Ecuación Bidimensional del Calor Henry Arias
[email protected] , Tania Torres
[email protected] Vinicio Llanos vllanosf @est.ups.edu.ec @est.ups.edu.ec , Patricio Sumba
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II. MARCO TEÓRICO n – En este documento se presenta una breve Resume descripción sobre las ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales parciales, con su respectivo nombre y formulación, posteriormente se ECUACIÓN BIDIMENSIONAL DEL CALOR profundizará sobre el estudio de una ecuación ecuación en particular, que es la ecuación del calor bidimensional de estado estable. Se planteara un ejercicio, se lo resolverá analíticamente y luego se La Ecuación del Calor es apropiada para el abordaje de una procederá a modelarlo en el software matemático Matlab, para Matemática Aplicada al contexto de carreras de Ingeniería corroborar nuestros resultados. pues involucra conceptos inherentes a disciplinas como Física y Termodinámica. [4] Ín di ces – laplaci ano, Elíptica, Hi perbóli perbóli ca, Di ri cheft, Bi dimensional E cuacion es Parci ales, ales, Ecuación de de Calor .
La ecuación del calor es un modelo matemático (quizás el más sencillo) que trata de describir la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido. [4]
I. I NTRODUCCIÓN Las Ecuaciones diferenciales Parciales de segundo orden de distribución del calor de una placa dos variables independientes se clasifican como elí el ípti pt i cas, ca s, Si queremos estudiar la distribución plana, entonces hay que resolver la ecuación del calor parabólicas e hiperbólicas . En general, las EDP solo implican derivadas parciales respecto a las variables espaciales y por bidimensional. [2] tanto, las soluciones de esas ecuaciones solo se determinan por las condiciones de frontera. [1] Las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas involucran derivadas parciales respecto a las variables espaciales así como el tiempo, por lo que las soluciones de esas ecuaciones generalmente se determinan a partir de las condiciones condiciones de frontera e iniciales. [1] Una solución de una EDP elíptica elíptica (tal como como la ecuación ecuación de Laplace) puede describir un sistema físico cuyo estado está en equilibrio (estado estable), por ejemplo la ecuación del calor puede, describir un estado difucional, mientras que una EDP hiperbólica, por ejemplo la ecuación de la onda, puede describir un estado vibracional. [1] Ecuación
Nombre
Tipo
Laplace
Elíptica
Onda
Hiperbólica
El Laplaciano de la función T, es la suma de las segundas derivadas parciales de dos dimensiones de la función T con respecto a x e y es: [3]
Parabólica
Helmholtz
Elíptica
Tabl a 1.- cuadro compar ativo de los dif erentes tipos de ecuacion ecuacion es con su respectivo respectivo nom bre y tipo.
Ahora procederemos a reemplazar el Laplaciano en la ecuación original, quedándonos así la ecuación del calor Bidimensional. [3]
Donde T(x, y, t) es una función que depende del tiempo t ≥ 0 y de dos variables espaciales x e y que se mueven en una región del plano R, definida por la forma de la placa. [2]
Difusión
La constante (difusión térmica) es el resultado de la división de la la conductividad conductividad térmica K con respecto a la densidad del material (masa por unidad de volumen), con el calor especifico c (por unidad de masa). [3]
En esta sección centraremos nuestra atención en la situación estacionaria, donde la temperatura T no no varía con el tiempo, de
modo que es una función solo de x e y. Así, nos interesa la temperatura estacionaria de la placa. En este caso, de modo que la ecuación (3) se convierte en la ecuación bidi mension al de L aplace. [3]
Esta importante ecuación diferencial parcial conoce como la ecuación de potenci al . [3]
también se
necesita de tres condiciones de frontera homogénea, mientras la cuarta condición no debe ser homogénea. [2] III. DESARROLLO DEL EJERCICIO
Encontrar la solución de transmisión de calor de una placa cuadrada, cuyas dimensiones son 1m por cada lado, está sometida en sus bordes a una temperatura de 0°, excepto en el tramo donde esta sometida a una temperatura
PROBLEMAS DE DIRICHLET Determinaremos una solución de la ecuación particular de la ecuación de Laplace en una región plana acotada R mediante las condiciones adecuadas de frontera, para determinar la temperatura estacionaria en una placa con valores asignados en la frontera, debemos resolver el problema con valores en la frontera. [3]
Para determinar una solución de la ecuación de Laplace es una región R con valores dados en la frontera, se llama Problemas de Di ri chlet. Se sabe que si la curva frontera C y la función de valores en la frontera f se comportan relativamente bien, entonces existe una única solución del problema de Dirichlet (6), (7). [3]
En la siguiente grafica (Fig.1) se muestra una placa rectangular con los valores indicados en la frontera a lo largo de sus cuatro aristas, indicando el problema de Dirichlet. [3]
F ig. 2.-Gr afi ca de la pl aca, con las dimensiones especifi cadas en el probl ema y sometidas a dif erentes temperatur as a cada lado.
Solución: Para la resolución de esta ecuación diferencial parcial utilizaremos el método de series finitas.
Dónde:
Por lo tanto:
Como el ejercicio es de estado estacionario, quiere decir que ya ha pasado mucho tiempo, ya no existe cambio temporal, por ende la función nos queda.
Fi g. 1.- Placa rectangular con todos los valores de front era Especificados.
Para resolver la ecuación diferencial parcial por el método de variables separables y obtener su solución particular, se
ecuacion de laplace.
y reemplazamos en nuestra
Asumimos que la ecuación de Laplace.
Al derivar (x, y) nos quedaría:
Para que se cumpla la igualdad estas deben ser constantes:
Dónde:
Procedemos a despejar:
√ √
( ) ( ) Para que se cumpla esta igualdad debe ser igual a cero: ()( ) ()( ) Condición 2 de Diricheft Para todo ( )
Para que se cumpla esta igualdad, sen(n)=0; pero n no puede ser cero porque si no, no tenemos solución, pero sabemos que
Condición 3 de Diricheft para toda X () Para que se cumpla, debe ser igual a 0 Ultima condición de Frontera:
Para todo Para que la igualdad se cumpla:
m=1
Respuesta: Con esta ecuación de temperatura, procedemos a reemplazar la primera condición de frontera: Ahora procederemos a modelar nuestra Respuesta en el Para software matemático Matlab. Dónde:
Aquí está el código implementado en el software matemático Matlab, con el que se procedió a realizar las diferentes gráficas, que denotaron la solucion de nuestro ejercicio. CODI GO M ATLAB % Programa para graficar la solucion del ejercicio de ecuacion bidimensional del calor de una placa Cuadrada % Henry Arias, Tania Torres, Vinicio Llanos, Patricio Sumba
Fi g. 3.-Grafi ca de la solución de la temperatur a de la placa vista como un solido
x=0:0.01:1; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); T=(1/sinh(pi))*sin(pi*X).*sinh(pi*Y); surf(X,Y,T) surf(X,Y,T);view(2) surf(X,Y,T);view(2);colorbar title('Solucion de la transferencia de Calor en una Placa vista como un Plano') xlabel('coordenada x') ylabel('coordenada y')
IV. CONCLUSIONES 1.- La ecuación de calor bidimensional, es muy importante ya que con ella se puede modelar como es el comportamiento de un sólido o una superficie que es sometida a ciertas temperaturas, obteniendo así una aproximación con la realidad.
Fi g. 4.-Grafi ca de la solución de la temperatur a en la placa, vista de fr ente repr esentada en l os ejes x eh y
2.- La solución del ejercicio planteado fue simulado en el software Matlab, quien nos mostró graficas de lo que está sucediendo en la placa del ejercicio, muy parecidas a lo que se planteó en el problema, demostrando así que nuestro cálculo es correcto. 3.- Las Ecuaciones Diferenciales Parciales, son muy importantes en el estudio de ingeniería, ya que estas nos permiten obtener un modelado matemático más exacto de lo que ocurre ya sea en un circuito eléctrico o en algún fenómeno físico. V. R EFERENCIAS [1] Dennis G. Zill.; Michael R. Cullen, “ Ecuaciones Diferenciales, problemas con valores en la frontera” Séptima Edición. [2] J. Jones. (1991, May 10). Networks. (2nd ed.) [Online]. Disponible: http://www.atm.com [3] Henry Edwards; David Penney “Ecuaciones Diferenciales” Segunda Edición. [4] M. Braun; “Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones” Primera Edición.
Fi g. 5.- Grafi ca de la solución de la temperatur a en la placa, con una barr a repr esentativa de las int ensidades de la temperatu ra en l a placa en toda su altura
