TRANSFERENCIA DE CALOR CONDUCCION BIDIMENSIONAL
PROFESOR: ING. RAVELO CHUMIOQUE, CHUMIOQUE, José Jaime GH:
01M
INTEGRANTES: TUEROS CONTRERAS, Daniel DE LA CRUZ SANTIAGO, Jorge HERMANDEZ VIA, Diego FLORES POZO, JHADER SMITH GILLESPIE, Rommer PAREDES VARGAS, Luis RAMIREZ BARRENECHEA, Joseph PALOMONO ZAVALETA, Joel ALFARO ROJAS, Daniel ORIHUELA AGUILAR, Marlon
014048A 032830J 040106E 040894C 040896-F 060104H 060105D 060109J 064045F 070866H
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA
ÍNDICE PAG 2
Índice. Introducción.
3
Objetivos.
4
Marco Teórico
5
Método analítico. Conducción en régimen permanente en placas rectangulares. Placa rectangular con una distribución de temperatura dada en una arista y nula en las demás.
5 5 7
Placa con un borde a temperatura uniforme.
10
Placa rectangular con distribución de temperaturas en dos bordes opuestos.
11
Distribución de temperaturas en más de una superficie de contorno.
12
Condición de contorno de convección.
14
Conducción en un cilindro circular de longitud finita. Distribución de temperaturas en secciones rectangulares.
14
Distribución de temperaturas en paralelepípedos.
23
Distribución de temperaturas en cilindros.
24
Distribución de temperaturas en tubos.
26
20
Método gráfico.
29
Problemas con Métodos numéricos.
35
Nudos interiores. Nudos en contacto con un fluido. Generación de energía en la placa. Ecuaciones para los residuos en el caso de nudos en los límites. Sistemas bidimensionales. Redes cuadradas ∆x=∆y.
Conclusiones. Recomendaciones. Bibliografía.
58 59 60
INTRODUCCION
En los casos de conducción conducción de calor estudiados estudiados
se ha supuesto que la
distribución de temperaturas era función de una sola variable,
(sistemas
unidimensionales), en régimen estacionario. En la presente monografía vamos a estudiar la conducción térmica en función
de
dos
variables
en
régimen
estacionario
(conducción
bidimensional), en el cual se analizara los distintos métodos que se utilizan para lograr con éxito la solución de dichos problemas. Entre los métodos a desarrollar son: método analítico, método gráfico, método numérico, método de relajación, método matricial, método de iteración.
El método analítico implica resolver una ecuación analítica exacta de la ecuación
0, las técnicas a utilizar para resolver implican series y
funciones matemáticas complicadas, este método resulta dar una solución exacta para cualquier punto. Sin embargo los métodos numéricos y gráficos nos dan un resultado a aproximado en puntos discretos. Debido a que los métodos se adaptan a geometrías complejas y condiciones de frontera a menudo resultan ser los únicos medios para resolver estos problemas. Además analizaremos los métodos de relajación, método matricial, y el método de iteración, basándose en la representación de las ecuaciones del
balance de energía en cada nodo.
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Estudiar la conducción de calor
en estado estable en un medio
bidimensional
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Analizar los distintos modelos que son necesarios para determinar la conducción de calor Analizar las distintas distribuciones de temperaturas de acuerdo a la geometría del cuerpo. Determinar si se conoce el factor de forma para el sistema en cuestión
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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MARCO TEORICO
CONDUCCION DE CALOR EN REGIMEN ESTACIONARIO EN FUNCION DE DOS VARIABLES
MÉTODO ANALÍTICO
En los casos de conducción de calor estudiados se ha supuesto que la distribución de temperaturas era función de una sola variable, (sistemas unidimensionales), en régimen estacionario. En el presente capítulo vamos a estudiar la conducción térmica en función de dos o más variables independientes en régimen estacionario, y aunque las soluciones analíticas obtenidas para estos casos tengan muy poco valor práctico, se incluyen para hacer resaltar las técnicas matemáticas que han de utilizarse en casos más complejos y de mayor utilidad que se abordarán en el régimen transitorio. Cuando se tenga más interés en los resultados finales que en el desarrollo matemático de las soluciones, la obtención de éstas en algunos problemas de importancia práctica se han conseguido con ayuda de gráficas relativamente sencillas. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE EN PLACAS RECTANGULARES.- Vamos a estudiar en primer lugar la conducción en régimen permanente de una placa rectangular como la representada en la Fig. III.1. Para calcular la distribución de temperaturas en la placa utilizaremos coordenadas cartesianas, considerando como plano (x,y) el de la placa y como origen de coordenadas el vértice. Suponemos que no existe conducción en la dirección z, normal a la placa; esto se cumplirá si la placa tiene una gran longitud en esta dirección, sólido infinito, de forma que no se produzcan efectos de borde L >> b; L >> a, o que éstos efectos sean despreciables, o si las caras x ,y están aisladas térmicamente. La ecuación de conducción del calor para el régimen permanente, en coordenadas cartesianas y dos dimensiones es:
0 CONDUCCION BIDIMENSIONAL
5
que es una ecuación diferencial lineal a la que se puede aplicar el principio de superposición. La solución de la ecuación anterior se obtiene suponiendo que la distribución de temperaturas se puede expresar como el producto de dos funciones, cada una de las cuales depende solamente de una de las variables independientes; es decir, que si X(x) es únicamente función de x y si Y(y) es únicamente función de y, podemos suponer que la temperatura T, viene dada por:
Sustituyendo este valor en la ecuación diferencial de partida y ordenando la expresión resultante, se tiene:
0 ;
Como cada miembro de esta ecuación depende sólo de una variable, los dos miembros tienen que ser iguales a una constante por lo que se puede poner:
1 1 Sistema que es equivalente al de las dos ecuaciones diferenciales siguientes:
0 senh cosh 0 ⟹cuyas soluciones son:{ sen cos por lo que la distribución de temperaturas es:
sen cos} senh cosh}
en la que y las B son constantes que hay que determinar mediante las condiciones de contorno.
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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PLACA RECTANGULAR CON UNA DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA DADA EN UNA ARISTA Y NULA EN LAS DEMAS.- Consideremos la placa rectangular de la Fig. 111.2 de dimensiones respectivas a y b , según los ejes x e y. Se puede suponer que la temperatura es nula en los bordes (x = 0), (x = a), (y = 0) y variable en el borde (y = b), que se puede representar como f(x) en el campo ( ), de forma que se opera como si fuese conocida. La anulación de la temperatura en los otros bordes no es esencial, pues basta con que se mantenga constante, tal como Tc, por lo que el problema se puede reducir al expuesto anteriormente mediante la superposición de una constante - T c a toda la configuración.
0≤≤
Las condiciones de contorno que han de aplicarse a la ecuación general para la determinación de las constantes son, Fig. III.2, las siguientes: Para:
0 ; , 0 {0, 0, 0 ; , =,=, == ⇒⇒ == senh sensenhsen la aplicación de las condiciones:
la ecuación general se reduzca.
en la que B sustituye al producto:
La aplicación de la condición:
, 0, ⇒ 0senhsen Para que esta ecuación se cumpla para todos los valores de y, es necesario CONDUCCION BIDIMENSIONAL
7
que:
sen0
0, , ,⋯
que se satisface para, y en general por, siendo, n= 0, 1, 2, ... Para cada valor de n se obtiene un valor de que proporciona una solución diferente de la ecuación:
senhsen por lo que la solución general será la suma de todas estas soluciones parciales, por lo que:
senh sen = en la que Bn representa la constante B para cada una de las soluciones. Para: n = 0
⇒
= 0, por lo que el primer sumando de la serie se
anula, obteniéndose:
senh sen =
, ∑= senhsen sen,sen,sen,…,sen,… ∫ sensen() 0 ≠ La aplicación de la condición,
,con
, conduce al cálculo de Bn
, n = 0; 1; 2; 3; … ;
En una serie infinita de funciones de la forma:
0≤≤
.
éstas son ortogonales, cuando se cumple que: , con y tiene un valor determinado en un instante considerado. Por lo tanto, si la serie:
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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senh sen = senhsen⋯ senhsen es convergente e integrable, y la multiplicamos por
sen
sen
, se obtiene:
senhsen ⋯ sen senh sen
Por definición de ortogonalidad se hacen cero todas las integrales del segundo miembro, menos la correspondiente al coeficiente Bn por lo que:
sen 2 ∫ senh ∫sen sen
por lo que la expresión de la distribución de temperaturas toma la siguiente forma:
senh 2 = senhsen sen 2 senh sen sen senh = El calor que atraviesa una superficie se determina a partir de la ecuación de Fourier, particularizando para dicha superficie e integrando a lo largo de ella. Para el caso particular del calor transmitido a través de la superficie (x = 0) por unidad de longitud, perpendicular al plano (x,y), se tiene:
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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|= = ,= senh 2 = = senh cos 0 ℎ 2 = = ℎ ℎ 2 = − ℎ 2 = ℎ PLACA CON UN BORDE A TEMPERATURA UNIFORME.- En el caso particular Fig. III.3 de que el borde (y = b) se mantenga a temperatura constante, f(x) = T0, y teniendo en cuenta que:
∫ 11 =
}
La ecuación anterior se convierte en:
ℎ 11 2 ℎ 4 ℎ = =,,. . ℎ
En la Fig. III.5 se representa la forma de las isotermas de una placa rectangular calentada por un borde.
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- Si el borde caliente es la base inferior, y los demás están a, T = 0, la solución se encuentra cambiando y por (b - y):
=,
- Si
el borde caliente es el correspondiente a (x = a) y los demás están a, T = 0, la solución se encuentra cambiando y por x ; x por y ; a por b ; b por a:
ℎ 4 ℎ =, - Si
el borde caliente es el correspondiente a (x = 0) y los demás están a, (T = 0), la solución se encuentra cambiando en el caso anterior, x por (a-x):
4 ℎℎ =,, PLACA RECTANGULAR CON DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN DOS BORDES OPUESTOS La placa rectangular con distribución de temperaturas en dos bordes opuestos se puede reducir al caso anterior mediante una simple superposición. Consideremos, por ejemplo, el caso que se presenta en la Fig. III.4, en el que la placa tiene la distribución, T = f(x), para (y = b), mientras que para (y = 0), T = cp(x). Si se mantienen los otros bordes a (T = 0) se tiene:
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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0 ;{0, , ;,0 0,0 Debido al carácter lineal de la ecuación diferencial se puede reducir a dos sistemas más sencillos, definiendo u y v de modo que: T=u+v Los símbolos u y v se emplean para designar las soluciones de los dos sistemas siguientes:
0 ;{ ; 0,0 ; ;0 ;0 0 ;{0; ;0 ; ;0 0;0 ℎ 2 = ℎ ℎ , ;4 =,. ℎ
La solución del sistema de la primera de estas ecuaciones es:
Mediante el cambio de variable (y5 = b - y) la solución anterior se aplica a la segunda ecuación, quedando en la forma:
ℎ 2 = ℎ 0;
La solución de la ecuación, será la suma de
con sus condiciones de contorno,
las anteriores
− 2 = ℎ ℎ ℎ DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN MAS DE UNA SUPERFICIE DE CONTORNO.- Una generalización para cuando varias superficies tengan temperaturas diferentes, como es el caso de la placa que se propone en la Fig. III.6 con diferentes condiciones de contorno, la ecuación diferencial de la distribución de temperaturas es: CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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0; {; 0; ; { 0; ; 0 ; {; 0;0 − ; { 0;− 0;
Que se transforma, restando a todas las caras T1 en:
Este sistema se puede descomponer en otros tres de la forma:
0 ;{0; ; 0 ; {; 0;== 0;{; 0; 0 0 ; { 0; 0 ; − 0;{;0;= =0 ; {; 0; 00
Por cuanto sumando dichos sistemas de ecuaciones se recompone el sistema inicial:
con:
Φ Φ 0 ;;; ; ; ; ; ;
y la distribución de temperaturas:
Como suma de soluciones que hemos analizado anteriormente.
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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CONDICIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN.- Cuando exista convección en una o en varias caras del sólido se efectúa un análisis similar al visto anteriormente; si a través de la cara (x = a) existe un intercambio térmico con un fluido exterior a TF, se tienen las siguientes condiciones de contorno:
0;Φ0 Φ Φ 0;: {;Φ0 ℎ 0;Φ0 ; ;
Se resuelven matemáticamente las expresiones resultantes y las constantes Ai, A2, Bi, B2 y 1, de las que sólo son independientes cuatro de ellas, en función de la nueva condición de unicidad. Finalmente se superponen las soluciones y se calcula la distribución final de las temperaturas reales.
CONDUCCIÓN EN UN CILINDRO CIRCULAR DE LONGITUD FINITA..Vamos a estudiar la conducción estacionaria de un cilindro sólido de longitud finita L y radio exterior R, en dos dimensiones espaciales, tal como el de la Fig. III.8. Si la distribución de temperaturas es función de la coordenada radial r, y de la axial z, T=T(r,z), e independiente de la coordenada circunferencial y suponiendo existe una simetría axial para las condiciones de contorno, la ecuación de conducción general en coordenadas cilíndricas, se reduce a
1 0; 1 0
Este caso es un problema de conducción bidimensional, aunque las condiciones de contorno sean independientes de la coordenada; la distribución de temperaturas es la solución general de la ecuación anterior. Mediante un método similar buscamos una solución de la forma:
Siendo R(r) y Z(z) función de las variables r y z respectivamente; CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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sustituyendo en:
1 0
y ordenándola en r y z , obtenemos:
1 1 1 1 en la que el miembro de la derecha es función de z y el de la izquierda de r. Como los dos miembros son iguales y función de diferentes variables, ambos habrán de ser iguales a una constante - 1 2, obteniéndose así un sistema de dos ecuaciones diferenciales: = -
0 R= 0 Z= ℎ
La primera de estas ecuaciones es la función de Bessel de orden cero, mientras que la segunda conduce a funciones hiperbólicas; las expresiones Jn(1r) y Yn(1r), son las funciones de Bessel de primera especie y orden cero. Por consiguiente, aplicando las definiciones de R y de Z de la ecuación, T = R(r) Z(z), la solución de la ecuación en coordenadas cilíndricas se puede expresar en la forma:
} ℎ} Si en el cilindro de la Fig. III.8 se mantienen todas las superficies a temperatura nula, excepto en la base superior del cilindro, z = L, donde supondremos una temperatura f(r), la ecuación que proporciona la distribución de temperaturas a través del cilindro se obtiene teniendo en cuenta las siguientes condiciones: Para: z=0,T=0 Para: z = L, T = f(r) Para: r = R, T = 0
∞
⟶
0
⟶
Para: r = 0, la temperatura debe ser finita en r = 0, por lo que Y 0)(0) , para (k r 0), es decir,
Por la condición, z = 0, T = 0, se tiene, B4 = 0, quedando: -
ℎ
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- La
aplicación de la condición, r= R , T = 0, exige que:
- 0=B
ℎ
y para que esta condición pueda ser satisfecha por todos los valores de (X R) comprendidos entre 0 y L, es necesario que:
0
Las tablas de valores de J 0 (XR ) indican que J0 toma valores nulos según una sucesión de valores de (Xn R) que difieren entre sí una cantidad que tiende a 2 p conforme, Xn R ®oo; por consiguiente, hay un número infinito de valores de X que satisfacen J0( Xn R) = 0.
La solución general es la suma de las correspondientes a cada una de las de la forma:
ℎ =
- La aplicación de la condición, z = L , T = f ( r ) , permite determinar los valores de Bn si la serie siguiente es convergente:
ℎ ℎ . . . ℎ = para lo cual las funciones, J0 (1ir),J o (12 r ) , . . . , J o (1n r), deben formar un agrupamiento ortogonal en el intervalo, 0 £ r £ R , con respecto a un factor ponderal r. Los valores de B son constantes que hay que determinar; si la serie es convergente e integrable, se puede poner:
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ℎ ℎ ℎ ∫ ℎ ∫ . . . . . . ℎ ℎ ∫ . . . ()0, , ≠ =
Por definición de ortogonalidad:
Todas las integrales del segundo miembro a excepción de la última, son cero, es decir:
En la que:
ℎ ℎ } 2 2 ℎ ℎ ∫
Obteniéndose la siguiente distribución de temperaturas:
ℎ 2 ℎ = ℎ ℎ En el caso particular de que la temperatura en la base superior sea constante, f(r) = T0, permaneciendo nula en las restantes superficies, y teniendo en cuenta que:
resulta:
2 1 senh senh senh = senh
Tabla 2.- Valores de las funciones de Bessel Jo(x) y J1(x) CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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En el caso de que la temperatura en las demás superficies tenga un valor constante en vez de ser nula, T0 se interpreta sencillamente como la diferencia entre la temperatura en el extremo (z = L) y este valor constante. El principio de superposición se puede aplicar para la resolución de otros casos, como la distribución de temperaturas en un cilindro calentado a temperatura uniforme en los extremos y a temperatura cero en la superficie CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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lateral, que se puede encontrar sumando dos soluciones s oluciones de la forma de la ecuación anterior. En la Fig. III.9 se s e ha representado la distribución de la temperatura en el eje, r = 0, para el cilindro sólido calentado a temperatura constante en una base y en las dos bases; la solución se consigue fácilmente por superposición a partir del primer caso.
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN SECCIONES RECTANGULARES
a) Rectángulo infinito con distribución de temperatura inicial en, x=0
0 ∞<<∞ ∞<<∞ 0 + 1 − , 2 − sen cos−cosh ;
;
;
;
b) Rectángulo semiinfinito con distribución de temperatura inicial en, y =0
0 0<<∞ 0 ∞<<∞ 0 0 0<< ;
;
;
;
con
,
;
Φ Φ, ∑= + + +
Para,
raíces de, ;
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
;
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c) Rectángulo semiinfinito con distribución de temperaturas en la base, con convección lateral en una cara y con aislamiento en la otra cara
0 0<<∞ = 0 ;0<<∞ = 0 0<< ;
;
;
;
;
− , 2= ( ) COS COS , TAN , P , Φ ; 2 (+ = )+ CON
RAÍCES DE
ARA
d) Rectángulo finito, con distribución de temperatura en la base inferior
0 0<< 0 0<< 0 0 0<< 0<< 0
;
;
;
;
;
;
;
;
senhby 2 , = senh sen sen
con raíces de,
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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Para,
Φ
;
, ∑=,,,… −
e) Rectángulo finito, con distribución de temperatura en la base inferior, convección en una de las caras y aislamiento en la otra.
0 0<< = 0 0<< = 0 0<< 0<< 0 cos senhby 2 , = ( ) senh sen cos tan − Φ , 2 ∑= (+)+ ;
;
;
;
;
;
;
;
con raíces de, Para,
;
f) Rectángulo finito, con distribución de temperatura en la base inferior, convección en una de las caras y en la base superior y aislamiento en la otra.
con 1 n raíces de,
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
0 0<< = 0 0<< = 0 0<< 0<< = ;
;
;
;
;
;
;
;
22
Para, g) Rectángulo finito, con distribución de temperatura en la base inferior, convección en una de las caras y aislamiento en la otra cara y en la base superior.
DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN PARALELEPÍPEDOS a) Paralelepípedo con una cara a T 0 y el resto a T=0.
b) Paralelepípedo con una cara a T0 y la opuesta a T1
c) Paralelepípedo con una cara a T 0 y convección en las demás: CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN CILINDROS a) Cilindro semiinfinito con distribución de temperatura inicial en la base
Para, b) Cilindro finito con distribución de temperaturas en su base
c) Cilindro finito con distribución de temperaturas lateral
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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Para,
d) Cilindro semiinfinito con distribución de temperaturas en la base y convección lateral
Para, e) Cilindro finito con distribución de temperaturas en la base inferior, convección en la base superior y con-
f) Cilindro finito con distribución de temperaturas en la base inferior, la base superior aislada térmicamente
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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con 1 nraíces de:
DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS EN TUBOS a) Tubo finito con distribución de temperatura inicial en la base y cero en el resto
con 1 n raíces de: b) Tubo finito con distribución de temperaturas en su base inferior, 0 en la superior, y T e y T i en las laterales, exterior e interior, respectivamente.
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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conXnraíces de: c) Tubo finito con distribución de temperaturas en la base inferior, cero en la base superior y superficie lateral exterior y aislada térmicamente en la superficie lateral interior
d) Tubo finito con temperatura cero en las bases superior, inferior y superficie lateral interior y distribución de temperaturas en la superficie lateral interior
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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e) Tubo finito con distribución de temperatura en la base inferior, temperatura cero en la base superior, convección en la superficie lateral interior y aislamiento térmico en la superficie lateral exterior.
con 1 n raíces de: f) Tubo finito con distribución de temperatura en la base inferior, temperatura cero en la base superior, convección en la superficie lateral exterior y aislamiento térmico en la superficie lateral interior.
con 1n raíces de: CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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MÉTODO GRÁFICO El método gráfico se basa en una serie de condicionamientos geométricos de la fórmula vectorial de la ley de Fourier, que especifica que las isotermas y las líneas de flujo térmico constante (fronteras adiabáticas), son siempre perpendiculares en los puntos en que se cortan; las líneas de simetría son también fronteras adiabáticas. Por lo tanto, se puede hacer un diagrama esquemático de las isotermas y de las líneas equipotenciales del flujo térmico, y perfeccionar el sistema hasta conseguir se satisfaga la condición de perpendicularidad entre ellas. La exactitud de la distribución de temperaturas va a depender del cuidado que se ponga en la construcción de las citadas líneas; en cada punto de intersección, las tangentes a las líneas correspondientes han de ser perpendiculares; los cuadriláteros curvilíneos hay que construirlos de forma que la suma de los lados opuestos sean iguales, Fig. III.10, es decir:
∆ ∆
Si suponemos un cuadrado curvilíneo típico ( x = y), por el que fluye una cierta cantidad de calor q i, aplicando la ley de Fourier (por unidad de longitud) se obtiene:
∆ + + ∆ ∆ ∆∆ en donde se ha considerado que en todos los cuadrados curvilíneos se cumple que las subdivisiones de temperatura son iguales. Entonces se puede expresar la diferencia de temperaturas entre dos isotermas adyacentes, en función de la diferencia de temperaturas total a través de la superficie completa y del número de subdivisiones de temperaturas iguales M, siendo T1 y T2 las temperaturas extremas, T1> T2. Si el número de líneas de flujo térmico es N, la transferencia de calor a través de cada canal entre dos líneas térmicas equipotenciales adyacentes, será la misma para todas ellas, siendo el calor transferido total de la forma:
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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∆ ∆
,con, x = y
El factor: , se denomina Factor de forma de la conducción, y es la relación entre el número de líneas de flujo térmico y el número de líneas isotermas. Se conocen algunas expresiones matemáticas del factor de forma F para diversas geometrías sencillas; así, por ejemplo, para la conducción en una pared plana:
∆ ∆
Para un cilindro hueco de longitud L y radios r 0 y ri el factor de forma de la conducción térmica es:
ln2 El concepto de factor de forma F se puede ampliar a otras geometrías más complicadas, obteniendo su valor mediante técnicas de variable compleja y teoría de residuos, considerando:
viniendo deducidos algunos valores de F que exponemos a continuación: 1) Cilindros circulares excéntricos, de radios ro y r¡, y longitud L
arccosh2+− 2) Cilindro circular dentro de un cuadrado de lado a y longitud L
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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ln2. 3) Caja paralelepipédica, con espesor de pared constante e Área de la superficie interna A 1 ; Área de la superficie externa A2
.√ ,,< 2.161.2 ,,< , para
,
para
4) Caja paralelepipédica, con bases cuadradas
.−. >1.4 ≫ <1.4 ≫ para
para
;
;
5) Placa rectangular delgada enterrada, de longitud L
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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= ln4 ≫ ln24 6) Viga rectangular enterrada; longitud L>>a,b,z
−. 2.756ln1 −. 7) Dos cilindros paralelos de longitud L en un medio infinito
arccosh2−− 8) Disco horizontal delgado enterrado
4 0 8 ≫2 9) Cilindro horizontal enterrado de radio r¡, y longitud L, o también esfera enterrada de radio r¡
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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Cilindro:
<3
≫ −
Cilindro:
Esfera:
Esfera:
para
para
>3
→ 4
10) Semiesfera enterrada en un medio semiinfinito
2 11) Cilindro horizontal de longitud L enterrado entre dos planos a T 1
ln2 12) Cilindro vertical de longitud L en un sólido semiinfinito
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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ln2 13) Arista intersección de dos paredes planas de espesor e y anchura L, con temperatura interior T1 y temperatura exterior T 2
0.54 > 5 > 5 14) Esquina intersección de tres paredes planas de espesor e, con temperatura interior T 1 y temperatura exterior T2
0.15
;
Dimensiones
>
15) Región en forma de disco en la superficie de un sólido semiinfinito
4
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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Problema: 1 Determinar la transferencia de calor por unidad de longitud desde un tubo de 2.0 pul de diámetro externo situado en el centro de un muro de concreto de 10 pul de espesor. El muro es muy alto y muy largo lo cual reduce el problema a dos dimisiones como lo nuestra la figura.
Solución: De la tabla siguiente:
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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Con z = 5 pul y r = 1.0 pul.
===2.1
De tablas, k = 0.44 Btu/ hr-pie-F
= k(T2
. Bu/ −pi− )11070 F
– T1)= (2.1)(
= 36.91 Btu/ hr-pie
Problema: 2 Un horno en forma de cubo como el que se indica en la figura, es construido en concreto cuya conductividad térmica es 0,81 W/mºC, si la geometría y la diferencia de temperaturas están indicadas en la figura encontrar el flujo de calor que escapa por las paredes considerando flujo de calor en las dos dimensiones.
Figura Nº 1 Solución:
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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Figura (a). Selección de la simetría en la elaboración de la malla para flujo de calor en dos dimensiones.
Figura (b). Flujo de calor en un cuadro de malla.
Retomando la geometría de la figura Nº1, se tiene un horno de paredes cuadradas de longitud 2m y ancho 5cm. El material tiene una conductividad térmica de 0,81W/mºC, con temperatura exterior de 15ºC e interior de 120ºC. Se puede encontrar que el horno tiene 6 paredes, 12 filos y 4 esquinas:
Paredes: El área de la pared esta dada por la longitud del horno, restando el área de los filos y las esquinas. A
A
Lhorno 4 xEspesor 2 2m 4 x0,05m2 3,24 m 2
Tabla Nº1: Factor de forma de conducción para diferentes geometrias
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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Finalmente el calor de una pared es: KS T 2
Q par ed
Q par ed
T 1
K
A L
T 2
T 1
0,81
w
3,24m 2
x x(15º C 120 º C ) mº C 0,05m
5511 ,2 w
El calor por paredes :
Q par ed
6.Q par ed
6 x5511 ,2 w
Filos: El flujo de calor es: Q filo
K .0,54 L.T 2 T 1
El valor de la longitud corresponde a la longitud de la arista del horno menos dos veces el espesor de una esquina: L
Lhorno
2 xEspesor
2m
2 x0,05m 1,9m
Luego el calor de un filo es: Q filo
0,81
W
x0,54 x1,9mx (15 º C 120 º C ) mº C
P ara todos los filos :
Q fil os
12 .Q filo
87 ,26 w
12 x87 ,261 w 1047 ,1w
Esquinas: se tiene que ∆x=0,05m
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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Figura (c).Esquema de las paredes , filos y esquinas.
Qesquina K .0,15 x X .T 2
T 1 0,81
w
x 0,15 x 0,05mx(15º C 120 º C ) mº C
Qesquina 0,63788 w
El total de esquinas es:
Qesquinas 8.Qesquinas
8 x0,63788w
5,103w
El calor total es la suma del calor por paredes, filos y equinas. QTOTAL
Q paredes Q filos Qesquinas 33067w 1047,1w 5,103w 34119w
Problema: 3 Considérese el cuadrado de la figura, la cara izquierda se mantiene a 100 ºC y la cara superior a 500 ºC, mientras que las otras dos caras están expuestas a un medio a 100 ºC; h = 10 W/
m
2
ºC Y k = 10 W/m.ºC
El bloque es de 1 . Calcule las temperaturas de los diversos nodos y loe flujos de calor en las fronteras. m
2
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
39
Solución:
Figura (a) Nomenclatura para ecuación nodal con convección en una sección de esquina. La ecuación nodal para los nodos, 1, 2, 4 y 5 es: T m 1, n
T m 1, n T m, n 1 T m, n 1 T m, n
0
Los nodos 3 y 6 se escriben entonces: 2T 2
T 6
567 4,67T 3
2T 5
T 3 T 9
0
67 4,67T 6
0
Las ecuaciones para los nodos 7 y 8 están dadas por: 2T 4
T 8
167 4,67T 7
2T 5
T 1 T 9
0
67 4,67T 8
0
y la ecuación para el nodo 9 es:
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
40
T 6
T 8
67 2,67T 9
Entonces tenemos nueve ecuaciones desconocidas, por lo tanto: Nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
y nueve temperaturas nodales
Temperatura ºC 280,67 330.30 309.38 192.38 231.15 217.19 157.70 184.71 175.62
Los flujos de calor en las fronteras se calculan de dos maneras: como flujos de conducción para las caras de 100 y 500 ºC y como flujos de convección para las otras dos. Para la cara a 500ºC el flujo de calor hacia el interior de la cara es: q K x
T y
10 500 280 ,67 500 330,30 (500 309 ,38)(1 / 2)
q 4843 ,4 W / m
El flujo de calor hacia afuera de la cara de 100 ºC es:
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
41
q K y
T x
10 x 280 ,67 100 192 ,38 100 (157 ,70 100 )(1 / 2)
q 3019 W / m
El flujo de calor hacia afuera de la cara derecha está dado por la relación de convección: q h y(T T ) 10(1 / 3)309 ,38 100 217 ,19 100 (175 ,62 100 )(1 / 2) q 1214 ,6 W / m
Finalmente, el flujo de calor hacia afuera de la cara del fondo es: q h x(T T ) 10(1/ 3)(100 100 )(1/ 2) 157 .70 100 184 ,71 100 (175 ,62 100 )(1 / 2) q 600 ,7 W / m
El flujo total hacia afuera es: qSal
3019
1214 ,6 600 ,7 4834 ,3 w / m
Esto se compara en forma favorable con los 4843.4 W/m conducidos hacia la cara superior.
Problema: 4 Una capa de vidrio [k = 0.8 W/mºC] de 3 mm de espesor tiene adheridas a la superficie superior franjas conductoras de electricidad de 1 mm de grueso, tal como se muestra en la figura. La superficie inferior del vidrio está aislada y la superior expuesta a un medio de convección a 30 ºC con h = 100 W/ .ºC. Las franjas generan calor a la rapidez de 40 a 20 W/m de longitud. Determine la distribución de temperatura en estado estacionario en una sección típica del vidrio, utilizando el método numérico para ambas rapideces de generación de calor. m
2
Figura (a). Sistema físico
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
42
Solución: En la figura se muestra la red nodal para una sección típica del vidrio. En este ejemplo no hemos considerado x y . Debido a la simetría, etc. y sólo necesitamos resolver para las temperaturas de 16 nodos. Empleamos el planteamiento de resistencia. Como se muestra, hemos escogido x 5mm y y 1mm . Ahora podemos calcular las diversas resistencias: T 1
T 7 ;
T2
T 6
Nodos 1, 2, 3, 4:
1 Rm 1 Rn 1 Rn
1 K ( y / 2) Rm
x
hA (100 )(0,005 ) K x y
(0,8)(0,005 ) 0,001
(0,8)(0,1 x 0,001 / 2) 0,005
0,08
0,5
4
Figura (b). Arreglo nodal
Nodos 8, 9, 10, ll, 15, 16, 17, 18:
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
43
1 Rm
1
Rn
1
Rm
1
Rn
K y
x
K x
y
(0,8)(0,001) 0,005
0,16
4
Nodos 22, 23,24, 25: 1
1
Rm
1
Rn
1
Rn
Rm K x y
0
K ( y / 2) x
0,08
4
(Superfici e aislada)
Las ecuaciones nodales se obtienen de la forma general: (T j / Ri, j ) qi T i(1/ Ri , j ) 0
Sólo el nodo 4 tiene un término de generación de calor y qi 0 para todos los demás nodos. De las resistencias antes mencionadas podemos calcular el (1/ Ri, j ) como:
Nodo
(1 / Ri, j )
1,2, 3, 4
4.66
8,…….,18
8.32
22, 23, 24, 25
4.16
Para el nodo 4 la ecuación es: 2(0,08)T 3
4T 5
0,5(30 ) q4
aparece porque T 3 todas las ecuaciones han sido evaluadas obtienen las siguientes temperaturas: El factor de “2” en
T 3
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
4,667
0
T 5 debido
a la simetría. Cuando y la matriz está resuelta, se
44
q/L
;
W/m
Temperatura de nodo ºC
20
40
1 2 3 4 8 9 10 ll 15 16 17 18 22 23 24 25
31,90309 32,78716 36,35496 49,81266 32,10561 33,08189 36,95154 47,82755 32,23003 33,26087 37,26785 46,71252 32,27198 33,32081 37,36667 46,35306
33,80617 35,57433 42,70993 69,62532 34,21122 36,16377 43,90307 65,65510 34,46006 36,52174 44,53571 63,42504 34,54397 36,64162 44,73333 62,70613
Los resultados del modelo y de los cálculos pueden verificarse calculando la pérdida de calor por convección por la superficie superior. Como toda la energía generada en la pequeña franja de calentamiento debe perderse eventualmente por convección (la superficie inferior del vidrio está aislada y por tanto, no pierde calor), sabemos el valor numérico que deberá tener la convección. La pérdida de calor en la superficie superior se expresa por: q hi Ai (T i T )
x x (T 1 T ) x(T 2 T 3 2T (T 4 T ) 2 2
q 2(100 )
El factor de 2 tiene en cuenta los dos lados de esta sección. Con ºC este cálculo da: q
q
19,999995
para q/L
40,000005
para q/L
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
T
= 30
20 w/m 40 w/m
45
PROBLEMA: 5 Determinar la temperatura en el punto x=0.2, y=0.4 de la figura mostrada, si las dimensiones son: a= 0.6 pulgadas y b= 0.6 pulgadas.
Solución: Es el caso donde las temperaturas en cada lado son constantes independientes de la dirección. Entonces:
1+ 1 ℎ 2 Tx,y = m ℎ ℎ 2ℎ ℎ ℎ TT 2 2 2 0 0 T T ℎ 3 ℎ 5 ℎ 0 2 ℎ TT300 4 ℎℎ 13 ℎℎ 5 ℎ
Desarrollando la serie:
Reemplazando datos:
X=0.2, y=0.4, a=0.6 pulgadas y b=0.6 pulgadas
TT300 4 ℎ2. 0 94460 1 ℎ6. 2 832180 2 ℎ10. 4 72300 ℎ3.1416 3 ℎ9.4248 5 ℎ15.708 TT300 4 0.29984809.2168∗10− ∴T0.2;0.4114.18
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
46
PROBLEMA: 6 Si las dimensiones son: L=0.5 pulgadas y b=0.5 pulgadas.
Solución: Las condiciones de frontera para este problema son: 1) 2) 3) 4)
X=0 X=L Y=0 Y=b
; ; ; ;
T=0 T=0 T=0 T=T1
Bajo estas condiciones la ecuación resultante que gobierna la distribución de temperatura es:
1+ 1 ℎ TT 2 T Tπ + n ℎ ℎ .. 2 0.6 ℎ.. ℎ 2 0. 2 T0.2;0.3 2ℎ0.5 ℎ.. 3 ℎ0.5 ℎ.. .. 2 5 ℎ1.0.05 ℎ … . ℎ .
Desarrollando la serie y reemplazando los datos:
6 1 ℎ1. 8 T0.2;0.3 4 ℎ0.4 ℎ0. ℎ1. 2 ℎ 3 ℎ3 15 ℎ2 ℎ3 ℎ5 … CONDUCCION BIDIMENSIONAL
47
ℎ1.1841685 13 216° ℎ5. 6 5 1 ℎ3 T0.2;0.3 4 72° ℎ3. 360° ℎ3 5 ℎ5 … T0.2;0.3 4 0.26484.5∗10− 0 …
De donde:
T0.2;0.30.3365 T0 2000 0.3365 T0.2;0.367.3 ℉
Al desarrollar la serie, el primer y segundo término son considerados para el cálculo, los términos tercero, cuarto, quinto, etc. Son muy pequeños en valor, por lo que generalmente se desprecia o no se toma en cuenta durante el cálculo.
PROBLEMA: 7 Calcular la temperatura T1, T2, T3 y T4 de los nodos interiores de una placa cuadrada mostrada en la figura.
Solución: Primero se subdivide tal como se muestra en la figura. Ecuación nodal, para nodos interiores:
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
48
Nodo 1
T−, T+, T,− T,+ 4T, 0 200 + T2 + T3 + 400 - 4T1 = 0
Nodo 2
600 + T1 + T4 + 400 - 4T2 = 0
Nodo 3
T4 + 200 + 800 + T1 - 4T3 = 0
Nodo 4
600 + T3 + 800 + T2 - 4T4 = 0
Ordenando: 1)
- 4T1 + T2 + T3 + 0 + 600 = 0
2)
T1 - 4T2+ 0 + T4 + 1000= 0
3)
T1 + 0 - 4T3 + T4 + 1200 = 0
4)
0+ T2 + T3 - 4T4 + 1400 = 0
Resolviendo, de (4): T2 + T3 = 4T4 - 1400………………………… (α) De (1) y (2) se obtiene: - 15T2 + T3 + 4T4 = -4600…….………….. (β) Sumando (α) y (β):
- 14T2 + 2T3 = -6000………………………… (θ) De (2) – (3): T3 = 50 + T2 Reemplazando en (θ):
T2 = 508.33 °C T3 = 558.33 °C De las otras ecuaciones resultan: T1 = 416.66 °C T4 = 616.66 °C
PROBLEMA: 8
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
49
Considérese una aleta rectangular de acero inoxidable ( k=8 Btu/hr-pie-°F) de 1/4 pulg de espesor que tiene 1.0 pulg de longitud en la dirección x y que es muy ancha en la dirección perpendicular al plano xy de la figura 318. El coeficiente de transferencia externa de calor por convección es h= 96 Btu/hr-pie2-°F; el fluido que rodea la aleta tiene una temperatura de T∞= 80°F; la base de la aleta es Tb=200°F; y el extremo de la aleta está aislado. Determinar las temperaturas nodales de T1 a T16 usando, como se muestra en la figura 3-18, una malla cuadrada de 1/8 pulg. Debido a la simetría con relación a la línea central horizontal, solamente existen 16 diferentes condiciones nodales. Este sistema consiste en puntos nodales interiores, puntos nodales exteriores con contorno de convección, un punto nodal exterior con contorno aislado, y un punto nodal exterior de esquina que tiene un contorno de convección junto con un contorno aislado. Tomando cada caso separadamente:
SOLUCION: CONDUCCION BIDIMENSIONAL
50
Nodo 1:
200 + 2T2 + T3 – 4T1 = 0
Nodo 3:
T1 + 2T4 + T5 – 4T3 = 0
Nodo 5:
T3 + 2T6 + T7 – 4T5 = 0
Nodo 7:
T5 + 2T8 + T9 – 4T7 = 0
Nodo 9:
T7 + 2T10 + T11 – 4T9 = 0
Nodo 11:
T9 + 2T12 + T13 – 4T11 = 0
Nodo 13:
T11 + 2T14 + T15 – 4T13 = 0
Nodos exteriores con contorno de convección [usando (3.17)]
Nodo 2:
2002 . 2 0
ℎ. 96 −8−°. 0.125 −−° Así.
ó.
200 + 2T1 + T4 + 0.25 (80)- 4.25T2 = 0
220 + 2T1 + T4- 4.25T2 = 0
Nodo 4:
T2 + 2T3 + T6 + 20– 4.25T4 = 0
Nodo 6:
T4 + 2T5 + T8 + 20– 4.25T6 = 0
Nodo 8:
T6 + 2T7 + T10 + 20– 4.25T8 = 0
Nodo 10:
T8 + 2T9 + T12 + 20– 4.25T10 = 0
Nodo 12:
T10 + 2T11 + T14 + 20– 4.25T12 = 0
Nodo 13:
T12 + 2T13 + T16 + 20– 4.25T14 = 0
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
51
Nodos exteriores con contorno aislado [ usando LA Tabla 3-4)]
Nodo 15:
½(T16 + T16) + T13 + 20– 2T15 = 0
ó.
T16 + T13 – 2T15 = 0
Nodos exteriores de esquina (según resultado del problema 3.13)
Nodo 16: T14 + T15 +
ó.
.
. + 2) T = 0
(T∞) – (
16
T14 + T13 + 10 – 2.125T15 = 0
Resolviendo el problema en el computador obtenemos (las unidades son °F)
T1 = 167.178
T5 = 124.928
T9 = 104.533
T6 = 122.242
T10 = 103.049
T7 = 112.753
T11 = 99.232
T8 = 110.776
T12 = 98.115
T13 = 96.366 T2 = 163.118 T14 = 95.375 T3 = 142.474 T15 = 95.432 T4 = 138.896 T16 = 94.497 LA PRESENTE SOLUCION SE ENCUENTRA DESARROLADO EN MATLAB LO CUAL SE ENCUENTRA ADJUNDO EL CD. Problema: 9 Se hace un orificio de diámetro D= 0.25 m. a través del centro de un bloque solido de sección transversal cuadrada con w= 1 m. por lado. El orificio se hace a lo largo de la longitud, l = 2m, del bloque, que tiene una CONDUCCION BIDIMENSIONAL
52
conductividad térmica de k = 150 W/m·K. Un fluido caliente que pasa por el orificio mantiene la superficie interna a una temperatura T1= 75ªC, mientras que la superficie externa del bloque se conserva a T2=25ªC. 1. Con el método de la gráfica de flujo, determine el factor de forma para el sistema. 2. ¿Cuál es la transferencia de calor a través del bloque? SOLUCION Se Conoce: Dimensiones y conductividad térmica de un bloque con un orificio circular práctico a lo largo de su longitud. Encontrar: 1. Factor de forma. 2. La transferencia de calor para las temperaturas superficiales que se establecen. Esquema:
Suposiciones: 1. 2. 3. 4.
Condiciones de estado estable. Conducción bidimensional. Propiedades constantes. Los extremos de los bloques están bien aislados.
Análisis: 1. la gráfica de flujo se simplificara identificando líneas de simetría y reduciendo el sistema al octavo de sección que se muestra en el esquema. La gráfica de flujo se genera con una red bastante burda
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
53
que implica N=6 incrementos de temperatura. La red resultante de cuadrados curvilíneos es como sigue:
Con el número de bandas de flujo de calor para la sección que corresponde a M=3, se sigue de la ecuación 4.26 que el factor de forma para el bloque entero es:
8 ∗ =
=8m.
Donde el factor 8 resulta del número de secciones simétricas. La exactitud de este resultado se determina mediante la referencia a la tabla 4.1, en la cual, en cuanto al sistema establecido, se desprende que: S=
∗ = g. ⁄ g .∗⁄. 8.59
En consecuencia el resultado de la gráfica del flujo predice aproximadamente 7% por debajo del factor de forma. Advierta que, aunque el requerimiento l w no se satisface para este problema, el factor de forma que resulta de la tabla 4.1 es válido si hay una conducción axial insignificante en el bloque. Esta condición se satisface si los extremos están aislados. 2. Utilizando S= 8.59m con la ecuación 4.25, la transferencia de calor es Q=Sk(T1-T2) Q= 8.59m*150W/m.k* (75-25)ªC=64.4Kw
Problema 10 Un horno industrial grande se apoya sobre una columna larga de ladrillo de arcilla refractaria, que tiene 1*1m en un lado. Durante la operación en estado estable, la instalación es tal que tres superficies de la columna se CONDUCCION BIDIMENSIONAL
54
mantienen a 500K. Mientras que la superficie restante se expone a un flujo de aire para el que Con un enmallado de determine la distribución de temperaturas bidimensionales en la columna y la transferencia de calor al flujo de aire por unidad de longitud de la columna.
0.25,
∞300 ℎ⁄ ∗.
∆∆
SOLUCION Se Conoce: Dimensiones y condiciones de superficie de una columna de apoyo. Encontrar: Distribución de temperaturas y la transferencia de calor por unidad de longitud. Esquema:
Suposiciones: 1. Condiciones de estado estable. 2. Conducción bidimensional. 3. Propiedades constantes. 4. Ninguna generación interna de calor. Propiedades: k=1
⁄ ∗.
Tabla A.3, ladrillo de arcilla refractaria (T=478K);
Análisis:
La malla que se establece consiste en 12 puntos nodales en los que se desconoce la temperatura. Sin embargo, el número de incógnitas reduce a ocho a través de la simetría, en cuyo caso la temperatura de los puntos nodales a la izquierda de la línea de simetría debe ser igual a la temperatura de los de la derecha. Los nodos 1,3 y 5 son puntos interiores para los que las ecuaciones en CONDUCCION BIDIMENSIONAL
55
diferencias finitas se infieren de la ecuación 4.33. Así: Nodo 1: Nodo 3: Nodo 5:
10004=0 5004=0 5004=0
Las ecuaciones para los puntos 2,4 y 6 se obtiene de modo similar, o como descansan sobre una adiabática de simetría, utilizando la ecuación 4,46 con h=0 .De aquí: Nodo 2: Nodo 4: Nodo 6:
2 5004=0 2 4=0 2 4=0 ℎ ∆⁄2.5 2 20009=0 2 2 15009=0
De la ecuación 4.46 y del hecho de que Nodo 7: Nodo 8:
, también se sigue que:
Al tener las ecuaciones de diferencias finitas requeridas se obtiene una solución de inversión de matrices al reacomodarlas como sigue:
4 000001000 2 4 0 0000500 04 000500 0 2 4 0 000 00 04 0500 000 2 4 0 0 00002 09 2000 000002 2 9 1500 ⌈⌉
En notación matricial, siguiendo la ecuación 4.52, estas ecuaciones Son de la forma
, donde:
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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Con una rutina de inversión de matrices estándar, es fácil encontrar la inversa de , lo que da:
, −
La transferencia de calor de la columna al flujo de aire se calcula a partir de la expresión
2ℎ [∆2 ∆ ∆2 ]
Donde el factor de 2 fuera de los corchetes se origina de la condición de simetría, De aquí:
2∗ ∗ 0.125200 0.2556.990.12539.05 883⁄ k
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
57
CONCLUSIONES
Se analizó los distintos modelos que son necesarios para determinar la conducción de calor en un estado estable en un medio bidimensional (método analítico, método grafico, método numérico, método de relajación, método matricial, método de iteración.) y se realizo la resolución de los problemas mediante diferentes métodos. Comprendiéndose así la complejidad de los mismos ante determinado método de resolución. Se cumple así el objetivo específico principal de estudio de tal fenómeno. El método grafico se emplea para problemas bidimensionales que incluyen fronteras adiabáticas e isotérmicas. El planteamiento demanda algo de paciencia y talento artístico y ha sido reemplazado a gran medida por las soluciones de computadora que se basan en procedimientos numéricos. A pesar de sus limitaciones, el método permite obtener una primera estimación de la distribución de temperaturas y desarrollar una valoración física de la naturaleza del campo de temperaturas y del flujo del calor en un sistema. Se han obtenido factores de forma para numerosos sistemas bidimensionales, y los resultados se resumen en tablas para algunas configuraciones comunes. El conocimiento de las mismas simplifica el cálculo.
Finalmente, es posible concluir que la utilización de técnicas de auto aprendizaje (tutoriales e información virtual “digerible”),
en el proceso de enseñanza aprendizaje-evaluación en ingeniería, son una buena alternativa de estrategia a seguir, en el caso de iniciar el aprendizaje por el método de elementos finitos, ya que es muy atractivo para el estudiante, a la vez que se logra fácilmente motivarlo, al tiempo que se refuerzan su autoestima y los conocimientos ya adquiridos.
CONDUCCION BIDIMENSIONAL
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RECOMENDACIONES
Las tendencias modernas en educación indican que el estudiante, en general, durante su vida académica debe adquirir la capacidad de desarrollar competencias por sobre la mera asimilación de los conocimientos ya existentes. Esto conduce a que muchas de las técnicas de enseñanza actualmente utilizadas estén cuestionadas, lo que se extiende al caso de la enseñanza en ingeniería, donde tradicionalmente se ha supuesto que la técnica de aprendizaje se basa en un enfoque de enseñanza frontal, la que no necesariamente conduce a resolver los problemas de aprendizaje y la adquisición de destrezas y habilidades por parte de los alumnos. Es por ello que se recomienda, cuando las condiciones resulten muy complejas, la aplicación del método de elementos finitos, por medio de un software comercial. La razón de seleccionar esta aplicación se basó en el hecho que el método de los elementos finitos es una herramienta que está adquiriendo una gran importancia en la ingeniería mecánica, ya que permite predecir el comportamiento de diferentes fenómenos y así generar soluciones a diversos problemas, tales como: el análisis de tensiones, casos de transferencia de calor y flujo de fluidos, así como muchas otras aplicaciones. Hay una gran cantidad de software disponible en el mercado: Fluent, Algor, CFX, StarCD, flexPDE, etc. La gran mayoría de los cuales se pueden descargar gratuitamente por internet. Si las condiciones de estudio de un problema se prestan para el contraste con los diferentes tipos de solución (método analítico, método grafico, método numérico, método de relajación, método matricial, método de iteración.) se sugiere hacerlo, para determinar la interacción de las soluciones halladas y ver en que limites se encuentran las respuestas. Los métodos analíticos requieren series y funciones matemáticamente complicadas, y si no se tiene una buena base matemática, resultaran engorrosos de entender es por ello que al resolver problemas mediante este método es muy importante haber llevado el curso de análisis matemático 4 y el de métodos numéricos. En ocasiones el no llevarlos de una manera adecuada provocan una traba al estudiante, la cual cuesta tiempo subsanarla.
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