ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD ZACA ZAC ATENCO
ESPACIO DE ESTADOS (Controlabilidad y Observabilidad) DR. ABRAHAM RODRÍGUEZ MOTA
Controlabilidad
Kalman introdujo lo conceptos de controlabilidad y observabilidad.
Controlabilidad Un sistema es controlable en el tiempo t0, si se puede llevar cualquier estado inicial x(t0) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito
Controlabilidad Aunque la mayoría de los sistemas físicos son controlables controlables y observables, los modelos matemáticos correspondientes pueden o no poseer las propiedades de controlabilidad y/o observabilidad. Por lo tanto, es necesario conocer las condiciones bajo las cuales un sistema es controlable y observable. Nuevamente, se dice que un sistema es de estado controlable en t=t0, si es posible construir una señal de control sin restricciones que transfiera un estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito t0 ≤ t ≤t1. Si todos los estados con
controlables, controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable.
Obtención de la condición de controlabilidad completa del estado Sin perder generalidad, se supone que el estado final es el origen en el espacio de estados y que el tiempo inicial es cero, o t 0=0. Entonces, conociendo la solución a la ecuación de estado: t
x ( t )
=e
At
x ( 0
)+∫ e
A (t τ)
B u
( τ ) d τ
0
Se tiene,
t 1
At 1
∫
A ( t 1 τ)
x ( t 1) = 0 =e x ( 0 )+ e 0
B u ( τ ) d τ
Obtención de la condición de controlabilidad completa del estado O bien: 0
=e
At 1
t 1
t 1
∫e
x ( 0 )+
At 1
e
A τ
B u ( τ ) d τ =e
At 1
( x ( 0 )+∫ e A τ B u ( τ ) d τ )
0
0
t 1
0
= x ( 0 )+∫ e A τ B u ( τ) d τ
Dado que se conoce la representación en series de la exponencial matricial
0
t 1
∫e
A τ
x 0 =
A τ
e
B u ( τ) d τ
n 1
= ∑ α ( τ ) A
k
k
=0
k
0
Se tiene t 1
n 1
∑= A B∫ α ( τ ) u ( τ ) d τ k
x ( 0 ) =
k
k
0
0
t 1
Si ahora se define:
∫α
k
( τ ) u ( τ ) d ( τ ) =β k
0
Obtención de la condición de controlabilidad completa del estado
[] β … β … ⋮ … β 0
n
1
∑= A B β =[ B⋮ k
x ( 0 ) =
k
k
0
AB⋮
… ⋮
n
A
1
B
]
1
n
1
Si el sistema es de estado completamente controlable, entonces, dado cualquier estado inicial x(0), se debe de cumplir que en la ecuación anterior el rango de la matriz [ B⋮ AB⋮ … ⋮ An 1 B ] debe ser de valor n. Es decir, la matriz contendrá n vectores columna linealmente independientes. Esta matriz se le conoce como la matriz de controlabilidad. Entonces, se establece la condición de controlabilidad completa del estado: Un sistema es de estado completamente controlable si y solo si los vectores B, AB,...,An-1 B, son linealmente independientes o la matriz [ B⋮ AB⋮ … ⋮ An 1 B ] de nxn, es de rango n.
Obtención de la condición de controlabilidad completa del estado El resultado anterior se extiende al caso en que el vector de control u es de dimensión r. Es decir, la condición para la controlabilidad completa del estado es que la matriz de nxnr, sea de rango n, o que contenga n vectores columna linealmente independientes.
Ejemplos: Considere el sistema obtenido mediante:
Controlabilidad de la salida En el diseño practico, es posible que se deseé controlar la salida en vez del ligar del estado del sistema. Una controlabilidad completa del estado no es necesaria ni suficiente para controlar la salida del sistema. Por esta razón, es conveniente definir una controlabilidad completa de la salida por separado. Se dice que un sistema es de estado completamente controlable si es posible construir un vector de control sin restricciones u(t) que transfiera cualquier salida inicial determinada y(t0) a cualquier salida final y(t1) en un intervalo de tiempo finito t0≤ t ≤t1. Para este caso, la condición para controlabilidad completa de la salida solo se cumple si y solo si la matriz de m x (n+1)r es de rango m. [ CB ⋮ CAB ⋮ CA ⋮ … ⋮ CA B ⋮ D ] 2B
n 1
Es importante observar que la presencia del término Du en la ecuación de la salida del sistema, siempre ayuda a establecer la controlabilidad de la salida
Observabilidad Se dice que un sistema es observable en el tiempo t0 si, con el sistema en el estado x(t0), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito. Por lo tanto, se dice que un sistema es completamente observable si todas las transiciones del estado afectan eventualmente a todos los elementos del vector de salida. El concepto de observabilidad es útil al resolver el problema de reconstruir variables de estado no medibles a partir de variables que si lo son en el tiempo mínimo posible. Dichas estimaciones de las variables de estado son posibles si y solo si el sistema es completamente observable. observable.
Observabilidad completa de sistemas en tiempo continuo Sea el sistema sin excitación, descrito por las ecuaciones:
x ˙ = Ax y =Cx El vector de salida y(t) es:
Se sabe que la matriz de t ransición puede obtenerse mediante la expresión: At n1 k
At
y ( t )= C e x ( 0 )
e
=∑ α k (t ) A k = 0
Por lo tanto se obtiene: n 1
y ( t )=
O bien:
∑= α ( t ) CA x( 0 ) k
k
k 0
y ( t )= α 0 ( t ) C x ( 0 )+ α 1 ( t ) C A x ( 0 )+…+ +… + α n 1 ( t ) C A
n 1
x ( 0 )
Observabilidad completa de sistemas en tiempo continuo De esta manera, si el sistema es completamente observable, dada la salida y(t) durante un intervalo de tiempo 0≤t≤ t1, x(0) se determina únicamente a partir de la ecuación ec uación anterior. anterior. Para ello, se requiere que el rango de la matriz de nmxn, sea n.
[] C
…
CA
… ⋮ …
CA
n1
A partir de este análisis, se plantea la condición condición para la observabilidad completa: Un sistema es completamente observable si y solo si la matriz de nxnm, es de rango n, o tiene n vectores columna linealmente independientes. Dicha matriz se denomina matriz de observabilidad.
[ C
T
⋮
T
T
A C
⋮ … ⋮ ( A ) C ] T n 1
T
Ejemplo:
