CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL
Aunque muchos problemas en la práctica se pueden aproximar como si fueran unidimensionales, a veces se necesita considerar la transferencia de calor en otras direcciones, cuando el gradiente de temperatura es signicativo. Analizando el caso más general de ujo de calor bidimensional, suponiendo que la 2
conductividad térmica es constante, la ecuacin aplicable es
2
∂ T ∂ T + =0 2 2 !"."#. ∂x ∂ y
$a solucin a la misma puede obtenerse mediante técnicas anal%ticas, numéricas o grácas. $a solucin a la ecuacin anterior proporciona la temperatura en dicho cuerpo en funcin de las coordenadas independientes x e &, a partir de las ecuaciones de 'ourier.
q x =−k A x
∂T ∂x
&
q y =−k A y
∂ T ∂y
!".(# & !".)#
*l ujo total de calor en cualquier pun to es la resultante de estos calores. +ara el análisis matemático de este caso, se considera una aproximacin anal%tica al problema & luego se buscan los métodos numéricos & grácos que podrán utilizarse. onsiderando una placa rectangular, con temperatura constante - " en tres de sus lados, dejando el lado superior jo a una distribucin de temperaturas, utilizando el método de separacin de variables se tiene lo siguiente T = XY , x = X ( ( x x ) , y =Y ( y )
!"./#
0eemplazando en la frmula !)."# e igualando cada miembro de la ecuacin a una constante se tiene 1d
2
2
X 1 d Y 2 2 X d x Y d y
2
d X 2 + λ X =0 2 dx
!".1#
2
d Y 2 + λ Y =0 2 dy
!".2#
3onde λ
2
se denomina constante de separacin & su valor se determina seg4n
las condiciones de contorno. 2
+ara λ > 0 , satisface la condicin de contorno sinusoidal & luego de satisfacer las demás condiciones, la solucin nal se expresa como
!".5#
+ara el análisis gráco, considerando como ejemplo la gura, la supercie interior se mantiene a cierta temperatura - " mientras que la exterior se mantiene -. +ara facilitar el cálculo se dibuja un esquema de isotermas & l%neas de ujo de calor formando grupos de guras curvil%neas. 3ado por la siguiente ecuacin !le& de 'ourier#
q =−k ∆ x ( 1)
∆ T ∆y
*l ujo de calor debe ser el mismo a través de cada seccin dentro del tubo de ujo de calor & el ujo de total debe ser la suma de los ujos a través de todos los tubos.
3e esta manera, para calcular el calor transferido, se necesita construir el graco de los cuadrados curvil%neos & contar el n4mero de los incrementos de temperatura de los tubos de ujo de calor. *s necesario tener cuidado para que Ax ≈ Ay & la l%neas sean perpendiculares. +ara la seccin de la esquina !gura a#, el n4mero de incrementos de temperatura entre la supercie interior & exterior es aproximadamente 6 7 /, mientras que estimando el n4mero de tubos en la esquina es 8 7 9,(. *l n4mero total de tubos de ujo de calor es cuatro veces este valor. $a relacin 8:6 es para la seccin de pared completa, denominada factor de forma conductiva.
$a precisin de este método depende totalmente de la habilidad del dibujante del esquema de cuadrados curvil%neos, aunque para la resolucin de algunos problemas prácticos, su utilidad no es mucha. *n un sistema bidimensional en el que solo ha& involucradas dos temperaturas l%mite, se puede denir un factor de forma conductivo !;# como q =k S ∆ T global en donde los valores de ; se han calculado para varias geometr%as & se resumen en tablas. +ara una pared tridimensional, se utilizan por separado factores de forma para calcular el ujo de calor a través de las secciones de aristas & esquinas< si todas las dimensiones interiores son ma&ores que un quinto del espesor de la pared, se tiene lo siguiente
A S pared = S arista =0,54 D S esquina =0,15 L L
!".9#
3onde A 7 área de la pared, $ 7 espesor de la pared, 3 7 longitud de la arista. +ara el método de análisis numérico, se considera un cuerpo bidimensional que se divide en incrementos iguales en ambas direcciones, x e &. $os puntos nodales se designan como se muestra en la gura, designando las posiciones m para incrementos en x & las posiciones n para incrementos en &. ;e a&uda de la ecuacin !"."# para determinar la temperatura de cualquiera de estos puntos dentro del cuerpo. $as diferencias nitas se utilizan para aproximar incrementos diferenciales en la temperatura por lo cual, mientras más peque=os se el%janlos incrementos, más se aproximará la distribucin real de temperaturas.
EJEMPLOS
". >n peque=o horno cubico de dimensiones interiores 1?x1?x1? cm & "? cm de espesor está construido de ladrillo refractario !@ 7 ",?/ :m B# *l interior del horno se mantiene a 1?? B & el exterior a 1?B. alc4lese el calor perdido a través de las paredes. 3atos
8arco -erico
A L
Corno c4bico
S pared=
1?x1?x1? cm
S arista =0,54 D
e 7 "? cm
S esquina= 0,15 L
@ 7 ",?/ :m B -i 7 1?? B -e 7 1? B
;olucin S pared =
A ( 0,5 )( 0,5 ) = =2,5 m( 6 seiones ) L 0,1
S arista=0,54 D =( 0,54 ) ( 0,5 )= 0,27 m ( 12 aristas ) S esquina= 0,15 L =( 0,15 ) ( 0,1 )=0,015 m ( 8 esquinas )
S =( 6 ) ( 2,5 )+ ( 12 ) ( 0,27 ) + ( 8 ) ( 0,015 )=18,36 m q =k S ∆ T =( 1,04 ) ( 18,36 ) (500 −50 )= 8,592 k!
(. onsidere el cuadrado de la gura. $a cara izquierda se mantiene a "?? B & la cara superior a 1??B, mientras las otras dos caras están expuestas a un ambiente a "?? B h 7 "? :m ( B & @ 7 "? :m B. *l bloque tiene " m (. alc4lese la temperatura de los nodos indicados en la gura & el ujo de calor en los contornos.
;olucin
*c. 6odos ", (, / & 1
*c. 6odos ), 2, 5 & 9. $uego ec. 6odo D
*c. 6odos ) & 2
*c. 6odos 5 & 9
*c. nodo D
0esolviendo ec. ;e tiene
+ara la cara 1?? B, entra
+ara la cara de "?? B sale
'lujo de la cara derecha, sale
'lujo cara inferior
'lujo total que sale
BIBLIOGRAFIA
CE$$8A6, F.+. -ransferencia de calor. 9 a ed. *spa=a, 8cGraHHICill, "DD9 *6G*$, Junus. -ransferencia de calor & masa >n enfoque práctico. ) a ed. 8éxico, 8cGraHICill, (??5
