Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Primer parcial de C´ alculo alculo III
4 de octubre octubre de 201 2018 8
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar y y (π/2) π/2), sabiendo que y es soluci´
y + 4y4y = 6 cos cos t, y(0) = 2, 2, y (0) = 0.0.
Respuesta:
Resolvemos la ecuaci´on on diferencia diferenciall del problema a valor valor inicial
y + 4y 4y = 6 cos cos t, Para tal efecto, consideramos la ecuaci´on on lineal homog´enea enea asociada asoci ada
y + 4y 4y = 0,
(LHC)
cuyo polinomi p olinomioo caracter´ ca racter´ıstico ıstico es p( p(λ) = λ 2 + 4, 4, de ra´ıces ıc es λ 1 = 2i y λ 2 = −2i, que contribuyen al (SF) de (LHC) con: SF = { cos(2t cos(2t), sin(2t sin(2t)}. La soluci´ on particular de la ecuaci´on on on diferencial del problema, la hallamos por tanteo, planteando y planteando y = = α α cos t + β sin sin t, derivando dos veces y remplazando se obtiene:
−α cos t − β sin sin t + 4α 4α cos t + 4β 4β sin sin t = 6 cos cos t ⇒ α = α = 2, quadβ quadβ = = 0. Por lo tanto, la soluci´on on general de la ecuaci´on on diferencial del problema es y = c = c 1 cos(2t cos(2t) + c + c2 sin(2t sin(2t) + 2 cos x. Hallamos c Hallamos c 1 y c 2 remplazando las condiciones iniciales: y (0) = c1 + 2 = 2, 2, y (0) = 2c2 = 0
= c 2 = 0. ⇒ c 1 = c
Por lo tanto, y tanto, y = 2 cos cos t e y (π/2) π/2) = 0.
on del problema a valor inicial 2. (25 puntos ) Hallar la soluci´
y = y y + (y(y ) , yy(0)(0)== −1.1. , 2
2
1 2
Respuesta:
Reducimos el orden de la ecuaci´on on del problema planteando u( u (y) = y (x), lo que convierte la ecuaci´on on en
yuu = y 2 u + u + u2 ,
Como y Como y (0) = 1, se tiene que u es diferente de 0 y consiguientemente podemos simplificar u de la ecuaci´on on lo que da la ecuaci´on on lineal de primer orden 1 u = u + y + y y
La soluci´ soluci´ on particular de esta ecuaci´on on on la obtenemos planteando u planteando u = αy = αy 2 : 2αy = αy = αy αy + + y y ⇒ α = α = 1 γ = γ = − 2. Por consiguiente la soluci´on on general es y es y = cy = cy + + y y 2 . Para x Para x = = 0 y = − 12 e y = 1, por lo tanto
1 1 1 3 u(− ) = − c + = 1 ⇒ c = c = − . 2 2 4 2
Ahora resolvemos
3 y = − y + y + y 2 , 2 que es una ecuaci´on on de Bernouilli, planteamos z planteamos z = 1/y, /y, lo que da
3 2 z − 1 ⇒ z = z = ce ce 3x/2 + . 2 3
z =
La condicion condicion inicial y inicial y = − 12 para x para x = 0, se convierte en z = − 2 para x para x = = 0, lo que z (0) = c = c + + Por lo tanto y =
2 8 8 2 = − 2 ⇒ c = c = − ⇒ z = z = − e3x/2 + . 3 3 3 3
1
− 83 e3x/2
+
2 3
=
3
−8e3x/2
+2
⇒ y( y (−8e3x/2 + 2) = 3
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial est´a dada por on 2y − 3 = 8ye 8 ye 3x/2 .
on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
xy + 2 = x 3 (y − 1)y 1)y .
Respuesta:
Despejamos y Despejamos y obteniendo
2
y =
x2 (y − 1) − x
.
Intercambiamos Intercambiamos roles, x roles, x se convierte en funci´on on inc´ognita ognita e y e y en variable independiente, lo que da
x = −
x (y ( y − 1) 3 + x , 2 2
ecuaci´ on on de tipo Bernouilli. Bernouilli. Planteamos Planteamos z z (y ) = z = z = x x 1
3
−
3
−
z = − 2x
x ⇒−
; es decir z decir z = x = x
2
−
. Derivamos y obtenemos:
x3 x (y ( y − 1) 3 = − + x ⇒ z = z − y − 1. 1. 2 2 2
Obtenemos una soluci´on on particular de esta ´ultima ultima ecuaci´on on planteando z planteando z = αy = αy + + β , derivando y remplazando se tiene α = αy = αy + + β β − y + 1 ⇒ α = α = 1, β = = 0 − y + Por lo tanto
1 = cey + y x2 De donde la soluci´on on general de la ecuaci´on on puede escribirse escribirse como z = ce = ce y + y ⇒
1 = x 2 (cey + y). y ).
2
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Primer parcial de C´ alculo alculo III
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1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
e
3.
a
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar y y (π/2) π/2), sabiendo que y es soluci´
y + 4y4y = 6 cos cos t, yy(0)(0)==2,20.0,.
Respuesta:
a) y (π/2) π/2) = − 2, d) y (π/2) π/2) = 1, 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (π/2) π/2) = 1/ 1/2, e) y (π/2) π/2) = − 1,
c) y(π/2) π/2) = 0, 0, f) y(π/2) π/2) = 2, 2,
on del problema a valor inicial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y = y y + (y(y ) , yy(0)(0)== −1.1. ,
Respuesta:
a) y = 21 , d) y = 2ex , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
2
2
1 2
b) 3y + x + x3 = 3, e) 2y − 3 = 8ye 8 ye
3 2
x
,
c) y = − ln(sin(x ln(sin(x)) + 2, 2, x f) y = − ln(2e ln(2e − 1), 1), −
on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
1)y . xy + 2 = x 3 (y − 1)y
Respuesta:
a) 1 = x 2 (y + ce + cey ), d) xy = xy = ce ce x/y , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) xy 2 = e y + c, e) x = cye = cye xy ,
c) 1 + xy ln xy ln x = cxy, = cxy, 2 f ) 2 + 5xy = cx 5/2 ,
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2
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
a
3.
c
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar y y (π/2) π/2), sabiendo que y es soluci´
y + 4y4y = 6 cos cos t, yy(0)(0)==2,20.0,.
Respuesta:
a) y (π/2) π/ 2) = − 1, d) y (π/2) π/ 2) = 1/ 1/2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (π/2) π/ 2) = 2, 2, e) y (π/2) π/ 2) = 0, 0,
c) y (π/2) π/ 2) = − 2, f) y (π/2) π/ 2) = 1, 1,
on del problema a valor inicial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y = y y + (y(y ) , yy(0)(0)== −1.1. ,
Respuesta: 3 2
a) 2y − 3 = 8ye x , d) 3y + x + x3 = 3, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
2
2
1 2
b) y = − ln(2e ln(2e x − 1), 1), e) y = − ln(sin(x ln(sin(x)) + 2, 2, −
c) y = 21 , f) y = 2ex ,
on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
xy + 2 = x 3 (y − 1)y 1)y .
Respuesta:
a) x = cye = cye xy , d) xy2 = e y + c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) 2 + 5xy2 = cx 5/2 , e) 1 + xy ln = cxy, xy ln x = cxy,
c) 1 = x 2 (y + ce + cey ), f) xy = xy = ce ce x/y ,
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3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
f
3.
b
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar y y (π/2) π/2), sabiendo que y es soluci´
y + 4y4y = 6 cos cos t, yy(0)(0)==2,20.0,.
Respuesta:
b) y(π/2) π/2) = − 2, e) y(π/2) π/2) = 1, 1,
a) y(π/2) π/2) = 2, 2, d) y(π/2) π/2) = 0, 0, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
c) y(π/2) π/2) = 1/ 1/2, f) y(π/2) π/2) = −1,
on del problema a valor inicial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y = y y + (y(y ) , yy(0)(0)== −1.1. ,
Respuesta:
a) y = − ln(2e ln(2e x − 1), 1), d) y = − ln(sin(x ln(sin(x)) + 2, 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. −
2
2
1 2
b) y = 21 , e) y = 2ex ,
c) 3y + x + x3 = 3, f) 2y − 3 = 8ye 8 ye
3 2
x
,
on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
xy + 2 = x 3 (y − 1)y 1)y .
Respuesta:
a) 2 + 5xy2 = cx 5/2 , d) 1 + xy ln xy ln x = cxy, = cxy, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) 1 = x2 (y + ce + cey ), e) xy = xy = ce cex/y ,
c) xy2 = ey + c, f) x = cye = cye xy ,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
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Primer parcial de C´ alculo alculo III
4 de octubre octubre de 201 2018 8
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
b
3.
d
on del problema a valor inicial 1. (40 puntos ) Hallar y y (π/2) π/2), sabiendo que y es soluci´
y + 4y4y = 6 cos cos t, yy(0)(0)==2,20.0,.
Respuesta:
a) y (π/2) π/2) = 1, 1, d) y (π/2) π/2) = − 2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (π/2) π/2) = − 1, e) y (π/2) π/2) = 1/ 1/2,
c) y(π/2) π/2) = 2, 2, f) y(π/2) π/2) = 0, 0,
on del problema a valor inicial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´
y = y y + (y(y ) , yy(0)(0)== −1.1. ,
Respuesta:
a) y = 2ex , d) y = 21 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
2
2
1 2
b) 2y − 3 = 8ye 8 ye 3 e) 3y + x + x = 3,
3 2
x
,
c) y = − ln(2e ln(2e x − 1), 1), f) y = − ln(sin(x ln(sin(x)) + 2, 2, −
on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
1)y . xy + 2 = x 3 (y − 1)y
Respuesta:
a) xy = xy = ce ce x/y , d) 1 = x 2 (y + ce + cey ), g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x = cye = cye xy , e) xy 2 = e y + c,
c) 2 + 5xy2 = cx 5/2 , f ) 1 + xy ln xy ln x = cxy, = cxy,
