1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (ln (ln 2) = 1, 1, e) y (ln (ln 2) = 2, 2,
c) y (ln (ln 2) = 2 + 2ln 2, f) y (ln (ln 2) = 0, 0,
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x dy − y dx = dx = (1 + y + y 2 ) dy a) xy = − x1 + x + x + + c, c, 1 d) − xy − ln x + y + y = = c, c, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) ln y = cxy, = cxy, e) 3x + x + x3 y 4 + cy = cy = 0,
c) ln xy = 31 y3 + c, f) − yx = − y1 + y + y + c, c,
on con y 3. (30 puntos ) Hallar y y (0), sabiendo que y(x) ≥ 0 es la funci´ y (−3) = 4 e y (3) = 4 que satisface 3
1 + y + y 3
−
y
2
dx → m´ın .
Respuesta:
a) y (0) = 0, 0, d) y (0) = 4, 4, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (0) = 5, 5, e) y (0) = 1, 1,
c) y(0) = 3, 3, f) y(0) = 2, 2,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Segundo parcial de C´ alculo alculo III
26 de noviem noviembre bre de 201 2018 8
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
b
3.
d
on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y y (ln2), sabiendo que y y es soluci´
x˙ = 3x − 4y − 2, = x − y − 1, xy˙ = x (0) = 0, 0, y(0) = 0. 0.
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = 2, 2, d) y(ln (ln 2) = 1, 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(ln (ln 2) = 0, 0, e) y(ln (ln 2) = 2 + 2ln 2,
c) y(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, f) y(ln (ln 2) = −1,
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
x dy − y dx = dx = (1 + y + y 2 ) dy b) − xy = − y1 + y + y + c, c, y 1 3 e) ln x = 3 y + c,
a) 3x + x + x3 y 4 + cy = cy = 0, d) ln y = cxy, = cxy, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
c) xy = − x1 + x + x + + c, c, 1 f) − xy − ln x + y + y = = c, c,
on con y 3. (30 puntos ) Hallar y y (0), sabiendo que y(x) ≥ 0 es la funci´ y (−3) = 4 e y (3) = 4 que satisface 3
1 + y + y 3
−
y
2
dx → m´ın .
Respuesta:
a) y (0) = 1, 1, d) y (0) = 5, 5, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (0) = 2, 2, e) y (0) = 3, 3,
c) y(0) = 0, 0, f) y(0) = 4, 4,
