Contenido en extenso - Unidad 2 - Módulo 17 - Prepa en línea - SEP

Tratamiento estadístico de la información de fenómenos naturales y procesos sociales

Módulo 17. Estadística en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad II. Tratamient Tratamiento o estadístico de la información de fenómenos naturales y procesos procesos sociales.

Índice Presentación 1. Metodología cientíca 2. Concepto fundamental: probabilidad y estadística 3. Análisis estadístico de la información, representación repr esentación gráca y uso de hojas de cálculo

3.1 Medidas de tendencia central. 3.2 Medidas de dispersión. 3.3 Regresión y correlación lineal. Cierre Fuentes

Presentación Propósito: Desarrollar los modelos de la estadística descriptiva que permitirán analizar, ordenar, interpretar y explicar la información obtenida a partir de fenómenos

naturales y procesos procesos sociales con el n de predecir y entender estos hechos en su contexto contexto y de orientar la toma de decisiones en el ámbito individual así como incidir en su comunidad, región, país y el mundo.

Indicadores de desempeño:

• Argumenta la posibilidad posibilidad de ocurrencia ocurrencia de algunos fenómenos naturale naturales sy procesos sociales de su entorno, mediante el uso de los tipos de distribución de probabilidad.

• Interpreta Interpreta tablas y grácas que representen representen la información información de los hechos o fenómenos naturales y procesos sociales vinculados dentro de su contexto.

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• Utiliza las TIC para obtener obtener información información y procesarla procesarla a través de una hoja de cálculo.

• Calcula las medidas de tendencia central central y de dispersión dispersión de varios conjuntos conjuntos de datos de fenómenos naturales y procesos sociales de interés en su contexto local, regional y nacional.

• Interpreta y explica el funcionamiento funcionami ento de fenómenos fenómen os naturales y procesos sociales dentro de su contexto local y regional a través de modelos de estadística descriptiva. descriptiva.

• Correlaciona las variables involucradas entre fenómenos fenómen os naturales y procesos sociales de su contexto.

• Evalúa y determina la posibilidad posibili dad de ocurrencia, y el comportamiento comport amiento de fenómenos naturales y procesos sociales de importancia en su contexto para

orientar sus acciones en el ámbito individual indivi dual y proponer estrategias de mejora en su localidad, región, país, mundo.

• Analiza y sintetiza sintetiza las observaciones observaciones estadísticas estadísticas para para llegar llegar a conclusiones conclusiones lógicas.

Punto de partida Con base en los recursos y conceptos estudiados en Unidad I de este módulo, se puede avanzar en el estudio de la estadística. En esta ocasión, se abordarán temas de Probabilidad.

Una constante en las preocupaciones de los seres humanos, a lo largo de su existencia, ha sido el futuro. Hay muchas formas de responder a esas inquietudes, en su gran mayoría resultan inoportunas, pues no hay un método ni mecanismos de vericación con una aproximación lograda. La estadística y, en este caso, la probabilidad no son conceptos de adivinación, sino resultado del registro, ordenación, sistematización y análisis de los datos que proporcionan los fenómenos reales. Con esa información es posible realizar cálculos de aproximación del

acontecer de las cosas. Como toda actividad cientíca, estos cálculos no son infalibles; tampoco son perfectos o puntuales, sino probabilísticos. Si bien no hay nada ni nadie que asegure el acontecer de un fenómeno, sí se puede establecer

el nivel de conanza de que un fenómeno continúe o cambie en un sentido aproximado aproximado a los cálculos hechos. La condición para lograrlo, como se desarrolla en la siguiente unidad, es el rigor en el manejo de la información y la profundidad del análisis que se haga de ella.

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1. Met Metodolo odología gía cient científca ífca La metodología cientíca es un cúmulo grande de actividades, herramientas, técnicas y teorías. En tal sentido no hay una metodología única úni ca para todas las ciencias que se conocen. Por ejemplo, la medicina tiene una metodología para investigar la propagación de enfermedades, la sociología tiene metodologías para investigar la violencia policial en las sociedades, y así para cada disciplina.

Lo anterior no quiere decir que cada investigador invente su propia metodología. En los hechos, cada investigador o alumno de cualquier ciencia sigue las metodologías aceptadas para

la comunidad científica en la cual está inserto. Como indica Kuhn (Kuhn, 1971) hay ciencia normal cuando la mayoría de l as instituciones cientícas recurren a métodos de comprobación cientíca similares; es decir, siguen casi los mismos pasos, aplican las mismas formas para recolectar datos, entre muchas otras actividades para analizar diferentes eventos.

La estadística es una ciencia utilizada constantemente en diferentes disciplinas. Es un caso especial en la ciencia reciente, ya que se emplea desde la psicología hasta la física; es decir, la estadística es útil para las ciencias sociales y para las ciencias

naturales. Esto muestra un benecio para cada una de las ciencias, pero implica también un conocimiento adecuado de la metodología estadística para evitar usos inadecuados.

La estadística tiene una metodología cientíca particular; es decir, tiene pasos particulares para generar datos y conclusiones demostrables, además de válidas

para el conocimiento. Siguiendo las aportaciones de Carrasco (Carrasco Arroyo, Arroyo, 2016) y Triola (Triola, 2013) la metodología de la estadística procura lograr los siguientes criterios:

a) Planteamiento del problema b) Establece el objeto de estudio c) Dene los objetivos e hipótesis

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d) Especica el tamaño y tipo de muestreo e) Recopila datos para el logro de los objetivos, la aceptación o rechazo de las

hipótesis además de ser coherentes con el objeto de estudio f) Cubre los requisitos de ética en la recolección de datos g) Depura la muestra h) Proporciona un análisis descriptivo i) Genera un modelo explicativo j) Resuelve las hipótesis planteadas El planteamiento del problema implica generar preguntas de investigación, las cuales El planteamiento del deben estar orientadas a la solución de un problema implica generar problema de la vida cotidiana o bien pueden preguntas de investigació investigación n venir de problemas de cada ciencia. Un orientadas a la solución de un planteamiento de problema debe expresar problema de la vida cotidiana. la relación entre dos variables presentadas en términos cuantitativos. Se puede empezar realizando una pregunta: ¿Fumar 3

cigarros diarios aumenta la probabilidad de ensema pulmonar en más del 20%? , ¿las personas de 65 o más años tienen menor probabilidad de usar el metro? , etcétera. Es importante que las preguntas de investigación no sugieran ninguna respuesta.

El objeto de estudio consiste en describir con la mayor precisión lo que se está estudiando.

Objeto de estudio:

Por ejemplo, si la pregunta de investigación jercicio indica: ¿Hacer una hora diaria dee

descripción de lo que se está estudiando.

disminuye la probabilidad de desarrollar

diabetes en mujeres? mujeres?E l objeto de estudio es la actividad física y su relación con el desarrollo de diabetes en mujeres. Es decir, todas las investigaciones apoyadas en el método estadístico requieren mostrar con claridad su objeto de estudio.

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La hipótesis es una proposición proposición tentativa tentativa

Hipótesis: son proposiciones tentativas sobre las posibles relaciones entre dos o más

sobre las posibles relaciones entre dos o más variables. En estadística es indispensable

expresar en términos numéricos las hipótesis y se pueden hacer de la siguiente forma: A variables. mayor x hay mayor y . Sigiendo con el ejemplo: Las mujeres que hacen más de cuatro horas de ejercicio por semana tienen 50% de menor probabilidad de desarrollar diabetes. diabetes. La cantidad de hipótesis depende de los objetivos. Si el estudio tiene ti ene dos objetivos, entonces se harán dos hipótesis. El tamaño de la muestra y el tipo de muestreo están condicionados, de igual modo, por los objetivos. Si un investigador desea conocer la cantidad de personas que participa en las juntas vecinales de su colonia, tendría que saber el número de casas y después establecer si realizará un muestreo representativo o no representativo. El

muestreo representativo representativo implica que el tamaño de la muestra permite generalizar la explicación. El muestreo no representativo permite aceptar o rechazar la hipótesis de investigación, pero no permite generalizar los resultados del análisis estadístico.

En el proceso de recopilación de datos, el investigador denirá la forma de reunir los datos que sean útiles para aceptar o rechazar las hipótesis planteadas. Los procesos de recopilación pueden ser la aplicación de cuestionarios o encuestas, el registros de datos por el propio investigador o bien los datos disponibles en instituciones públicas o privadas. Toda investigación debe cubrir los criterios de ética tratados en

el Tema 1 de la Unidad 1 de este módulo. En la recopilación de datos, el investigador denirá la forma de reunir los

datos que sean útiles para aceptar o rechazar las hipótesis planteadas. La depuración de la muestra consiste en

Depuración de la muestra: es la revisión de los

revisar los datos recopilados de la misma y

datos reunidos de la muestra, así

Este paso es determinante en caso de usar programas automatizados de análisis estadístico. estadístico. Regularmente en este paso los investigadores construyen bases de datos.

como la vericación de que no haya errores ni datos faltantes.

vericar que no haya errores y datos faltantes.

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En el paso del análisis descriptivo, el investigador procede a extraer las medidas de tendencia central y de dispersión de los datos. Asimismo, analiza las frecuencias

relativas y genera los grácos que permitirán observar el comportamiento de datos de la muestra. La nalidad del análisis descriptivo es observar los datos en conjunto y obtener los primeros elementos que conduzcan a la aceptación o al rechazo de las hipótesis.

Análisis descriptivo: es la obtención de las medidas de tendencia central, de dispersión, frecuencias relativas y generación de grácas para observar el comportamiento de los datos.

La generación de un modelo explicativo El modelo explicativo

señalará de forma abarcadora la complejidad de la realidad.

requiere del análisis descriptivo y de la

interpretación de las grácas que hayan sido construidas por el investigador. El modelo

explicativo señalará de forma abarcadora la complejidad de la realidad. Es decir, el

modelo sintetizará la información sobre las variables que tienen mayor efecto en las

hipótesis y permitirá hacer inferencias sobre el caso estudiado. Finalmente, el paso de la resolución de las hipótesis consiste en señalar, con base en los niveles de signicancia estadística, si se acepta o se rechaza las hipótesis. Por supuesto, dependerá de un análisis profundo de la información y de los resultados

que aporte. Es importante i mportante destacar que rechazar las hipótesis que plantea un investigador no signica un fracaso o un error. Por el contrario, contrario, la aceptación o rechazo de hipótesis aporta nuevos elementos de explicación al evento analizado. En resumen, la certeza de las observaciones que se logren a partir de la recopilación, ordenación, sistematización y análisis de los datos de un fenómeno social o natural

depende del rigor cientíco, con el que se aborde. Si falta ese rigor se corre el riesgo

de generar conjeturas o, avalar suposiciones malintencionadas.

Para saber más Si deseas conocer sobre la Modelación en estadística, consulta el siguiente enlace:

https://www.youtube.com/watch?v=DTCbGJsxo&feature=youtu.be

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2. Conce Concepto pto fundamental: fundamental: probabilidad probabilidad y estadística estadística

Este módulo aborda los principios básicos

y las herramientas del trabajo estadístico. Es decir, la estadística es una herramienta

La estadísticat rabaja con

teórica, matemática y práctica que ayuda a recopilar, organizar e interpretar información de fenómenos naturales y de procesos

han sucedido, traducidos a datos

datos reales y con eventos que numéricos.

sociales. La estadística no sólo es un cúmulo de datos y fórmulas matemáticas: matemáticas: es una herramienta cientíca que permite generar explicaciones coherentes y válidas sobre hechos sociales y naturales de nuestro entorno. En tal sentido, la estadística trabaja con datos reales y con eventos sucedidos traducidos a datos numéricos. En otras palabras, analiza los fenómenos naturales y procesos sociales gracias a que tiene información de tales eventos, a diferencia de la probabilidad.

La probabilidad indica, por medio de cálculos matemáticos,

que un hecho suceda en el futuro.

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La probabilidad puede o no tener información sobre los eventos que aún no suceden, pero de los cuales se desea conocer el resultado; calcular numéricamente

el acontecer de un evento, no es ninguna habilidad de “adivinanza”. La probabilidad puede indicar por medio de cálculos matemáticos el suceso en el futuro. En eso radica la diferencia fundamental con la estadística. estadística.

Por ejemplo, la estadística puede organizar y sistematizar la información del género de los niños nacidos en un periodo determinado, por ejemplo, un año. Estadísticamente, Estadísticamente, se puede indicar la cantidad de niños nacidos sanos, con peso ideal, etcétera. Sin embargo ¿se puede saber por medio de la estadística que nacerán más mujeres que niños? O bien, al preguntar a cinco padres en la sala de espera de alumbramientos cuántos esperan

mujeres y cuántos esperan varones de su primer hijo. hijo . Estos problemas son área de análisis de la probabilidad,

como se indicó arriba. La probabilidad trabaja con el cálculo de eventos que sucederán a futuro.

Actividad 1. Busca en Internet 10 ejemplos ejemplos de análisis estadísticos estadísticos y 10 ejemplos de estudios de probabilidad. 2. Elabora un cuadro cuadro comparativo comparativo donde indiques las diferencias. diferencias.

Para saber más Si deseas conocer más sobre Probabilidad , consulta los siguientes enlaces:

http://www.denicionabc. http://www.denici onabc.com/gene com/general/probab ral/probabilidad. ilidad.php php https://www.youtube.com/watch?v=2y6zs8o-YWg

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3. Análisis estadístico de la información representación ,

gráfca y uso de hojas de cálculo La razón principal para clasicar datos y dibujar un histograma de la tabla de frecuencias resultantes es determinar la naturaleza de la distribución. En la unidad anterior se mostraron algunos de los tipos más comunes de distribuciones, por lo

tanto, éstas se comparan para identicar las relaciones entre las observaciones. Aunque en muchas ocasiones esas relaciones son difíciles de precisar, salvo en casos muy generales, la forma de proceder es omitir la comparación de todos los datos y sólo tomar los valores promedio y las variaciones que

tienen ambos conjuntos de datos. Estas cantidades descriptivas se llaman aritméticas porque proporcionan números, en contraste

con el histograma, el cual es de naturaleza geométrica. La escencia del problema es la que determina si las propiedades aritméticas

simples son sucientes para describirlo de

Medida de dispersión:

manera apropiada.

aquélla que por medio de un número indica qué tanto están variando los datos recolectados con respecto a las medidas de tendencia central

En este tema se abordarán abordarán algunas de las medidas descriptivas más comunes y con las cuales las actividades que se proponen

(principalmente la media). Recuperado de: http://cvonline.uaeh.edu.mx/Cursos/ http://cvonline.uaeh.edu.m x/Cursos/ BV/L0706/U4/ lec_43_TeoriaMedidasDdispersion.pdf

pueden arrojar información suciente para identicar una distribución, para lo cual se requieren de herramientas como las hojas de cálculo. Los problemas más complejos comúnmente requieren del estudio de valores relacionados relacionados con las distribuciones distribuciones o con el análisis de toda la distribución.

Las primeras medidas descriptivas que se presentan son las conocidas como medidas de tendencia central , con las cuales se busca presentar un valor que muestre de manera nítida el punto medio o centro

de los datos que se tienen. Las medidas de tendencia central más comunes son la media o el promedio, la media geométrica, la media armónica, la mediana, la moda y el rango medio.

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El análisis de la variación de los valores respecto a la media es dado por las medidas de dispersión. En este tema se estudiarán

deniciones, reglas y herramientas de trabajo para el rango, la varianza, la desviación estándar y la desviación media.

El uso de la computadora es una herramienta útil para trabajar y analizar datos datos estadísticos. Con el n de facilitar su uso, se ofrecen para cada medida aritmética su fórmula y aplicación en hojas de cálculo de Excel . Para otras plataformas como Google Docs existen existen fórmulas que realizan las mismas labores, donde sólo será necesario investigar la sintaxis, ya que los métodos generales suelen ser los mismos.

3.1 Medidas de tendencia central Media aritmética. La más común de estas medidas es la media aritmética o promedio y es la más usada en la vida diaria; como cuando

se calcula la calicación que tendría un estudiante en un curso. Si se sustituye cada dato por la media y se hace la suma se obtiene el mismo resultado que si se sumaran todos los datos. La media aritmética o sólo media se dene como la suma de todos los valores dividida por el número de valores. valores. Si se tiene un conjunto de datos x 1 , x 2 , ... x n la media aritmética será:

1 x = n

n

∑ x i i =1

Para ilustrar el cálculo de la media, considera el ejemplo. Encuentra la media del siguiente conjunto de datos.

Valor

Frecuencia

12

10

30

13

32

4

40

2

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Para calcular la media hay que notar que no sólo se tienen 4 valores, sino que en realidad son 29. Entonces para obtener el valor que se desea es conveniente completar la tabla con las cantidades que cada valor aportará a la suma para obtener la media; es decir, se puede agregar la columna de valor x valor x frecuencia . De esta manera es más sencillo calcular la suma total de todos los valores:

Valor

Frecuencia

Valor x Frecuencia

12

10

12 0

30

13

390

32

4

12 8

40

2

80

Suma

29

718

Por tanto, la suma total de los 29 datos es 718 y la media se obtiene de la manera siguiente:

x

=

718 29

≈ 24.7586

Las operaciones anteriores pueden hacerse fácilmente en una tabla de Excel . Esta herramienta permite multiplicar y sumar los valores valores de las entradas de una tabla, una a una. Además, si en una tabla de Excel , se tiene la lista con todos los valores, y cada valor en una celda, una manera muy sencilla de calcular la media es con el

comando: =PROMEDIO( ). Los paréntesis indican que ahí se enlistan las celdas con los valores que deseas promediar. Por ejemplo, si los datos están en la columna A , l a 10, entonces el comando es =PROMEDIO(A4:A10) 1, o simplemente en las filas 4 a la se anotan dentro del paréntesis todos los los valores que se quieren promediar separados por comas.

Para saber más del uso básico de Excel , consulta el siguiente enlace:

http://articulo http:/ /articulos.softon s.softonic.com/10 ic.com/10-formul -formulas-excel-nuyas-excel-nuy-utiles utiles 1 Se asume conocimientos muy básicos de Excel, como su sistema de celdas y de referencias entre las celdas.

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Si los datos ya están agrupados, también es posible determinar una media aritmética, esto es, en la consideración de las marcas de clase y las frecuencias absolutas o relativas de cada clase. La fórmula para la media aritmética de datos n n agrupados es: x =

1

∑ m

n

i

f

i

∑ m

=

i =1

i

fr

i

i =1

Recordando quem i es la marca de la clase i , la cual es el punto medio entre los límites superior e inferior de la clasef i , es la frecuencia de la clase yfr i es la frecuencia relativa. Media geométrica . De manera análoga a la media aritmética, la media geométrica

busca un número que al cambiar todos los datos por él y multiplicarlos se obtenga el mismo valor que si se multiplican los datos originales. Y se diferencia de la media aritmética, en la cual se haceu na suma. Entonces, la media geométrica para n datos no negativosx 1 ,x 2 , ...x importante porque será necesario necesario obtener x (esto es importante n una raíz n -ésima, que no es posible de momento para números negativos) se n x obtiene mediante: x 1 , x 2 , ...x . Un uso común de la media geométrica n es precisamente regularizar cuerpos geométricos con ciertas dimensiones. Por ejemplo, si se tiene una caja que mide 4 cm de ancho, 6 cm de largo y 9 cm de alto: ¿qué dimensiones debe tener un cubo con el mismo volumen? La solución, dado que el volumen es el producto de l as tres cantidades, es la media geométrica, en este caso 3 4 * 6 * 9 = 3 216 = 6 . En la herramienta Excel es posible calcular esta media geométrica mediante el comando =MEDIA.GEOM(4,6,9). =MEDIA.GEOM(4,6,9). Media armónica. La media armónica se construye como el inverso de la media aritmética de los datos, es decir, si se tienenx 1 ,x ...n , datos el valor de la media x ,x 2 armónica sería: n

1

1

n

1

i=1

x i

∑ n

=

n

1

i=1

x i

∑

Un ejemplo ejemplo de de su uso es cuando se recorre la misma distancia varias veces, la media armónica de las distintas velocidades con que se realizó cada recorrido, da la velocidad promedio global. Considera el siguiente problema: Una persona parte de su casa en su automóvil a visitar a un amigo. De ida su velocidad es de 20 km/h y de regreso es de 30 km/h: ¿Cuál es su velocidad promedio?

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Para determinar la velocidad promedio se puede pensar en hacer el promedio directo de las dos velocidades lo que daría:

v =

20 + 30 = 25 km/h 2

Para notar el problema con este resultado se supondrá que la distancia entre las

dos casas es de 6 km, entonces el tiempo que le tomó realizar el recorrido recorrido es de:

t =

t =

d 6 km + = 0.3 h = 18 minutos de ida km v 20 h d 6 km + = 0.2 h = 12 minutos de vuelta km v 30 h

Recorrió una distancia de 12 km en un tiempo de 0.5 horas. De esta manera, su velocidad promedio fue:

v =

d 12 km + = 24 km t 0.5 h h

El resultado no se obtuvo únicamente con promediar las velocidades, pero es posible llegar a él por medio de la media armónica de las velocidades:

2 1 1 + 2 2

= 24

km h

Para su cálculo en una hoja de Excel s e puede usar la función =MEDIA.ARMO( ). Mediana. Cuando se tiene una cantidad impar de datos, es interesante encontrar

un dato para el cual hay tantos datos mayores o iguales que él, como menores o iguales, ese dato es llamado la mediana de la colección de los datos. En caso de que se tenga una cantidad par de datos, la mediana se se construye como el promedio de los dos datos que se encuentran en el centro, la mediana de una colección de 2n x + x datos es el número n n+1 . Para poder encontrar la mediana de una colección 2 de datos es necesario primero ordenarlos de manera creciente.

En una hoja de cálculo puede usarse la función =MEDIANA( ), seleccionando los datos a los cuales se les quiere obtener la mediana.

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Moda. Es simplemente el dato que más se repite, en otras palabras, es el de mayor

frecuencia. Puede determinarse en una hoja de cálculo mediante la función =MODA( ). Si más de un dato se repite con la misma mayor frecuencia, todos son la moda; pero

si todos son distintos, no hay moda. T También ambién para este caso los datos no necesitan ser números pues sólo basta con que tenga la mayor frecuencia

Rango medio. Es el promedio de los valores máximos y mínimos de todos los datos. Considera el siguiente caso para mostrar la obtención de las medidas de tendencia central a partir de una tabla de distribución de frecuencias. Encuentra la media, la mediana, la moda y el rango medio de la siguiente colección de datos.

Valor

Frecuencia

25

18

31

8

42

6

59

4

94

3

la la de las Para la media es necesario agregar la columna Valor por frecuencia y sumas

Valor

Frecuencia

Valor x Frecuencia

25

18

450

31

8

248

42

6

252

59

4

2 36

94

3

282

Suma

39

14 68

Entonces el promedio está dado por:

x

=

1468 39

≈ 37.6410

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Para obtener la mediana:

Ya que se tienen 39 datos, el que se encuentra en el medio debe ser el dato 20, ya que tiene 19 datos menores o iguales que él y 19 mayores mayores o iguales que él. De acuerdo con la tabla, los primeros 18 datos son 25, así que el que se encuentra en el lugar 20 es 31. Entonces, la mediana es igual a 31. La moda es fácil de determinar, viendo la tabla donde el dato con mayor frecuencia es 25.

Y por último, el rango medio es el promedio entre el dato menor 25 y el mayor 94: 25 + 94 Rango medio = 2 Estimación de medidas de tendencia central a partir de la tabla de frecuencias agrupadas

Hasta el momento se han calculado las medidas, en caso de que los datos no sean agrupados. Sin embargo también es posible aproximar estos valores a partir

de la tabla de frecuencias agrupadas. Esto es útil cuando son muchos datos muy diferentes, como en la siguiente tabla con datos generados aleatoriamente con ayuda de Excel y la fórmula =ALEATORI.ENTRE(0,50).

0

6

4

42

37

10

46

1

39

14

24

0

15

15

12

23

48

18

9

26

17

42

31

0

25

14

41

0

4

40

46

39

1

6

0

8

34

23

23

31

14

43

29

28

1

24

36

42

22

32

11

25

50

15

3

34

46

18

6

16

24

40

35

38

48

4

39

31

0

41

40

14

26

29

3

16

17

48

1

36

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Primero, se elabora la tabla de datos agrupados. Los valores usados se calculan también con ayuda de Excel , de tal manera que los valores necesarios quedan como se muestra en .

La tabla de frecuencias de datos agrupados queda de la siguiente forma (como se ): muestra en

n

Máximo

Mínimo

Rango

Número de clases

Amplitud de clase

80

50

0

50

7

7

Clase

Límites de clase

Marca de clase

Frecuencia

f i

No.

Li

Ls

mi

1

0

7

3.5

18

2

8

15

11.5

12

3

16

23

19.5

10

4

24

31

27.5

13

5

32

39

35.5

11

6

40

47

43.5

12

7

48

55

51.5

4

Para determinar la media se puede considerar la marca de la clase y la frecuencia de la clase. Con este paso, se asume que la marca de la clase sustituye las apariciones de todos los elementos de la clase. De esta manera se construye la tabla con los productos de la marca de clase multiplicada por la frecuencia absoluta de la clase:

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Este valor se aproxima al promedio de todos los datos que se tienen, ya que la media exacta es 22.9875, la cual está bastante cerca del resultado de la media. También es necesario considerar que a más datos es posible que el resultado mejore aún más. Para obtener la mediana se agrega la columna con la frecuencia acumulada y se hace la operación del número de datos entre dos. En este caso, como son 80 datos, la mediana debe estar entre las posiciones 40 y 41, por lo que debe buscarse esas posiciones y promediar las marcas de clase correspondientes:

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La posición 40 está en la clase 3 y la 41 en la 4, por lo que se promedian las marcas de esas clases. Entonces, la mediana es 19.5 + 27.5 = 23.5. Con ayuda de Excel 2 también es posible hallar la media exacta, la cual para este caso coincide con la estimación que se hizo. De la misma manera, la moda se obtiene con la marca de la clase de la que tiene la mayor frecuencia, es decir 3.5. Para los datos completos, la moda es: 0. Para el rango 3.5 + 51.5 = 27.5. medio se toman en cuenta las marcas de clase máxima y la mínima: 2 El resultado es más grande que el rango mínimo exacto porque la última clase sobrepasa al dato mayor. Las aproximaciones que se obtienen a partir de las tablas de datos agrupados son de mucha utilidad cuando se tiene una gran cantidad de datos. Las medidas de tendencia central dan información de los valores que pueden pensarse puntos medios en diferentes sentidos, por tanto es importante saber si éstos coinciden, o su cercanía o variación. A este análisis se le conoce como sesgo y relaciona la media, la mediana y la moda. Sesgo. El sesgo describe la distribución de los datos, al indicar hacia dónde tienden

a concentrarse. La construcción de la gráca facilita esta apreciación al mostrar los resultados de manera visual. De esta manera, una distribución puede ser: •

Simétrica. Si la mayor concentración de datos se localiza en el centro de la

distribución. •

Sesgada a la derecha. Si la mayor concentración de datos está a la izquierda de

la distribución. distribución. •

Sesgada a la izquierda. Si la mayoría de los datos están concentrados a la

derecha. El comportamiento de las medidas de tendencia central es, a grandes rasgos, como se muestra en la gura:

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3.2 Medidas de dispersión Las medidas de dispersión son las herramientas que sirven para analizar la variación que presentan los datos. La primera de estas medidas es el rango, se explicó cómo se determina, en la construcción de la tabla de frecuencias acumuladas. Al recordar, es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor. Sin embargo, este resultado puede no representar el comportamiento real si existe uno o varios datos que varían

mucho del resto. Estos son llamados ll amados datos aberrantes o atípicos. La desviación estándar suele ser la más utilizada de las medidas de dispersión. Esta medida de dispersión permite observar qué tan centrados están los datos, con ello se puede saber si la media es una buena representación de los datos. Si la

desviación estándar es pequeña, la mayoría de los datos están cerca del promedio; y si es grande, entonces están más repartidos o dispersos. Como recordarás, en la unidad anterior se mencionó que un resultado muy importante importante en el estudio de las

distribuciones ha quedado establecido en el Teorema de Chebyshev, Chebyshev, el cual explica la desviación de las observaciones respecto a la media.

Varianza. Esta medida es un promedio del cuadrado de las distancias de todos los datos a la media, es decir, si se tienen los datos x 1 , x 2 , ... x n , la varianza es:

v =

••• + (x ( x x1 - x ) 2 + ••• (x n - x) x) 2

n

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Desviación estándar. Se dene como la raíz cuadrada de la varianza,

=

v .

En una hoja de Excel es es posible calcular la varianza y la desviación estándar haciendo uso de las funciones =VAR.P( ) y =DESVEST.P( =DESVEST.P( ) respectivamente. respectivamente. Veamos un ejemplo.

De acuerdo con los datos del INEGI en 2015 2, la esperanza de vida al nacer en años de edad de cada estado de la República Mexicana es:

Edad d En Enti tida dad d fe fede dera rati tiva va Entidad federativa Eda

Edad Ed ad

Aguascalientes

75.9

Guerrero

72.9

Quintana Roo

75.6

Baja California

74

Hidalgo

74.4

San Luis Potosí

74.7

Baja California Sur

76

Jalisco

75.5

Sinaloa

75.5

Campeche

75.2

México

75.2

Sonora

75.3

74.7

Tabasco

74.8

Coahuila de Zaragoza

2

Edad Ed ad En Enti tida dad d fe fede dera rati tiva va

75.7

Michoacán de Ocampo

Colima

75.9

Morelos

75.7

Tamaulipas

75.8

Chiapas

75.8

Nayarit

75.1

Tlaxcala

75.2

Chihuahua

72.9

Nuevo león

76.4

Distrito Federal

76.1

Oaxaca

73

Yucatán

75.5

Durango

75.6

Puebla

74.8

Zacatecas

75.3

Guanajuato

75.5

Querétaro

75.4

Veracruz de Ignacio de la llave

Promedio

Nacional

74.1

75

http://www3.i /www3.inegi.o negi.org.mx/sist rg.mx/sistemas/sisept/ emas/sisept/Default. Default.aspx?t=mde aspx?t=mdemo56&s=e mo56&s=est&c=2360 st&c=23600 0 Fuente: http:/

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Se calculará la varianza y la desviación estándar para saber qué tan lejos están están los datos en general de la media. Entidad federativa

Edad

(x i - x ) 2

Aguascalientes

75.9

0.7821

Baja California

74

1.0315

Baja California Sur

76

0.9690

Campeche

75.2

0.0340

Coahuila de Zaragoza

75.7

0.4684

Colima

75.9

0.7821

Chiapas

75.8

4.9090

Chihuahua

72.9

4.4759

Distrito Federal

76.1

1.1759

Durango

75.6

0.3415

Guanajuato

75.5

0.2346

Guerrero

72.9

4.4759

Hidalgo

74.4

0.3790

Jalisco

75.5

0.2346

México

75.2

0.0340

Michoacán de Ocampo

74.7

0.0996

Morelos

75.7

0.0071

Nayarit

75.1

0.0071

Nuevo león

76.4

1.9165

Oaxaca

73

4.0627

Puebla

74.8

0.0465

Querétaro

75.4

0.1477

Quintana Roo

75.6

0.3415

San Luis Potosí

74.7

0.0996

Sinaloa

75.5

0.2346

Sonora

75.3

0.0809

Tabasco

74.8

0.0465

Tamaulipas

75.8

0.6152

Tlaxcala

75.2

0.0340

Veracruz de Ignacio de la llave

74.1

0.8384

Yucatán

75.5

0.2346

Zacatecas

75.3

0.0809

Suma

29.6822

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De esta manera, la varianza de los datos es v = 29.6822 = 0.9276 , y la desviación 32 0.9631. Esto dice que los datos están cerca de la media, pero estándar = 0.9631

también que hay variaciones considerables en algunos de los estados.

3.3 Regresión y correlación lineal Seguramente

has notado que las personas altas suelen pesar más que las personas más bajas, y este comportamiento suele mantenerse en general. Es posible hacer un estudio estadístico para determinar si estos datos se relacionan en mayor o menor medida. Para esto, los datos se plasman en una gráfica de dispersión para luego buscar una correlación lineal entre las dos colecciones a

partir de una recta que esté cerca de todos los datos, lo mejor posible. Este método se llama de mínimos cuadrados y para medir que tan buena es la aproximación se aplica el coeficiente de correlación de Pearson , Pearson , lo cual se explicará a continuación.

Gráf ica ica de dispersión. Cuando se tienen dos colecciones de datos se establece una relación entre ellos. A cada valor de una de las colecciones le corresponde uno

o varios valores de la otra. La representación representación de esos valores relacionados relacionados como

coordenadas en

el plano es llamada gráf ica ica de dispersión.

Ejemplo.. Se construirá la gráca de dispersión con la siguiente información. Ejemplo Se tomaron las alturas de 10 hombres y de sus hijos, sus resultados son los siguientes:

Padre (m)

1.70

1.77

1.68

1.75

1.80

1.75

1.69

1.72

1.73

Hijo (m)

1.74

1.78

1.77

1.78

1.77

1.71

1.76

1.73

1.74

Al representar los datos en la gráca de dispersión, uno de los l os valores será el eje x . Por ejemplo, se podrá poner la altura de los padres como coordenada x , y la altura del hijo como coordenada y . La grá gráca ca qued quedaa de la sigu siguie ient nte e form forma: a:

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Para generar el gráco gráco anterior en Excel, basta con seleccionar los datos de la l a tabla como se presentó e insertar el gráco de tipo dispersión. Cuando se estudia la relación entre dos variables, una puede considerarse causa y la otra resultado o efecto de la primera. El supuesto de la existencia de una relación

de causalidad es sólo una decisión teórica. Dependiendo de las grácas que se obtienen, pueden verse diferentes fenómenos de relación entre las variables:

1.

Relación lineal positiva o directa. Cuando se aumentan los valores de una de las variables, la otra también aumenta.

2.

Relación lineal negativa o inversa. Cuando una de las variables aumenta y la otra disminuye.

3.

No hay relación entre las variables . Cuando las variables son independientes,

tales como el salario que obtiene una persona y su estatura (debe verse que la relación no puede establecerse de manera clara). 4.

Hay relación pero no es lineal. Esto puede ocurrir, por ejemplo, si se tienen

datos que se elevan hasta cierto punto para después bajar, y las variables se relacionan en cada uno de esos intervalos. Estos tipos de relaciones no serán estudiados en este curso, ya que requieren de una explicación teórica más profunda.

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Para analizar la relación lineal de las variables y resumir el gráco de dispersión es necesario hacer uso de la covarianza. Covarianza. Es

una medida de la asociación lineal entre dos variables. variables. Dependiendo de su valor, indica la tendencia de la relación de las variables. Se denota xy y se determina mediante la fórmula:

∑ n y - y ) i=1 (x - x ) ( y i

xy =

i

n

Se pueden observar los comportamientos: •

Si la covarianza es positiva, entonces se tiene una relación lineal positiva.

•

Si la covarianza es negativa, entonces se tiene una relación lineal negativa.

•

Si la covarianza covarianza es cero, entonces no existe relación lineal entre las variables.

Y 3 3 2 2 1 1 0 0 -1 -1 -2 -2 Y -3 Y -3 -3

-3 -2

-1

0

1

2

3

-2

-1

1

0

2

3

X

X

X

positiva

negativa

cero

Con la lista de los datos es posible calcular la covarianza en Excel por por medio de la función es igual a =COVARIANCE.P( ). Siguiendo con el ejemplo, ya sea con la resolución de las operaciones o con ayuda de la función en Excel , el gráco de dispersión es xy =0.00078. Al ser positiva se obtiene lo que se veía en la gráca, una relación lineal positiva. Entonces la covarianza indica el tipo de correlación lineal, pero no da información sobre qué tan fuerte es tal relación. Para ello se hace uso del coeciente de correlación. Coefciente de correlación.

Es usado para medir la fuerza de la relación lineal entre dos variables. Se denota por r , y tamb tambié ién n se cono conoce ce como como coe coeci cien ente te de corr correl elac ació ión n de Pearson. Y la manera de calcularlo es:

r =

xy x

y

26/34


Donde xy es la covarianza, en tanto que x1, y , son son las las vari varianz anzas as de los dos diferentes tipos de datos. El valor del coeciente de correlación oscila entre -1 y +1. Según su valor se puede armar: •

Si r =0 no hay correlación lineal entre las variables (puede ser de otro tipo).

•

Si r =1 existe correlación lineal positiva perfecta.

•

Si 0
•

Si r =−1 existe correlación lineal negativa perfecta.

•

Si −1< r <0 existe correlación lineal negativa y es más fuerte en la medida en que el valor se acerca a 1.

La gura siguiente muestra de forma general el posible comportamiento de la gráca de dispersión según su coeciente de correlación:

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Hasta ahora, en Excel e xiste una función que permite calcular este coeciente y sólo necesita de la lista de los datos de cada variable por separado. Esta función es

=COEF.DE.CORREL(datos x, datos y). Para el ejemplo de las alturas de padres e hijos puede calcularse la desviación estándar de las dos variables, teniendo:

x = 0.0358,

r =

xy x

y

y = 0.00241,

xy = 0.00078

= 0.9053

Con lo cual existe una correlación lineal positiva y fuerte. Si se quiere estudiar que la variable se ve como la dependencia entre las variables x y y , de manera que dependiente de la variable x . Para realizar ese estudio es posible estimar o pronosticar la relación de causalidad, siendo necesario un valor que determine si la variable x es buena para explicar estadísticamente la variable y . Así, esta medida es conocida como coeficiente de determinación.

Coeciente de determinación. Se representa por r 2 , y de hecho es el cuadrado

del coeciente de correlación. Sus valores van de 0 a 1; mientras la variable x

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esté más próxima a 1, es mejor para explicar a y . Por otro lado, si el coeciente de determinación es cercano a 0, entonces el valor de x no no afecta de manera importante el comportamiento de la variable y . Es posi posibl ble e dete determ rmin inar ar este este coe coeci cien ente te directamente en Excel elevando al cuadrado el coeciente de correlación. En el caso del ejemplo de la estatura de padres e hijos, el coeciente de determinación es r 2 =0.8195. De esta manera, se puede decir que existe una relación signicativa que hace que la altura del padre sea factor determinante de la estatura de los hijos. Este resultado dice que, en efecto, la gráca de dispersión se comporta muy parecido a una recta de manera muy fuerte: ¿cómo se traza esta recta? En el caso de apoyarse totalmente en Excel o similares, existe una forma de ajustar automáticamente la recta que mejor se aproxima a los datos: una vez creada la gráca de dispersión y teniéndolo seleccionado en la pestaña de “Diseño”, se toma la opción “Agregar elemento de gráco” y luego seleccionas “Línea de tendencia” y eliges la opción deseada. El ajuste lineal al ejemplo de las alturas resulta:

Esto es claro con toda la ayuda de Excel . Sin embargo, es posible aproximar la recta que ajusta mejor a los datos. Este proceso es conocido como regresión lineal. En general, la teoría de regresión universal permite hacer predicciones basándose en la dependencia de datos pasados de las variables y es de gran importancia en la estadística. En este curso se considerará solo el tipo de regresión lineal simple, por medio de los métodos de regresión lineal por covarianza y regresión lineal por el método de mínimos cuadrados.

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Regresión lineal por covarianza . La regresión lineal permite defnir la recta que

mejor se ajusta a la nube de puntos. La ecuación que defne cualquier recta es y = = ax + + b ; por lo tanto, es necesario determinar los valores de a y y b para que la recta quede completamente defnida, los valores que se deben tomar son: •

a es la pendiente de la recta. La manera de calcularlo es dividiendo la covarianza de las dos variables entre la desviación estándar de x al al cuadrado, es decir:

•

b es llamada la ordenada al origen, es decir, el valor que toma la recta cuando x=0 . Se calcula como la media de la variable y menos la media de la variable x

multiplicada por a .

b= y - ax Regresando al ejemplo que se tenía sobre estaturas, la pendiente de la recta y la ordenada al origen están dadas por:

0.00078 0.0358^2

= 0.6094,

=1.75 - 0.6094(1.73)=0.6958

0.6094 + 0.6958 0.6958, Entonces, la ecuación de la recta que se ajusta a los datos es y = 0.6094 quedando la gráfca:

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En la aplicación del programa Excel la la regresión lineal es la misma que la que se calculó arriba. Su uso, como te puedes dar cuenta, facilita mucho el análisis estadístico. Ahora bien, el siguiente método para ajustar un conjunto de datos es de los más empleados en varias áreas de la matemática. Este es el método de mínimos cuadrados. Método de mínimos cuadrados .

Para este curso se mencionará sólo este método, ya que sus expresiones son un poco más complicadas de entender. Sin embargo, los programas como Excel y y uno especializado llamado R , usan este método para ajustar los datos. El método lo que hace es considerar que y = f (x) . En otras palabras, existe una relación de causalidad entre las variables, donde la función de la recta es la que mejor ajusta los datos. El siguiente paso consiste en establecer que para cada x i se determina el error ( e ) entre la aproximación f (x ) y el valor de la i variable y i esto es:

e i = y i - f (x i )

Entonces, lo que se busca es minimizar el valor de la suma del cuadrado de todos esos errores ( e i ):

n

∑e 2 i i =o

De ahí, se deriva su nombre, mínimos cuadrados. En general, si los valores del coeciente de determinación son cercanos a 1, ambos métodos arrojarán resultados similares. La importancia de tener la regresión lineal es para poder estimar los valores de una de las variables, sabiendo que hay cierta relación entre ellas. Una vez más recurriendo al ejemplo de estaturas, si se quisiera estimar la altura de un hombre sabiendo que su padre mide 1.60 m, se puede evaluar en la recta, por lo tanto: y = 0.6094(1.60) + 0.6958 = 1.67084 . Esta puede ser una buena estimación a un valor experimental. Las aplicaciones de este proceso son muy variadas. Por ejemplo, en economía y nanzas se buscan relaciones entre el índice de precios y las cotizaciones en la bolsa o el precio del petróleo y el oro, etcétera, con el n de predecir cuál podría ser el valor en un futuro. Sin embargo, los procesos en esta área en general suelen ser más complejos porque intervienen muchos factores, por lo que una relación lineal rara vez ocurre y es necesario establecer relaciones de otro tipo. Pero se trata de procedimientos similares con la misma idea de la regresión lineal detrás de ellos.

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Para resumir este tema, se expuso que hay métodos y herramientas de análisis estadístico de aplicación en la vida cotidiana. Por ejemplo, ¿cuántas veces has calculado tu rendimiento escolar valiéndote del promedio de tus

calicaciones? Ahora te puedes dar cuenta de que con la incorporación de recursos estadísticos, se puede ser más

preciso en el análisis de la información. Aún mejor, ahora existen herramientas como las hojas de cálculo, Excel , con las que se puede acceder más fácil y rápido, por ejemplo, al cálculo de medidas de tendencia central y, aún más sosticado, al análisis de dispersión, por mencionar algunos.

Cierre El conocimiento no por ser riguroso es necesariamente árido, podría ser el epílogo

de esta unidad. Se ha visto que el rigor cientíco proporcionado por la estadística y la probabilidad, si bien tienen dicultades de comprensión, además de demandar tiempo de estudio, también tienen un lado amable y una expresión sencilla.

Hay conceptos que no son accesibles en un primer momento, pero cuando se representan de manera gráca aparece la argumentación de rápida comprensión. Además de haber profundizado más en el análisis estadístico y probabilístico, así como el de varianza y desviación estándar, también se estudió que si muchos de esos conceptos se representan de manera gráca, se convierte en argumentos fáciles y de rápida transmisión. Ello no evita que cuando se consulten referencias estadísticas, se cuestione cuál

fue el método de muestreo, el objetivo, o bjetivo, la representatividad de la muestra u otros conceptos que aprendiste en este módulo para formarte una idea clara del rigor

con el que te ofrecen una argumentación “cientícamente comprobada”.

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Contenido en extenso - Unidad 2 - Módulo 17 - Prepa en línea - SEP

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