ESTADÍSTICA GENERAL NOCIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD P ROBABILIDAD CENTRO DE CIENCIAS BÁSICAS PROBABILIDAD La probabilidad tiene por objeto cuantificar la mayor o menor posibilidad de que uno o más eventos sucedan.
Conceptos básicos de la probabilidad Experimento aleatorio: Es un experimento en el cual no se conoce de antemano su resultado pero si se conocen los posibles resultados. Ejemplos:
E1: Lanzar un dado al aire y observar el número que aparece en la cara superior.
E2: Lanzar una moneda dos veces y se
C= {ab, ac, ad, bc, bd, be, cd, ce, de} D= {bc, bd, cd}
Eventos mutuamente excluyentes: Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente ( ∩ = ∅ ). En el ejemplo anterior los eventos A y B; A y D; B y D; A y C son mutuamente excluyentes. Obsérvese que los eventos mencionados no tienen elementos en común, además es fácil entender que no puede ocurrir que de dos fusibles sólo uno sea defectuoso y al mismo tiempo los dos sean defectuosos.
Eventos complementarios:
Espacio muestral (S): Es el conjunto de
Si A es un evento, (llamado complemento de A), es el evento que ocurre si y sólo si A no ocurre. En otras palabras, A y son complementarios si no tienen elementos en común ( ∩ = ∅ ), y juntos conforman el espacio muestral ( ∪ = ), En el ejemplo que estamos considerando los eventos A y C son complementarios.
todos los resultados experimento aleatorio.
Definición y reglas de la probabilidad
anotan los resultados. E3: Extraer, al azar, dos fusibles de una caja que contiene 5 fusibles, marcados con las letras a, b, c, d, y e, de los cuales hay 3 defectuosos b, c y d.
posibles
de
un
De los experimentos E1, E2 y E3 tenemos:
Probabilidad de un evento
S1= {1, 2, 3, 4, 5, 6} S2= {CC, CS, SC, SS} S3= {ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de}
Definimos la probabilidad de un evento como la proporción de los casos que favorecen al evento con respecto a todos los casos posibles para el mismo. mismo.
Evento: es un subconjunto del espacio muestral, (algunos resultados posibles), que puede tener uno o más elementos. elementos. Se denotan con letras mayúsculas. Ejemplo. Consideremos el experimento 3 (E3) de los ejemplos anteriores. Ya conocemos el espacio muestral S3, algunos eventos son: A: ninguno de los fusibles es defectuoso B: uno de los l os dos fusibles es defectuoso C: uno o más fusibles son defectuosos D: los dos fusibles son defectuosos Podemos escribirlos así A= {ae} B= {ab, ac, ad, be, ce, de}
( ) ) =
ú ú
Ejemplo Al lanzar un dado ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? Sea el evento A: obtener un número par, por lo tanto A= {2, 4, 6} (casos favorables) favorables) El espacio muestral S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} (casos posibles). Por tanto, 3 ( ) ) = = 0,5 5
Reglas o propiedades de la probabilidad 1. 0 ≤ () ≤ 1 2. () = 1
ESTADÍSTICA GENERAL NOCIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD CENTRO DE CIENCIAS BÁSICAS 3. Regla de la adición para eventos arbitrarios ( ∪ ) = ( ) + () − ( ∩ ) Que se lee la probabilidad de que ocurra el evento A o que ocurra el evento B o ambos, es igual a la probabilidad de que ocurra A mas las probabilidad de que ocurra B menos la probabilidad de que ocurran los dos al mismo tiempo.
Ejemplo La probabilidad de extraer una carta de un naipe al azar y que esta sea un trébol o una J es: En el siguiente diagrama, se muestran los casos favorables para todas las cartas:
( ) = 1 − ( )
Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces se obtenga por lo menos un sello? Sea el evento A: obtener por lo menos un sello. A= {CS, SC, SS} de acá tenemos que 3 ( ) = = 0,75 4 Por otro lado tenemos que : no obtener sellos, = {} entonces ( ) = Aplicando
la
propiedad 1 3 ( ) = 1 − ( ) = 1 − = 4 4
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Si se tiene una urna con balotas diferentes
De acuerdo al diagrama es fácil observar que
( ∪ ) = ( ) + () − ( ∩ ) 4 13 1 16 ( ∪ ) = + − = = 0,3076 52 52 52 52
4. regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes. ( ∪ ) = ( ) + ()
Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un tres o un cinco? Es claro que los eventos son mutuamente excluyentes, pues al lanzar un dado no puede mostrar un 3 y un 5 al mismo tiempo, por lo tanto:
( ∪ ) = () + () = = 0,333
5. Eventos complementarios
1
1 2 + = 6 6 6
enumeradas del 0 al 9, entonces ¿cuál es la probabilidad de extraer una balota al azar y sacar un 3? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado este caiga mostrando un número par o un 3? 3. Se lanzan tres monedas al aire calcule la probabilidad de obtener: a) exactamente un sello b) ningún sello c) al menos un sello d) a lo sumo un sello 4. Al lanzar dos dados ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números mostrados en las caras superiores sea 4 o 5? 5. En un curso de estadística hay 50 estudiantes entre hombres y mujeres, que pertenecen a tres programas ofrecidos en el instituto, distribuidos como se muestra en la siguiente tabla. hombres Mujeres Total Gestión 5 12 17 administrativa Gestión 10 6 16 financiera Talento 5 12 17 humano Total 20 30 50 Calcularla probabilidad estudiante al azar y que:
de
escoger
un
ESTADÍSTICA GENERAL NOCIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD CENTRO DE CIENCIAS BÁSICAS a) Sea mujer b) Estudie gestión financiera c) Sea hombre y estudie gestión administrativa d) si se le pregunta a un hombre del instituto qué estudia, entonces ¿la probabilidad de que responda administración es? 6. Un estudiante toma dos cursos, historia y matemáticas. La probabilidad de que el estudiante pase el curso de historia es 0.60, y que la probabilidad de que apruebe el curso de matemáticas es 0.70. La probabilidad de que apruebe ambos es 0.50. ¿Cuál es la probabilidad de que pase por lo menos uno? 7. Un estudio realizado por el servicio Nacional de parques reveló que 50% de los turistas que van a la región de las montañas visitan el parque X, 40% visitan el Y y 35% ambos lugares. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vacacionista visite por lo menos una de estas dos atracciones? b) ¿Los eventos son mutuamente excluyentes? 8. En una escuela preparatoria se gradúan 100 estudiantes, 54 estudiaron matemáticas, 69 historia y 35 ambas materias. Si selecciona aleatoriamente uno de estos estudiantes, encuentre la probabilidad de que a) Se haya dedicado a Matemáticas o Historia b) No haya cursado ninguna de estas materias c) Haya estudiado Historia pero no Matemáticas. 9. La probabilidad de que una industria se ubique en Medellín es de 0,7; de que se localice en Bogotá, de 0,4; y de que se encuentre ya sea en Medellín o en Bogotá, o en ambas, 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que la industria se localice a) En ambas ciudades? b) En ninguna de ellas? 10. Refiérase a las importantes prácticas de salud que se recomiendan en un estudio determinado, suponga que se entrevistaron 500 estudiantes, se encuentra que 210 fuman, que 258 toman bebidas alcohólicas, que 216 toman alimentos entre comidas, que 122 fuman y toman bebidas alcohólicas, que 83 toman alimentos entre comidas y también bebidas alcohólicas, que 97 fuman y toman alimentos entre comidas y que 52 practican
estos tres dañinos hábitos. Si se escoge aleatoriamente a un miembro de esta generación, encuentre la probabilidad de que el estudiante a) Fume pero no tome bebidas alcohólicas b) Tome alimentos entre comidas e ingiera bebidas alcohólicas pero no fume c) No fume y no tome alimentos entre comidas 11. Se ha observado que 80% de los accidentes en fundidoras se debe a errores humanos, y 40%, a falla de equipos. En 35%, participan ambos problemas. Se investiga un accidente en una fundidora. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo haya resultado de errores humanos? 12. La ruta que utiliza cierto automovilista para ir al trabajo tiene dos cruces con semáforo. La probabilidad de que pare en el primer semáforo es 0.4, la probabilidad análoga para el segundo semáforo es 0.5, y la probabilidad de que se detenga por lo menos en uno de los semáforos es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga a) En ambos semáforos? b) En el primero, pero no en el segundo? c) En exactamente un semáforo? 13. En el último año de una clase de graduados de preparatoria con 750 alumnos, 140 cursaron matemáticas; 188 psicología; 95 historia; 60 matemáticas e historia; 70 matemáticas y psicología, 10 historia pero ni matemáticas ni psicología; 30, cursaron las tres materias. Si se selecciona un es estudiante al azar, encuentre la probabilidad de que: a) Una persona no curse ninguna asignatura. b) Una persona curse solamente Matemáticas. c) Una persona curse Psicología o Historia pero no matemáticas d) Una persona curse solamente una de las tres asignaturas. e) Una persona no curse matemáticas.
