CONJUNTO DE CEROS, POSITIVI DAD Y NEGATIVIDAD
ANÁLISIS MATEMÁTICO I – Prof. Gabriel Gabriel A. Leon
Los o las de una función función son los puntos de intersección intersección entre la gráfica gráfica de la función con co n el eje de abscisas (eje ).
Ejemplo:
Hallar las raíces de la curva del siguiente gráfico.
Las raíces raíces de esta función función son los cortes con co n el eje de abscisas abscisas.. Por lo tanto, el conjunto conjunto de ceros es:
= {1 {1;; 0; 1; 2; 3}
Para calcular c alcular analíticament analític amentee este e ste conjunto, conjunto, , porque al ser los puntos de corte c orte con el eje , son de la forma , o sea su coordenada coord enada en el eje es cero.
;0
Una función función puede tener uno, dos, infinitos o ningún ningún cero. Éstos determinan el conjunto conjunto de ceros. Ejemplo 1:
Hallar los ceros de
= 3 3 2 2
3 2 = 0 3 = 2 = −− = Por lo tanto, el conjunto conjunto de ceros es:
Ejemplo 2:
Hallar los ceros de
1 = 0 = 1 √ = √ 1 1 || = √1
=
= 1 por propiedad propiedad de módulo módulo
Esta ecuación no tiene tie ne solución en los números reales, por lo tanto:
= ∅
1
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Ejemplo 3:
Hallar los ceros de
= 2 2 6
4 3 3 = 0 Como se trata de una ecuación de segundo grado, aplicamos fórmula resolvente:
4.1.3 4 ±4 , = 2.1 1 612 , = 4 ± √ 1612 2 , = 4 ±2√ 4 , = 4 ±2 2 = + = − = = = 3 = 1 Por lo tanto, el conjunto conjunto de ceros es: = {1;3} Ejemplo 4:
Hallar los ceros de
= 2 √ 9
2 √ 9 = 0 √ √ 9 = 2 (√ 9) = 2 9 = 4 = 4 9 = 13 Por lo tanto, el conjunto conjunto de ceros es:
elevamos ele vamos al al cuadrado en ambos miembros miembros
= {13}
2
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Ejemplo 5:
Hallar los ceros de
= 2 25
25 = 0 25 25 = 0 = 0
extraigo factor común
por ser un producto, pro ducto, los factores pueden ser cero
2 25 = 0 = 25 por propied prop iedad ad del módulo √ = √ 25 25 || = 5 por definición definic ión de módulo = 5 = 5 = {5;0; {5;0;5}5} Entonces, el conjunto c onjunto de ceros es: Ejemplo 6:
Hallar los ceros de
ln 3 1 = 0 ln 3 = 1 = 3 3 3 =
= ln 3 1 1 aplico definició defini ción n de logaritmo
Por lo tanto, el conjunto conjunto de ceros es:
Ejemplo 7:
Hallar los ceros de
= { { 3}3}
= 3− 3 3
3− 3 = 0 3− = 3 3− = 3 3− = 3 2 2 1. 1. 3 = 1 2 2 1.1 = 1 2 1 = 1 2 = 1 1 = = 1 Por lo tanto, el conjunto conjunto de ceros es:
aplico logaritmo logarit mo de base 3 en ambos ambos miembros por propieda pro piedadd de logaritmo por propieda pro piedadd de logaritmo
= {1}
3
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El cero, es decir:
es el intervalo o unión de intervalos i ntervalos donde d onde la l a imagen de la función funció n es mayor a . Gráficamente se interpreta cuando la función está trazada sobre el eje .
> 0
El
, sin embargo, es cuando Ejemplo:
< 0, es decir la gráfica está por debajo debajo del eje .
Analizar la curva del siguiente gráfico. gráfico.
¿Qué valores de debe d ebe tomar la función función para p ara que sea positiva?
+ = 3;1 ∪1;∞ ¿Qué valores de debe d ebe tomar la función función para p ara que sea negativa?
− = ∞;3 ∞;3 ∪ 1 1; 1 Para calcular calc ular estos conjunto c onjuntoss analíticamente, analíticamente, existen
Mediante el planteo p lanteo de una Ejemplo 1:
de hacerlo hacer lo::
, utili zando las definicion defi niciones es antes mencionadas. mencionadas.
Hallar el conjunto de negatividad de
= 16 16
Como nos pide pi de el conjunto de negatividad, negatividad, por definición, nos pide
16 < 0 < 16 √ < √ 16 16 || || < 4 4 < < 4
aplico propie pro piedad dad del módulo aplico propie pro piedad dad del menor del módulo
Por lo tanto, el conjunto c onjunto de negatividad es: Ejemplo 2:
< 0
− = 4;4
= −+ −
Hallar el conjunto de positividad de
−+ > 0 −
Como es un cociente de dos expresiones e xpresiones que necesitamos necesitamos que que sea positivo, mediante mediante la regla de signos, ambas expresiones son positivas, o ambas son negativas.
2 1 > 0 ∩ 4 > 0 ∪ 2 2 1 < 0 ∩ 4 < 0 < ∩ > 4 ∪ > ∩ < 4 Resuelvo la intersección de intervalos y luego la unión, se obtiene ; 4 Por lo tanto, el conjunto c onjunto de positividad es: + = ; 4
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Mediante el . Considerando el dominio de la función y los ceros, se arma una tabla armando intervalos inte rvalos cuyos extremos son los ceros cer os y/o los puntos p untos que que no pertenecen pe rtenecen al dominio. dominio. Se toma valores que que pertenezca perte nezcan n a dichos intervalos para conocer el signo de la imagen imagen en dicho di cho intervalo. Ejemplo 1:
= 3 3 4
Hallar el conjunto de positividad y de negatividad de
Primero calculamos los ceros de .
3 4 4 = 0 Como se trata tr ata de una cuadrática, cuadrátic a, aplicamos resolvente resolvente::
−..− −−±− , = . , = ±√ = + = −
= 4
= 1
Calculamos Calculamos el dominio de , por ser una función cuadrática cuadrática son todos todo s los números reales.
= ℝ
Armamos una tabla formando formando intervalos inte rvalos cuyos extremos extr emos son los ceros cer os de .
∞;1 1 1;4 4 4;∞ 0 0 Tomamos valore valoress que pertenezcan a los intervalos inter valos para conocer el e l signo de su imagen.
2 = 2 3.3. 2 2 4 4 2 = 4 6 4 2 = 6 > 0 0 ∈ 1; 1;4 4 0 = 0 3 3.0 0 4 0 = 4 < 0 5 ∈ 4;∞ 5 = 5 3 3.5 5 4 5 = 25 25 1 15 4 5 = 6 > 0 ∞;1 1 1;4 4 4;∞ 0 0
2 ∈ ∞;1
Completamos Comple tamos el cuadro, y concluimos que:
+ = ∞; ∞;1∪ 1 ∪ 4; 4; ∞ − = 1;4
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Ejemplo 2:
Hallar el conjunto de negatividad de
= ln2 4 4
ln2 4 = 0 = 2 4 1 = 2 2 4 1 4 = 2 = Calculo el dominio do minio de , recordando reco rdando que el argumento debe ser mayor a cero. cero . 2 4 > 0 2 > 4 > > 2 ⇒ = 2; 2; ∞
Calculo los ceros de .
Considerand Conside randoo los lo s datos datos anterior anter iores, es, armo armo la tabla.
2; 5 5 5 ; ∞ 2 2 2 0 Tomo valores valore s que pertenezcan a los intervalos inter valos formados. formados.
∈ 2;
3 ∈ ;∞
= ln2. 4 4 = ln ln ≈ 1,609 < 0 3 = ln2.3 4 3 = ln2 3 ≈ 0,693 > 0 2; 5 5 5 ; ∞ 2 2 20
Por lo tanto, el conjunto de negatividad es:
− = 2;
6
