Fase No. 1. A continuación se presentan 12 problemas cada uno concerniente a las temáticas de la unidad 1 del curso “Análisis de sucesiones y Progresiones”. Problema 1 Sergio ingresa a una dieta para subir de peso, esta dieta, le exige iniciar tomando 100mg de multivitamínico el primer día e ir tomando 10 mg más cada día durante los Z días que el doctor le ha programado la dieta. 1 mg de multivitamínico cuesta 3,5 Pesos. Responda las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto multivitamínico consumirá Sergio en el total de su dieta? Inicia tomando: Cada día: Total días dieta:
100mg de multivitamínico 10 mg + 64
Multivitamínico total=100 mg+ ( 10 mg∗63 )=730 mg
b) ¿Cuánto dinero gastará comprando este multivitamínico? Multivitamínico total consumido: Valor 1 mg:
730 mg 3,5 pesos
Valor total Multivitamínico=730 mg∗3,5 pesos=2555 pesos
c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar En mi concepto digo que es una Progresiones geométricas ya que Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón. r=10 primer termino=100
termino enecimo=64
d) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar Es progresión creciente ya que esta progresión es aquella en la que Cada término es mayor que el anterior y en problema Sergio cada día debe tomar más multivitamínico que el día anterior. primer dia=100 segundo dia=100 mg+ 10 mg=110 mg
tercer dia=100 mg+10 mg+ 10 mg=120 mg
Problema 2: Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 1000(Z), a través de un acuerdo de pago, se compromete a cancelar el 140% del valor total de la deuda en 24 pagos mensuales fijos. Cuando Pedro acaba de cancelar su veinteavo mes de la deuda se gana un chance por valor de 300(Z), por lo tanto, él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda que le queda. Responda las siguientes preguntas. Plantee la solución desde las progresiones. Z: 64 valor total deuda=(1000 ( 64 ))(140 )=89600
Total pagos mensuales fijos: 24 Total % a pagar en cada pago: 140% En el pago 20 se gana un chance valor Chance=300(64 )=19.200
a) ¿Cuánto le queda por pagar a Pedro en el momento que se gana el chance? 1000 ( 64 )=64000∗1.40=89600,
89600 =3733.33, d=3733.33 24
valor cancelado ala fecha=3733.33∗20=74.666,6
valor que falta por cancelar=89600−74.666,6=14.933,4
b) ¿Le alcanza a Pedro para pagar la totalidad de la deuda restante en el momento en que se gana el chance? A Sergio si le alcanza para pagar ya que debe 14.933,4 y el valor del chance que se gano es de 19.200. c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar el porqué. La sucesión es aritmética, ya que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante (3733.33) d) ¿La progresión es creciente o decreciente? justificar el porqué. Es una progresión creciente ya que Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior y en este caso claramente se ve que cada mes Problema 3: Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro, mañana 2 monedas, pasado mañana 4 monedas y así sucesivamente, cada día puedes tomar el doble de monedas de las que tomaste el día anterior hasta que llenes esta mochila con las monedas que día a día irás depositando" y le entregó dicha mochila. Suponiendo que cada moneda de oro pesa 2 gramos y que la mochila tiene una capacidad máxima de carga de (Z/2)kg. Z =64 Peso cada moneda=2 gr
capacidad maxima de la mochila=
64 =32 kg 2
Responda las siguientes preguntas. a. ¿Cuántas monedas en total logrará recoger el caballero? peso total mone das=1 ( 2 gr ) +2 ( 2 gr ) + 4 ( 2 gr ) +6 ( 2 gr )=26 gr total monedas recogidas=1+2+ 4+6=13 monedas b. ¿Cuántos días aproximadamente se tardará en lograrlo? total dias=1° dia (1 ) +2 ° dia ( 2 ) +3 ° día ( 4 ) +4 ° dia ( 6 )=4 dias
c. ¿La progresión es aritmética o geométrica? En mi concepto digo que es una Progresiones geométricas ya que Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón. d. ¿La progresión es creciente o decreciente?, Justificar Es una progresión creciente ya que Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior y en este caso claramente se ve como cada día el número de monedas es mayor q el día anterior.
Problema 4. En un laboratorio, un científico después de aplicar un catalizador a una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3 bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora, el científico requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias superior a 5.000(Z). Z =64
bacterias obtenidas en la 1° Hora=3 ¿ por el cual se multiplicaban cada hora=3
¿ de bacterias requeridas en 8 horas=¿ 5000 ( 64 )=¿ 320.000
Responda las siguientes preguntas. a. ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas? 4 ¿ de bacterias obtenidas en 4 horas=3 =81 b. ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere? ¿ de bacterias obtenidas en 8 horas=3 7=2187 no logra elcientifico cultivar la cantidad de bacterias que Requiere .
c. Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido?
3
11,53
=320.000 n
f ( n )=3 =320000 ln (320000)=ln ( 3n ) ln ( 320000 )=n∗ln ( 3)
n=
ln ( 320000) ln ( 3)
n=11.53
Problema 5. Pedro tiene sobrepeso, su peso actual es de 170 Kg y su peso ideal debería ser de 85Kg. Un médico le receta un tratamiento el cual le va a permitir bajar de peso a razón de
1 z kg 10
mensualmente.
Z =64 Peso Actual=170 kg
Peso Ideal=85 kg Peso qu e perderá mensualmente=
1 ( 64 )=6,4 kg 10
a. ¿En cuánto tiempo pedro alcanzaría su peso ideal? Peso que debe perder=( peso actual− peso ideal)=170 kg−85 kg=85 kg Peso que perderá mensualmente=
Regla de 3 si en 1 mes pierde=6,4 kg
1 ( 64 )=6,4 kg 10
en cuantos meses pierde=85 kg
x=
1mes( 85 kg) =13,28125 meses 6,4 kg
b. ¿La progresión es una progresión geométrica o aritmética? Justificar La sucesión es aritmética, ya que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante (6,4 kg) c. ¿Cuánto tiempo necesita pedro para adelgazar el 30% de su peso actual? El 100 =170 kg El 30 =x kg
x=
30 (170 kg) =51 kg 100
si en 1 mes pierde=6,4 kg en cuantos meses pierde=21 kg
x=
1mes( 51kg) =7,96875 meses 6,4 kg
d. ¿La progresión es una progresión creciente o decreciente? Justificar Es decreciente ya que Se dice que es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior. Y en este caso pedro cada mes pesa menos. Problema 6. Planteé el término general de una progresión aritmética cuyo primer término es Z y la diferencia común es Z. Adicionalmente encuentre la suma de los 10 primeros términos y el valor del veinteavo término. Si conocemos el 1er término. Z= 64 a1=64
d=64
Termino general= an =a1 +(n−1)· d an =64+(n−1) ·6 4 an =64+64 n−6 4 an =64 n a20= a20=64+( 20−1)· 64 a20=64+19 ·64 a20=64+1216 a20=1280 S 10 =a 1 +a2 +a3 … a10
s n=
n( a1+ an ) 2
s 10 =
10 ( 64 +640 ) =3520 2
Problema 7. Plantee el término general de una progresión geométrica cuyo primer término es 1/Z y la razón común es 1/Z. Adicionalmente encuentre la suma de los primeros 5 términos y el valor del décimo término. z=64 ; a 1=
1 1 ;r= 64 64
an =
n−1
1 1 64 64
( )
5
1 64
s 5=
( )
s 5=
1 64
a10=
1 64
1 −1 64 1 −1 64
( )
10−1
1 64
( )( )
−19
a10=8.67 x 10
Problema 8. Encuentre el primer término de una progresión cuya diferencia común es 1/4 y la suma de sus tres primeros términos es Z. Adicionalmente, plantee el término general.
s 3=64 d=
1 4
s 3=
n ( a1 + a3 ) 2
a3 =a1 + ( 3−1 )
64=
1 4
3 1 a +a + 2 1 1 2
(
)
64=3 a1 +
64− a1=
3 4
3 4
3
a1=
253 12
an =
253 3 +(n−1) 12 4
Problema 9. Se está excavando un pozo para encontrar petróleo, el gerente de la obra requiere saber cuántos metros de excavación van hasta el momento y solo conoce que el costo del primer metro excavado es de 2000(Z), el costo por metro adicional es de 15.000 y a la fecha se han invertido 2.000.000 para la excavación. Costo de 1 r metro escavado=2000 ( 64 ) =128.00 0=a 1 Costo por metroadicional=15.00 0 inversion a la fecha=2.000 .00 0
metros de excavacion a la fecha=a n an =a1 +(n−1)d an =128000+15000(n−1) 2000000=128000+15000( n−1) 2000000=128000+15000 n−15000
1887000=15000 n
n=
1887000 15000
n=125.8
Problema 10. Se reparte un bono de Navidad a los 10 mejores vendedores de una empresa. Se sabe que, a mayor venta mayor bono, y que la diferencia entre 2 bonos consecutivos es siempre constante y es de 20(Z). Además el vendedor 1 recibe el menor bono y el vendedor 10 recibe el mayor bono. Si el vendedor 3 recibe un bono de 2000(Z). d=20 ( z )=20 ( 64 )=128 0 d=128 0
b3 =2000 ( 64 )=128 00 0 b3 =128 000 a. ¿Cuánto recibe el mejor vendedor? bn =b1 +(n−1)d b3 =b1 +1280(n−1) b10=125440+1280 ( 10−1 ) b10=125440+11520=136960
b. ¿Cuánto recibe el peor vendedor? b1=12800 0−1280 ( 3−1 ) b1=128000−2560
b1=125440 c. ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar La sucesión es aritmética, ya que la diferencia de dos términos sucesivos de la secuencia es una constante en este caso 1280 d. ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar Es una progresión creciente ya que a mayor venta mayor bono.
Problema 11. En una colonia de abejas, en el primer día de investigación, alumnos de Ingeniería Agrícola contabilizaron 3 abejas, el segundo día habían 9, el tercero habían 27. a) ¿Cuántas abejas nacieron hasta el Z/10 día? an =3n , para el dia
64 habian 10
64
3 10 =1131.29 b) ¿Cuántas abejas habían después de un mes? (en este caso el mes tiene 30 días) p ara el dia30 habrian 330=1.27 x 10 29
Problema 12. A un electricista le ofrecen 200(Z) de sueldo fijo y le ofrecen 3(Z) de aumento mensual desde el siguiente mes de ser contratado (a modo de incentivo para que no se cambie de empresa). Sueldo fijo=200 ( 64 )=12800=a1 aumento mensual=3 ( 64 )=192
a) ¿Cuál será su sueldo, durante el quinto mes de trabajar en esa empresa? an =a1 +d (n−1) an =12800+192 ( n−1 ) a5 =12800+ 192 ( 5−1 ) a5 =13568
b) ¿Cuál será el total de dinero recibido en 18 meses de trabajo en la misma empresa? an =12800+192 ( n−1 ) a18=12800+192 ( 18−1 ) a18=12 8 00+3264 a18=16064
