Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Primer parcial de C´ alculo alculo III
18 de abril abril de 201 2018 8
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas 1. (40 puntos ) Hallar el valor de y(2) sabiendo que
Respuesta:
y + y 2y = 3ex , y (0) = 1, y (0) = 0 .
− −
Resolvemos primero la ecuaci´on on (LH) asociada: y + y
− 2y = 0 (LHC) El polinomio caracter´ caracter´ıstico de la ecuaci´ on on es p(λ) = λ 2 + λ − 2 = (λ − 1)(λ + 2), las ra´ ra´ıces de este polinomio 2 } de la ecuaci´on son λ1 = 1, λ2 = 2. Por lo tanto, SF = {e , e on (LH) asociada. Para la soluci´on on particular −
x
x
de la ecuaci´on on (L), aplicamos variaci´on on de constantes, planteando: 2x
−
y = c 1 (x)e + c2 (x)e x
⇒
e−2x 2e−2x
ex ex
0 c1 c2
−
=
3ex
.
Resolvemos el sistema lineal, lo que da:
c1
c2
=
=
0 3
ex
ex ex
ex ex
= −−33
e−2x 2e−2x
−
e−2x 2e−2x
−
0 3ex
=
x
x
⇒ c1(x) = x
3e2x = 3e x
−3e − Soluci´ on particular encontrada y = xe − 31 e3 e 2 = xe on −x
e−x =1 e−x
−
−
x
x
−e3 ⇒ c2(x) = −13 e3 − 31 e . Por lo tanto, la soluci´on on general de (L) es: x
x
x
y = c 1 ex + c2 e−2x + xex .
Hallamos los valores de c1 y c2 reemplaza reemplazando ndo las condiciones condiciones iniciales en la soluci´ soluci´ on on general, y(0) = c 1 + c2 = 1 y (0) = c 1 2c2 + 1 = 0
−
La soluci´ soluci´ on on del problema es y =
−
⇒ c1 = −1, c2 = 0.
+ xex , de donde y(2) =
−e
x
−e2 + 2e2 = e2.
on no constante del problema diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ x2 + 2y )y + 2xy = 0, y = 1 e y = 0 para x = 0.
(
Reducimos el orden planteando z = y , lo que da
(x2 + 2z )z + 2xz = 0,
z (0) = 0 .
Intercambiamos roles entre la funci´on on inc´ognita ognita z y la variable independiente x . Obtenemos x =
1 − −2z x , x
ecuaci´ on on de tipo Bernoulli, Bernoulli, planteamos planteamos u = x 2 , lo que conduce a
− z1 u − 2 ⇒ u = zc − z. ⇒ z x2 = c − z2
u =
Hallamos c, reemplazando la condici´on on inicial en la soluci´on on general general obtenida obtenida c = 0. Como y = 0, buscamos 1 3 2 soluci´ ones ones no constantes y = x , integramos y = 3 x + d . Reemplazamos la condici´on on inicial y(0) = 1,
−
3
−
obtenemos d = 1 y la soluci soluci´ on o´n gener general al es 3y + x = 1.
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´ x(x2 + 1)y + 2y = (x2 + 1)3 . Respuesta:
Escribimos la ecuaci´on on diferencial lineal de primer orden en su forma est´andar,
−2
y =
x(x2 + 1)
y +
( x2 + 1)2 x
.
Resolvemos la ecuaci´on on (LH) homog´ enea enea asociada, para tal efecto, integramos
−2
x(x2 + 1)
dx = ln
x2 + 1 x2
, 2
de donde la soluci´on on general de la ecuaci´on on lineal l ineal homog´enea enea asociada asoci ada es y = c x x+1 . Obtenemos una soluci´on on particular de (L) aplicando el m´ etodo etodo de variaci´ on de constantes. Planteamos y = on x +1 c(x) x , lo que conduce a resolver resolver 2
2
2
x2 + 1 (x2 + 1)2 c = x2 x
Soluci´ on on particular hallada y =
1 4
·
(x2 +1)3 x2
⇒ c(x) =
(x2 + 1)x dx =
, la soluci´ solucion o´n general de (L) es
x2 + 1 1 + y = c x2 4
reescribien reescribiendo, do, tenemos tenemos 4x2 y = c (x2 + 1) + (x2 + 1)3 .
2
·
(x2 + 1)3 x2
,
1 2 (x + 1)2 . 4
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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Primer parcial de C´ alculo alculo III
18 de abril abril de 201 2018 8
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
b
3.
b
1. (40 puntos ) Hallar el valor de y(2) sabiendo que
Respuesta:
y + y 2y = 3ex , y (0) = 1, y (0) = 0 .
− −
a) y(2) = 2e2 , d) y(2) = e2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y(2) = 2e e) y(2) = 0,
− −
−
4
−
c) y(2) = e 2 e f) y(2) = e 2 ,
−
,
2
−
,
on no constante del problema diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ x2 + 2y )y + 2xy = 0, y = 1 e y = 0 para x = 0.
(
b) 3y + x3 = 3 , e) x2 + y 3 = 3,
a) y = 2e x , d) y = cos (3x + 2), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. −
c) f)
y = ln(ex + e−x ), y = ln(2e−x 1),
−
−
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´ x(x2 + 1)y + 2y = (x2 + 1)3 . Respuesta:
a)
y = (x2
d) y = e x
− 1) + cx, − 1,
g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) 4x2 y = (x2 + 1)3 + c(x2 + 1), e)
x = ln
√ 1 y
1+
−y
2
+ 1+
y 2 ,
c) y = (x2 + 1)x + c(x2 + 1) f)
x = (y2 + 1) + cy,
1
−
,
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Primer parcial de C´ alculo alculo III
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2
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
f
3.
f
1. (40 puntos ) Hallar el valor de y(2) sabiendo que
Respuesta:
y + y 2y = 3ex , y (0) = 1, y (0) = 0 .
− −
a) y(2) = e 2 e 2 , d) y(2) = e 2 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
−
b) y(2) = e) y(2) =
−e2,2 −2e ,
c) f)
y (2) = 0 , y (2) = 2e−4 ,
−
on no constante del problema diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ x2 + 2y )y + 2xy = 0, y = 1 e y = 0 para x = 0.
(
a) y = ln(ex + e x ), d) y = ln(2e x 1), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. −
−
−
−
b) y = cos (3x + 2), e) y = 2e x , −
c) x2 + y 3 = 3, f) 3y + x3 = 3,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´ x(x2 + 1)y + 2y = (x2 + 1)3 . Respuesta:
a)
2
2
y = (x + 1)x + c(x + 1)
1
−
d) x = (y 2 + 1) + cy, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
,
b) y = e e)
− 1, y = (x2 − 1) + cx, x
√ 1+ 1 y
+ 1+
y 2 ,
c)
x = ln
f)
4x2 y = (x2 + 1)3 + c(x2 + 1),
−y
2
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
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Primer parcial de C´ alculo alculo III
18 de abril abril de 201 2018 8
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
e
3.
e
1. (40 puntos ) Hallar el valor de y(2) sabiendo que
Respuesta:
y + y 2y = 3ex , y (0) = 1, y (0) = 0 .
− −
a) y(2) = e2 , d) y(2) = 2e2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y(2) = 0, e) y(2) = 2e
− −
−
4
−
c) y(2) = e 2 , f) y(2) = e 2 e
−
,
2
−
,
on no constante del problema diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ x2 + 2y )y + 2xy = 0, y = 1 e y = 0 para x = 0.
(
b) x2 + y 3 = 3, e) 3y + x3 = 3 ,
a) y = cos (3x + 2), d) y = 2e x , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. −
c) f)
y = ln(2e−x 1), y = ln(ex + e−x ),
−
−
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´ x(x2 + 1)y + 2y = (x2 + 1)3 . Respuesta:
a)
y = e
− 1, y = (x2 − 1) + cx, x
d) g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x = ln e)
√ 1+ 1 y
−y
2
+ 1+
y 2 ,
4x2 y = (x2 + 1)3 + c(x2 + 1),
c) x = (y2 + 1) + cy, f)
y = (x2 + 1)x + c(x2 + 1)−1 ,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Primer parcial de C´ alculo alculo III
18 de abril abril de 201 2018 8
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
a
2.
c
3.
c
1. (40 puntos ) Hallar el valor de y(2) sabiendo que
Respuesta:
y + y 2y = 3ex , y (0) = 1, y (0) = 0 .
− −
a) y(2) = e 2 , d) y(2) = e 2 e 2 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
−
b) y(2) = e) y(2) =
−
−22e2, −e ,
c) f)
y (2) = 2e−4 , y (2) = 0 ,
−
on no constante del problema diferencial 2. (30 puntos ) Hallar la soluci´ x2 + 2y )y + 2xy = 0, y = 1 e y = 0 para x = 0.
(
a) y = ln(2e x 1), d) y = ln(ex + e x ), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. −
−
−
−
b) y = 2e x , e) y = cos (3x + 2), −
c) 3y + x3 = 3, f) x2 + y 3 = 3,
on general de la ecuaci´ on diferencial diferencial 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´ x(x2 + 1)y + 2y = (x2 + 1)3 . Respuesta:
a)
x = (y 2 + 1) + cy, 2
b) y = (x2 2
d) y = (x + 1)x + c(x + 1) g)
1
−
Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
,
e)
y = e
x
− 1) + cx, − 1,
c) 4x2 y = (x2 + 1)3 + c(x2 + 1), f)
x = ln
√ 1 y
1+
−y
2
+ 1+
y 2 ,
