Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III
3 de diciemb diciembre re de 2018
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas 1. (40 puntos ) Hallar x Hallar x(ln2) (ln2),, sabiendo que x que x es soluci´ on del problema
x˙ = 3x − 4y 4y − 2, 2, = x − y − 1, 1, xy˙ = x (0) = 3, 3, y(0) = 1. 1.
Respuesta:
Comenzamos con el sistema lineal asociado al problema a valor inicial:
x˙ 3
−4 1 −1
=
y
x −2 y
+
−1
Partimos con la resoluci´on on de (LH) asociado, aplicando la variante de la matriz exponencial.
x˙ 3 y
=
−4 1 −1
x y
A = ⇒ A =
3
−4 1 −1
3)(λ + 1) + 4 = λ 2 − 2λ 2λ − 1 = (λ − 1)2 ⇒ p A (λ) = (λ − 3)(λ
λ = 1 es un valor propio que se repite dos veces; por lo tanto, la familia generadora de soluciones es FG = on general: {et , tet }. Planteamos como soluci´on x = c = c 11 et + c12 tet , y = c = c 21 et + c22 tet . Reemplazamos en la segunda ecuaci´on on de (LH) asociada: y˙ = (c21 + c + c22 )et + c22 tet , x − y = y = (c11 − c21 )et + (c (c12 − c22 )tet
c ⇒
+ c22 = c = c 11 − c21 21 + c
c22 = c = c 12 − c22
= c 1 , c22 = c = c 2 , c12 = 2c2 c 11 = 2c1 +c2 ⇒ c 21 = c
La soluci´ soluci´ on general de (LH) asociada es on x = (2c (2c1 + c + c2 )et + 2c 2c2 tet , y = c = c 1 et + c2 tet . La soluci´ on particular se obtiene por tanteo, planteando x = α, y = β , lo que da como soluci´on on on particular x = 2, y 2, y = 1. Por lo tanto, la soluci´on on general de (L) es x = (2c (2c1 + c + c2 )et + 2c 2c2 tet + 2, 2, t t y = c = c 1 e + c2 te + 1. 1. Hallamos los valores de c de c 1 y c 2 reemplaza reemplazando ndo las condiciones condiciones iniciales en la soluci´ soluci´ on on general general x(0) = 2c 2c1 + c + c2 + 2 = 3, 3, ⇒ c 1 = 0, y = c = c 1 + 1 = 1. 1.
c2 = 1
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es on x = e = et + 2te 2tet + 2, 2, t y = te = te + 1. 1. De donde x(ln (ln 2) = e = eln 2 + 2ln2e 2ln2eln 2 + 2 = 4 + 4 ln2.
2. (40 puntos ) Hallar y Hallar y (π/2) π/2),, sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial
y + 4y4y = 3 cos cos t, yy(0)(0)==1,10.0,.
Respuesta:
Resolvemos la ecuaci´on on diferencia diferenciall del problema a valor valor inicial
y + 4y 4y = 3 cos cos t,
Para tal efecto, consideramos la ecuaci´on on lineal homog´enea enea asociada asoci ada
y + 4y 4y = 0,
(LHC)
cuyo polinomi p olinomioo caracter´ ca racter´ıstico ıstico es p( p(λ) = λ 2 + 4, 4, de ra´ıces ıc es λ 1 = 2i y λ 2 = −2i, que contribuyen al (SF) de (LHC) con: SF = { cos(2t cos(2t), sin(2t sin(2t)}. La soluci´ on particular de la ecuaci´on on on diferencial del problema, la hallamos por tanteo, planteando y planteando y = = α α cos t + β sin sin t, derivando dos veces y remplazando se obtiene:
−α cos t − β sin sin t + 4α 4α cos t + 4β 4β sin sin t = 3 cos cos t ⇒ α = α = 1, quadβ quadβ = = 0. Por lo tanto, la soluci´on on general de la ecuaci´on on diferencial del problema es y = c = c 1 cos(2t cos(2t) + c + c2 sin(2t sin(2t) + cos x. Hallamos c Hallamos c 1 y c 2 remplazando las condiciones iniciales: y (0) = c1 + 1 = 1, 1, y (0) = 2c2 = 0
⇒ c 1 = c = c 2 = 0.
Por lo tanto, y tanto, y = cos t e y (π/2) π/2) = 0.
3. (30 puntos ) Hallar y(2), sabiendo que y que y es soluci´ on de x2 y − y 2 = 2x 2 xy ,
y(1) = −1.
Respuesta:
La ecuaci´on on asociada al problema es una ecuaci´on on de tipo Bernouilli. Aplicamos la substituci´on on z = y 1 zy = zy = 1, lo que da z y + zy + zy = 0. Remplazando en la ecuaci´on, on, se obtiene la ecuaci´on on lineal
2
−
2 1 z = − z − 2 . x x
Resolvemos primero, (LH) asociada 2 z = − z ⇒ z = z = ce ce x
2 ln x
−
=
c . x2
La soluci´ soluci´ on particular la obtenemos por tanteo, planteando z = alpha on , se tiene x
−
α α 1 = − 2 2 − 2 ⇒ α = α = − 1, 2 x x x
de donde la soluci´on on general de la ecuaci´on on lineal es z =
c 1 c − x z = . − ⇒ z = 2 x x x2
Por consiguiente, la soluci´on on general de la ecuaci´on on del problema es y =
x2 . c − x
Ahora hallemos c hallemos c,, remplazand remplazandoo la condici´ condici´ on on inicial inicial y (1) =
1 = − 1 ⇒ c = c = 0 ⇒ y = y = − x. c − 1
Se tiene y (2) = −2.
2
,o
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III
3 de diciemb diciembre re de 2018
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
e
3.
a
1. (35 puntos ) Hallar x Hallar x(ln2) (ln2),, sabiendo que x que x es soluci´ on del problema
x˙ = 3x − 4y 4y − 2, 2, = x − y − 1, 1, xy˙ = x (0) = 3, 3, y(0) = 1. 1.
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = − 1, d) x(ln (ln 2) = 2, 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 2 + 2ln 2, e) x(ln (ln 2) = 0, 0,
c) x(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, f) x(ln (ln 2) = − 2,
2. (35 puntos ) Hallar y Hallar y (π/2) π/2),, sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial
y + 4y4y = 3 cos cos t, yy(0)(0)==1,10.0,.
Respuesta:
a) y (π/2) π/ 2) = − 1, d) y (π/2) 1/2, π/ 2) = 1/ g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (π/2) π/ 2) = 2, 2, e) y (π/2) 0, π/ 2) = 0,
c) y (π/2) π/ 2) = − 2, f) y (π/2) 1, π/ 2) = 1,
3. (30 puntos ) Hallar y(2), sabiendo que y que y es soluci´ on de x2 y − y 2 = 2x 2 xy ,
y(1) = −1.
Respuesta:
a) y (2) = − 2, d) y (2) = 1, 1, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = 2, 2, e) y (2) = 0, 0,
c) y (2) = − 1, f) y (2) = 3, 3,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III
3 de diciemb diciembre re de 2018
2
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
a
3.
c
1. (35 puntos ) Hallar x Hallar x(ln2) (ln2),, sabiendo que x que x es soluci´ on del problema
x˙ = 3x − 4y 4y − 2, 2, = x − y − 1, 1, xy˙ = x (0) = 3, 3, y(0) = 1. 1.
Respuesta:
b) x(ln (ln 2) = −2, e) x(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2,
a) x(ln (ln 2) = 0, 0, d) x(ln (ln 2) = 2 + 2ln 2, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
c) x(ln (ln 2) = − 1, f) x(ln (ln 2) = 2, 2,
2. (35 puntos ) Hallar y Hallar y (π/2) π/2),, sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial
y + 4y4y = 3 cos cos t, yy(0)(0)==1,10.0,.
Respuesta:
a) y(π/2) π/2) = 0, 0, d) y(π/2) 2, π/2) = 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(π/2) π/2) = 1, 1, e) y(π/2) π/2) = − 2,
c) y(π/2) π/2) = −1, f) y(π/2) 1/2, π/2) = 1/
3. (30 puntos ) Hallar y(2), sabiendo que y que y es soluci´ on de x2 y − y 2 = 2x 2 xy ,
y(1) = −1.
Respuesta:
a) y (2) = 0, 0, d) y (2) = 2, 2, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = 3, 3, e) y (2) = −1,
c) y(2) = −2, f) y(2) = 1, 1,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III
3 de diciemb diciembre re de 2018
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
f
3.
b
1. (35 puntos ) Hallar x Hallar x(ln2) (ln2),, sabiendo que x que x es soluci´ on del problema
x˙ = 3x − 4y 4y − 2, 2, = x − y − 1, 1, xy˙ = x (0) = 3, 3, y(0) = 1. 1.
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = −2, d) x(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = −1, e) x(ln (ln 2) = 2, 2,
c) x(ln (ln 2) = 2 + 2ln 2, f ) x(ln (ln 2) = 0, 0,
2. (35 puntos ) Hallar y Hallar y (π/2) π/2),, sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial
y + 4y4y = 3 cos cos t, yy(0)(0)==1,10.0,.
Respuesta:
a) y (π/2) π/2) = 1, 1, d) y (π/2) π/2) = − 2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (π/2) π/2) = − 1, e) y (π/2) 1/2, π/2) = 1/
c) y(π/2) π/2) = 2, 2, f) y(π/2) 0, π/2) = 0,
3. (30 puntos ) Hallar y(2), sabiendo que y que y es soluci´ on de x2 y − y 2 = 2x 2 xy ,
y(1) = −1.
Respuesta:
a) y (2) = 3, 3, d) y (2) = − 1, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = − 2, e) y (2) = 1, 1,
c) y (2) = 2, 2, f) y (2) = 0, 0,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III
3 de diciemb diciembre re de 2018
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
b
3.
d
1. (35 puntos ) Hallar x Hallar x(ln2) (ln2),, sabiendo que x que x es soluci´ on del problema
x˙ = 3x − 4y 4y − 2, 2, = x − y − 1, 1, xy˙ = x (0) = 3, 3, y(0) = 1. 1.
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = 2, 2, d) x(ln (ln 2) = − 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 0, 0, e) x(ln (ln 2) = 2 + 2ln 2,
c) x(ln (ln 2) = − 2, f) x(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2,
2. (35 puntos ) Hallar y Hallar y (π/2) π/2),, sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial
y + 4y4y = 3 cos cos t, yy(0)(0)==1,10.0,.
Respuesta:
a) y (π/2) π/ 2) = 1/ 1/2, d) y (π/2) π/ 2) = − 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (π/2) π/ 2) = 0, 0, e) y (π/2) 2, π/ 2) = 2,
c) y (π/2) π/ 2) = 1, 1, f) y (π/2) π/ 2) = − 2,
3. (30 puntos ) Hallar y(2), sabiendo que y que y es soluci´ on de x2 y − y 2 = 2x 2 xy ,
y(1) = −1.
Respuesta:
a) y (2) = 1, 1, d) y (2) = − 2, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (2) = 0, 0, e) y (2) = 2, 2,
c) y (2) = 3, 3, f) y (2) = − 1,
