CONTROL ÓPTIMO
TRABAJO COLABORATIVO FASE 1 – RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES
JHONNY LÓPEZ ALCALÁ 1047366493
ANDRS ORLANDO PÁEZ T!"#$
%NIVERSIDAD NACIONAL ABIERTAY A DISTANCIA – %NAD FAC%LTAD DE CIENCIAS BÁSICAS& TECNOLO'(A E IN'ENIER(A) IN'ENIER(A ELECTRÓNICA CARTA'ENA *016
INTROD%CCIÓN
En el siguiente trabajo se aplican los conocimient os aprendidos en la unidad número 1 del curso metodológico CONTROL ÓPTIO! O"ertado por la #ni$ersidad Nacional %bierta & a 'istancia ( #N%'! )eremos principalmente los m*todos de optimi+ación de "unciones como son el de la sección aurea, interpolación cuadr-tica & el m*todo de Ne.ton! Para la aplicación de estos m*todos es necesario conocer el inter$alo inicial donde esta contenido el óptimo de la "unción objeti$o, & asegurar la unimodalidad de la "unción en el inter$alo en estudio! Tambi*n se conocer- & aplicara el m*todo de ascenso de m-/ima inclinación con la "inalidad de locali+ar el m-/imo de una "unción determinada, conociendo pre$iamente los $alores in0ciales del inter$alo de e$aluación! e emplear- adem-s el concepto de bisección, con este 2erramienta o aplicación matem-tica se debe encontrar el tama3o óptimo de paso en la dirección de bús4ueda del gradiente!
ACTIVIDADES
1! Leer de la p-gi na 565 a la 578 de l te/to de te$en C2apra 4ue se enc uentra en el entorno del conocimiento! 9! 'ada la "unción f ( x )=
−3 2
6
4
x −2 x + 12 x
Resol$er los siguientes problemas: 9!1 Encuentre el $alor de x 4ue ma/imi+a f(x), utili+ando la bús4ueda de la sección dorada! Emplee $alores in0ciales de / l ; < & /u ; 9 & realice tres iteraciones! R/ Primero que todo graficamos la función para visualizar la forma de esta.
Sección de dorada para primera iteración: √5 d = −1∗( xu− x l ) = 0,618∗( 2−0 ) =1.236 2
Creamos los puntos interiores x 1= xl + d =0 + 1.236 =1.236 x = x −d =2 −1.236= 0.764 2
u
valuando estos puntos en la función o!"etivo f ( x )=
f ( x 1 )= f ( x 2 )=
−3 2
−3 2
6
−3 2
6
4
x −2 x + 12 x 4
¿( 1.236) −2 ¿ ( 1.236) + 12∗( 1.236 )=4.816 ¿( 0.764)6−2 ¿( 0.764 )4 + 12∗( 0.764 )=8.188
Podemos ver que
f(x#) $ f(x%)& entonces nuestro m'ximo est' en el intervalo
comprendido por xl& x# x%. *ora para la segunda iteración tenemos que x l + ,& x u + %.#-& x% + ,.0 de esta manera o!tenemos nuestra nueva sección dorada nuestro nuevo x #: d = √ 5 −1∗( xu− x l ) = 0,618∗( 1.236−0 )=0.7638 2
x 2= x u−d =1.236 −0.7638 =0.4722
ntonces f ( x 1 )= f ( x2 )=
−3 2
−3 2
¿( 0.764)6−2 ¿( 0.764 ) 4 + 12∗( 0.764 )=8.188
¿( 0.4722)6 −2 ¿ ( 0.4722) 4+ 12∗( 0.4722)=5.550
n esta ocasión vemos que f(x%) $ f(x#)& a*ora nuestro m'ximo est' en el intervalo comprendido por x#& x%& xu. Realizando el mismo procedimiento encontramos los valores de la tercera interacción demostrando que el valor óptimo converge cada vez m's a 1.2 en ,.2#,.
f(x1)
xu
f(xu )
d
>!1>> 1!956 =!>16
9
(1<=
1!956
>!1>> !67> 1!956 =!>16
i
xl
f(xl)
x2
1
<
<
*
<
<
3
8!88<
f(x2)
x1
8!88< !1>> 1!956 =!>16
9 9!9 Encuentre el $alor de x 4ue ma/imi+a f(x), utili+ando interpolación cuadr-tica! Emplee $alores in0ciales de x, ; <, x1 ; 1 & x9 ; 9 & realice tres iteraciones! R/ Primero evaluamos la función en los tres valores in3ciales. f ( x )= f ( x0 ) =
−3 2
−3 2
6
4
x −2 x + 12 x
( 0 )6−2 ( 0 )4 + 12 ( 0 )=0
f ( x 1 )= f ( x2 )=
−3 2
−3 2
( 1)6− 2 ( 1)4 + 12 ( 1 )= 8.5
( 2 )6− 2 ( 2 )4 + 12 ( 2 )=−104
4tilizando la interpolación cuadr'tica: x x x 2 f (¿¿ 1 ) ( x2− x 0 ) + 2 f
(¿¿ 2) ( x0− x 1 )
2 f (¿¿ 0 ) ( x 1− x 2) +¿
¿
f ( x0 ) ( x 1− x 2) + f ( x1 ) ( x 2− x 0 ) + f ( x 2) ( x 0− x 1 ) 2
x 3=
2
2
2
2
¿
( 0 ) ( 1 −2 ) + ( 8.5 ) ( 2 − 0 ) +(−104 ) ( 0 −1 ) 138 = =0.570 242 2( 0 ) ( 1− 2 )+ 2 ( 8.5 ) ( 2− 0 ) + 2 (−104 ) ( 0 − 1 ) 2
x 3=
2
2
2
2
f ( x3 )=
2
2
−3 ( 0.570 )6 −2 ( 0.570 )4 + 12 ( 0.570)=6.577 2
ra3z de este valor tomamos nuevos valores in3ciales para la segunda iteración el valor de la función en dic*os puntos: x, + ,.5,& f(x,) + .5 6 x% + %& f(x%) + 1.56 x# + #& f(x #) + 7%,0
( 6.577) ( 1 −2 ) + ( 8.5 ) ( 2 − 0.570 ) +(−104 ) ( 0.570 −1 ) =0.812 2( 6.577) ( 1− 2 )+ 2( 8.5 ) ( 2− 0.570) + 2 (−104 ) ( 0.570 −1 ) 2
x 3=
2
2
2
2
2
f ( x3 )= −3 ( 0.812) −2 ( 0.812) + 12 ( 0.812) =8.444 6
4
2
8e igual forma repetimos el procedimiento para la tercera iteración demostrando que el valor óptimo converge cada vez m's a 1.2 en ,.2#,. i
x0
F(x0)
x1
f(x1)
x2
f(x2)
x3
f(x3)
1
<
<
1
>!8
9
(1<=
6!87
* 3
!8 9 (1<= 19 >!== 19 >!== 1 >!8 9 (1<= !6?8 9!5 Encuentre el $al or de x 4ue ma/imi+a f(x), utili+ando el m*todo de Ne.ton! #tilice un $alor inicial de /< ; 9 & realice tres iteraciones! R/ Comenzamos calculando la primera segunda derivada de la función: f ( x )=
−3 2
6
4
x −2 x + 12 x
'
5
3
f ( x )=−9 x −8 x + 12 ''
4
f ( x )=−45 x −24 x
2
Reemplazamos en '
x i + 1= x i −
f ( x i) ''
f ( x i)
5
x 1=2−
3
−9 ( 2 ) −8 ( 2 ) + 12 4
2
=1.583
−45 ( 2 ) −24 ( 2 ) f ( x1 )=
−3 2
( 1.583)6 −2 ( 1.583 )4 + 12 ( 1.583 )=−17.166
Para la segunda iteración tenemos 5
x 1=1.583−
3
−9 ( 1.583 ) −8 ( 1.583 ) + 12 =1.26 −45 ( 1.583 ) −24 ( 1.583 ) 4
2
f ( x 1 )=−3 ( 1.26)6 −2 ( 1.26)4 + 12 ( 1.26)= 4.076 2
8e igual forma repetimos el procedimiento para la tercera& cuarta quinta iteración demostrando que el valor óptimo converge cada vez m's a 1.2 en ,.2#,.
i
x
f(x)
1 * 3 4 +
9 1!8>5 1!96 1!<=
(1<= (17!166 =!<76 >!9= >!6>6
9!= #tili+ar una 2erramienta computacional @cilab, atlab, A%, o E/celB para encontrar el m-/imo de la "unción f(x)! 9!8 %nali+ar las $entajas & des$entajas de la bús4ueda de la sección dorada, interpolación cuadr-tica & el m*todo de Ne.ton, para locali+ar un $alor óptimo en una dimensión! R/ l m9todo de la sección dorada o razón aurea es una t9cnica& de !squeda para una sola varia!le& sencilla de propósito general. n este m9todo en la función se evala dos puntos interiores de acuerdo con la razón de oro se sigue acortando el intervalo de evaluación en cada iteración. *ora& esta es la venta"a real del uso de este m9todo. ;os puntos srcinales se *an escogido mediante la razón dorada& no se tienen que recalcular todos los valores de la función en la siguiente iteración. ;a interpolación cuadr'tica tiene como venta"a la aplicación de un polinomio de segundo grado que con frecuencia proporciona una !uena aproximación de la cercan3a de un valor ópt imo. sto pues
*a nicamente una ecuaci ón
cuadr'tica que pasa por tres puntos. 8e esta forma& si se tienen tres puntos que contienen un punto óptimo& se a"usta una par'!ola a los puntos& despu9s se puede derivar e igualar a cero& as3 o!tener una estimación del óptimo. n el caso del m9todo de
5! Leer de la p-gin a 96 a la =8 del te/ to gu0a de Optimi+ación 4ue se encue ntra en el repositorio! =! 'ada la "unción
f ( x , y ) =4 x + 2 y + x −2 x + 2 xy − 3 y 2
4
2
8! Resol$er los siguientes problemas: 6! E"ectuar una iteración del m*todo de ascenso de m-/ima inclinación para locali+ar el m-/imo con los $alores in0ciales de x ; < & ;
REFERENCIAS
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#resti, E! 9<<>! >ptimización& ?squeda en una 8imensión. En l0neaD! 2ttp:FFcb!mt&!itesm!m/FmateriasFma=<11FmaterialesFa15<(17!pd"G te$en C! C2apra & Ra&mond P! Canale! 9<<6! @9todos
