UNEXPO DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA SECCION DE INSTRUMENTACION Y CONTROL CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES
CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS DE CONTROL Prof.: Ing. Saturno Sarmiento
Control de Procesos Industriales
REPRESENTACION GRAFICA DE UN ESPACIO DE ESTADO PROCESO
ESTADOS Entradas u1, u2, …, um
x1, x2, …, xn Parámetros p1, p2, …, pr
w1, w2, . . ., wv Perturbaciones
Salidas y1, y2, …, yq
Control de Procesos Industriales
Set de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de 1er Orden, No Lineales, explicitas y de valor inicial. x f x ,..., x , u , ..., u , p , ..., p , w , ..., w x = variable de estado MODELOS
1
x2
1
DINAMICOS
1
n
m
1
1
r
NO
1
LINEALES :
v
f 2 x1 , ..., xn , u1, ..., um , p1, ..., pr , w1, ..., wv . . .
xn
f n x1 , ..., xn , u1,..., um , p1, ..., pr , w1, ..., wv
x f x, u, p, w Ecuación de salida no lineal
y g x, u, p, w
u = entrada del sistema p = parámetro del sistema “n” ecuaciones “n” estados “m” entradas “r” parámetros “w” perturbaciones
x = Vector de estado u = Vector de entrada p = Vector de parámetros w = Vector de perturbaciones
Ecuación de estado no lineal
Doctorado en Ciencias de la Ingeniería
LINEALIZACION DE LAS ECUACIONES NO LINEALES +Aplicando el Jacobiano se tiene: Ecuación de estado NO lineal
x
f x, u, p, w
Aij
Bij
E ij
Ecuación de salida NO lineal
y g x, u, p, w
f i
xi
Matriz de estado x u w ,
,
f i
ui
Matriz de entrada x u w ,
,
f i
wi
C ij
Dij
H ij
Matriz de perturbaciones x u w ,
,
g i xi
Matriz de salida x u w ,
,
g i ui
x u w ,
,
g i wi
Matriz de pre alimentación Matriz de perturbaciones
x u w ,
,
Control de Procesos Industriales
ECUACION DE ESTADO, ECUACION DE SALIDA, LEY DE CONTROL + Ecuación de estado lineal:
x(t ) Ax(t ) Bu(t ) Ew (t ) + Ecuación de salida lineal:
y (t ) Cx(t ) Du (t ) Hw (t )
A = Matriz de estados B = Matriz de entradas C = Matriz de salidas D = Matriz de pre alimentación E = Matriz de perturbaciones - estado H = Matriz de perturbaciones - salida
+ Ley de Control lineal:
u( t )
Kx( t )
K = Matriz de Ganancias de realimentación
Control de Procesos Industriales
VECTORES DE ESTADO, DE ENTRADA, DE SALIDA, DE PERTURBACION Y DE GANACIA Vector de estado
x . x . . x
1
n
Vector de entrada
u . u . . u
1
nx1
m
Vector de salida
y1 . y . . y
q
mx1
Vector de perturbaciones 1
qx1
Vector de ganancia de realimentación
K
k
1
.
.
.
w . w . . w
k n 1xn
v
vx1
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MATRICES DE ESTADO, DE ENTRADA, DE SALIDA, DE PERTURBACION
Matriz de estado
a A a
11
n1
Matriz de entrada
a
1n
a
nn
c C c bnm nxm
b B bn
b1 p
11
1
nxn
Matriz de salida 11
c1n
q1
cqn
Matriz de pre alimentación
d D dq
11
qxn
Matrices de perturbación
e E e
11
n1
e
1v
e
nv
nxv
h11 H hq 1
h1v
hqv qxv
1
d 1m
d qm qxm
Control de Procesos Industriales
CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO Introducidos por Kalman en 1961
Controlabilidad y Observabilidad
Rol importante en los aspectos teóricos y prácticos del control moderno Gobiernan la existencia de una solución al problema de control optimo Tiene criterios para saber si existe una solución al problema de control optimo antes de iniciar el diseño propiamente dicho
Control de Procesos Industriales
CONTROLABILIDAD DEFINICION: Se dice que un proceso es de Estado Completamente Controlable si cada variable de estado del proceso puede ser controlada para alcanzar un cierto objetivo en un tiempo finito por alguna señal de control u(t) no restringida. La condición de controlabilidad de un proceso está íntimamente ligada a la existencia de una solución de realimentación de estado, mediante la asignación de los polos de lazo cerrado del sistema en forma arbitraria. La siguiente figura ilustra el concepto de Controlabilidad mediante la realimentación de estado.
u (t )
Kx (t )
Control de Procesos Industriales
MATRIZ DE CONTROLABILIDAD DEFINICION: Es una matriz no singular (su determinante es diferente de cero), de una estructura especial, que nos permite medir si un sistema es o no de Estado Completamente Controlable. La matriz de controlabilidad es función del par [A,B] y viene expresada como: n 1
M C f A, B B
AB . . .
Condición de controlabilidad:
A
B
nxn
Un sistema es de estado completamente controlable si la matriz de controlabilidad es de rango “n”. Matemáticamente se expresa como:
n
rank M C
# estados del sistema
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OBSERVABILIDAD DEFINICION: Se dice que un proceso es de Estado Completamente Observable si cada variable de estado del proceso puede ser determinada desde la observación de las salidas sobre un intervalo de tiempo finito. La Condición de Observabilidad de un proceso está íntimamente ligada a la posibilidad que existe de observar las variables de estado del proceso a partir de las variables de salida que son generalmente medibles. El concepto de Observabilidad es muy importante porque, en la práctica, es sumamente difícil medir directamente todas las variables de estado, y estas son necesarias para construir la señal de control. El concepto de Observabilidad es el dual de Controlabilidad: Mientras que Controlabilidad tiene que ver con el uso de las entradas del sistema para conducir los estados a un punto deseado, la Observabilidad tiene que ver con estimar los estados del s istema a partir de una salida dada.
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MATRIZ DE OBSERVABILIDAD DEFINICION: Es una matriz no singular (su determinante es diferente de cero), de una estructura especial, que nos permite medir si un sistema es o no de Estado Completamente Observable. La matriz de Observabilidad es función del par [A,C] y viene expresada como: C CA CA Mo . . . CA
2
n -1
Condición de Observabilidad:
Un sistema es de Estado Completamente Observable si la matriz de Observabilidad es de rango “n”. Matemáticamente se expresa como: nxn
n rank M O #
estados del sistema
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OBSERVADORES O ESTIMADORES DE ESTADO DEFINICIÓN: Es un sub sistema en el sistema de control que lleva a cabo la estimación de las variables de estado a partir de las mediciones de la variable de salida y de la variable de control.
Se debe tener presente que se podrá diseñar un estimador de estado si y solo si se satisface la condición de Observabilidad. La condición de Observabilidad necesaria y suficiente para la estimación de estados es que el sistema sea de Estado Completamente Observable. Un sistema es de estado completamente Observable si el rango de la matriz de Observabilidad Mo es igual al orden del sistema.
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COMANDOS EN PROGRAM CC Se parte de una función de transferencia conocida para obtener las matrices A, B, C y D G P ( s )
25,04 S 5,008
S
3
5,03247 S 2 25,1026 S 5,008
P1=ccf (Gp)-------> Se crea un cuádruple usando la forma canónica Controlable P2=ocf (Gp)-------> Se crea un cuádruple usando la forma canónica Observable P3=dcf (Gp)-------> Se crea un cuádruple usando la forma canónica Diagonal P1, P2 y P3 se les llama cuádruple porque contienen las matrices A, B, C, D en sus respectivas formas canónicas. Estas matrices pueden ser mostradas usando los siguientes comandos: P1.a; P1.b; P1.c; P1.d El siguiente comando da una Si se tienen directamente las matrices A, descripción del sistema: B, C, D entonces el cuádruple se consigue así: P=pack(A,B,C,D) what(P)
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COMANDOS EN PROGRAM CC Mc=conmat(P1)-------> Encuentra la matriz de Controlabilidad n=rank(Mc)-------> Prueba si el sistema es de Estado Completamente Controlable El valor de “n” debe ser igual al orden del sistema o al número de estados.
Mo=obsmat(P1)-------> Encuentra la matriz de Observabilidad n=rank(Mo)-------> Prueba si el sistema es de Estado Completamente Observable El valor de “n” debe ser igual al orden del sistema o al número de estados.
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COMANDOS EN MATLAB s=tf (‘s’) --------> permite escribir las funciones de transferencia en forma de fracciones G P ( s )
25,04 S 5,008 S
3
5,03247 S 2 25,1026 S 5,008
Otra forma es: Se introduce el numerador y el denominador de la FT num=[0 0 25.04 5.008] den=[1 5.03247 25.1026 5.008] Gp=tf(num,den)
Permite llevar de FT a EE: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
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COMANDOS EN MATLAB Primero se introducen las matrices A, B, C, D y luego se crea el cuádruple en espacio de estado. P=ss(A,B,C,D) ---------> Crea el cuádruple P size(P) --------------> Dimensiones del sistema Mc=ctrb(A,B)-------> Encuentra la matriz de Controlabilidad n=rank(Mc)-------> Prueba si el sistema es de Estado Completamente Controlable El valor de “n” debe ser igual al orden del sistema o al número de estados. Mo=obsv(A,C)-------> Encuentra la matriz de Observabilidad n=rank(Mo)-------> Prueba si el sistema es de Estado Completamente Observable El valor de “n” debe ser igual al orden del sistema o al número de estados.
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ESQUEMA PROTOTIPO A SER DISEÑADO
