Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Primer parcial de C´ alculo alculo III
1 de octubre octubre de 201 2018 8
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y(ln2), sabiendo que y es soluci´ x
y 4y + 4y = e , = 2, yy(0) (0) = 5.
−
Respuesta:
La ecuaci´on on diferencial diferencial asociada asociada al problema es una ecuaci´ on on lineal de segundo orden, cuya parte homog´ enea enea y − 4y + 4y = 0
es una ecuaci´on on lineal li neal homog´ h omog´enea enea a coeficientes coefic ientes constantes. co nstantes. Por lo tanto, t anto, el polinomio poli nomio caracter´ c aracter´ıstico ıstico est´a dado por p(λ) = λ 2 − 4λ + 4 = ( λ − 2). La soluci´ soluci´ on on general de la ecuaci´on on lineal homog´enea enea est´a dada por y = c 1 e2x + c2 xe2x .
La soluci´ on particular la encontramos por tanteo, planteando y = αex , se tiene que y = ex es una soluci´on on on particular. Por consiguiente la soluci´on on general de la ecuaci´on on lineal asociada al problema es y = c 1 e2x + c2 xe2x + ex .
Resolver el problema a valor inicial, significa encontrar los valores de c1 y c2 . Remplazamos las condiciones iniciales, y (0) = c 1 + 1 = 2
⇒
y (0) = 2 · 1 + c2 + 1 = 5
⇒
c1 = 1, c2 = 2.
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es on y = e 2x + 2xe2x + ex
y por lo tanto y (ln (ln 2) = e 2 l n 2 + 2(ln 2(ln 2)e2 l n 2 + eln 2 = 4 + 8 ln2 + 2 = 6 + 8ln 2.
La respuesta es y(ln (ln 2) = 6 + 8 ln2. on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ yy + (y )2 = 0.
Reducimos el orden de la ecuaci´on on planteando y = u(y ). Por consiguiente, aplicando la regla de la cadena, se tiene d du dy du y = u = = u .
dx
dy dx
dy
Remplazando en la ecuaci´on, on, se obtiene: yu
du du + u2 = 0 ⇒ u(y + u) = 0 dy dy
⇒
u = 0 o y
Si u = 0,se tiene y = 0 y por lo tanto y = c . Sino du du 1 y + u = 0 ⇒ = − u ⇒ u = de
du + u = 0. dy
dy
dy
y
yy = d
⇒
Esto significa que y =
d y
⇒
−
ln y
1 2 y = dx + c, 2
Por lo que la soluci´on on general de la ecuaci´on on es y2 = c 1 x + c2 .
Remarcamos que cuando c 1 = 0, se tiene la soluci´on on para el caso u = 0.
=
d . y
on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´ y − xy 2 x + x2 y
y = Respuesta:
Factorizemos el lado derecho de la ecuaci´on, se tiene y =
y(1 − xy x(1 + xy )
,
planteamos z = xy , de donde z = xy + y , remplazamos en la ecuaci´on on diferencial z − y =
ecuaci´ on on de tipo separable
y − yz 1 + z
z + 1 2 z = z x
⇒
z =
⇒
2y 2z = x(z + 1) 1 + z
ln z + z = ln(cx2 )
de donde remplazando z = yx obtenemos x xy = ln(c ) y
La respuesta es x = cye xy .
2
⇒
x = cye xy .
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Primer parcial de C´ alculo alculo III
1 de octubre octubre de 201 2018 8
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
e
3.
a
on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y(ln2), sabiendo que y es soluci´ x
y 4y + 4y = e , = 2, yy(0) (0) = 5.
−
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = e, d) y(ln (ln 2) = 5, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y(ln (ln 2) = 3, e) y(ln (ln 2) = 0,
c) y(ln (ln 2) = 6 + 8ln 2, f) y(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ yy + (y )2 = 0.
a) y = c 1 ec x , d) y = c 2 ec x , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. 2 1
b) x2 + (y − c1 )2 = c 2 , e) y2 = c 1 x + c2 ,
c) f)
y = − ln(sin(x + c1 )) + c2 , y = c 1 x + c2 ,
on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´ y =
y − xy 2 x + x2 y
Respuesta: cy exy , a) x = cye d) y = cxe , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. y
x
2
b) x = ce xy , e) y = ce y/x ,
5 2
c) 2 + 5xy2 = cx , f ) x = ce x/y ,
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2
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
a
3.
c
on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y(ln2), sabiendo que y es soluci´ x
y 4y + 4y = e , = 2, yy(0) (0) = 5.
−
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = 0, d) y(ln (ln 2) = 3, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, e) y(ln (ln 2) = 6 + 8ln 2,
c) y(ln (ln 2) = e, f) y(ln (ln 2) = 5,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ yy + (y )2 = 0.
a) y2 = c 1 x + c2 , d) x2 + (y − c1 )2 = c 2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y = c 1 x + c2 , e) y = − ln(sin(x + c1 )) + c2 ,
c) y = c 1 ec x , f) y = c 2 ec x , 2 1
on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´ y =
y − xy 2 x + x2 y
Respuesta:
a) y = ce y/x , d) x = ce xy , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. 2
b) x = ce x/y , e) 2 + 5xy2 = cx , 5 2
c) f)
x = cye xy , y = cxe , y
x
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
f
3.
b
on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y(ln2), sabiendo que y es soluci´ x
y 4y + 4y = e , = 2, yy(0) (0) = 5.
−
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, d) y(ln (ln 2) = 6 + 8ln 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(ln (ln 2) = e, e) y(ln (ln 2) = 5,
c) f)
y(ln (ln 2) = 3, y(ln (ln 2) = 0,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ yy + (y )2 = 0.
a) y = c 1 x + c2 , d) y = − ln(sin(x + c1 )) + c2 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y = c 1 ec x , e) y = c 2 ec x ,
c) f)
2 1
x2 + (y − c1 )2 = c 2 , y 2 = c 1 x + c2 ,
on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´ y =
y − xy 2 x + x2 y
Respuesta:
a) x = ce x/y , d) 2 + 5xy2 = cx , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es. 5 2
b) x = cye xy , e) y = cxe , y
x
c) f)
2
x = ce xy , y = cey/x ,
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
b
3.
d
on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y(ln2), sabiendo que y es soluci´ x
y 4y + 4y = e , = 2, yy(0) (0) = 5.
−
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = 5, d) y(ln (ln 2) = e, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y(ln (ln 2) = 0, e) y(ln (ln 2) = 3,
c) y(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, f) y(ln (ln 2) = 6 + 8ln 2,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ yy + (y )2 = 0.
a) y = c 2 ec x , d) y = c 1 ec x , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. 1 2
b) y2 = c 1 x + c2 , e) x2 + (y − c1 )2 = c 2 ,
c) f)
y = c 1 x + c2 , y = − ln(sin(x + c1 )) + c2 ,
on general de 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´ y =
y − xy 2 x + x2 y
Respuesta: y
a) y = cxe , cy exy , d) x = cye g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. x
b) y = ce y/x , e) x = ce xy , 2
c) x = ce x/y , f ) 2 + 5xy2 = cx , 5 2
