Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on C´ alculo alculo III, II I, Examen de Mesa, Primera Opci´ Op ci´ on1 on 2013
,
2, 3, 4
7 de marzo de
Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial 1.- (30 puntos ) Determinar el valor de y(1), sabiendo que y es soluci´
y − 2y + y = 2e2e , yy(0)(0)==1,1−, 1.
x
Respuesta:
La ecuaci´on on diferencia diferenciall asociada asociada al problema problema es lineal no homog´ homog´ enea enea de segundo segundo orden. orden. Resolvemos Resolvemos primero la ecuaci´on on diferencial lineal homog´enea, enea, que dicho sea de paso es a coeficientes co eficientes constantes. El polinomio poli nomio caracter´ıstico ıstico es p( p(λ) = λ2 − 2λ + 1 = (λ (λ − 1)2 . Por lo tanto el sistema fundamental de soluciones es SF = {ex , xex }. Para determinar la soluci´on on 2 x particular planteamos y = αx e , remplazamos y obtenemos (αx2 ex + 4αxe 4αxex + 2αe 2αex ) − 2(2αxe 2(2αxex + αx2 ex ) + αx2 ex = 2e 2 ex ⇒ α = 1. La soluci´ soluci´ on on general ser´a y = c1 ex + c2 xex + x2 ex . Los valores de c1 y c2 son obtenidos remplazando las condiciones iniciales y(0) = c1 = 1, 1, y (0) = c1 + c2 = −1
⇒ c1 = 1, c2 = −2.
Por lo tanto y = ex − 2xex + x2 ex e y (1) = e − 2e + e = 0. y (1)) = 0.
on de: 2.- (35 puntos ) Resolviendo, hallar y(1), sabiendo que y hace parte de la soluci´
Respuesta:
x˙ = 5x + 4y, 4y, y˙ = −x + y, x(0) = −2, y(0) = 1.1.
Derivamos la segunda ecuaci´on, on, y reemplazamos la primera ecuaci´on on diferencial, lo que da: y¨ = −x˙ + y, ˙ y¨ = −(5x (5x + 4y 4y ) + y˙ = y˙ − 4y − 5x. Despejamos x de la segunda ecuaci´on: on: x = −y˙ + y , reemplazamos en la ´ultima ultima ecuaci´on on obtenida y¨ = y˙ − 4y + 5y˙ − 5y ⇒ y¨ − 6y˙ + 9y 9y = 0. 0. Resolvemos la ecuaci´on on diferencial, diferen cial, v´ıa el polinomio poli nomio caracter´ıstico ıstico p(λ) = λ2 − 6λ + 9 = (λ ( λ − 3)2 . El sistema fundamental de la ecuaci´on o n es (SF) = {e3t , te3t }. Por consiguiente la soluci´on on general de la ecuaci´ on on diferencial es y = c1 e3t + c2 te3t .
Hallamos las condiciones iniciales para esta ecuaci´on on y(0) = 1, y˙ = −x(0)+y (0)+y (0) = 3. Luego encontramos los valores de las constantes, reemplazando la condici´on on inicial en la soluci´on on general:
y (0) = 3c 3c1 + c2 = 3 + c2 = 3 ⇒ c1 = 1,
y(0) = c1 = 1,
c2 = 0.
La soluci´ soluci´ on on del problema es y = e3t y y(1) = e3 .
on general de la ecuaci´ on 3.- (35 puntos ) Resolviendo, halle la soluci´
x2 y − xy + y = x2 .
Utilice el hecho que y = x es una soluci´on on no nula de la ecuaci´on on lineal homog´enea enea asociada. asoci ada. Respuesta:
Para encontrar una soluci´on on linealmente independiente con la soluci´on on y = x, planteamos y = c(x)x. Derivamos Derivamos e introducim introducimos os en la ecuaci´ ecuaci´on on diferencial, obteniendo: y y
= c + c x, = 2c + c x, x2 (2c (2c + c x) − x(c + c x) + cx = 0, 3 x c + x2 c = 0
De donde c es soluci´ soluci´ on on de la ecuaci´on on diferencial de primer orden
1 c =− c, x
cuya soluc´on on que nos interesa es c = e ln x = 1/x, /x, integrando se obtiene c = ln l n x, por lo tanto la otra soluc´ on linealmente independiente es y = x ln x. on Para poder p oder aplicar el m´ etodo etodo de variaci´ on on de constant constantes, es, escribimos escribimos la ecuac´ ecuac´on on diferencial, de manera que el coeficiente que acompa˜na na y sea 1, es decir
−
y −
1 x2 y + = 1. 1. x y
Planteamos como soluci´on on particular particular y = c1 (x)x + c2 (x)x ln x, de donde obtenemos el sistema lineal dada por la matriz matriz wronskiana wronskiana del sistema sistema fundamental fundamental
x
x ln x ln x + 1
1
c 0
1
c2
=
1
.
Resolvemos el sistema lineal, obteniendo c1 c2
= − ln x ⇒ = 1, 1,
c
1
c2
= x − x ln x, = x,
lo que da como soluci´on on particular y(x) = (x − x ln x)x + x(x ln x) = x2 . Utilizando el hecho que {x, x ln x} es un sistema fundamental de la ecuaci´on lineal homog´enea enea asociada asoci ada y conociendo la soluci´on on particular encontrada, se tiene que la soluci´on on general es y = c1 x + c2 x ln x + x2 .
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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
C´ alculo alculo III, Examen de Mesa, Primera Opci´ on on
7 de marzo de 2013
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de nado transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.-
d
2.-
a
3.-
b
on del problema a valor inicial 1.- (30 puntos ) Determinar el valor de y(1), sabiendo que y es soluci´
y − 2y + y = 2e2e , yy(0)(0)==1,1−, 1.
x
Respuesta:
a) y (1) = −e, d) y (1) = 0, 0, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(1) = 2 e) y(1) = e,
, c) y(1) = 1, 1, f) y(1) = 2e, 2e,
on de: 2.- (35 puntos ) Resolviendo, hallar y(1), sabiendo que y hace parte de la soluci´
x˙ = 5x + 4y, 4y, xy˙ (0)= −=x−+2y,, y(0) = 1.1.
Respuesta:
a) y (1) = e3 , d) y (1) = 3e 3e3 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (1) = 0 e) y (1) = −e3 ,
, c) y (1) = 1, 1, f) y (1) = −1,
on general de la ecuaci´ on 3.- (35 puntos ) Resolviendo, halle la soluci´
x2 y − xy + y = x2 .
Utilice el hecho que y = x es una soluci´on on no nula de la ecuaci´on on lineal homog´enea enea asociada. asoci ada. Respuesta:
a) y = c1 x ln x + c2 ex + x ln x, d) y = c1 ex + c2 x + x2 ln x, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y = c1 x + c2 x ln x + x2 , e) y = c1 ln x + c2 ex + x ln x,
, c) y = c1 x + c2 x2 + x3 , f) y = c1 ex + c2 e x + x2 ln x, −
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Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de nado transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.-
e
2.-
b
3.-
c
on del problema a valor inicial 1.- (25 puntos ) Determinar el valor de y(1), sabiendo que y es soluci´
y − 2y + y = 2e2e , yy(0)(0)==1,1−, 1.
x
Respuesta:
b) y(1) = −e e) y(1) = 0, 0,
a) y(1) = 2e, 2e, d) y(1) = 1, 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
, c) y (1) = 2, 2, f) y (1) = e,
on de: 2.- (25 puntos ) Resolviendo, hallar y(1), sabiendo que y hace parte de la soluci´
x˙ = 5x + 4y, 4y, xy˙ (0)= −=x−+2y,, y(0) = 1.1.
Respuesta:
a) y (1) = −1, d) y (1) = 1, 1, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (1) = e3 e) y (1) = 3e 3e3 ,
, c) y (1) = 0, 0, f) y (1) = −e3 ,
on general de la ecuaci´ on 3.- (25 puntos ) Resolviendo, halle la soluci´
x2 y − xy + y = x2 .
Utilice el hecho que y = x es una soluci´on on no nula de la ecuaci´on on lineal homog´enea enea asociada. asoci ada. Respuesta:
a) y = c1 ex + c2 e x + x2 ln x, d) y = c1 x + c2 x2 + x3 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es. −
b) y = c1 x ln x + c2 ex + x ln x e) y = c1 ex + c2 x + x2 ln x,
, c) y = c1 x + c2 x ln x + x2 ,, f) y = c1 ln x + c2 ex + x ln x,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de nado transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.-
c
2.-
f
3.-
a
on del problema a valor inicial 1.- (30 puntos ) Determinar el valor de y(1), sabiendo que y es soluci´
y − 2y + y = 2e2e , yy(0)(0)==1,1−, 1.
x
Respuesta:
a) y (1) = 2, 2, d) y (1) = e, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (1) = 1 e) y (1) = 2e, 2e,
, c) y (1) = 0, 0, f) y (1) = −e,
on de: 2.- (35 puntos ) Resolviendo, hallar y(1), sabiendo que y hace parte de la soluci´
x˙ = 5x + 4y, 4y, xy˙ (0)= −=x−+2y,, y(0) = 1.1.
Respuesta:
a) y(1) = 0, 0, d) y(1) = −e3 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(1) = 1 e) y(1) = −1,
, c) y (1) = 3e 3e3 , f) y (1) = e3 ,
on general de la ecuaci´ on 3.- (35 puntos ) Resolviendo, halle la soluci´
x2 y − xy + y = x2 .
Utilice el hecho que y = x es una soluci´on on no nula de la ecuaci´on on lineal homog´enea enea asociada. asoci ada. Respuesta:
a) y = c1 x + c2 x ln x + x2 ,, d) y = c1 ln x + c2 ex + x ln x, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y = c1 x + c2 x2 + x3 e) y = c1 ex + c2 e x + x2 ln x, −
, c) y = c1 ex + c2 x + x2 ln x, f ) y = c1 x ln x + c2 ex + x ln x,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
C´ alculo alculo III, Examen de Mesa, Primera Opci´ on on
7 de marzo de 2013
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Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de nado transcripci´ on puede suceder que ninguna on ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on on y si el desarrollo desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. on Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.-
f
2.-
c
3.-
d
on del problema a valor inicial 1.- (25 puntos ) Determinar el valor de y(1), sabiendo que y es soluci´
y − 2y + y = 2e2e , yy(0)(0)==1,1−, 1.
x
Respuesta:
a) y(1) = e, d) y(1) = 2, 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y (1) = 2e 2e e) y (1) = 1, 1,
, c) y(1) = −e, f) y(1) = 0, 0,
on de: 2.- (25 puntos ) Resolviendo, hallar y(1), sabiendo que y hace parte de la soluci´
x˙ = 5x + 4y, 4y, xy˙ (0)= −=x−+2y,, y(0) = 1.1.
Respuesta:
a) y(1) = −e3 , d) y(1) = 0, 0, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(1) = −1 e) y(1) = 1, 1,
, c) y (1) = e3 , f) y (1) = 3e 3e3 ,
on general de la ecuaci´ on 3.- (25 puntos ) Resolviendo, halle la soluci´
x2 y − xy + y = x2 .
Utilice el hecho que y = x es una soluci´on on no nula de la ecuaci´on on lineal homog´enea enea asociada. asoci ada. Respuesta:
a) y = c1 ln x + c2 ex + x ln x, d) y = c1 x + c2 x ln x + x2 ,, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y = c1 ex + c2 e x + x2 ln x e) y = c1 x + c2 x2 + x3 , −
, c) y = c1 x ln x + c2 ex + x ln x, f) y = c1 ex + c2 x + x2 ln x,
