COVARIANZ COV ARIANZA A Y CONTR CONTRA AVARIANZ ARIANZA A DE VE VECT CTOR ORES ES
INTRODUCCIÓN:
Covariancia y contravariancia son conceptos empleados frecuentemente en áreas de la matemática y la física teórica. Por regla general se reeren a que ciertos objetos matemáticos, que pueden representar alguna magnitud física, tienen alguna forma de invariancia de forma, es decir, la propiedad de permanecer sin cambio bajo un conjunto dado de transformaciones. En física, son importantes en el tratamiento de vectores y otras cantidades, como los tensores. as teorías de relatividad especial !covariancia de orent"# orent"# y relatividad general !covariancia general# usan vectores base covariantes bajo cambios de coordenadas.
DESARROLLO:
$upongamos que en un determinado espacio de dimensión %&' tenemos una base de %&' vectores linealmente independientes. Consideraremos Consideraremos el ) plano euclídeo ( con la base de vectores ortonormales* ortonormales*
Estos serán, de a+ora en adelante, nuestros vectores. $egn ellos +ablaremos de la covarian"a o contravarian"a de los demás elementos que intervengan. -enimos como base principal a la base de vectores a la cual referiremos las coordenadas de los demás elementos del espacio, y como elementos covariantes con ella a los que se transforman del mismo modo que ella bajo un cambio de coordenadas. os elementos covariantes se especican escribiendo sus índices bajo los mismos. -e este modo tenemos en nuestro ejemplo*
-enimos como base contravariante al conjunto de %&' vectores !con el índice arriba# que cumplen la siguiente condición con respecto a los productos escalares con los elementos de la base principal*
Es decir, para cada elemento %i' de la base principal eiste un nico elemento % j' con el cual posee un producto escalar igual a la unidad, y es ortogonal a todos los demás !en base a que si el producto escalar es nulo los vectores son ortogonales#. Para epresar esta epresión más cómodamente se dene la delta de /ronec/er y se incluye en la ecuación*
En el caso que nos ocupa, podemos obtener fácilmente los elementos de la base contravariante*
a conclusión es que en este caso la base contravariante es eactamente igual a la base principal. a propia base principal cumple poseer un producto escalar unitario entre un elemento y sí mismo, y que los elementos sean ortogonales entre sí.
0+ora bien, la base contravariante se transformará siempre de modo inverso a la principal, y esto es lo que comprobaremos a continuación. $upongamos una transformación de la base principal que la lleva a otra base de %&' elementos asociados uno a uno con la anterior, pongamos por caso*
Es decir, mantenemos el primer vector de la base id1ntico, y +acemos que en esta ocasión el segundo vector base sea la suma de los dos anteriores. -enimos como matri" de transformación covariante a la matri" % Λ' que epresa este cambio de coordenadas*
(esulta de nuevo más cómodo introducir una notación más clara para esta epresión, y para ello la epresaremos con la notación de Einstein. Podemos epresar cada elemento de la matri" segn su la “i” y su columna ” i’ “, de modo que con la notación de Einstein el +ec+o de que dos elementos tengan la misma letra en un índice y uno de los índices est1 abajo !sea covariante# y el otro est1 arriba !sea contravariante# implica que se suman todos los posibles valores del índice. Para verlo, escribiremos la transformación de nuevo y despu1s epondremos lo que representa en nuestro caso*
En este nuevo sistema coordenado, la base contravariante será distinta tambi1n, pues el conjunto de vectores que cumplen los requisitos adecuados ya no son los mismos. $e puede calcular de modo análogo como antes*
$abiendo cómo es la nueva base contravariante, podemos relacionarla con la anterior, obteniendo así la matri" de transformación contravariante*
2ue es eactamente la inversa de la matri" %Λ%. Es decir, los elementos contravariantes se transforman eactamente del modo opuesto a los covariantes. Epresado con notación de Einstein*
Puede parecer confuso el +ec+o de volver a usar %Λ' para representar la matri" contravariante, pero de nuevo la notación de Einstein se adapta a ello, pues podemos interpretar de qu1 matri" se trata en cada caso segn si el elemento al que multiplica es co!contra#variante. as matrices de transformación, lógicamente, se pueden revertir con la inversa siempre y cuando su determinante sea no nulo*
El producto de matrices inversas, a su ve", satisface por denición la ecuación*
3 gracias a ello podemos vericar la propiedad de cierre de las transformaciones, que no dice otra cosa que si transformamos un vector y despu1s lo destransformamos, recuperamos nuestro vector original*
0l nal de esta epresión +ay que tener en cuenta que como la función delta sólo vale “1” si “i” e ” i” ” son iguales, es perfectamente equivalente al primer t1rmino de la igualdad. 4racias a la notación de Einstein, podemos epresar un vector como la suma de sus componentes multiplicados por los ve ctores de la base en la que están epresadas del siguiente modo*
El +ec+o de epresarlo así implica que estamos asumiendo que al epresar las componentes de un vector en la base principal, dic+as componentes serán contravariantes !índice arriba#. Comprob1moslo con un ejemplo, suponiendo que en la base principal tenemos el vector*
Estas componentes se obtienen unívocamente segn el nmero de veces que +ay que sumar cada elemento de la base para obtener nuestro vector. 0sí pues, si consideramos nuestra base covariante transformada, las nuevas componentes de nuestro vector serán*
2ue satisfacen la ecuación de transformación contravariante en nuestro ejemplo*
2ueda demostrado que las componentes de un vector en la base covariante son contravariantes, y que por tanto satisfacen*
En cambio, el vector %v' en sí, es un invariante, pues es id1ntico antes y despu1s de la transformación*
Podemos cambiar sus componentes y la base en la que las epresamos, pero el resultado será el mismo. $i epresamos sus componentes en la base contravariante, por el contrario, vamos a observar que sus componentes tendrán que ser covariantes, ya en primer lugar para que eista co+erencia en la notación de Einstein*
Es frecuente denominar a los vectores epresados en la base contravariante covectores. En nuestro ejemplo, dado que antes de la transformación la base principal era id1ntica a la contravariante, nuestro covector será id1ntico al vector anterior. 5ras +aberse transformado, si intentamos epresarlo en la base contravariante nueva que obtuvimos arriba, podemos observar que es opuesto al primer elemento de dic+a base, por lo que nuestro covector en la base contravariante transformada se epresa como*
$atisfaciendo nuestra ecuación de transformación covariante*
CONCLUSIONES: •
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a base contravariante se transformará siempre de modo inverso a la principal a base contravariante es eactamente igual a la base principal. a propia base principal cumple poseer un producto escalar unitario entre un elemento y sí mismo, y que los elementos sean ortogonales entre sí. os elementos contravariantes se transforman eactamente del modo opuesto a los covariantes. as componentes de un vector en la base covariante son contravariantes.
