FÍSICA UNIDAD 2
2. MAGNITUDES Y VECTORIALES M A G N I T U D E S . - Una magnitud es una propiedad o cualidad medible de un sistema físico, es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una m edición o una relación de medidas.
2.1.
CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES
MAGNITUDES ESCALARES Las magnitudes escalares son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un sólo número real y una unidad de medida. Ejemplos de este tipo de magnitud son la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Se las puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al número real que indica su medida. Otros ejemplos de magnitudes escalares son la densidad; el volumen; el trabajo mecánico; la potencia; la temperatura. FUENTE: http://materias. http://materias.fi.uba.ar/6201/MosqV fi.uba.ar/6201/MosqVectoresacr.pd ectoresacr.pdf f
MAGNITUDES VECTORIALES Son las que quedan completamente definidas cuando se especifican su módulo, dirección y Sentido. Por ejemplo, la velocidad y la aceleración, la fuerza, el desplazamiento y la intensidad de campo eléctrico, entre otras. Cualquier magnitud vectorial puede ser representada gráficamente por una flecha llamada vector, que consiste en un segmento de recta dirigido. Además, la l etra que define a una cantidad vectorial se identifica por una flecha sobre ella. Así, el vector velocidad velocidad se representa por , y el vector vector fuerza por
.
VECTOR.- Un vector ( extremo) extremo ) .
es un segmento orientado que orientado que va del punto A ( origen) origen ) al punto B
Los elementos que forman un vector son: Origen.- También denominado punto de aplicación es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Magnitud o Módulo: representada por un número y la l a unidad de medida correspondiente. Dirección: Línea a sobre la cual esta trazado el vector, se expresa mediante un ángulo.
1
L a dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a paralela a ella.
Sentido: es hacia el lado que apunta la flecha. Puede ser al norte, sur, este, oeste, hacia arriba, abajo, izquierda o derecha. E l sentido del vector
es el que va desde el origen A a l extremo B. B.
FUENTE: file:///C:/Users/CESAR/Downloads/magnitud file:///C:/Users/CESAR/Dow nloads/magnitudesvectorialesyescalares-121220095432esvectorialesyescalares-121220095432phpapp02.pdf
OPERACIONES CON MAGNITUDES ESCALARES. Para efectuar operaciones con magnitudes escales se usa la Aritmética como hemos estudiado.
2.2.
REPRESENTACIÓN Y EXPRESIONES ANALÍTICAS DE MAGNITUDES VECTORIALES
REPRESENTACIÓN GRAFICA Gráficamente: Un vector se representa como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola letra minúscula en al segmento. La línea orientada indica la dirección, la flecha indica su sentido. La longitud de la línea es proporcional a la magnitud del vector.
Para representar gráficamente vectores en el plano se utiliza el plano cartesiano o eje de coordenadas:
2
L a dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a paralela a ella.
Sentido: es hacia el lado que apunta la flecha. Puede ser al norte, sur, este, oeste, hacia arriba, abajo, izquierda o derecha. E l sentido del vector
es el que va desde el origen A a l extremo B. B.
FUENTE: file:///C:/Users/CESAR/Downloads/magnitud file:///C:/Users/CESAR/Dow nloads/magnitudesvectorialesyescalares-121220095432esvectorialesyescalares-121220095432phpapp02.pdf
OPERACIONES CON MAGNITUDES ESCALARES. Para efectuar operaciones con magnitudes escales se usa la Aritmética como hemos estudiado.
2.2.
REPRESENTACIÓN Y EXPRESIONES ANALÍTICAS DE MAGNITUDES VECTORIALES
REPRESENTACIÓN GRAFICA Gráficamente: Un vector se representa como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola letra minúscula en al segmento. La línea orientada indica la dirección, la flecha indica su sentido. La longitud de la línea es proporcional a la magnitud del vector.
Para representar gráficamente vectores en el plano se utiliza el plano cartesiano o eje de coordenadas:
2
Ejemplo: Si deseamos representar un vector
de magnitud 4 [km] Norte 30°Este:
Para comprender mejor qué es un vector del plano vectorial real bidimensional podemos hacer una representación gráfica en el sistema cartesiano, la realizamos de esta forma: Elegimos un punto A cualquiera del plano pl ano y a partir de él nos movemos horizontalmente a la derecha, si es positivo el primer número del vector, o a la izquierda si es negativo. Una vez colocados en la nueva posición nos movemos verticalmente hacia arriba, si es positivo el segundo número del vector, y hacia abajo si es negativo. Si unimos el punto A con el punto B obtenido después de estos movimientos con un segmento orientado; es decir, con una flecha, obtenemos la representación gráfica del vector.
3
Ejercicios:
Dados los puntos a (3,4) b (-2,3) c (-4,-3) y d (1,0) Para representar un vector gráficamente, en el espacio, necesitamos sus tres coordenadas (x, y, z) (Fig. 2). Ejemplo: v (3,4,1). z
v
y
x Figura 2. Representación 2. Representación gráfica de un vector. El vector se obtiene uniendo el origen de coordenadas, con el punto del espacio, que posee esas coordenadas. Sentido: desde el origen al punto en cuestión.
REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Coordenadas de un vector.- Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B son:
4
Las coordenadas del vector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
Ejemplo:
Punto medio de un segmento.-
Ejemplo: Calcular las coordenadas del punto medio del segmento AB.
Magnitud o módulo de un vector.- La magnitud de un vector
es la distancia entre el
punto inicial P y el punto final Q . En símbolos la magnitud de es escrita como . Si las coordenadas del punto inicial y del punto final de un vector están dadas, la fórmula de la distancia puede ser usada para encontrar su magnitud.
5
La magnitud o módulos de un vector se pueden obtener a partir de sus coordenadas o de sus componentes: Componentes:
Coordenadas:
Ejemplo : Encuentre la magnitud del vector es Q y está en (5, 3).
cuyo punto inicial P está en (1, 1) y punto final
Solución: Use la fórmula de la distancia. Sustituya los valores de x1 , y1 , x2 , y y2 .
La magnitud de
es alrededor de 4.5
Fuente: http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/magnitude-and-direction-of-vectors.html
Vector Unitario.Para representarlo analíticamente es necesario definir los llamados vectores unitarios. Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.
6
Normalizar un vector consite en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un vector se divide éste por su módulo.
Ejemplo: Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.
Ejercicios: Si
es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección
y sentido.
En física hay tres vectores unitarios, asignados a los tres ejes de coordenadas, que son respectivamente: i, j y k . z
k j i
y
x Figura 3. Representación gráfica de los 3 vectores unitarios. Las coordenadas de los 3 vectores unitarios son: i (1,0,0); j (0,1,0); k (0,0,1).
Dirección y sentido de un vector.Dirección de un vector.La dirección de un vector es la medida del ángulo que hace con una línea horizontal. 7
Una de las fórmulas siguientes puede ser usada para encontrar la dirección de un vector: , donde x es el cambio horizontal y y es el cambio vertical o , donde ( x1 , y1 ) es el punto inicial y ( x2 , y2 ) es el punto terminal.
Ejemplo: Encuentre la dirección del vector cuyo punto inicial P está en (2, 3) y punto final Q está en (5, 8). Las coordenadas del punto inicial y del punto terminal están dadas. Sustitúyalos en la fórmula
.
Encuentre la tan inversa, luego use una calculadora.
El vector
tiene una dirección de alrededor 59 ? .
8
Ejemplos:
EJERCICIOS: Un vector
tienen de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce
el extremo B(12, −3).
Calcular la distancia entre los puntos:
Si
es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección
y sentido.
Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector
Hallar
las
coordenadas
del
punto
medio
del
=(8, -6).
segmento
AB,
de
extremos:
9
1. Calcula la inclinación del vector u = (4,3) 2. Calcula la dirección de los siguientes vectores y di luego cuáles tienen la misma dirección: a = (3,4) c = (5,12) d = b = (6,8)
(15,20)
3. Los puntos A(1,2) y B(2,4) del plano determinan el vector AB. Calcula su inclinación. 4. Calcula la inclinación de los siguientes vectores: u = (1,2) v = (6,8)
w = (5,12) t = (15,2)
5. Calcula las coordenadas de un vector sabiendo que el módulo y la inclinación son: a) 4, 30º c) 4. 60º b) 4, 45º d) 4, 90º
Cálculo del módulo de un vector en el espacio.- El vector tiene su punto de aplicación en el origen de coordenadas (0, 0, 0): Sea el vector v (x, y, z), cuyo punto de aplicación está en el origen de coordenadas. z v (x, y, z)
O (0, 0, 0) y x Figura. Vector v que parte del origen de coordenadas El cálculo se realiza de la siguiente manera:
v v
x.i
( x 0)
2
y. j
( y 0)
2
z .k
( z 0)
2
10
v
x
2
y
2
2 z
Hemos aplicado la fórmula que nos da la distancia entre 2 pun tos cualesquiera del espacio, con la que obtendremos la longitud del vector: Si
v
1,
se trataría de un vector unitario y si
v 1
, no sería un vector unitario.
Para calcular un vector unitario en la dirección y sentido de otro basta con dividir el vector entre su módulo: v u
v
Ejemplo, sea el vector v (3, 0, -4) u
v v
3.i 3
2
0. j
0
2
4.k
4
2
3.i
5
4.k
3
5
i
4
5
.k
Así obtenemos un vector unitario, en la dirección y sentido del vector v, cuyas coordenadas son (3/5, 0, -4/5).
CLASIFICACIÓN DE VECTORES.-
Tipos de vectores Vectores equipolentes.- Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
11
Vectores libres.- El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido .
Vectores fijos.- Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo , dirección, sentido y origen .
Vectores ligados.- Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección , sentido y se encuentran en la misma recta
Vectores opuestos.- Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido .
Vectores unitarios.- Los vectores untario tienen de módulo, la unidad. Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.
12
Vectores concurrentes.- Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.
Vector de posición.- El vector
que une el origen de coordenadas O con
un punto P se llama vector de posición del punto P.
Vectores linealmente d ependientes.- Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
Vectores linealmente independientes.- Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros
13
a 1 = a 2 = ··· = a n = 0
Vectores ortogonales.- Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.
Vectores ortonormales.- Dos vectores son ortonormales si: 1. Su producto escalar e s cero. 2.
Los dos vectores son unitarios.
FUENTE: http://issuu.com/ernestoyanezrivera/docs/definici_n_de_vector_y_representaci_n_gr_fica_de_u http://matesmiguel.es/pdf/1BC/Uni4/Pregunta3.pdf
COORDENADAS RECTANGULARES En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados. En un par de números (x,y) en el cual «x» es el primer número y «y» el segundo se llama pareja ordenada. Se traza una recta horizontal y una vertical que se cortan en el origen 0 y con una medida conveniente se hace una escala de números reales en cada eje coordenado dejando que el origen sea (0,0). La dirección positiva se escoge hacia La derecha en el eje x y hacia arriba en el Eje y.
La coordenada x, o abscisa, de un punto p es la distancia dirigida desde el e je y hasta el punto. La coordenada y u ordenada de un punto p e s la distancia desde el eje x hacia el punto.
14
Un punto de coordenadas dadas se marca midiendo las distancias apropiadas desde los ejes y señalando el punto así localizado. Por ejemplo si las coordenadas de un punto son (-4,3) la abscisa -4 significa que el punto esta 4 unidades a ala izquierda del eje y contando desde el origen y la ordenada 3 significa que el punto esta 3 unidades hacia arriba del eje x contando desde el origen.
COORDENADAS POLARES Para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia, definido por un origen O y una línea semi-infinita L saliendo del origen. A L se le conoce también como eje polar. También este sistema para localizar puntos en un plano es muy útil como lo utilizan en los radares de submarinos. Se usan los grados y la distancia de la re cta usando estos símbolos: Alfa que son los grados y da que es el tamaño de la recta que está marcada en un punto.
COORDENADAS GEOGRÁFICAS Son un conjunto de líneas imaginarias que permiten ubicar con exactitud un lugar en la superficie de la Tierra. Este conjunto de líneas corresponden a los meridianos y paralelos. Estas líneas o círculos son trazados por los cartógrafos sobre los mapas. Cualquier punto de nuestro planeta puede ubicarse al conocerse el meridiano de longitud y el paralelo de latitud.
15
- Latitud: su línea de base es el Ecuador. - Longitud: su línea de base es el Meridiano de Greenwich. Estas coordenadas se expresan en grados sexagesimales: - Para los paralelos, sabiendo que la circunferencia que corresponde al Ecuador mide 40.076 km, 1º equivale a 113,3 km. - Para los meridianos, sabiendo que junto con sus correspondientes antimeridianos se forman circunferencias de 40.007 km de longitud, 1º equivale a 111,11 km. La latitud.- Es la distancia que existe entre un punto cualquiera y el Ecuador, medida sobre el meridiano que pasa por dicho punto. - Se expresa en grados sexagesimales. - Todos los puntos ubicados sobre el mismo paralelo tienen la misma latitud. - Aquellos que se encuentran al norte del Ecuador reciben la denominación Norte (N). - Aquellos que se encuentran al sur del Ecuador reciben la denominación Sur (S). - Se mide de 0º a 90º. - Al Ecuador le corresponde la latitud de 0º. - Los polos Norte y Sur tienen latitud 90º N y 90º S respectivamente. La longitud.- Es la distancia que existe entre un punto cualquiera y el Meridiano de Greenwich, medida sobre el paralelo que pasa por dicho punto. - Se expresa en grados sexagesimales. - Todos los puntos ubicados sobre el mismo meridiano tienen la misma longitud. - Aquellos que se encuentran al oriente del meridiano de Greenwich reciben la denominación Este (E). - Aquellos que se encuentran al occidente del meridiano de Greenwich reciben la denominación Oeste (O). - Se mide de 0º a 180º. - Al meridiano de Greenwich le corresponde la longitud de 0º. - El antimeridiano correspondiente está ubicado a 180º. - Los polos Norte y Sur no tienen longitud.
16
Transformación de Coordenadas Rectangulares a Polares y Viceversa.-
Para transformar de coordenadas rectangulares a polares se utilizan los siguientes métodos. Se hace un triángulo rectángulo para saber cuánto mide da y para esto se utiliza el teorema de Pitágoras.
6 al cuadrado es igual a 36 y 3 al cuadrado es igual a 9 entonces 9 y 36 se suman y después se les saca la raíz cuadrada lo cual es el resultado de la hipotenusa=6.70 que es DA. Una vez obtenido el valor de DA, se debe obtener el valor de los grados ósea alfa en el cual se utiliza la siguiente formula: =Tan-1 (CO/CA) =Tan-1(3/6) =Tan-0,5 = 26,5650
Te dan los grados y la distancia de la recta para que los transformes en El sistema (x,y). Si te dan solo estos 2 datos (4,280°) lo que tienes que hacer es lo siguiente:
Ejercicios: 17
Un pirata que habita en una isla quiere encontrar un tesoro y la ubicación que le dio su capitán en coordenadas rectangulares fue (6,10) pero el solo identifica puntos en coordenadas polares. Así que ayuda al pirata transformando las coordenadas rectangulares a polares.
A un soldado que viajaba en un submarino su teniente le ordeno que al desembarcar la costa seria su punto de origen y que tendría que llegar a la base militar que estaba en (10,100°) se la dio en coordenadas polares puesto que el teniente vio en su radar de submarino las coordenadas pero el soldado no sabe cambiar coordenadas polares a rectangulares así que ayundelo a cambiarlas.
Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/geografiagral/Coordenadasgeog.htm http://www.aularagon.org/files/espa/atlas/longlatitud_index.htm
MODULO POR UNITARIO Transformación a Módulo Vector unitario.El módulo vector unitario, es el vector representado en su módulo multiplicado por su forma unitaria (como dice el nombre). De coordenadas polares a Módulo Vector unitario: Primero, debemos hallar el módulo: será el mismo módulo de las coordenadas polares. Luego, hallamos el vector unitario: el coseno del ángulo será la parte "i", y el seno del ángulo, la parte "j". Planteamos el vector así: A = módulo { (número obtenido al sacar el cos. del ángulo) i + (número obtenido al sacar el sen. del ángulo) j } ejem.: A =8m ( cos 125º i + sen 125º j) A = 8m (- 0,5736 i + 0,8191 j ) 18
Ejercicio: Expresar en función de su módulo y vector unitario el siguiente vector C= (44m, 340°) sen70° cateto opuesto sobre hipotenusa sen70°= cateto opuesto sobre 44 44sen70°=cateto opuesto 41.34=cateto opuesto (x,i) cos70°= cateto adyacente sobre hipotenusa cos70°= cateto adyacente sobre 44 44cos70°= cateto adyacente 15.04=cateto adyacente i= i sobre modulo j= j sobre modulo i= 41.34 sobre 44 j= 15.04 obre 44 i= 0.93 j=0.34 C= 44(0.93i + 0.34j) m Fuente: http://gsaint32.wikispaces.com/Transformaci%C3%B3n+a+M%C3%B3dulo+Vector+unitario COORDENADAS CILÍNDRICAS Las coordenadas cilíndricas constituyen una generalización de las coordenadas polares del plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el eje ), perpendicular al plano , como sigue: La coordenada radial, , es la distancia (en valor absoluto) del punto al eje . La coordenada acimutal, , es el ángulo que la proyección del vector de posición sobre el plano forma con el eje . La coordenada vertical, , es la distancia (con signo) al plano . Los rangos de variación de estas coordenadas son:
El ángulo
también puede variar en el intervalo [0,2π).
19
Uno de los ejemplos más sencillos de uso de las coordenadas cilíndricas lo proporcionan las grúas. Para controlar la posición de la carga, es preciso indicar el ángulo de giro de la flecha (el brazo de la grúa), dado por , la altura a la que se sube la carga ( ), y cuanto hay que desplazarla a lo largo de la flecha ( ).
20
MODULO DE UN VECTOR EN EL ESPACIO Obtención del módulo de un vector unitario. Al referirse a un vector en el espacio es un segmento que posee dirección y control y tiene su origen en un punto y su extremo en el otro. Se representa por una coordenada tridimensional trazando una línea (i) que es perpendicular en el punto del origen j y k. Cada punto posee X, Y y Z. Ejemplo de grafica tridimensional.
Para obtener el módulo de un vector se necesita la fórmula del módulo.
Y los puntos que se trazaran en las coordenadas (X i , Y j , Zk ). Obtener el modulo del siguiente vector unitario. Los puntos son (3, 4, 5) Primero se hace la gráfica, concluimos que 3=i, 4=j y 5=k. Ejercicio 1.
Teniendo la gráfica y el modulo trazado (El vector modulo es la ARISTA que parte DEL PUNTO DEL ORIGEN al ULTIMO PUNTO, es decir de (0,0) a K = 5) se realiza la ecuación, sustituyendo 3, 4 y 5 en la formula por X, Y y Z.
21
El resultado es 7.07, y se representa en la gráfica..
Fuente: http://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2011/02/21/vectores-en-el-espacio-obtenciondel-modulo-de-un-vector-unitario/
ÁNGULOS O COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR Se llaman Cosenos directores del vector Å a los cosenos de los ángulos que forman cada uno de los ejes coordenados. En un plano tridimensional se representan:
Se identifican 3 ángulos en la imagen (Alpha = α, Beta = β, Gamma = γ) Y sus fórmulas para saber el
tamaño del ángulo son:
Coseno de Alpha = Vector Ax / Modulo del vector |A|
Coseno de Beta = Vector Ay / Modulo del vector |A|
Coseno de Gamma = Vector Az / Modulo del vector |A| Para saber el modulo del vector A se usa la fórmula:
22
EJEMPLO Mediante los cosenos directores determinar los ángulos de α, β, γ del vector (4, 5, 3) Paso 1. Se hace la grafica
Paso 2. Se obtiene el modulo del vector con la formula
Paso 3. Sustituir el modulo del vector en la formula correspondiente a su eje.
Paso 4. Representar los ángulos en la gráfica.
23
Fuente: http://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2011/04/25/cosenos-directores-de-un-vectorproblema-resuelto/
2.3.
SUSTRACCIÓN DE VECTORES
VECTOR NEGATIVO DE UN VECTOR. Un vector negativo se define como un vector que al sumarse a un vector original genera una suma 0.
Un vector negativo tiene el mismo origen que su vector positivo. ¿Fácil no?, tan solo invertir los signos, ¿cierto? La respuesta es sí y no. Si para los vectores que tienen su origen en el punto (0 : 0), pero ¿qué sucede con un vector que dependa de otro? Observemos el siguiente ejemplo.
El vector negativo de [B] no se obtiene tan simplemente con volver negativo sus puntos, de hecho si lo hacemos, obtenemos un vector completamente diferente. La mejor forma de obtener los nuevos puntos es conceptualizando. Los nuevos puntos de vector negativo a quien llamaremos [C] dependen de, su origen que está determinado por la punta de [A] y por la magnitud de [B]. Por lo tanto escribiremos esto.
24
El punto [Cx] será igual a la distancia que ya tiene y que obtenemos de [Ax] más la magnitud del vector [Bx], debido a que la magnitud es un escalar “no importa su sentido” nos sirve para encontrar la distancia
entre el punto [Ax] y el punto [Cx]. Ahora, la magnitud en un solo eje es extremadamente simple de determinar, simplemente es el punto final menos el punto de inicio.
Por lo tanto reemplazamos la magnitud por la resta que ya conocemos.
Finalmente solo reorganizamos y listo .
Lo mismo para el otro eje.
Ecuación que sirve para obtener el vector negativo de [B] que dependa de la posición de otro vector [A].
Con estas ecuaciones podremos invertir cualquier vector que nos den de manera analítica, sin tener que dibujarlo en un plano y luego invertirlo. Fuente: http://cienciasdejoseleg.blogspot.com/2012/02/vector-negativo.html
MÉTODOS GRÁFICOS Y ANALÍTICOS PARA RESTAR VECTORES. Suma de vectores.Métodos Analíticos para sumar vectores. Teorema de Pitágoras.Cuando los vectores forman un ángulo recto la magnitud de la suma o resultante se obtiene por medio del teorema de Pitágoras y la dirección por la relación trigonométrica tangente.
25
Ejercicio. Un avión vuela hacia el Norte a 90 m/s un fuerte viento sopla hacia el este a razón de 72 km/h y desvía su rumbo. Hallar la velocidad del avión para un observador en la tierra. Solución:
Para anotar la respuesta en coordenadas polares, tomamos el ángulo complementario. Respuesta: S: 92.2 m/s , 77.5° ( en coordenadas polares ).
Ley de Senos y Cosenos
Cuando los vectores forman cualquier ángulo la magnitud de la suma o resultante se obtiene por medio del teorema de cosenos y la dirección por el teorema de los senos.
Ejercicio Dos hombres tiran de un bote, uno aplica una fuerza de 100 N y el otro de 80 N con un ángulo de 60° entre ellas. Hallar la fuerza resultante sobre el bote
26
Solución:
Respuesta: s : 156.2 m/s, 26.3° (en coordenadas polares ) Ejercicio Propuesto: Un conductor de automóvil maneja 3 km en la dirección de 60° noreste y luego 4 km en la dirección norte.¿Dónde termina respecto de su punto de inicio?.Utilice el método anterior, compare su resultado con su respuesta si utiliza el método grafico.
Método del Triángulo.-
27
Métodos gráficos para sumar vectores.
Método del Polígono: trazado los vectores en un plano cartesiano, con su magnitud dirección, sentido y origen. Es importante que uses una escala para indicar la magnitud del vector.
Método del Paralelogramo: se trazan líneas paralelas a los vectores y la resultante se traza del origen al punto donde se Cruzan.
SUMA DE VECTORES MATEMATICA.Para realizar la suma matemática de vectores, lo único que tenemos que hacer es sumar las respectivas componentes de los vectores sumándolos, así obtenemos el vector suma. EJEMPLO 1: Obtener la suma de los vectores A(-5, 2, 3) y D(2, 3, -1) con modulo resultante. Hacemos la gráfica primero, dándole valores a los puntos con i, j, k por ejemplo…
28
A = -5i + 2j + 3k B = 2i + 3j -1k
Teniendo los puntos A, B se crea un rectángulo paralelo a los puntos, se toman los puntos A y B y se realiza una suma. (-5i + 2j + 3k) + (2i + 3j -1k) = -3i + 5j + 2k El punto del rectángulo a trazar es C (-3i + 5j + 2k). La grafica queda así:
Ya teniendo la gráfica con puntos vectoriales y su rectángulo sigue sacar el modulo del vector resultante. La fórmula es:
Vector Resultante = √(-3)2 + ( 5)2 + (2)2 Vector Resultante = √9 + 25 + 4 Vector Resultante = √38
Vector Resultante = 6.16
29
OPERACIONES CON VECTORES POR EL MÉTODO DE LAS COMPONENTES Éste método mejora la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante por medio del conocimiento de las componentes del vector; además tiene la ventaja de sumar o restar dos o más vectores a la vez, mediante un proceso algebraico. El método consiste en sumar o restar las componentes en x de los vectores principales, y el resultado de ésta operación es la componente en x del vector resultante. De igual manera, se operan las componentes en y de los vectores principales y el resultado es la componente en y del vector resultante. Obtenidas las componentes de la resultante, se pueden encontrar la magnitud, dirección y sentido de éste vector. Cuando una componente, en x o en y, tiene un valor negativo, el sentido de ésa componente es contrario a los lados positivos del marco de referencia. Por ejemplo, si una componente en y tiene un valor negativo, la proyección en el eje y de ése vector apunta hacia abajo. Ejemplo. Calcule la resultante de las fuerzas que se presentan en la figura.
Note que θ para los vectores B y C no son los que se presentan en la figura, sino que se deben calcular a
partir del eje x positivo (ángulos suplementarios). Para el vector B, θ = 180º - 45º = 135º Para el vector C, θ = 180º + 55º = 235º
Calculando las componentes en x de los vectores A, B y C: Ax = (200 N) cos (30º) = 173.20 N Bx = (300 N) cos (135º) = - 212.13 N Cx = (155 N) cos (235º) = - 88.90 N Calculando las componentes en y de los vectores A, B y C: Ay = (200 N) sen (30º) = 100 N 30
By = (300 N) sen (135º) = 212.13 N Cy = (155 N) sen (235º) = - 126.97 N Luego se calcula la fuerza resultante, encontrando las componentes de ésta fuerza, a partir de una simple suma de componentes de fuerzas individuales.
RESTA DE VECTORES Para restar dos vectores libres
y
se suma
con el opuesto de
.
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.
Ejemplo:
Ejercicios propuestos: Escribe las componentes de cada vector:
1
(5, 8),
(2, 3) ,
2
(3, −5),
(1, − 1)
, 3
(−2, 5),
(0, −3)
, 4
(8, 2),
(10, 1) ,
Completa las coordenadas de los siguientes puntos usando los datos proporcionados:
5
(1, 5),
(4, 7) ,
31
6
(3, −5),
(1, −8)
, 7
(−1, 9),
(4, −6)
, 8
(1, 7)
(4, −2),
, Escribe las componentes de cada vector (Producto de vectores por un escalar):
9 , 10 , 11 , 12 , Dados los vectores
, resuelve en cada caso (Operaciones
con vectores):
13 14 15 16
, , , ,
Soluciones: 1.2.3.4.-
5.-
6.32
7.-
8.9.10.11.12.13.-
14.-
15.-
16.-
2.4.
MULTIPLICACIÓN
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR. El producto de un número k por un vector
es otro vector:
1
De igual dirección que el vector
.
2
Del mismo sentido que el vector
si k es positivo.
3
De sentido contrario del vector
si k es negativo.
4
De módulo
33
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
Ejemplo:
1
Asociativa
k · (k' · ) = (k · k') · 2 Distributiva respecto a la suma de vectores k · ( + ) = k · + k · 3 Distributiva respecto a los escalares (k + k') · = k · 4 Elemento neutro 1 ·
+ k' ·
=
FUENTE: http://www.vitutor.com/geo/vec/a_7.html
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original. Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector. Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas: V = (x, y) k V = k (x, y) = (kx, ky) Ejemplo: 34
V = (2,1) k=2 k V = 2 (2, 1) = (4, 2)
Ejemplo: V= (2, 2) k = -1 k V = -1 (2, 2) = (-2, -2)
Si los vectores son de más de dos coordenadas se realiza lo mismo por cada una de ellas.
PRODUCTO ENTRE VECTORES: PRODUCTO PUNTO ESCALAR
Ejemplos:
35
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
36
Ejercicio: Determinar el ángulo que forman los vectores
= (1, 2, −3) y
= (−2, 4, 1).
Ejemplo:
Propiedades del producto punto 1Conmutativa 2 Asociativa
3 Distributiva
4El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
PRODUCTO CRUZ O VECTORIAL El producto cruz o producto vectorial de dos otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos
vectores es vectores y 37
su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:
El producto cruz se puede expresar mediante un determinante :
Ejemplos Calcular el producto cruz de los vectores
Dados los vectores
y
= (1, 2, 3) y
, hallar el producto cruz de dichos
vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a
El producto vectorial de
= (−1, 1, 2).
y
.
es ortogonal a los vectores
y
.
38
Ár ea de l pa ral el og ra mo Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.
Ejemplo Dados los vectores por lados los vectores
y y
, hallar el área del paralelogramo que tiene
·
Ár ea de un tri áng ul o
Ejemplo Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).
39
