55
s4
+
6s 2
+
20ss 20
=
s(s3
+
6s
+
20)
0 se obtienen por división sin-
=
tética:
−2 4 −20 − 2 1 −2 10 10 0 cuyas raíces del denominador de Y (s) son r son r 1 = 0, 0, r r 2 = 2, 2, r r 3 por lo que su respuesta en tiempo se obtiene de Y ( s) =
15 s 4 + 6 s 2 + 20 20 s
=
A s
+
B s+2
+
=
1
+
3 j y r y r 4 = 1 3 j ,
C s + D s 2 − 2 s + 10
∴ y (t ) = A + B e − 2 t + e t (C cos 3t + D sen 3t ) El término e t [C cos (3 (3t t ) + D sen (3 (3t t )] )] corresponde a una senoide con envolvente exponencial creciente, lo que hace que y(∞) sea una indeterminación. Por lo tanto, resultado del TVF no es válido.
en diferentes campos de la transformada de Laplace.
2.8.1 roots determina roots determina las raíces de polinomios de grado n (tabla 2.4). roots.. roots Función
( p) p)
Ejemplo
Si p es Si p es un vector fila con los coeficientes del polinomio p polinomio p((s), roots(( p) roots p) es un vector columna con las raíces del polinomio p((s). p
Polinomio: s + 10 s2 + 15 s + 20 3
EJEMPLO 2.18
( )=
s+4 s 3 + 6 s 2 + 17 s + 13
Ejecución
p = [1 10 15 20] r = roots roots(( p) p) r = 8.5141 0.7429 + 1.3406j 0.7429 1.3406j
56
>> % Obtención de los ceros y polos de G (s) >> % Definición del numerador como vector fila: >> num = [1 4]; >> % Definición del denominador como vector fila >> den = [1 6 17 13]; >> % Obtención de la raíz del numerador o “cero” >> z = roots(num) z = 4 >> % Obtención de las raíces del denominador o “polos” >> p >> p = roots roots((den den)) p = 1.1312 2.4344+2.3593 j 2.43442.3593 j
poly obtiene poly obtiene el polinomio de las raíces dadas (tabla 2.5). poly .
( p) p)
Función
Ejemplo
Si r es es un vector columna que contiene las raíces de un polinomio, poly polinomio, poly((r ) es un vector fila con los coeficientes del polinomio.
raíces:
1, 2, 3
Ejecución
r = [1; 2; 3] p = poly poly((r ) [1 6 11 6]
EJEMPLO 2.19
+
3 j j y y r 4
=
1.5 3 j.
r 1 = 0.5, 0.5, r r 2 = 2, 2, r r 3 = 1.5
Solución:
>> % Obtención del polinomio asociado a las raíces r1, r2, r3 y r4. >> % Definición de las raíces como vector columna >> r = [0.5; 2; 1.5+3j; 1.53j]; p = poly poly((r ) 1.0000 5.5000 19.7500 31.1250 11.2500 lo que equivale al polinomio de grado 4: s 4 + 5.5 s 3 + 19.75 s 2 + 31. 125 s + 11. 25
57
conv lleva lleva a cabo el producto de funciones representadas en el dominio s (tabla 2.6).
conv . Función
Ejemplo
Producto de funciones en el dominio s.
Ejecución
n(s) = (s2 + 8 s + 2)( 2)(ss + 3)
p = [1 8 2]; q = [1 3]; n = conv(p,q) = [1 11 26 6]
EJEMPLO 2.20
( )=
s 2 + 6 s + 15 ( s + 4 )( s 2 + 2 s + 5)
como un polinomio de grado 3, multiplicando (convolución) los polinomios del denominador. Solución:
>> % El producto de ( s + 4 )(s ^ 2 + 2 s + 5) corresponde a >> % la convolución: >> den = conv([1 4],[1 2 5]) den = 1 6 13 20
EJEMPLO 2.21
s + 2)(3 2)(3ss + 5)( 5)(ss2
+
2s
+
10).
Solución:
>> % La convolución de (s + 2)(3s + 5)(s^2 + 2s + 10) se lleva a cabo: >> p = conv(conv([1 conv(conv([1 2],[3 5]),[1 2 10]) p= 3 17 62 130 100 Lo que corresponde a: 3s 4 + 17 s 3 + 62 s 2 + 130 s + 100
58
printsys representa printsys representa como función racional en s a la relación de polinomios numerador/denominador (tabla numerador/denominador (tabla 2.7). printsys. printsys. Función
Presentación de numerador / denominador en forma de cocientes en s.
(n,d )
Ejemplo
Ejecución
n(s) = s2 + 3s + 2 d (s) = s3 + 3 3ss2 + 4 4ss + 12
num = [1 3 2]; den = [1 3 4 12]; printsys(num,den) printsys (num,den) s^2 + 3 s + 2 ---------------------s^3 + 3 s^2 + 4 s + 12
EJEMPLO 2.22
( )=
s 2 + 6 s + 15 ( s + 4 )( s 2 + 2 s + 5)
como una relación de polinomios en s.
Solución:
>> % H(s) = ( s ^ 2 + 6 s + 15) / ( s + 4 )( s ^ 2 + 2 s + 5) >> num = [1 6 15]; >> den = conv([1 4],[1 2 5]) den = 1 6 13 20 >> printsys >> printsys(num,den) (num,den) num/den = s^2 + 6 s + 15 ---------------------- s^3 + 6 s^2 + 13 s + 20
2.8.5
s
pzmap efectúa la representación gráfica de polos y ceros en el plano s de una pzmap efectúa función racional previamente definida. pzmap.. pzmap
(n,d)
Función
Ejemplo
Ejecución
Gráfica de polos y ceros en el plano s de n(s)/ p p((s).
num = s2 4 4ss + 20 den = (s2 + 2 2ss + 10)( 10)(ss + 5)
num = [1 4 20]; den = conv([1 2 10], [1 5]); pzmap(num,den) pzmap (num,den)
59
EJEMPLO 2.23
ca en el plano s de los polos y ceros de: G ( s) =
s 2 − 4 s + 20 ( s + 5)( s 2 + 2 s + 10 10)
Solución:
>> num = [1 4 20]; den = conv([1 2 10],[1 5]); >> printsys(num,de pr intsys(num,den) n) num/den = s^2 4 s + 20 ---------------------- s^3 + 7 s^2 + 20 s + 50 >> numraices=roots(num) numraices = 2.0000 + 4.0000i 2.0000 4.0000i >> denraices=roots(den) denraices = 5.0000 1.0000 + 3.0000i 1.0000 3.0000i >> pzmap(num,den), >> % Personalización de coordenadas >> axis([6 3 5 5]) % ([Xmin Xmax Ymin Ymax]) ])
La figura 2.14 muestra muestra la represen representación tación gráfica de los polos y ceros de G (s).
5
ceros del ejemplo 2.23.
4 3
x
2
s 1 i x A0 g a m 1 I
x
2 3
x
4 5 6 5 4 3 2 1
Real Axis
0
1
2
3
