CONDUCCION BIDIMENSIONAL ESTACIONARIA 1. Método Analítico 2. Método de los Factores de Forma 3. Métodos Numéricos Ecuación de Difusión +4 Condiciones de Borde. 2
T
x
2
2
T
y
2
0
1. Método Analítico. Solución de limitados problemas. Se desarrollará un ejemplo con el Método de Separación de Variables Conducción en una barra rectangular de largo L y alto W. Con conductividad térmica k, y sometida a temperaturas diferentes pero conocidas en sus caras
GEOMETRIA
ECUACION
T T 1
(0, y )
0
T 2
( L, y )
0
T 1
2
2
x 2
y 2
2
1 d X
Separación de Variables:
X dx 2 ( x, y )
X ( x)Y ( y )
d 2 X dx d 2Y
X
dy Solución:
2
Y
2
( x,0)
0
( x,W ) 2
1 d Y
Y dy 2 2
2
2>0
CONDICIONES DE BORDE
0 0
X
a cos( x) bsen( x)
Y
ce
y
de
y
0 1
[a cos( x)
y
bsen ( x)][ce
Como (0,y)=0 entonces a=0. Además
(x,0)=0:
bsen ( x )(c Lo que se satisface solo si : c=-d. Si aplicamos la condición de borde:
y de ]
d )
0
(L,y)=0:
(bd ) sen( L)(e
y
e
y
)
0
Se satisface solo si: sen( L)=0 :
n
n 1,2,3,...
L
Por lo que la solución es:
( x, y )
cn sen(
n x L
) senh(
n y L
)
Como el problema es lineal:
( x, y ) n 1
cn sen(
n x L
) senh(
n y L
)
Para determinar cn usamos la condición de borde No homogenea:
( x,W )
1 n 1
cn sen(
n x L
) senh(
n y L
)
Funciones Ortogonales Se dice que una serie de funciones g1(x), g2(x), g3(x),........., g n(x) son ortogonales en un dominio a x b si: b g m ( x) g n ( x)dx 0 m n a
Muchas funciones exhiben ortogonalidad como por ejemplo: sen(n x/L) y el cos(n x/L) entre 0
f ( x ) n 1
An g n ( x )
Los coeficientes An se determinan: b b
f ( x)g n ( x )dx a
g n ( x ) An g n ( x )dx n 1
a
b
An
a b
g n2 ( x ) dx
An a
2
g n ( x) dx
b
f ( x)g n ( x )dx a
f ( x) g n ( x ) dx
b
a
Cual será f(x) en este caso, y cual la función ortogonal?
f(x)=1
gn(x)= sen(n x/L) L
sen( 0
An
sen 2 (
n x L n x L
2 ( 1)
1 n 1
cn
)dx
n 1
2 ( 1) [ n
) dx
n 1
n 2[( 1)
1
sen(
n 1
n x L
)
1]
(n ) senh ( n W L )
Finalmente el campo de temperatura será:
( x, y )
2
( 1) n 1
n 1
n
n x senh(n y L) 1 sen( ) L senh( n W L)
1 ]
METODO DEL FACTOR DE FORMA Se ha obtenido soluciones analíticas Para una serie de casos de conducción bidimensional.
Q
Sk T
Rcond .2 D
1
Sk
El problema de este método, es que si cambia la Geometría, se debe encontrar El nuevo S, lo que puede ser No trivial.
METODO DE DIFERENCIAS FINITAS Se determina solo T(m,n) en forma discreta. Tamaño de la malla: x y En el centro de cada nodo está la temperatura T(m,n). Las primeras derivadas se aproximan suponiendo perfil lineal,como:
T m ,n
T x
x
m 1 / 2 , n
T m 1,n
T x
T m 1,n
m 1 / 2 , n
T m ,n x
Las segundas derivadas se calculan entonces como:
T x m 1 / 2 ,n
2
T
x
2
T m 1,n
T
x 2 Análogamente según y:
x
m ,n
2
m ,n
y
T m ,n m , n 1 / 2
y
2T m ,n
T m ,n 1 y
T m ,n 1 T m ,n
T m , n 1 / 2
y
T y m ,n 1 / 2
2
T
y 2
T m 1,n x 2
T
T m ,n 1
T m ,n
T y m ,n 1 / 2 y
m ,n
2
y 2
T x m 1 / 2 ,n
T m ,n 1 y 2
2T m ,n
Entonces la Ecuación diferencial de difusión se transforma en una ecuación algebraica, que en el caso de x= y:
T m ,n 1 T m ,n 1 T m 1,n
T m 1,n
4T m ,n
0
Se obtienen nxm Ecuaciones algebraicas para los Nodos interiores. Para obtener las condiciones de borde, es bueno hacer un
BALANCE DE ENERGIA Se supone que todos los flujos de calor son hacia el Volumen de Control, ya que el sentido del flujo es desconocido. El campo resultante de temperatura indicará los sentidos finales. .
.
E entra E generada
0
Si no se genera calor: 4
i 1
Q( i )
( m ,n )
0
Balance de calor hacia el nodo (m.n) en caso de esquina:
Q( m 1,n ) Q( m ,n 1) Q( m 1,n ) Q( m ,n 1)
k ( y 1)
( m ,n )
k ( x 1)
( m ,n )
y
k (
( m ,n )
2
x
k (
( m ,n )
2
T m 1,n x
T m ,n 1 T m ,n
1) 1)
T m ,n
y T m 1,n
T m ,n x
T m ,n 1 T m ,n y
Las condiciones en el nodo (m,n) también son influenciadas por el exterior:
Q(
)
( m ,n )
h(
x 2
1)(T
T m ,n ) h(
y 2
1)(T
T m ,n )
Así:
T m 1,n
T m ,n 1
1 2
(T m 1,n
T m ,n 1 )
h x k
T
(3
h x k
)T m ,n
0
SOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES La discretización del sistema en campos T(m,n) resulta en un sistema de ecuaciones algebraicos de MxN elementos:
an ,1T n ,1
an , 2T n , 2
an , 3T n , 3
........ an , M T n , M
C n
La manera más rápida de resolver este sistema de ecuaciones es a través del algorítmo iterativo Gauss-Seidel:
T n ,n
C n
m n 1
an ,m
an ,n
m 1
an , n
K
T n ,m
K
m M
an ,m
m n 1
an , n
T n ,m
K 1
Esto se aplica a las N ecuaciones en forma iterativa. K es el número de iteraciones. Se controla convergencia con:
T nK ,m
T nK ,m 1
