INGENIERIA DE CONTROL: MT221
Controlabilidad y Observabilidad
2011
CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD Son conceptos que describen a la interacción entre el mundo externo (entradas y salidas) y las variables internas del sistema (estados). La controlabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento de un sistema puede ser controlado por medio de sus entradas, mientras que la observabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento interno del sistema puede detectarse en sus salidas.
CONTROLABILIDAD.Consideremos el sistema de n estados y p entradas .
x con las matrices constantes A
Ax
Bu , (6.1)
R nxn y B R nxp . Como la controlabilidad relaciona las
entradas y los estados del sistema, la ecuación de salida es irrelevante. Definición 6.1 (Controlabilidad). La ecuación de estados (6.1), o el par (A, B), se dice controlable si para cualquier estado inicial x(0) existe una entrada que transfiere el estado
x
x0
R n y cualquier estado final x1
Rn ,
de x 0 a x 1 en tiempo finito. En caso contrario,
la ecuación (6.1), o el par (A, B), se dice no controlable. controlable. La controlabilidad tiene que ver con la posibilidad de llevar al sistema de cualquier estado inicial al cualquier estado final en tiempo finito, no importando qué trayectoria se siga, o qué entrada se use. Teorema 6.1 (Test (Test de Controlabilidad Controlabilidad). ). Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1.- El par (A, B), A
R nxn , B R nxp , es controlable.
2.- La matriz de controlabilidad,
C
[B AB A 2 B ... A n -1 B], C
R
nxn
(6.2)
es de rango n (rango fila pleno). 3.-La matriz nxn t
t Aτ
Wc(t)
τ
e BB e 0
Aττ
e A(t- τ) BBτ e A
dτ
τ
(t - τ)
dτ
(6.3)
0
es no singular para todo t > 0.
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Ejemplo: Sistemas no controlables Veamos el sistema eléctrico de la izquierda en la figura. Es un sistema de primer orden; variable de estado x: estado x: la tensión en el capacitor. -
Si el capacitor esta inicialmente descargado descargado x(0) = 0 => x(t) = 0, para todo t
0
independientemente de la tensión u de entrada aplicada, debido a la simetría de red. Este sistema es no controlable. En el sistema de la derecha, éste tiene dos variables de estado, las tensiones en los dos capacitores, x 1 y x 2 . La entrada puede llevar x 1 o x 2 a cualquier valor, pero no puede llevar x 1 y x 2 a distintos valores. Por ejemplo, ejemplo, si x 1 (0) para todo t
x 2 (0) entonces x 1 (t)
x 2 (t)
0 independiente de la tensión aplicada en u. Este sistema también es no
controlable.
Sistemas controlables Sea la linealización de un péndulo invertido. La ecuación de estados lineal de un péndulo dado es:
0 1 .
x
y
0
0 0
1
1 0
0 0
0
1
0 0
5
0
0 x
1
u
0 2
1 0 0 0 x
Calculamos la matriz de controlabilidad
C
2
3
[B AB A B A B]
0
1
0
0
1
0
2
0
0
10
10
0
0 2
2 0
Como la matriz tiene rango 4, por lo que éste sistema es controlable.
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OBSERVABILIDAD.Consideramos el sistema lineal estacionario. .
x
Ax
Bu
y
Cx
Du
R nxn , B R nxp , C
A
R qxn , D
R qxp
(6.14)
Definición 6.2 (Observabilidad). La ecuación de estados (6.14), es observable si para cualquier estado inicial x(0) (desconocido), existe un tiempo finito t1 tal que el conocimiento de la entrada u y la salida y sobre el intervalo [0, t1] es suficiente para determinar en forma única el estado inicial x(0). En caso contrario el sistema es no observable. observable. Teorema 6.5 (Test (Test de Observabilidad Observabilidad). ). Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1.- El par (A, C), A
R nxn , C R qxn , es observable.
2.- La matriz de observabilidad,
C CA O
, O R nqxn ,
CA 2
(6.20)
... CA n
1
es de rango n (rango columna pleno). 3.-La matriz nxn t
Wo(t)
t
e 0
A τ
τ
Aτ
eA
C Ce dτ
(t - τ)
C τ Ce A(t- ) dτ
(6.21)
0
es no singular para todo t > 0. Ejemplo: Sistemas no observables En el circuito de la izquierda en la Figura 6.4, si la entrada es nula, la salida es idénticamente nula para cualquier tensión en el capacitor, debido a la simetría de las resistencias. Sabemos que la entrada y salida son ambas nulas, pera la tensión inicial en el capacitor (el estado) puede no serlo y no podemos determinarla. Este sistema es no observable.
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El circuito de la derecha en la figura 6.4 tiene dos variables de estado, la corriente por la inductancia, x1, y la tensión en el capacitor x2. La entrada u es una fuente de corriente. Si u=0 y la tensión inicial en el capacitor es nula, x2(0)=0, la salida es nula independientemente de la corriente en la inductancia, que no necesariamente es nula. El estado inicial x1(0) no puede ser determinado del conocimiento de u e y, y el sistema es no observable. observable . Sistemas observables Consideremos el sistema de segundo orden
1 0
.
x
1
0
0
1
C
1
2
CA
3
2
1 1
y
x
u
1 2 x
Calculamos la matriz de observabilidad
O
Como la matriz tiene rango 2, por lo que éste sistema es observable observable.. EJEMPLO CON MATLAB: 1.- Considere el sistema definido por: .
x1
0
1
0
x1
0
x2
0
0
1
x2
0 u
x3
6 11
. .
6 x3
1
x1 y
20 9 11 x2 x3
¿Es el sistema de estado completamente observable y completamente controlable?
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SOLUCION:
A=[0 1 0; 0 0 1; 6 11 -6]; B=[0; 0 ; 1]; C=[20 9 11]; CC1=B; CC2=A*B; CC3=A^2*B; CC=[CC1';CC2';CC3']; CC=CC'; if(rank(CC)==3) if (rank(CC)==3) fprintf('El fprintf('El sistema es completamente controlable \n'); \n'); else fprintf('El fprintf('El sistema no es completamente controlable \n'); \n' ); end G1=C; G2=C*A; G3=C*A^2; G=[G1;G2;G3]; if(rank(G)==3) if (rank(G)==3) fprintf('El fprintf('El sistema es completamente observable \n'); \n'); else fprintf('El fprintf('El sistema no es completamente observable \n'); \n' ); end El sistema es completamente controlable El sistema es completamente observable >> Universidad Nacional de Ingeniería
